Tuyển tập đề thi học sinh giỏi toán lớp có đáp án ĐỀ SỐ Câu ( điểm ) Cho biểu thức : A = ( x −1 + x +1 )2 x2 −1 − 1− x2 1) Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa 2) Rút gọn biểu thức A 3) Giải phương trình theo x A = -2 Câu ( điểm ) Giải phương trình Câu ( điểm ) Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A ( -2 , ) đờng thẳng (D) : y = - 2(x +1) a) Điểm A có thuộc (D) hay khơng ? b) Tìm a hàm số y = ax2 có đồ thị (P) qua A c) Viết phơng trình đờng thẳng qua A vng góc với (D) Câu ( điểm ) Cho hình vng ABCD cố định , có độ dài cạnh a E điểm chuyển đoạn CD ( E khác D ) , đờng thẳng AE cắt đờng thẳng BC F , đờng thẳng vng góc với AE A cắt đờng thẳng CD K 1) Chứng minh tam giác ABF = tam giác ADK từ suy tam giác AFK vuông cân 2) Gọi I trung điểm FK , Chứng minh I tâm đờng tròn qua A , C, F , K 3) Tính số đo góc AIF , suy điểm A , B , F , I nằm đờng tròn ĐỀ SỐ Câu ( điểm ) Cho hàm số : y = 1) Nêu tập xác định , chiều biến thiên vẽ đồ thi hàm số 2) Lập phơng trình đờng thẳng qua điểm ( , -6 ) có hệ số góc a tiếp xúc với đồ thị hàm số Câu ( điểm ) Cho phơng trình : x2 – mx + m – = 1) Gọi hai nghiệm phơng trình x1 , x2 Tính giá trị biểu thức Từ tìm m để M > 2) Tìm giá trị m để biểu thức P = đạt giá trị nhỏ Câu ( điểm ) Giải phơng trình : a) b) Câu ( điểm ) Cho hai đờng trịn (O1) (O2) có bán kính R cắt A B , qua A vẽ cát tuyến cắt hai đờng tròn (O1) (O2) thứ tự E F , đờng thẳng EC , DF cắt P 1) Chứng minh : BE = BF 2) Một cát tuyến qua A vng góc với AB cắt (O 1) (O2) lần lợt C,D Chứng minh tứ giác BEPF , BCPD nội tiếp BP vng góc với EF 3) Tính diện tích phần giao hai đờng tròn AB = R ĐỀ SỐ Câu ( điểm ) 1) Giải bất phơng trình : 2) Tìm giá trị nguyên lớn x thoả mãn Câu ( điểm ) Cho phơng trình : 2x2 – ( m+ )x +m – = a) Giải phơng trình m = b) Tìm giá trị m để hiệu hai nghiệm tích chúng Câu3 ( điểm ) Cho hàm số : y = ( 2m + )x – m + (1) a) Tìm m biết đồ thị hàm số (1) qua điểm A ( -2 ; ) b) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số qua với giá trị m Câu ( điểm ) Cho góc vng xOy , Ox , Oy lần lợt lấy hai điểm A B cho OA = OB M điểm AB Dựng đờng tròn tâm O1 qua M tiếp xúc với Ox A , đờng tròn tâm O2 qua M tiếp xúc với Oy B , (O1) cắt (O2) điểm thứ hai N 1) Chứng minh tứ giác OANB tứ giác nội tiếp ON phân giác góc ANB 2) Chứng minh M nằm cung tròn cố định M thay đổi 3) Xác định vị trí M để khoảng cách O1O2 ngắn ĐỀ SỐ Câu ( điểm ) Cho biểu thức : a) Rút gọn biểu thức b) Tính giá trị Câu ( điểm ) Giải phơng trình : Câu ( điểm ) Cho hàm số : y = a) Tìm x biết f(x) = - ; - ; ; b) Viết phơng trình đờng thẳng qua hai điểm A B nằm đồ thị có hồnh độ lần lợt -2 Câu ( điểm ) Cho hình vng ABCD , cạnh BC lấy điểm M Đờng trịn đờng kính AM cắt đờng trịn đờng kính BC N cắt cạnh AD E 1) Chứng minh E, N , C thẳng hàng 2) Gọi F giao điểm BN DC Chứng minh 3) Chứng minh MF vng góc với AC ĐỀ SỐ Câu ( điểm ) Cho hệ phơng trình : a) Giải hệ phơng trình m = b) Giải biện luận hệ phơng trình theo tham số m c) Tìm m để x – y = Câu ( điểm ) 1) Giải hệ phơng trình : 2) Cho phơng trình bậc hai : ax2 + bx + c = Gọi hai nghiệm phơng trình x1 , x2 Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm 2x1+ 3x2 3x1 + 2x2 Câu ( điểm ) Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ) nội tiếp đờng tròn tâm O M điểm chuyển động đờng tròn Từ B hạ đờng thẳng vng góc với AM cắt CM D Chứng minh tam giác BMD cân Câu ( điểm ) 1) Tính : 2) Giải bất phơng trình : ( x –1 ) ( 2x + ) > 2x( x + ) ĐỀ SỐ Câu ( điểm ) Giải hệ phơng trình : Câu ( điểm ) Cho biểu thức : a) Rút gọn biểu thức A b) Coi A hàm số biến x vẽ đồ thi hàm số A Câu ( điểm ) Tìm điều kiện tham số m để hai phơng trình sau có nghiệm chung x2 + (3m + )x – = x2 + (2m + )x +2 =0 Câu ( điểm ) Cho đờng tròn tâm O đờng thẳng d cắt (O) hai điểm A,B Từ điểm M d vẽ hai tiếp tuyến ME , MF ( E , F tiếp điểm ) 1) Chứng minh góc EMO = góc OFE đờng tròn qua điểm M, E, F qua điểm cố định m thay đổi d 2) Xác định vị trí M d để tứ giác OEMF hình vng ĐỀ SỐ Câu ( điểm ) Cho phơng trình (m2 + m + )x2 - ( m2 + 8m + )x – = a) Chứng minh x1x2 < b) Gọi hai nghiệm phơng trình x1, x2 Tìm giá trị lớn , nhỏ biểu thức : S = x + x2 Câu ( điểm ) Cho phơng trình : 3x2 + 7x + = Gọi hai nghiệm phơng trình x1 , x2 khơng giải phơng trình lập phơng trình bậc hai mà có hai nghiệm : Câu ( điểm ) 1) Cho x2 + y2 = Tìm giá trị lớn , nhỏ x + y 2) Giải hệ phơng trình : 3) Giải phơng trình : x4 – 10x3 – 2(m – 11 )x2 + ( 5m +6)x +2m = Câu ( điểm ) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng trịn tâm O Đờng phân giác góc A , B cắt đờng tròn tâm O D E , gọi giao điểm hai đờng phân giác I , đờng thẳng DE cắt CA, CB lần lợt M , N 1) Chứng minh tam giác AIE tam giác BID tam giác cân 2) Chứng minh tứ giác AEMI tứ giác nội tiếp MI // BC 3) Tứ giác CMIN hình ? ĐỀ SỐ Câu1 ( điểm ) Tìm m để phơng trình ( x2 + x + m) ( x2 + mx + ) = có nghiệm phân biệt Câu ( điểm ) Cho hệ phơng trình : a) Giải hệ m = b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x > , y > Câu ( điểm ) Cho x , y hai số dơng thoả mãn x5+y5 = x3 + y3 Chứng minh x2 + y2 + xy Câu ( điểm ) 1) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O) Chứng minh AB.CD + BC.AD = AC.BD 2) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn (O) đờng kính AD Đờng cao tam giác kẻ từ đỉnh A cắt cạnh BC K cắt đờng tròn (O) E a) Chứng minh : DE//BC b) Chứng minh : AB.AC = AK.AD c) Gọi H trực tâm tam giác ABC Chứng minh tứ giác BHCD hình bình hành ĐỀ SỐ Câu ( điểm ) Trục thức mẫu biểu thức sau : ; ; Câu ( điểm ) Cho phơng trình : x2 – ( m+2)x + m2 – = (1) a) Gọi x1, x2 hai nghiệm phơng trình Tìm m thoả mãn x1 – x2 = b) Tìm giá trị nguyên nhỏ m để phơng trình có hai nghiệm khác Câu ( điểm ) Cho Lập phơng trình bậc hai có hệ số số có nghiệm x1 = Câu ( điểm ) Cho hai đờng tròn (O1) (O2) cắt A B Một đờng thẳng qua A cắt đờng tròn (O1) , (O2) lần lợt C,D , gọi I , J trung điểm AC AD 1) Chứng minh tứ giác O1IJO2 hình thang vng 2) Gọi M giao diểm CO1 DO2 Chứng minh O1 , O2 , M , B nằm đờng tròn 3) E trung điểm IJ , đờng thẳng CD quay quanh A Tìm tập hợp điểm E 4) Xác định vị trí dây CD để dây CD có độ dài lớn ĐỀ SỐ 10 Câu ( điểm ) 1)Vẽ đồ thị hàm số : y = 2)Viết phơng trình đờng thẳng qua điểm (2; -2) (1 ; -4 ) 3) Tìm giao điểm đờng thẳng vừa tìm đợc với đồ thị Câu ( điểm ) a) Giải phơng trình : b)Tính giá trị biểu thức với Câu ( điểm ) Cho tam giác ABC , góc B góc C nhọn Các đờng trịn đờng kính AB , AC cắt D Một đờng thẳng qua A cắt đờng trịn đờng kính AB , AC lần lợt E F 1) Chứng minh B , C , D thẳng hàng 2) Chứng minh B, C , E , F nằm đờng trịn 3) Xác định vị trí đờng thẳng qua A để EF có độ dài lớn Câu ( điểm ) Cho F(x) = a) Tìm giá trị x để F(x) xác định b) Tìm x để F(x) đạt giá trị lớn ĐỀ SỐ 11 Câu ( điểm ) 1) Vẽ đồ thị hàm số 2) Viết phơng trình đờng thẳng qua hai điểm ( ; -2 ) ( ; - ) 3) Tìm giao điểm đờng thẳng vừa tìm đợc với đồ thị Câu ( điểm ) 1) Giải phơng trình : 2) Giải phơng trình : Câu ( điểm ) Cho hình bình hành ABCD , đờng phân giác góc BAD cắt DC BC theo thứ tự M N Gọi O tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNC 1) Chứng minh tam giác DAM , ABN , MCN , tam giác cân 2) Chứng minh B , C , D , O nằm đờng tròn Câu ( điểm ) Cho x + y = y Chứng minh x2 + y2 ĐỀ SỐ 12 Câu ( điểm ) 1) Giải phơng trình : 2) Xác định a để tổng bình phơng hai nghiệm phơng trình x2 +ax +a –2 = bé Câu ( điểm ) Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A ( ; 0) đờng thẳng x – 2y = - a) Vẽ đồ thị đờng thẳng Gọi giao điểm đờng thẳng với trục tung trục hoành B E b) Viết phơng trình đờng thẳng qua A vng góc với đờng thẳng x – 2y = -2 c) Tìm toạ độ giao điểm C hai đờng thẳng Chứng minh EO EA = EB EC tính diện tích tứ giác OACB Câu ( điểm ) Giả sử x1 x2 hai nghiệm phơng trình : x2 –(m+1)x +m2 – 2m +2 = (1) a) Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm kép , hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để đạt giá trị bé , lớn Câu ( điểm ) Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O Kẻ đờng cao AH , gọi trung điểm AB , BC theo thứ tự M , N E , F theo thứ tự hình chiếu vng góc của B , C đ ờng kính AD a) Chứng minh MN vng góc với HE b) Chứng minh N tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác HEF ĐỀ SỐ 13 Câu ( điểm ) So sánh hai số : Câu ( điểm ) Cho hệ phơng trình : Gọi nghiệm hệ ( x , y ) , tìm giá trị a để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ Câu ( điểm ) Giả hệ phơng trình : Câu ( điểm ) 1) Cho tứ giác lồi ABCD cặp cạnh đối AB , CD cắt P BC , AD cắt Q Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABQ , BCP , DCQ , ADP cắt điểm 3) Cho tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp Chứng minh Câu ( điểm ) Cho hai số dơng x , y có tổng Tìm giá trị nhỏ : ĐỀ SỐ 14 Câu ( điểm ) Tính giá trị biểu thức : Câu ( điểm ) 1) Giải biện luận phơng trình : (m2 + m +1)x2 – 3m = ( m +2)x +3 2) Cho phơng trình x2 – x – = có hai nghiệm x , x2 Hãy lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm : Câu ( điểm ) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức : nguyên Câu ( điểm ) Cho đờng tròn tâm O cát tuyến CAB ( C ngồi đờng trịn ) Từ điểm cung lớn AB kẻ đờng kính MN cắt AB I , CM cắt đờng tròn E , EN cắt đờng thẳng AB F 1) Chứng minh tứ giác MEFI tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh góc CAE góc MEB 3) Chứng minh : CE CM = CF CI = CA CB Đề số 15 Câu ( điểm ) Giải hệ phơng trình : Câu ( điểm ) Cho hàm số : y = - x – a) Vẽ đồ thị hai hàm số hệ trục toạ độ b) Viết phơng trình đờng thẳng song song với đờng thẳng y = - x – cắt đồ thị hàm số điểm có tung độ Câu ( điểm ) Cho phơng trình : x2 – 4x + q = a) Với giá trị q phơng trình có nghiệm b) Tìm q để tổng bình phơng nghiệm phơng trình 16 Câu ( điểm ) 1) Tìm số nguyên nhỏ x thoả mãn phơng trình : 2) Giải phơng trình : Câu ( điểm ) Cho tam giác vng ABC ( góc A = v ) có AC < AB , AH đờng cao kẻ từ đỉnh A Các tiếp tuyến A B với đờng tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC cắt M Đoạn MO cắt cạnh AB E , MC cắt đờng cao AH F Kéo dài CA cho cắt đờng thẳng BM D Đờng thẳng BF cắt đờng thẳng AM N a) Chứng minh OM//CD M trung điểm đoạn thẳng BD b) Chứng minh EF // BC c) Chứng minh HA tia phân giác góc MHN Đề số 16 Câu : ( điểm ) Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y = 3x + m (*) 1) Tính giá trị m để đồ thị hàm số qua : a) A( -1 ; ) ; b) B( - ; ) 2) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ - 3) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ - Câu : ( 2,5 điểm ) Cho biểu thức : a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A x = c) Với giá trị x A đạt giá trị nhỏ Câu : ( điểm ) Cho phơng trình bậc hai : gọi hai nghiệm phơng trình x1 x2 Khơng giải phơng trình , tính giá trị biểu thức sau : a) b) c) d) Câu ( 3.5 điểm ) Cho tam giác ABC vuông A điểm D nằm A B Đờng trịn đờng kính BD cắt BC E Các đờng thẳng CD , AE lần lợt cắt đờng tròn điểm thứ hai F , G Chứng minh : a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD b) Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp đợc đờng tròn c) AC song song với FG d) Các đờng thẳng AC , DE BF đồng quy Đề số 17 Câu ( 2,5 điểm ) Cho biểu thức : A = a) Với giá trị a A xác định b) Rút gọn biểu thức A c) Với giá trị nguyên a A có giá trị ngun Câu ( điểm ) Một ô tô dự định từ A đền B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến sớm Tính quãng đờng AB thời gian dự định lúc đầu Câu ( điểm ) a) Giải hệ phơng trình : b) Giải phơng trình : Câu ( điểm ) Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC = 10 cm ;CB = 40 cm Vẽ nửa mặt phẳng bờ AB nửa đờng tròn đờng kính theo thứ tự AB , AC , CB có tâm lần lợt O , I , K Đờng vng góc với AB C cắt nửa đờng tròn (O) E Gọi M , N theo thứ tự giao điểm cuae EA , EB với nửa đờng tròn (I) , (K) Chứng minh : a) EC = MN b) MN tiếp tuyến chung nửa đờng tròn (I) (K) c) Tính độ dài MN d) Tính diện tích hình đợc giới hạn ba nửa đờng tròn ĐỀ 18 Câu ( điểm ) Cho biểu thức : A = 1) Rút gọn biểu thức A 2) Chứng minh biểu thức A dơng với a Câu ( điểm ) Cho phơng trình : 2x2 + ( 2m - 1)x + m - = 1) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn 3x1 - 4x2 = 11 2) Tìm đẳng thức liên hệ x1 x2 khơng phụ thuộc vào m 3) Với giá trị m x1 x2 dơng Câu ( điểm ) Hai ô tô khởi hành lúc từ A đến B cách 300 km Ơ tơ thứ chạy nhanh ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm ô tô thứ hai Tính vận tốc xe tơ Câu ( điểm ) Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O M điểm cung AC ( không chứa B ) kẻ MH vuông góc với AC ; MK vng góc với BC 1) Chứng minh tứ giác MHKC tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh 3) Chứng minh ∆ AMB đồng dạng với ∆ HMK Câu ( điểm ) Tìm nghiệm dơng hệ : ĐỂ 19 ( THI TUYỂN SINH LỚP 10 - THPT NĂM 2006 - 2007 - HẢI DƠNG - 120 PHÚT NGÀY 28 / / 2006 Câu ( điểm ) 1) Giải phơng trình sau : a) 4x + = b) 2x - x2 = 2) Giải hệ phơng trình : Câu 2( điểm ) 1) Cho biểu thức : P = a) Rút gọn P b) Tính giá trị P với a = 2) Cho phơng trình : x2 - ( m + 4)x + 3m + = ( m tham số ) a) Xác định m để phơng trình có nghiệm Tìm nghiệm lại b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn Câu ( điểm ) Khoảng cách hai thành phố A B 180 km Một ô tô từ A đến B , nghỉ 90 phút B , lại từ B A Thời gian lúc đến lúc trở A 10 Biết vận tốc lúc vận tốc lúc km/h Tính vận tốc lúc ô tô Câu ( điểm ) Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AD Hai đờng chéo AC , BD cắt E Hình chiếu vng góc E AD F Đờng thẳng CF cắt đờng tròn điểm thứ hai M Giao điểm BD CF N Chứng minh : a) CEFD tứ giác nội tiếp b) Tia FA tia phân giác góc BFM c) BE DN = EN BD Câu ( điểm ) Tìm m để giá trị lớn biểu thức ĐỂ 20 Câu (3 điểm ) 1) Giải phơng trình sau : a) 5( x - ) = b) x2 - = 2) Tìm toạ độ giao điểm đờng thẳng y = 3x - với hai trục toạ độ Câu ( điểm ) 1) Giả sử đờng thẳng (d) có phơng trình : y = ax + b Xác định a , b để (d) qua hai điểm A ( ; ) B ( - ; - 1) 2) Gọi x1 ; x2 hai nghiệm phơng trình x2 - 2( m - 1)x - = ( m tham số ) Tìm m để : 3) Rút gọn biểu thức : P = Câu 3( điểm) Một hình chữ nhật có diện tích 300 m2 Nếu giảm chiều rộng m , tăng chiều dài thêm 5m ta đợc hình chữ nhật có diện tích diện tích diện tích hình chữ nhật ban đầu Tính chu vi hình chữ nhật ban đầu Câu ( điểm ) Cho điểm A đờng tròn tâm O Kẻ hai tiếp tuyến AB , AC với đờng tròn (B , C tiếp điểm ) M điểm cung nhỏ BC ( M ≠ B ; M ≠ C ) Gọi D , E , F tơng ứng hình chiếu vng góc M đờng thẳng AB , AC , BC ; H giao điểm MB DF ; K giao điểm MC EF 1) Chứng minh : a) MECF tứ giác nội tiếp b) MF vng góc với HK 2) Tìm vị trí M cung nhỏ BC để tích MD ME lớn Câu ( điểm ) Trong mặt phẳng toạ độ ( Oxy ) cho điểm A ( -3 ; ) Parabol (P) có phơng trình y = x2 Hãy tìm toạ độ điểm M thuộc (P) độ dài đoạn thẳng AM nhỏ II, Các đề thi vào ban tự nhiên Đề CÂU : ( ĐIỂM ) GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH a) 3x2 – 48 = b) x2 – 10 x + 21 = 10  x − 3x − = − y  y − 3y − = − 2z  z − 3z − = − 3x  b) Giải phương trình sau: 3(x + 5)(x + 6)(x + 7) = 8x Bài 3: (2 điểm) Cho số dương a;b;c thỏa mãn a + b + c ≤ Chứng minh rằng: Bài 4: (3 điểm) 2009 + ≥ 670 2 a +b +c ab + bc + ca a) Giả sử a, b, c số thực thỏa mãn a, b, c ≠ o a + b + c = Chứng minh rằng: 1 + + = a b c a6 + b6 + c6 = abc a3 + b3 + c3 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x2 y2 z2 + + A= với x > 0; y > 0; z > xy + yz + zx = x+y y+z z+x Bài 5: (6 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O;R ) Điểm M thuộc cung nhỏ BC gọi I,K,H theo thứ tự hình chiếu vng góc M AB; AC; BC Gọi P, Q trung điểm AB; HK a) Chứng minh MQ ⊥ PQ b) Chứng minh : AB AC BC + = MI MK MH c) Cho tam giác ABC Xác định vị trí điểm M cung BC để MA + MB + MC đạt giá trị lớn HƯỚNG DẴN GIẢI x ≥  a) ĐK: y ≥ A = x ≠ y  A=  x + xy + y  x − xy + y  x+ y− :  x+ y  x+ y   x + y + xy − x − xy − y x+ y xy A= x − xy + y x+ y x − xy + y b) Do:  xy y ≥0  + y > => A = xy ≥ , x − xy + y =  x −  x − xy + y    ( x − 2)( x + 1) = − y  x3 − 3x − = − y   2 a) Biến đổi tương đương hệ ta có:  y − y − = − z ⇔ ( y − 2)( y + 1) = 2(2 − z )  z − 3z − = − 3x ( z − 2)( z + 1) = 3(2 − x)   Nhân vế phương trình với ta được: (x - 2)(y - 2) (z - 2)(x+1)2(y+1)2(z+1)2= - 6(x - 2)(y - 2) (z - 2) ⇔ (x - 2)(y - 2) (z - 2) [(x + 1) (y + 1) (z + 1) + 6] = ⇔ (x - 2)(y - 2) (z - 2) = ⇔ x = y = z = 66 Với x = y = z = thay vào hệ ta x = y = z = Vậy: với x = y = z = thỏa mãn hệ cho b) Giải phương trình sau: 3(x + 5)(x + 6)(x + 7) = 8x 9(x + 5)(x + 6)(x + 7) = 24x Đặt y = x + đặt y = x + Có nghiệm x = -9 a Áp dụng (a + b + c)( + 1 + ) ≥ Ta có b c 2 + )( a + b + c + ab + 2bc + 2ca) ≥ ⇒ + ≥ ≥ (1) 2 2 ab + bc + ca ab + bc + ca (a + b + c)2 a +b +c a +b +c Mặt khác từ (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 ≥ => ab+bc+ca ≤ a2+b2+c2 (a + b + c) 2007 2007 ≤3⇒ ≥ = 669 => ab + bc + ca ≤ (2) ab + bc + ca 2009 ≥ 670 dấu = xảy a = b = c = Từ (1) (2) ta có 2 + a +b +c ab + bc + ca ( a) * a + b + c = => a + b = -c => (a + b)3 = -c => a3 + b3 + c3 = -3ab(a + b) = 3abc * 1 + + = => ab + bc + ca = a b c * a6 + b6 + c6 = (a3 )2 + (b3)2 + (c3)2 = (a3 + b3 + c3)2 – 2(a3b3 + b3c3 + c3a3) * ab + bc + ca = => a3b3 + b3c3 + c3a3 = 3a2b2c2 Do * a6 + b6 + c6 = (3abc)2 – 2.3a2b2c2 = 3a2b2c2 + Vậy: b) + Biến đổi để được: a + b + c 3a b c = = abc a + b + c3 3abc  xy yz zx  + + ÷ (1) x +y y +z x +z  A = x + y + z − + Chứng minh được: x + y + z ≥ xy + yz + zx > (2) + Thay (2) (3) vào (1) A ≥ x = y = z  ⇔  xy + yz + zx =1  1 ⇔x = y =z = Do đó: Min A = + Vậy Amin = · · · · · a) Tứ giác MCKH nội tiếp ⇒ BCM = HKM = ·BAM; HMK = BCA = BMA ⇒ HMK Mặt khác MP, MQ trung tuyến ∆ BMA, ∆ HMK ∆ BMA ∆ MP MB · · = BMH = PMQ ⇒ ∆ BMH ∆ PMQ MQ MH · · Mặt khác BHM = 90 ⇒ PQM = 90 ⇒ PQ ⊥ MQ b) Giả sử AC ≥ AB ta có: AB AC AI − BI AK + KC AI AK (1) + = + = + MI MK MI MK MI MK BI KC · · · · = ) ( Do MBI = MCK ⇒ cotg MBI = cotgMCK ⇒ MI MK ⇒ 67 AI CH µ µ µ µ = Do C1 = A1 nªn cotgA1 = cotgC1 ⇒ ( 2) MI MH AK BH µ µ µ µ = (3) A = B1 nªn cotgA = cotgB ⇒ MK MH AB AC CH BH BC + = + = c) Từ (1),(2) (3) suy MI MK MH MH MH Gọi D giao điểm MA với BD ta có : · · ∆ MAC ( BMD = AMC, ∆ MBD Tương tự ta có : MC CD = MA AB Do ·DBM = CAM · ) ⇒ MB BD = MA AC MB MC + =1 MA MA Suy MA + MB + MC = 2MA ≤ 4R Vậy max (MA + MB + MC) = 4R AM đường kính M trung điểm cung BC Đề 20    a + a + − 2a M =  a +1 −  + − a Cho biÓu thøc:    a a +    Bài 1: (4 im) a b Tìm điều kiện biểu thøc M cã nghÜa Chøng minh r»ng biÓu thøc M không phụ thuộc vào a Bi 2: (5 im) x − 3x + x − x + − =− x − 4x + x − 6x + x  x + y2 + y =  b) Giải hệ phương trình :   x+ + x =3  y y  a) Giải phương trình : Bài 3: (4 điểm) Ba số x;y;z thoả mản hệ thức : x + y + z = Xét biểu thức :P= x+y2+z3 a.Chứng minh rằng: P ≥ x+2y+3z-3? b.Tìm giá trị nhỏ P? Bài 4: (5 điểm) Cho nửa đường trịn (O), đường kính AB tia tiếp tuyến Bx nửa đường Trên tia Bx lấy điểm C, D (C: nằm B D) Các tia AC AD cắt đường tròn E F; hai dây AE BF cắt M Hai tia AF BE cắt N Chứng minh rằng: a) MN // Bx b) Tứ giác CDFE nội tiếp Bài 5: (2 điểm) Cho tam giác có số đo cạnh 6; 10 Tính khoảng cách từ tâm đường trịn ngoại tiếp đến tâm đường tròn nội tiếp tam giác HƯỚNG DẴN GIẢI a ≠ M a > −1  §iỊu kiƯn:    a + −   a + a + − 2a + a − a    a + a + − 2a =  a +1 − + − a÷=  ÷ ÷ ÷  a a a +1      a +1  KÕt luËn: biểu thức M không phụ thuộc vào a ữ= ÷  a +1 =3 a a +1 a 68 a) Chia tử mẫu hai phân thức cho x đặt biến phụ b) Điều kiện y ≠  x 1 x x + + = ⇔  x +  = + (1)   y y y y  x+  x 1 x + =3⇔ x +  −3= −   y y y y  (2)    1   1 1 Cộng (1) (2) vế với vế ta được:  x +  +  x +  − = ⇔  x + +  x + −  =      y y y y         x +   x +  Từ 1  +3 =0 x + y = −3( 3) y ⇔  1  −2 =0  x + y = 2( ) y    x + y = −3 ⇔ (3) (2) ta có:  x  =6 y  Từ (4) (2) ta có 6 y + y + = 0(*)  x = y vô nghiệm ⇒ hệ vô nghiệm  x + y = −3 y − y + =  ⇔ ⇔ x = y = 1; hệ   x =1 x = y y  có nghiệm x = y = 1; a) Xét nghiệm P=(x+y2+x3)= y2-2y+z3-3z+3=(y2-2y+1)+(z3-3x+2)=(y-1)2+(z-1)2(x+2) ≥ x+2>0) Vậy P ≥ x+2y+3z-3 b) áp dụng BĐT Bu nhi a Cốp ski ta có        2 (x+2y+3z)( x + y + z ) =[( x ) + ( y ) + ( 3z ) ]   +   +    ≥  y   y   z           1  2    +  z  = (1 + + 3) =36  x  +  y  x  y  z         => x+2y+3z ≥ 36 : = =>P ≥ x + y + 3z − ≥ − = Đẳng thức xảy khi:     y = z =1   + + =6 ⇔x = y = z =1  x y z   x 2y 3z = =    x y z  Vạy giá trị nhỏ P=3 x=y=z=1 a) Trong tam giác ABN ta có: x N C F E M 69 B A ∠ AEB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) AE ⊥ BN (1) ∠ AFB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) BF ⊥ AN (2) Từ (1) (2) => M trực tâm tam giác ABN => MN ⊥ AB => MN //Bx (Vì vng góc với AB) b) Ta có: ∠ DFE + ∠ BFE = ∠ DFE + ∠ BAE = 900 ∠ BCA + ∠ BAC = ∠ BCA + ∠ BAE = 900=> ∠ DFE = ∠ BCA Khi tứ giác CDFE ta có: ∠ DCE + ∠ DFE = ∠ DCE + ∠ BCA = 1800 => Tứ giác CDEF tứ giác nội tiếp a) Ta có: BC = AB + AC ⇔ 102 = 62 + 82 B ⇔ ∆ABC vuông A, nên trung điểm O cạnh huyền BC tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, D, E, F tiếp điểm đường tròn nội tiếp (I) cạnh BC, AC, AB, S, p, r diện tích, F nửa chu vi, bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC, ta có: r 2 6.8 + + 10 = r ⇒ r = S = pr ⇔ 2 D O r 10 I r Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: BD = BF, CD = CE, AE = AF Suy ra: BD + CE + AF = p ⇔ BD + (CE + AE) = p ⇔ BD + AC = p ⇔ BD = p – AC = p – b = 12 – = Do OD = OB – OD = – = Theo định lý Pi-ta-go tam giác vuông OID, ta có: OI2 = OD2 + ID2 = 12 + 22 = ⇒ OI = Vậy OI = Đề 21  x+ y A x− y   E C x + y + 2xy  ÷  + ÷: 1 + Cho biểu thức M =   − xy − xy + xy ÷    a) Tìm điều kiện xác định M rút gọn biểu thức M b) Tìm giá trị M với x = + 2 Bài 1: (4 điểm) 70  x + y +1 x + y + =2  a) Giải hệ phuơng trình:  x + y x + y + 3 x + y =  Bài 2: (5 điểm) Bài 3: (2 điểm) b) Tìm (x;y) thoả mãn ( x y − + y x − ) = xy Cho a, b,c số thực dương Chứng minh rằng: 1 (1 + ) + (1 + ) + (1 + ) ≥ 3(1 + )4 a b c + abc a) Cho số không âm x, y, z thỏa mãn: x + y + z ≤ Bài 4: (4 điểm) Tìm giá trị lớn A = + x + + y + + z + 3( x + y + z ) b) Giải phương trình nghiệm nguyên x2y2-x2 -8y2 = 2xy (1) Bài 5: (5 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường thẳng (d) không qua tâm O cắt đường tròn (O; R) hai điểm phân biệt A, B Điểm M chuyển động (d) nằm ngồi đường trịn (O; R), qua M kẻ hai tiếp tuyến MN MP tới đường tròn (O; R) (N, P hai tiếp điểm) a) Chứng minh tứ giác MNOP nội tiếp đường tròn, xác định tâm đường trịn b) Chứng minh MA.MB = MN2 c) Xác định vị trí điểm M cho tam giác MNP d) Xác định quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP HƯỚNG DẴN GIẢI a) + Đặt ĐKXĐ hệ  x + y +1 x + y + =2  x + y +1  x +2y 3 x + y =  (x+2y)(x+y+1) ≠ x + y +1 x + y ( x + y + 1) + ( x + y ) + =2⇔ =2 + Biến đổi phương trình x + y x + y +1 ( x + y + 1)( x + y ) ⇔ ( x + y + 1) + ( x + y ) = 2( x + y + 1)( x + y ) ⇔ [ ( x + y + 1) − ( x + y ) ] = ⇔ ( − y ) = ⇔ y = 2 + Thay y = vào phương trình 3x + y = ta tìm đợc x = + Đối chiếu điều kiện kết luận nghiệm hệ (1; 1) b) + Điều kiên xác định: x ≥ y ≥ (*) + Đặt a = x − 4; b = y − với a b số khơng âm điều kiện đề trở thành ( a + ) b + ( b + ) a  = ( a + ) ( b + )   ⇔ ( a + ) b + ( b + ) a    (a + 4) ( b2 + 4) + Với a; b =1 ⇔ 2b 2a 4b 4a + =1 ⇔ + = (1) b +4 a +4 b +4 a +4 4b 4a 4b 4a ≤ 1; ≤ Do từ (1) suy = = (2) b +4 a +4 b +4 a +4 Giải (2) ta a = b = Do x = y = + Kiểm tra giá trị x, y thoả mãn điều kiện đề Vậy cặp số (8; 8) cặp số cần tìm 71 a b c Cho a, b,c số thực dương Chứng minh rằng: (1 + )4 + (1 + )4 + (1 + ) ≥ 3(1 + )4 + abc  1 1 1  Áp dụng BĐT Cô-si cho số dương ta có: (1 + )4 + (1 + ) + (1 + ) ≥  (1 + )(1 + )(1 + ) ÷  a b c a b c ÷   1 )3 Ta chứng minh: (1 + )(1 + )(1 + ) ≥ (1 + (*) a b c + abc 1 1 1 1 1 Lại theo BĐT Cô-si ta có: (1 + )(1 + )(1 + ) = + + + + + + + a b c a b c ab bc ca abc 3 1 3 ≥ 1+ + + = (1 + ) ≥ (1 + )3 abc + abc abc abc (abc) ( abc+2 = abc+1+1 ≥ 3 abc ) Vậy (*)được chứng minh BĐT cho với a,b,c>0 Đẳng thức xảy a=b=c=1 a) Cho số không âm x, y, z thỏa mãn: x + y + z ≤ Tìm giá trị lớn A = + x + + y + + z + 3( x + y + z ) Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xky, ta được: + x + x ≤ (1 + 1)(1 + x + x) = 2( x + 1) Tương tự: + y + y ≤ (1 + 1)(1 + y + y ) = 2( y + 1) + z + z ≤ (1 + 1)(1 + z + z ) = 2( z + 1) Bởi A = + x + + y + + x + 3( x + y + z ) ≤ 2( x + y + z + 3) − 2( x + y + z ) + 3( x + y + z ) = + (3 − 2)( x + y + z ) ⇒ A ≤ +(3- ) (1 + + 1)( x + y + z ) ≤ + ( - )3 = + (Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xky giả thiết x + y + z ≤ ) Vậy giá trị lớn A : + , x = y = z = b) Nhận thấy x=y=0 nghiệm Với x,y ≠ (1) y2 ( x2- 7)= (x+y)2 (2) (2) ⇒ x2 – phải bình phương số nguyên x + a =7  Hay: x2 – = a2 ⇔ x2 – a2 = ⇔ ( x − a )( x + a) = ⇒   x − a =1  ⇒ x = ⇒ x = ±4 • Thay x =- 4, ta được: y=1; y=-2 • Thay x = 4, ta được: y= 1; y=2 Vậy phương trình có nghiệm nguyên là: (0; 0); (-4; 1); ( -4; -2); (4; 1); (4; 2) 72 a, b) Dễ c) Tam giác MNP OM = 2R d) Quỹ tích tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác MNP đường thằng d’ song song với đường thẳng d (trừ điểm bên đường tròn) Đề 22 Bài 1: (4 điểm) Cho biÓu thøc : A = ( x+x x x −1 a Rót gọn biểu thức b Tính giá trị A x = + Bài 2: (5 điểm) a) −  x +2   ): x −1  x + x + 1    ( x + 1) ( y + ) = (1)  b) Giải hệ phương trình: ( y + ) ( z + 3) = (2) (I)  ( z + 3) ( x + 1) = (3)  Bài 3: (4 điểm) a) Cho xyz = x + y + z = Tìm GTNN B8 = x16 + y16 + z16 a +b −c b+c − a c + a −b = = c a b  b  c   a  Tính giá trị biểu thức: P = 1 + ÷1 + ÷1 + ÷  a  b   c  b) Cho a, b, c thoả mãn: Bài 4: (5 điểm) Cho đường trịn (O) có đường kính AB = 2R điểm C thuộc đường trịn (C khác A, B) Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C) Tia AD cắt cung nhỏ BC điểm E, tia AC cắt tia BE điểm F 1) Chứng minh FCDE tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh DA.DE = DB.DC · · 3) Chứng minh CFD = OCB Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE, chứng minh IC tiếp tuyến đường tròn (O) Bài 5: (2 điểm) 73 Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là: BC = a, CA = b, AB = c chu vi tam giác 2P Chứng minh rằng: P P P + + ≥9 P−a P−b P−c HƯỚNG DẴN GIẢI b) Nhân (1) (2) (3) ta có:[(x + 1)(y + 2)(z + 3)]2 = 36 (x + 1)(y + 2)(z + 3) = (x + 1)(y + 2)(z + 3) = -6 Với (x + 1)(y + 2)(z + 3) = hệ (I) là: z +3 =3 z =   x +1 = ⇔  x = y + = y =   Với (x + 1)(y + 2)(z + 3) = - hệ (I) là:  z + = −3  z = −6    x + = −1 ⇔  x = −2  y + = −2   y = −4  Vậy nghiệm hệ (0 ; ; 0) (-2 ; -4 ; -6) a) Ta có : (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 ≥ ∀a,b,c⇔ a2 + b2 + c2 ≥ ab + ac + bc (1) áp dụng bất đẳng thức (1) ta có : B8 = x16 + y16 + z16 = (x8)2 + (y8)2 + (z8)2 ≥ x8y8 + y8z8 + z8x8⇔ B8 ≥ x8y8 + y8z8 + z8x8 ⇔ B8 ≥ (x4y4)2 + (y4z4)2 + (z4x4)2 ≥ x4y4 y4z4+ x4y4 z4x4 + y4z4 z4x4 ⇔ B8 ≥ x4y8z4 + x8y4z4 + x4y4z8⇔ B8 ≥ (x2y4z2)2 + (x4y2z2)2 + (x2y2z4)2 ≥ x6y6z4 + x6y4z6 + x4y6z6 ⇔ B8 ≥ (x3y3z2)2 + (x2y3z3)2 + (x3y2z3)2 ≥ x5y6z5 + x6y5z5 + x5y5z6 ⇔ B8 ≥ (xyz)5.x + (xyz)5.y + (xyz)5.z = x + y + z = 3(do xyz = x + y + z = 3) ⇒ B8min = ⇔ x = y = z = a+b−c b+c−a c + a −b +2= +2= +2 c a b Xét hai trường hợp * Nếu a + b + c = ⇒ a + b = -c b) Từ gt ta có suy a+b+c b+c+a c+a+b = = c a b b+c=-a c + a = -b 74  b  c  a  a + b  b + c  c + a  (−c ) (−a ) (−b) P = 1 + ÷1 + ÷1 + ÷ =  ÷ ÷ ÷= a b c  a  b   c   a  b  c  * Nếu a + b + c ≠ ⇒ a = b = c ⇒ P = 2.2.2 = = − abc = -1 abc * Cm bđt: x + y ≥ x + y với x > 0, y > Ta có (x - y)2 ≥ ∀x,y ⇔ x2 + y2 -2xy ≥ ⇔ (x + y)2 ≥ 4xy ⇔ x+y 1 ≥ ⇔ + ≥ với ∀x ; y xy x+y x y x+y * Áp dụng : 75 1 4  + ≥ =  P −a P −b P −a +P −b c  1 4 1 1 1 1 + ≥ ⇒ + + ≥2  + + ÷ P −b P −c c P −a P −b P −c b c a 1 4 + ≥  P −a P −b c P P P 1 P P P 1 1 1 ⇔ + + ≥ 2P  + + ÷ ⇔ + + ≥ ( a + b +c )  + + ÷≥ ( +1 +1) = P −a P −b P −c b c P −a P −b P −c b c a a (Áp dụng Bunhacopski) Dấu xảy ⇔ a2 = b2 = c2 ⇔ a = b = c Đề 23  Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức: A =  x x x −4 x − x −6 + 10 − x    ÷:  x − + ÷ x +2  x +2 1 Rút gọn biểu thức A Tìm x cho A < Bài 2: (5 điểm) 1  x+ y+ + =  x y  a) Giải hệ phương trình:   xy + =  xy  b) Giải phương trình: (x + 1)4 = 2(x4 + 1) Bài 3: (4 điểm) Số thực x thay đổi thỏa mãn điều kiện x + (3 -x)2 ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x4 + (3-x)4 + 6x2(3-x)2 (2đ) Cho số dương a, b, c biết Chứng minh rằng: abc ≤ a b c + + ≤1 1+ a 1+ b 1+ c Bài 4: (5 điểm) Cho tam giác MNP có ba góc nhọn điểm A, B, C hình chiếu vng góc M, N, P NP, MP, MN Trên đoạn thẳng AC, AB lấy D, E cho DE song · · song với NP Trên tia AB lấy điểm K cho DMK = NMP Chứng minh rằng: a MD = ME 2) Tứ giác MDEK nội tiếp Từ suy điểm M tâm đường trịn bàng tiếp góc DAK tam giác DAK Bài 5: (2 điểm) Trên đường tròn (O) lấy hai điểm cố định A C phân biệt Tìm vị trí điểm B D thuộc đường trịn để chu vi tứ giác ABCD có giá trị lớn HƯỚNG DẴN GIẢI a) Điều kiện xy ≠ Hệ cho 2[xy ( x + y ) + ( x + y )] = xy (1)  (2) 2( xy ) −5 xy + = 76 Giải PT(2) ta được: Từ (1)&(4)  xy = (3)   xy = (4) Từ  (1)&(3)  x =1  x + y = y = ⇔ có: xy = x =    y =1   x =1    y = x+y =     2 ⇔ có:  xy = x =      y =1  Vậy hệ cho có nghiệm là: ( x; y ) = (1; 2), (2; 1), (1; 1/ 2), (1/ 2; 1) b) Khai triển rút gọn chia hai vế cho x2 Đặt x + 1/x = y Có nghiệm x = + ± + 3 1) Đặt y =3-x tốn cho trở thành: tìm GTNN biểu thức: x + y = P= x4 + y4 + 6x2y2 x, y số thực thay đổi thỏa mãn:  2 x + y ≥  x + y + xy =  Từ hệ thức ta có:  2 ⇒ (x2 + y2) + 4(x2 + y2 + 2xy) ≥ + 4.9 =41 x + y ≥  ⇒ 5(x2 + y2) + 4(2xy) ≥ 41 Mặt khác 16 (x2 + y2) + 25(2xy)2 ≥ 40(x2 + y2)(2xy) (1) Dấu đẳng thức xảy ⇔ (x2 + y2) =5(2xy) Cộng hai vế (1) với 25 (x2 + y2) + 16(2xy)2 ta được: 41[ (x2 + y2) + (2xy)2] ≥ [5(x2 + y2) + 4(2xy)]2 ≥ 412 hay (x2 + y2)2 + (2xy)2 ≥ 41 ⇔ x4 + y4+6x2y2 ≥ 41 x + y =  ( x; y ) = (1; 2)  2 ⇔ Đẳng thức xảy ⇔  x + y =  ( x; y ) = (2;1) 4( x + y ) = 5(2 xy )  Do giá trị nhỏ P 41 đạt ⇔ x=1 x=2 Theo giả thiết a b c b c a + + ≤1⇒ + ≤ 1− = 1+ a 1+ b 1+ c 1+ b 1+ c 1+ a a +1 Do b > 0; c > nên theo bất đẳng thức cơsi ta có: b c bc bc + ≥2 >0⇒ ≥2 >0 1+ b 1+ c (1 + b)(1 + c) 1+ a (1 + b)(1 + c) (1) ac ≥2 >0 1+ b (1 + a )(1 + c ) (2) ab ≥2 >0 1+ c (1 + a )(1 + b) Tương tự ta chứng minh (3) Từ (1); (2); (3) ta chứng minh 1 abc ≥8 => ≥ 8abc ⇒ abc ≤ => đpcm 1+ a 1+ b 1+ c (1 + a )(1 + b)(1 + c) · · Ta dễ dàng chứng minh tứ giác MBAN nội tiếp ⇒ MAB = MNB , MCAP nội tiếp · · ⇒ CAM = CPM 77 · · Lại có BNM = CPM (cùng phụ góc NMP) · · (1) ⇒ CAM = BAM Do DE // NP mặt khác MA ⊥ NP ⇒ MA ⊥ DE (2) Từ (1), (2) ⇒ ∆ADE cân A ⇒ MA trung trực DE ⇒ MD = ME · · Do DE//NP nên DEK = NAB , mặt khác tứ giác MNAB nội tiếp nên: M K B C D E · · · · NMB + NAB = 1800 ⇒ NMB + DEK = 1800 · · · · Theo giả thiết DMK = NMP ⇒ DMK + DEK = 1800 N P A ⇒ Tứ giác MDEK nội tiếp Do MA trung trực DE ⇒ ∆ MEA = ∆ MDA · · · · ⇒ MEA = MDA ⇒ MEK = MDC · · · · Vì MEK = MDK ⇒ MDK = MDC ⇒ DM phân giác góc CDK, kết hợp với AM phân giác DAB ⇒ M tâm đường tròn bàng tiếp góc DAK tam giác DAK ¼ Khơng tổng quát giả sử:AB ≤ AC Gọi B’ điểm cung ABC ⇒ AB' = CB' · · · Trên tia đối BC lấy điểm A’ cho BA’ = BA ⇒ AB + BC = CA ' Ta có: B 'BC = B ' AC = B 'CA · · (1) ; B'CA + B 'BA = 1800 (2) · · · · (3);Từ (1), (2), (3) ⇒ B 'BA = B 'BA ' B'BC + B'BA ' = 180 Hai tam giác A’BB’ ABB’ ⇒ A 'B ' = B ' A Ta có ⇒ B 'A + B 'C = B ' A '+ B 'C ≥ A 'C = AB + BC ( B’A + B’C khơng đổi B’, A, C cố định) Dấu “=” xảy B trùng với B’ ¼ Hồn tồn tương tự gọi D’ điểm cung ADC ta có AD’ + CD’ ≥ AD + CD Dấu “=” xảy D trùng với D’ » ⇒ Chu vi tứ giác ABCD lớn B, D điểm cung AC đường tròn (O) A' B' B O C A Đề 24    x D' D  − x : + Cho biểu thức: B =     1− x 1+ x 1− x      a) Rút gon biểu thức B b) Tìm giá trị x để biểu thức B = Bài 1: (4 điểm) 78 Bài 2: (5 điểm) a) Giải hệ phương  2 + x = y  trình:  x3 − =  y  b) Giải phương trình nghiệm nguyên: x3 - y3 - 2y2 - 3y -1 = Bài 3: (2 điểm) a) Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa món: a + b + c = Tìn giá trị nhỏ biểu thức: P = a +b + c + Bài 4: (3 điểm) ab +bc +ca a 2b +b 2c +c a Bài 6: (5 điểm) Cho đường trịn tâm (O) đường kính AB, xy tiếp tuyến B với đường tròn, CD đường kính Gọi giao điểm AC AD với xy theo thứ tự M, N a) Chứng minh rằng: MCDN tứ giác nội tiếp đường tròn b) Chứng minh rằng: AC.AM = AD.AN c) Gọi I đường tâm tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN Khi đường kính CD quay quanh tâm O điểm I di chuyển đường trịn ? HƯỚNG DẴN GIẢI 2 + x = z  ⇒ 3( x − z ) = z − x3 a) Đặt y = z Hệ cho trở thành  2 + z = x  2 ⇔ ( x − z ) x + xz + z + = ⇔ x = z (vì x + xz + z + > 0, ∀x, z ) ( )  x = −1 x = Từ ta có phương trình: x − 3x − = ⇔  Vậy hệ cho có nghiệm: ( x, y ) = (−1; −2), ( 2,1) b) Phương trình cho tương đương với : x3 = y3 + 2y2 + 3y +1 Nhận xét rằng: y ≥ ⇒ x ≤ y + y + y + + y = ( y + 1)3 (2) y + > ⇒ x3 > y + y + y + − (5 y + 2) = ( y − 1)3 (3) Từ (2) (3) suy ra: ( y − 1)3 < x3 ≤ ( y + 1)3 , Vì y ∈Z (1) 2 y + y + =  x3 = y  y3 + y + y +1 = y3  y = −1 (vi y ∈ Z)  y = −1 ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ ⇔ 3 y = y =  x = ( y + 1)  y + y + y + = ( y + 1) y = Với y = -1 ⇒ x= -1 Với y = ⇒ x= Vậy phương trình có cặp nghiệm ngun (-1; -1) (1; 0) Ta có: 3(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2) = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2 79 mà a3 + ab2 ≥ 2a2b b3 + bc2 ≥ 2b2c c3 + ca2 ≥ 2c2a (áp dụng BĐT Côsi ) 2 Suy 3(a2 + b2 + c2) ≥ 3(a2b + b2c + c2a) > Suy P ≥ a + b + c + ab + bc + ca a + b2 + c − (a + b2 + c ) 2(a + b + c ) Đặt t = a2 + b2 + c2, ta chứng minh t ≥ 9−t t t = + + − ≥ 3+ − = ⇒ P ≥ Suy P ≥ t + 2t 2t 2 2 Dấu xảy a = b = c = Vậy giá trị nhỏ P ⇒ P ≥ a + b2 + c2 + 6.a) ∆ ABM vuông B => ∠ BMA + ∠ BAM = 900 ∆ OAC cân O => ∠ ACD = ∠ BAM=> ∠ BMA + ∠ ACD = 900 ∆ ADC vuông A => ∠ ADC + ∠ ACD = 900 => ∠ BMA = ∠ ADC ∠ ADC + ∠ NDC = 1800 80 ... minh ∆ MCD Bài Hãy xây dựng tập hợp gồm điểm có tính chất : Đường trung trực đoạn thẳng nối hai điểm ln đI qua hai điểm tập hợp Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên Lý 198 9- 199 0 Bài Tìm tất giá trị nguyên... giải x = 0, x = −2, x = 19 Với x = y = x + = Với x = −2 y = x + = −6 Với x = 19 y = x + = 99 Vậy, nghiệm hệ ( x; y ) = ( 0; ) , ( −2;6 ) , ( −2; −6 ) , ( −5 ;9 ) , ( 19; 99 ) Vì a ; b ; c số dương... Hãy tính tỷ số Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 199 6 Đại học khoa học tự nhiên Bài Cho x > tìm giá trị nhỏ biểu thức 16 Bài Giải hệ phương trình Bài Chứng minh với n nguyên dương ta có : n3 + 5n Bài