Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh Lam I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Mỗi môn học trong chương trình toán phổ thông đều có vai trò rất quan trọng trong việc hình thành và phát triển tư duy của học sinh. Nói đến học toán người ta thường nghĩ ngay đến các con số, các ký hiệu, hình vẽ và các mối liên hệ phức tạp giữa chúng. Sự phong phú và đa dạng của môn học này được thể hiện qua phạm vi ứng dụng của nó trong thực tế; đặc biệt là môn hình học. Hình học không gian là một môn khoa học nghiên cứu về hình dạng, độ lớn và vị trí không gian của vật thể; là một môn học khó đối với nhiều học sinh phổ thông. Rất nhiều em cảm thấy ngán ngại khi học môn này, có em thuộc định lý, tính chất nhưng không biết vận dụng vào giải bài tập, có em biết vẽ hình nhưng không đọc được hình… Vì thế, việc truyền đạt kiến thức liên quan đến hình học không gian đòi hỏi người Thầy phải kiên nhẫn, hướng dẫn các thao tác theo một trình tự nhất định, từng bước giúp các em chủ động tìm ra hướng giải các bài tập có liên quan đến hình học không gian. Hoạt động chủ đạo và thường xuyên trong quá trình học toán của học sinh là hoạt động giải bài tập, thông qua đó hình thành kỹ năng, kỹ xảo và khắc sâu kiến thức. Do vậy việc hướng dẫn học sinh giải toán không phải chỉ dừng lại ở việc cung cấp cho học sinh những bài giải mẫu mà còn phải hướng dẫn cho học sinh suy nghĩ, nắm bắt được các mối quan hệ ràng buộc giữa giả thiết và kết luận của bài toán, từng bước giúp học sinh độc lập suy nghĩ và chủ động để giải bài tập và củng cố kiến thức. Sách giáo khoa Hình học 11 (chuẩn và nâng cao) có nêu nội dung về “khoảng cách”, phần lý thuyết thì rất đơn giản nhưng phần bài tập thì thật không hề đơn giản đối với học sinh. Nếu giáo viên chỉ nêu định nghĩa như sách giáo khoa rồi dừng lại làm bài tập thì rất nhiều học sinh lung túng. Do kỹ năng giải toán hình học không gian nói chung và giải bài toán liên qua đến tính khoảng cách hình học trong không gian nói riêng của học sinh lớp 12 còn rất yếu nên các em thường bị mất điểm khi gặp những câu hỏi có liên quan đến nội dung này trong các đề thi tốt nghiệp và tuyển sinh hàng năm. Trong bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, băn khoăn lớn nhất và phổ biến nhất của các em là xác định khoảng cách, vì nếu không xác định đúng khoảng cách thì không thể tính khoảng cách môt cách chính xác. Từ thực tế giảng dạy, tôi đã rút ra được một số kinh nghiệm về việc hướng dẫn học sinh lớp 12 nhận biết và làm tốt bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian. Bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian là một dạng toán hay và khó, thường gặp trong các đề tuyển sinh đại học – cao đẳng hàng năm. Nhằm giúp các em chủ động ôn tập và tự tin chuẩn bị bước vào các kỳ thi quan trọng sắp tới. Trong năm học 2013 – 2014 này, tôi chọn viết đề tài: Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách. 1 Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh Lam II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1. Cơ sở lý luận Vào năm 1637, nhà toán học kiêm triết học Pháp là Réné Descartes đã cho xuất bản cuốn “ La Géométrie ” với nội dung xây dựng hình học bằng phương pháp toạ độ đánh dấu một bước tiến mạnh mẽ của toán học. Descartes là nhà toán học thiên tài đã khai sinh ra phương pháp toạ độ. Phương pháp toạ độ ra đời đã giúp con người dùng ngôn ngữ đại số thay cho ngôn ngữ hình học, giúp con người đạt đến đạt đến đỉnh cao của sự khái quát hoá và trừu tương hoá toán học trong nhiều lĩnh vực. Quy trình dạy học được hiểu là tổ hợp các thao tác của giáo viên và học sinh được tiến hành theo một trình tự nhất định trên một đối tượng nhận thức nào đó. Chẳng hạn, quy trình bốn bước của Polya để giải một bài toán gồm : • Bước 1 : Tìm hiểu nội dung bài toán • Bước 2 : Tìm cách giải • Bước 3 : Trình bày lời giải theo trình tự các bước thích hợp • Bước 4 : Kiểm tra, nghiên cứu lời giải Một trong những nhiệm vụ dạy học môn toán chương trình phổ thông, đặc biệt với hình học là hướng dẫn cho học sinh biết phân tích đề bài, thấy được sự liên quan giữa giả thiết và kết luận, biết dựng hình và định hướng được cách giải. Giải toán là một quá trình biến những tri thức tổng quát thành cái cụ thể, thành kinh nghiệm của bản thận, là một chặng đường nhiều thử thách, đòi hỏi sự nỗ lực bền bỉ và đan xen một chút sáng tạo của học sinh. Vì tìm được cách giải một bài toán là một phát minh. Để giải một bài toán tính khoảng cách, ta thực hiện theo các bước sau : • Bước 1 : Đọc đề và phân tích đề • Bước 2 : Dựng hình phù hợp với nội dung của đề bài. • Bước 3 : Liên hệ nội dung cần chứng minh với các định lý, công thức có liên quan để giải bài toán. Tuy nhiên qua thực tế , việc học và nắm vững các bước trên để vận dụng vào giải toán thật không hề đơn giản đối với học sinh, vì đây là một quá trình trừu tượng hoá và khái quát hóa trong việc rèn luyện tư duy toán học. Do vậy, thông qua một số bài toán cụ thể để hướng dẫn các em làm quen dần với các bước cụ thể, nhận biết các dạng bài tập, từng bước giúp các em hình thành kỹ năng, kỹ xảo, chủ động giải quyết các tình huống xảy ra trong quá trình giải toán, là cơ sở để các em khắc sâu kiến thức. 2 Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh Lam 2. Thực trạng trước khi thực hiện các giải pháp của đề tài a. Những khó khăn và những sai lầm mà học sinh thường mắc phải. Trong đề tuyển sinh đại học năm 2013 vừa qua, trong đề thi của bốn khối A, A 1 , B và D song song với bài toán tính thể tích khối đa diện thì còn thêm câu hỏi tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Các em đều có chung một cảm nhận là câu này khó, không làm được! qua tìm hiểu và trao đổi với các em thì nguyên nhân chính là vẽ hình chưa chuẩn xác, không xác định khoảng cách và lúng túng trong tính toán do nhớ sai công thức. Mặc dù kiến thức về khoảng cách , các em đã được học ở cuối học kỳ II của lớp 11, nhưng vào thời điểm đó thầy và trò phải tập trung vào ôn tập cho kỳ thi học kỳ II nên việc truyền đạt của thầy và tiếp thu của trò chưa thật chu đáo. Bài toán tính khoảng cách là một nội dung phức tạp bởi tính trừu tượng, phong phú và đa dạng của nó nên đã tạo ra không ít khó khăn trong quá trình hướng dẫn, truyền đạt của giáo viên và việc tiếp thu kiến thức của học sinh. Tuy nhiên nếu biết sắp xếp và phân tích cụ thể các yếu tố có liên quan của bài toán, biết gợi mở thì sẽ phát huy được tính tích cực của học sinh, tạo được hứng thú cho học sinh khi giải bài toán hình học không gian nói chung và bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian nói riêng. + Số liệu thống kê. Qua thống kê sơ bộ điểm môn toán của 2 lớp; 9 11A ; 11 11A năm học 2012 - 2013, lớp 9 12A ; 11 12A , năm học 2013 - 2014, cụ thể là kết qủa 2 bài kiểm tra như sau : + Bài kiểm tra một tiết hình học (học kỳ II, 2012 - 2013 ), trong 93 bài kiểm tra có : • 4 bài điểm 8 tỷ lệ 4,3 % • 13 bài điểm 6, 7 tỷ lệ 14,0 % • 29 bài điểm 5 tỷ lệ 31,2 % • 47 bài điểm dưới 5 tỷ lệ 50,5 % + Bài kiểm tra một tiết hình học (học kỳ I, 2013 - 2014 ), trong 92 bài kiểm tra có : • 5 bài điểm 8 tỷ lệ 5,4 % • 19 bài điểm 6, 7 tỷ lệ 20,7 % • 31 bài điểm 5 tỷ lệ 33,7 % • 37 bài điểm dưới 5 tỷ lệ 40,2 % Kết quả này đã phản ánh khá trung thực về khả năng tiếp thu và vận dụng của học sinh trong giải quyết bài toán về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, 3 Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh Lam Cũng chính kết quả khiếm tốn này đã làm tôi suy nghĩ, trăn trở nhiều hơn về quá trình hướng dẫn, truyền đạt của mình, cần phải hướng dẫn chi tiết và cụ thể hơn thông qua các bước đi phù hợp với khả năng nhận thức của các em. b. Biện pháp khắc phục. Khắc phục những hạn chế nêu trên, cần có những bước đi thật cụ thể: + Các tiết bài tập cần chuẩn bị thật chu đáo, phải được thiết kế theo trình tự từ dễ đến khó, chú ý vào các dạng toán cơ bản, tạo hứng thú cho học sinh, giúp các em quen dần với các dạng toán có liên quan. + Bài tập nêu trong sách giáo khoa thường rất phức tạp, do vậy khi hướng dẫn học sinh ta cần điều chỉnh một số giả thiết cho phù hợp với khả năng nhận thức của các em. + Cần tạo điều kiện cho các em có sự chuẩn bị bị ở nhà theo tổ nhóm, qua mỗi dạng toán cần hướng dẫn các em nhận xét để rút ra những bài học kinh nghiệm nhằm khắc sâu kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài toán tính khoảng cách. + Giáo viên cần hướng dẫn các em dựng hình và đọc được các chi tiết trên hình, làm cơ sở định hướng công việc cần làm theo một trình tự nhất định, qua đó nâng cao nhận thức của các em trong nhận định và giải quyết công việc trong cuộc sống sau này. + Qua mỗi bài tập, giáo viên cần hướng dẫn các em nhận xét là cở sở phân tích, suy luận để giải quyết các bài sau khác sau này. Thông qua từng dạng bài tập, từng bước tôi sẽ hướng dẫn học sinh xác định được đoạn thẳng nào là khoảng cách cân tìm dựa trên cơ sở các khái niệm về khoảng cách mà các em đã được học ở lớp 11. Các giải pháp tôi nêu ra ở phần sau là giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, giải pháp mới này tỉ mỉ hơn, cụ thể và khoa học hơn; giúp các em tiếp thu và vận dụng tốt hơn. III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP Gồm hai phần: Phần một: Hệ thống kiến thức liên quan đến khoảng cách. Phần hai: Tính khoảng cách trong hình học không gian Các dạng toán thường gặp : • Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. • Tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song. 4 Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh Lam • Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. • Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau PHẦN MỘT Hệ thống kiến thức liên quan đến khoảng cách Trong chương III - §5 sách giáo khoa (SGK) hình học 11 , Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), NXBGD 2008, đã nêu định nghĩa về khoảng cách trong không gian và một số tính chất sau :  Một số kiến thức về khoảng cách trong không gian 1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Cho điểm O và mặt phẳng ( ) α . Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên mặt phẳng ( ) α . Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( ) α . Kí hiệu: ( ) ,( )d O α 2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song Cho đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng ( ) α . Khoảng cách từ đường thẳng ∆ đến mặt phẳng ( ) α là khoảng cách từ một điểm bất kì của ∆ đến mặt phẳng ( ) α . Kí hiệu: ( ) ,( )d α ∆ 3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Kí hiệu: ( ) ( ),( )d α β 4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau • Đường vuông góc chung: Đường thẳng ∆ cắt hai đường thẳng chéo nhau a và b và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy, được gọi là đường vuông góc chung của a và b. • Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: Nếu đường vuông góc chung ∆ cắt hai đường thẳng chéo nhau a và b lần lượt tại M,N thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b 5 ) α O H ) α β O H ) M ) α ) α B B’ ) α A A’ ∆ ∆ a M N b ∆ Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh Lam Nhận xét:  Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó chứa đường thẳng còn lại.  Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.  Một số kiến thức về quan hệ vuông góc + Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ĐL1: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mp(P) thì đường thẳng d vuông góc với mp(P).  ⊥ ⊥  ⊂ ⇒ ⊥    d a ,d b a ,b (P) d (P) a,b caét nhau d a b P ĐL2: (Ba đường vuông góc) Cho đường thẳng a không vuông góc với mp(P) và đường thẳng b nằm trong (P). Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P). ⊥ ⊂ ⊥ ⇔ ⊥ a (P),b (P) b a b a' a' a b P + Hai mặt phẳng vuông góc ĐL1:Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.  ⊥ ⇒ ⊥  ⊂  a (P) (Q) (P) a (Q) Q P a ĐL2:Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào nằm 6 ) α N ) α M a a’ b b β O N M ) α a b ) Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh Lam trong (P), vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vuông góc với mặt phẳng (Q).  ⊥  ∩ = ⇒ ⊥   ⊂ ⊥  (P) (Q) (P) (Q) d a (Q) a (P), a d d Q P a ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và A là một điểm trong (P) thì đường thẳng a đi qua điểm A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P) (P) (Q) A (P) a (P) A a a (Q)  ⊥  ∈  ⇒ ⊂  ∈   ⊥  A Q P a ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba. (P) (Q) a (P) (R) a (R) (Q) (R)  ∩ =  ⊥ ⇒ ⊥   ⊥  a R Q P Từ các định nghĩa và nhận xét nêu trên, có thể kết luận rằng: Bài toán tìm khoảng cách giữa đường thẳng song song với mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau … đều đưa về bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Do vậy, trước hết cần xây dựng một cách có hệ thống các bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, làm cơ sở giúp học sinh từng bước chủ động , tự tin khi giải các bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian. PHẦN HAI Bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian a. Bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Bài toán tính khoảng các từ một điểm đến một mặt phẳng gồm 2 phần:  Xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng  Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 1) Xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Cho mặt phẳng (P) và điểm M không nằm trên mặt phẳng (P). Để xác định khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) cần thực hiện các bước sau: • Bước 1: Dựng mặt phẳng (Q) đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (P) • Bước 2: Xác định giao tuyến d của hai mặt phẳng (P) và (Q) 7 Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh Lam • Bước 3: Kẻ MH vuông góc với giao tuyến d ( ) ( ) ( ) ,( )H d MH P MH d M P∈ ⇒ ⊥ ⇒ = 2) Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: 2 2 2 1 1 1 h b c = + Trong quá trình giải bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh sử dụng bổ đề: Cho mặt phẳng ( ) α và hai điểm A, E không nằm trên mặt phẳng ( ) α . Gọi ( ) M AE α = ∩ . Khi đó: ( ) ( ) ,( ) ,( ) d E ME d A MA α α = Bài toán cơ bản. Hình vẽ Cho mặt phẳng ( ) α và điểm A không nằm trên mặt phẳng ( ) α ; M là điểm bất kì nằm trên mặt phẳng ( ) α . Xét điểm E nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm A, M sao cho: ME k MA = . Khi đó khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( ) α và khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng ( ) α có mối quan hệ như thế nào? Để giải quyết bài toán cơ bản này, ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Hai điểm A và E nằm cùng phía với mặt phẳng ( ) α Trường hợp 2: Hai điểm A và E nằm khác phía với mặt phẳng ( ) α Trường hợp 1. Hình vẽ Cho mặt phẳng ( ) α và điểm A không nằm trên mặt phẳng ( ) α ; M là điểm bất kì nằm trên mặt phẳng ( ) α . H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng ( ) α và AH h= . E là điểm thuộc AM sao cho: ME k MA = . 1) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( ) α 2) Tính khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng ( ) α 3) Gọi I là trung điểm của AM. Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng ( ) α 4) Gọi d là đường thẳng qua I và song song với mặt phẳng ( ) α và J là điểm bất kì thuộc d. Tính khoảng 8 α H E M A P α D C Q I P A M E H J c A b B C H Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh Lam cách từ điểm J đến mặt phẳng ( ) α 5) Gọi C là hình chiếu vuông góc của J trên mặt phẳng ( ) α và D là trung điểm của JC. Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng ( ) α Hướng dẫn Bài giải H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng ( ) α (giả thiết) 1) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( ) α ( ) ( ) ,( )AH AH d A h α α ⊥ ⇒ = = Tìm mối liên hệ giữa AH và EP AH và EP song song, vì sao? Ba điểm M,P,H như thế nào? Vận dụng định lí Thales vào tam giác AMH 2) Tính khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng ( ) α Gọi P là hình chiếu vuông góc của E trên mặt phẳng ( ) ( )EP α α ⇒ ⊥ ( ) ,( )EP d E α ⇒ = ( ) ( ) / / , , AH AH EP EP M P H E AM α α ⊥   ⊥ ⇒     ∈  thaúng haøng Áp dụng dịnh lí Thales vào tam giác AMH, ta có: ( ) ,( ) . EP ME k EP d E AH k hk AH MA α = = ⇒ = = = Khai thác tính chất đường trung bình trong tam giác AMH 3) Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng ( ) α Gọi Q là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng ( ) ( )IQ α α ⇒ ⊥ ( ) ,( )IQ d I α ⇒ = IQ là đường trung bình trong tam giác AMH ( ) 1 ,( ) 2 2 h IQ d I AH α ⇒ = = = Với cách dựng hình: IJCQ là hình chữ nhật IQ JC⇒ = 4) Tính khoảng cách từ điểm J đến mặt phẳng ( ) α Gọi C là hình chiếu vuông góc của J trên mặt phẳng ( ) α ( )JC α ⇒ ⊥ Mà: IQ JC= ( IJCQ là hình chữ nhật) ( ) ,( ) 2 h JC d J IQ α ⇒ = = = C cũng là hình chiếu vuông góc của D trên mặt phẳng ( ) α ( )CD α ⇒ ⊥ 5) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng ( ) α D là trung điểm của JC 1 2 CD CJ ⇒ = ( ) 1 ,( ) 2 4 h CD d D JC α ⇒ = = = Trường hợp 2. Hình vẽ Cho mặt phẳng ( ) α và điểm A không nằm trên mặt phẳng ( ) α ; M là điểm bất kì nằm trên mặt phẳng 9 α E P H M A Q N I R Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh Lam ( ) α . H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng ( ) α và AH h = . Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho: ME k MA = . 1) Tính khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng ( ) α 2) Gọi N là điểm đối xứng của điểm A qua điểm M.Tính khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng ( ) α 3) Gọi d là đường thẳng qua E và song song với mặt phẳng ( ) α và Q là điểm bất kì thuộc d. Tính khoảng cách từ điểm Q đến mặt phẳng ( ) α Hướng dẫn Bài giải Cách giải tương tự cách giải câu 2 của trường hợp 1 1) Tính khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng ( ) α Gọi P là hình chiếu vuông góc của E trên mặt phẳng ( ) ( )EP α α ⇒ ⊥ ( ) ,( )EP d E α ⇒ = ( ) ( ) / / , , AH AH EP EP M P H E AM α α ⊥   ⊥ ⇒     ∈  thaúng haøng Áp dụng dịnh lí Thales vào tam giác AMH, ta có: ( ) ,( ) . EP ME k EP d E AH k hk AH MA α = = ⇒ = = = Gọi R là hình chiếu vuông góc của N trên mặt phẳng ( ) α ( )NR α ⇒ ⊥ NR MN MHA MRN AH MA ∆ ∆ ⇒ =: 2) Tính khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng ( ) α N là điểm đối xứng của điểm A qua điểm M. 1 MN MN MA MA ⇒ = ⇔ = ( ) ( ) ,( ) ,( )d N d A AH h α α ⇒ = = = ( ) ( ) / / / / , d EQ E d Q d α α   ⇒  ∈ ∈   3) Tính khoảng cách từ điểm Q đến mặt phẳng ( ) α ( ) ( ) ( ) / / ,( ) ,( )EQ d Q d E hk α α α ⇒ = = Nhận xét. Qua hai trường hợp đã xét ở trên có thể rút ra một số nhận xét như sau:  Đối với các bài toán: Cho mặt phẳng ( ) α và một điểm A không nằm trên mặt phẳng ( ) α , biết ( ) ,( )d A h α = ; yêu cầu tính khoảng cách của một số điểm E, P,Q,… đến mặt phẳng ( ) α ( mỗi điểm trong các điểm này và điểm A có thể nằm cùng phía hay khác phía đối với mặt phẳng ( ) α ) thì chỉ cần tính khoảng cách từ môt điểm trong số các 10 [...]... tạp 33 Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài tốn tính khoảng cách Lam Nguyễn Thanh 2 Bồi dưỡng cho học sinh thói quen tính tốn chính xác Thể hiện qua những nội dung như : đọc kỹ đề, tính tốn tỉ mỉ, xác định các điểm, các đỉnh hợp lý, kiên trì kiểm tra lại kết quả và trình bày bài tốn một cách lơgích 3 Học sinh cần có sự chuẩn bị bài trước khi đến lớp Bởi vì khi chuẩn bị bài học sinh có dịp làm quen... được cách tính cho từng dạng bài tập Bằng cách làm này, học sinh 32 Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài tốn tính khoảng cách Lam Nguyễn Thanh trung bình và ́u có thể tiếp thu được các nợi dung cơ bản nhất trong việc giải qút bài toán liên quan đến tính khoảng cách trong hình học khơng gian Kết quả khảo sát của hai lớp 12A9 và 12A11 năm học 2013 – 2014 như sau: Số lượng học sinh. .. Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài tốn tính khoảng cách Lam Nguyễn Thanh ⇒ AK = d ( A, ( SBC ) ) = a 6 3 Bằng cách hướng dẫn phân tích nội dung đề bài, dựng hình và thực hiện các bước đi cụ thể, từng bước các em cũng đã biết tự mình giải quyết một số tình huống trong các bài tập tương tự Bên cạnh bài tốn tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, các em còn được hướng dẫn phương pháp tính khoảng. . .Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài tốn tính khoảng cách Lam Nguyễn Thanh điểm đó đến mặt phẳng ( α ) sao cho khoảng cách này là dễ tính nhất, sau đó tiếp tục tính các khoảng cách còn lại dựa trên các kết quả đã có  Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng có thể tính gián tiếp thơng qua cơng 1 3 thức tính thể tích của khối chóp: V = Bh ⇒ h = 3V B  Một số bài tốn cụ thể Bài tốn 1 Hình... a 6 Bài tốn 8 Hình vẽ S Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , · cạnh bên SA vng góc với đáy, BAD = 120 0 , M là · trung điểm của cạnh BC và SMA = 450 Tính theo a thể A tích khối chóp S.ABCD và tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC) D 450( Trích đề tuyển sinh Đại học Khối D năm 2013 Hướng dẫn H B M C Bài giải 18 Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài tốn tính khoảng cách Lam Từ tính. .. a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) E A Trích đề tuyển sinh Đại học Khối B năm 2013 K H B Hướng dẫn D C Bài giải 19 Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài tốn tính khoảng cách Lam Nguyễn Thanh 1) Thể tích khối chóp S.ABCD Xác định đường cao của khối chóp S.ABCD Gọi H là... ta có: 27 Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài tốn tính khoảng cách Lam cạnh bằng 3a ⇒ BN = 3a 3 2 Nguyễn Thanh 27 a 2 a 2 26a 2 − = 4 4 4 a 26 ⇒ MN = d ( AB, CD ) = 2 MN 2 = BN 2 − BM 2 = Bài tốn 16 Hình vẽ S Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , cạnh bên bằng a 2 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB H theo a D C M N O A B Hướng dẫn Bài giải Giải theo cách 2:... chéo nhau a và b  Bài tập áp dụng: Đề bài Hình vẽ Bài 1 S Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vng tâm O, cạnh a , cạnh bên SA = a Gọi M là trung điểm của BC H A B Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC) M O D C Hướng dẫn: Bước 1 Tìm một mặt phẳng chứa điểm O và vng góc với mặt phẳng (SBC) ? 31 Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài tốn tính khoảng cách Lam Nguyễn Thanh Bước 2 Tìm giao... ⇒ SH = d ( S , ( ABCD ) ) = 7 Bài tốn 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AD = 2a , SA vng góc với mặt đáy và SA = a 6 1) Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SCD) 2) Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC) Hình vẽ S H A K E D B C 22 Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài tốn tính khoảng cách Lam Hướng dẫn Tìm một mặt phẳng chứa điểm... khối chóp S.ABC và tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) Trích đề tuyển sinh Đại học Khối A, A1 năm 2013 Hướng dẫn A C M H B Bài giải 20 Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài tốn tính khoảng cách Lam Xác định đường cao SH của khối chóp S.ABC Từ giả thiết, suy ra ABC là nửa tam giác đều có: a   AC = 2  Cạnh BC = a ⇒   AB = a 3   2 Tính gián tiếp thơng qua cơng thức tính thể tích của khối . năm học 2013 – 2014 này, tôi chọn viết đề tài: Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách. 1 Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh Lam II vận dụng của học sinh trong giải quyết bài toán về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, 3 Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh Lam Cũng chính. cần tính khoảng cách từ môt điểm trong số các 10 Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán tính khoảng cách Nguyễn Thanh Lam điểm đó đến mặt phẳng ( ) α sao cho khoảng cách này là dễ tính