83 BÀI TOÁN HÌNH H󰗍C KHÔNG GIAN TUY󰗃N CH󰗍N LUY󰗇N THI 󰖡I H󰗍C NM 2014 Nguy󰗆n Tùng Giang 1 WWW.VINAMATH.COM Chuyên 󰗂 luy󰗈n thi 󰖢i h󰗎c 󰜔 󰗂 và áp án 󰜔 Tài li󰗈u 󰜧 PHẦN A: RUYỆN KỸ NĂNG CƠ BẢN 1/ Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A 1 B 1 C 1 . Mặt phẳng (A 1 BC) tạo với đáy một góc 30 0 và tam giác A 1 BC có diện tích bằng 8. Tính thể tích V của khối lăng trụ. [ ĐS: V= 8 3 ] 2/ Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 có chiều cao bằng h, góc giữa hai đường chéo của hai mặt bên kề nhau kẻ từ một đỉnh bằng α , 0 0 < α < 90 0 . Tính thể tích V của khối lăng trụ. [ ĐS: V = 3 (1 cos ) cos hα α 󽜮 ] 3/ Cho khối hộp ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a và 󽞸 󽞸 󽞸 1 1 A AB BAD A AD󽜾 󽜾 = 60 0 . Tính thể tích v của khối hộp đã cho. [ ĐS: V = 3 3 4 a ] 4/ Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A 1 B 1 C 1 có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, đỉnh A 1 cách đều các đỉnh A, B, C, cạnh bên AA 1 tạo với đáy một góc 60 0 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. [ ĐS: V = 3 3 12 a ] 5/ Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A 1 B 1 C 1 có cạnh đáy bằng a, đường chéo BC 1 của mặt bên (BCC 1 B 1 ) tạo với mặt bên ( ABB 1 A 1 ) một góc bằng 30 0 . Tính thể tích V của khối lăng trụ. [ ĐS: V = 3 6 4 a ] 6/ Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A 1 B 1 C 1 có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, hình chiếu vuông góc của A 1 lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với AA 1 cắt hình lăng trụ theo một thiết diện có diện tích bằng 2 8 a 3 . Tính thể tích V của khối lăng trụ. [ ĐS: V = 3 3 12 a ] VINAMATH.COM VINAMATH.COM 83 BÀI TOÁN HÌNH H󰗍C KHÔNG GIAN TUY󰗃N CH󰗍N LUY󰗇N THI 󰖡I H󰗍C NM 2014 Nguy󰗆n Tùng Giang 2 WWW.VINAMATH.COM Chuyên 󰗂 luy󰗈n thi 󰖢i h󰗎c 󰜔 󰗂 và áp án 󰜔 Tài li󰗈u 󰜧 7/ Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAC. Khoảng cách từ G đến mặt bên SCD bằng 6 a 3 . Tính khoảng cách d từ điểm O đến mặt phẳng (SDC) và thể tích V của khối chóp S.ABCD, với O là tâm của đáy ABCD. [ ĐS: d = 3 4 a ; V = 3 3 6 a ] 8/ Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA = 2a. Tam giác ABC vuông ở C, AB = 2a, 󽞸 0 30CAB 󽜾 . Gọi K và H là hình chiếu vuông góc của A lên SC và SB. Tính thể tích V khối chóp S.AHK. [ ĐS: V = 3 2 3 21 a ] 9/ Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a, đáy ABC là tam giác vuông cân với AB = BC = a. Gọi B 1 là trung điểm của SB, C 1 là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAC. a/ . Tính thể tích V 1 của khối chóp S. ABC. [ ĐS: V 1 = 3 6 a ] b/ Tính thể tích V của khối chóp S. AB 1 C 1 . [ ĐS: V 2 = 3 24 a ] 10/ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a và 󽞶 󽞶 B C α󽜾 󽜾 , các cạnh bên cùng nghiêng trên đáy một góc β . Tính thể tích V của khối chóp đã cho. [ ĐS: V = 3 cos .tan 6 a α β ] 11/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, 󽞸 BAD = 60 0 , SA 󽝟 (ABCD), SA = a. Gọi C 1 là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua AC 1 và song song với BD cắt SB, SD tại B 1 , D 1 . Tính thể tích V khối chóp S.A B 1 C 1 D 1 . [ ĐS: V = 3 6 3 a ] 12/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, SA 󽝟 (ABCD), góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 60 0 . Lấy M thuộc SA sao cho AM = 3 3 a . Mặt phẳng (BCM) cắt SD tại N. Tính thể tích V khối chóp S.BCNM. VINAMATH.COM VINAMATH.COM 83 BÀI TOÁN HÌNH H󰗍C KHÔNG GIAN TUY󰗃N CH󰗍N LUY󰗇N THI 󰖡I H󰗍C NM 2014 Nguy󰗆n Tùng Giang 3 WWW.VINAMATH.COM Chuyên 󰗂 luy󰗈n thi 󰖢i h󰗎c 󰜔 󰗂 và áp án 󰜔 Tài li󰗈u 󰜧 [ ĐS: V = 3 4 3 27 a ] 13/ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và SA 󽝟 (ABC). Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Mặt phẳng (P) qua A vuông góc với SI cắt SB, SC lần lượt tại M, N. Cho biết tỉ số thể tích giữa hai khối chóp S.MNA và S.BCA bằng 1 4 , tính thể tích V khối chóp S.ABC. [ ĐS: V 1 = 3 8 a ] 14/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, SA 󽝟 (ABCD) và SA = 2a. Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. [ ĐS: R = 3 2 a ] 15/ Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = OB = a, 󽞸 OCB α󽜾 . a/ Tính thể tích V khối tứ diện OABC. [ ĐS: V = 3 cot 6 a α ] b/ Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. [ ĐS: R = 2 8 cot 2 a α󽜬 ] 16/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. [ ĐS: R = 7 2 3 a ] 17/ Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, 󽞸 ASB α󽜾 . Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. [ ĐS: R = 2 2. 2 sin .sin 2 2 a α α 󽜮 ] 18/ Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 60 0 . a/ Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. [ ĐS: R = 2 6 a ] b/ Tính thể tích V của khối cầu và diện tích xung quanh S của mặt cầu nói trong câu a/. VINAMATH.COM VINAMATH.COM 83 BÀI TOÁN HÌNH H󰗍C KHÔNG GIAN TUY󰗃N CH󰗍N LUY󰗇N THI 󰖡I H󰗍C NM 2014 Nguy󰗆n Tùng Giang 4 WWW.VINAMATH.COM Chuyên 󰗂 luy󰗈n thi 󰖢i h󰗎c 󰜔 󰗂 và áp án 󰜔 Tài li󰗈u 󰜧 [ V = 3 4 3 Rπ ; S = 2 4 Rπ ] 19/ Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A 1 B 1 C 1 có tất cả các cạnh đều bằng a. a/ Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình hình lăng trụ . [ ĐS: R = 7 2 3 a ] b/ Tính thể tích V của khối cầu và diện tích xung quanh S của mặt cầu nói trong câu a/. [ V = 3 4 3 Rπ ; S = 2 4 Rπ ] 20/ Cho hình lập phương ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 có cạnh bằng 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD; gọi Q là giao điểm của AB và CN. a/ Tính thể tích V 1 của khối chóp Q.BB 1 C và thể tích V 2 của khối chóp Q.BB 1 M, b/ Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AM và B 1 C. [ ĐS: a/ V 1 = 3 8 3 a ; V 2 = 3 4 3 a ; b/ d = 2 3 a ] 21/ Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông. Diện tích xung quanh của hình trụ bằng 4 π . a/ Tính thể tích V và diện tích toàn phần S của hình trụ. b/ Tính thể tích V 1 của khối cầu ngoại tiếp hình trụ. [ ĐS: a/ V = 2π ; S = 6π ; V 1 = 8 2 3 π ] 22/ Một hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao bằng R 3 . a/ Tính diện tích xung quanh S và thể tích V của khối trụ tương ứng. b/ Cho hai điểm A, B nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng 30 0 . Tính khoảng cách d giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ. [ ĐS: S = 2 2 3 Rπ , V = 3 3 Rπ , d = 3 2 R ] 23/ Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và ( O 1 ). Bán kính đáy bằng chiều cao của hình trụ và bằng a. Trên đường tròn (O) và đường tròn (O 1 ) lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho AB = 2a. Tính thể tích V của khối đa diện OO 1 AB. [ ĐS: V = 3 3 12 a ] VINAMATH.COM VINAMATH.COM 83 BÀI TOÁN HÌNH H󰗍C KHÔNG GIAN TUY󰗃N CH󰗍N LUY󰗇N THI 󰖡I H󰗍C NM 2014 Nguy󰗆n Tùng Giang 5 WWW.VINAMATH.COM Chuyên 󰗂 luy󰗈n thi 󰖢i h󰗎c 󰜔 󰗂 và áp án 󰜔 Tài li󰗈u 󰜧 24/ Cho hình hộp ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 nội tiếp trong một hình trụ. Cho biết đường kính đáy của hình trụ bằng 5a, góc giữa đường thẳng B 1 D và mặt phẳng ( ABB 1 A 1 ) bằng 30 0 , khoảng cách từ trục của hình trụ đến mặt phẳng (ABB 1 A 1 ) bằng 3 2 a . a/ Tính thể tích V 1 của khối hộp; b/ Tính thể tích V 2 của hình cầu ngoại tiếp hình hộp. [ ĐS: V 1 = 3 12 11a , V 2 = 3 36 aπ ] 25/ Cho hình nón có đáy là hình tròn (O), bán kính đáy R = 50cm, chiều cao h = 40 cm. Gọi M, N là hai điểm trên (O). Cho biết tâm O cách mặt phẳng (SMN) một đoạn OH bằng 24 cm. a/ Tính diện tích S của thiết diện (SMN); [ ĐS: S = 200 cm 2 ] b/ Tính S xq và thể tích V của hình nón. [ ĐS: S xq = 100 41π cm 2 , V = 100000 3 π cm 3 ] 26/ Cho hình nón có bán kính đáy là R và đỉnh là S, góc tạo bởi đường cao và đường sinh bằng 60 0 . a/ Tính diện tích S của thiết diện khi cắt hình nón theo hai đường sinh vuông góc với nhau. b/ Tính diện tích xung quanh S xq và thể tích V của khối nón. [ ĐS: S = 2 2 3 R , S xq = 2 4 3 Rπ , V = 3 3 3 Rπ ] 27/ Cắt hình nón (N) đỉnh S cho trước bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a 2 . a/ Tính diện tích xung quanh S xq , diện tích toàn phần S tp và thể tích V 1 của khối nón. b/ Tính diện tích S và thể tích V của khối cầu nội tiếp hình nón. [ ĐS: S xq = 2 2 aπ , S tp = 2 1 2 2 aπ 󽟧 󽟷 󽜬 󽟨 󽟸 󽟩 󽟹 , V 1 = 3 6 2 aπ , S = 󽜩 󽜪 2 2 2 2 1aπ 󽜮 , V = 󽜩 󽜪 3 3 2 2 1 3 aπ 󽜮 ] PHẦN B: LUYỆN GIẢI ĐỀ THI ĐẠI HỌC NHỮNG NĂM TRƯỚC I/ KH󰗑I D 1/ Cho hình t󰗪 di󰗈n ABCD có c󰖢nh AD vuông góc v󰗜i m󰖸t ph󰖴ng (ABC), AC = AD = 4 cm, AB = 3 VINAMATH.COM VINAMATH.COM 83 BÀI TOÁN HÌNH H󰗍C KHÔNG GIAN TUY󰗃N CH󰗍N LUY󰗇N THI 󰖡I H󰗍C NM 2014 Nguy󰗆n Tùng Giang 6 WWW.VINAMATH.COM Chuyên 󰗂 luy󰗈n thi 󰖢i h󰗎c 󰜔 󰗂 và áp án 󰜔 Tài li󰗈u 󰜧 cm, BC = 5 cm. Tính kho󰖤ng d cách t󰗬 A 󰗀n m󰖸t ph󰖴ng (BCD). [ S: d = 12 34 cm ] 󰜔 D02. 2/ Cho hai m󰖸t ph󰖴ng (P) và (Q) vuông góc v󰗜i nhau có giao tuy󰗀n g. Trên g l󰖦y hai i󰗄m A, B v󰗜i AB = a. Trong m󰖸t ph󰖴ng (P) l󰖦y i󰗄m C, trong m󰖸t ph󰖴ng (Q) l󰖦y i󰗄m D sao cho AC và BD cùng vuông góc v󰗜i g và AC = BD = AB. Tính bán kính R m󰖸t c󰖨u ngo󰖢i ti󰗀p t󰗪 di󰗈n ABCD và tính kho󰖤ng cách d t󰗬 i󰗄m A 󰗀n m󰖸t ph󰖴ng (BCD) theo a. [ S: R = 3 2 a , d = 2 2 a ] - D03 3/ Cho hình chóp tam giác S.ABC có áy là tam giác 󰗂u c󰖢nh a, SA = 2a, SA 󽝟 (ABC). G󰗎i M, N là hình chi󰗀u vuông góc c󰗨a A l󰖨n l󰗤t lên các 󰗞ng th󰖴ng SB, SC. Tính th󰗄 tích V c󰗨a kh󰗒i chóp A.BCNM. [ S: V = 3 3 3 50 a ] 󰜔 D06 4/ Cho hình chóp S.ABCD có áy là hình thang vuông (vuông t󰖢i B và D), BA = BC = a, AD = 2a, c󰖢nh bên SA vuông góc v󰗜i áy và SA = 2a. G󰗎i H là hình chi󰗀u vuông góc c󰗨a A lên SB. Ch󰗪ng minh tam giác SCD là tam giác vuông và tính kho󰖤ng cách d t󰗬 i󰗄m H 󰗀n m󰖸t ph󰖴ng (SCD). [ S: d = 3 a ] 󰜔 D07 5/ Cho hình lng tr󰗦 󰗪ng ABC.A 1 B 1 C 1 có áy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, AA 1 = a 2 . G󰗎i M là trung i󰗄m c󰗨a BC. Tính theo a th󰗄 tích V c󰗨a kh󰗒i lng tr󰗦 ABC.A 1 B 1 C 1 và kho󰖤ng cách d gi󰗰a hai 󰗞ng th󰖴ng AM và B 1 C. [ S: V = 3 2 2 a , d = 7 7 a ] 󰜔 D08 6/ Cho hình lng tr󰗦 󰗪ng ABC.A 1 B 1 C 1 có áy ABC là tam giác vuông t󰖢i B, AB = a; AA 1 = 2a, A 1 C = 3a. G󰗎i M là trung i󰗄m c󰗨a A 1 C 1 , H là giao i󰗄m c󰗨a AM và A 1 C. Tính theo a th󰗄 tích V c󰗨a kh󰗒i t󰗪 di󰗈n HABC và tính kho󰖤ng cách d t󰗬 i󰗄m A 󰗀n m󰖸t ph󰖴ng (HBC). [ S: V = 3 4 9 a , d = 2 5 5 a ] 󰜔 D09 7/ Cho hình chóp S.ABCD có áy là hình vuông c󰖢nh a, c󰖢nh bên SA b󰖲ng a; hình chi󰗀u vuông góc c󰗨a S lên m󰖸t ph󰖴ng (ABCD) là i󰗄m H thu󰗚c AC mà AH = 4 AC . G󰗎i CM là 󰗞ng cao c󰗨a tam giác SAC. Ch󰗪ng minh r󰖲ng M là trung i󰗄m c󰗨a SA và tính th󰗄 tích V c󰗨a kh󰗒i t󰗪 di󰗈n SMBC theo a. [ S: V = 3 14 48 a ] 󰜔 D 10 8/ Cho hình chóp S.ABC có áy là tam giác vuông t󰖢i B, BA = 3a, BC = 4a; m󰖸t ph󰖴ng (SBC) vuông góc v󰗜i m󰖸t ph󰖴ng (ABC). Cho bi󰗀t SB = 2 3a , 󽞸 0 30SBC 󽜾 . Tính th󰗄 tích V c󰗨a kh󰗒i chóp S.ABC và tính kho󰖤ng cách d t󰗬 i󰗄m B 󰗀n m󰖸t ph󰖴ng (SAC) theo a. [ V = 3 2 3a , d = 6 7 7 a ] 󰜔 D11 VINAMATH.COM VINAMATH.COM 83 BÀI TOÁN HÌNH H󰗍C KHÔNG GIAN TUY󰗃N CH󰗍N LUY󰗇N THI 󰖡I H󰗍C NM 2014 Nguy󰗆n Tùng Giang 7 WWW.VINAMATH.COM Chuyên 󰗂 luy󰗈n thi 󰖢i h󰗎c 󰜔 󰗂 và áp án 󰜔 Tài li󰗈u 󰜧 9/ Cho hình h󰗚p 󰗪ng ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 có áy là hình vuông, tam giác A 1 AC vuông cân, 󰗚 dài o󰖢n A 1 C b󰖲ng a. Tính th󰗄 tích V c󰗨a kh󰗒i t󰗪 di󰗈n ABB 1 C 1 và kho󰖤ng cách d t󰗬 i󰗄m A 󰗀n m󰖸t ph󰖴ng (BCD 1 ). [ S: V = 3 2 48 a , d = 6 6 a ] 󰜔 D12 10/ Cho hình chóp S.ABCD có áy là hình thoi c󰖢nh a, c󰖢nh bên SA vuông góc v󰗜i áy, 󽞸 0 120BAD 󽜾 , M là trung i󰗄m c󰗨a c󰖢nh BC và 󽞸 0 45SMA 󽜾 . Tính theo a th󰗄 tích V c󰗨a kh󰗒i chóp S.ABCD và kho󰖤ng cách h t󰗬 i󰗄m D 󰗀n m󰖸t ph󰖴ng (SBC). [ S: V = 3 4 a , h = 6 4 a ] 󰜔 D 2013 II/ KH󰗑I B 1/ Cho hình l󰖮p phng ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 có c󰖢nh b󰖲ng a. a/ Tính theo a kho󰖤ng cách d gi󰗰a hai 󰗞ng th󰖴ng A 1 B và B 1 D. b/ G󰗎i M, N, P l󰖨n l󰗤t là trung i󰗄m c󰗨a B 1 B, CD, A 1 D 1 . Tính góc ϕ gi󰗰a hai 󰗞ng th󰖴ng MP và C 1 N. [ S: a/ d = 6 a , b/ ϕ = 90 0 ] 󰜔 B02 2/ Cho hình lng tr󰗦 󰗪ng ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 có áy ABCD là m󰗚t hình thoi c󰖢nh a, 󽞸 0 60BAD 󽜾 . G󰗎i M là trung i󰗄m c󰗨a AA 1 , N là trung i󰗄m c󰗨a CC 1 . Ch󰗪ng minh r󰖲ng b󰗒n i󰗄m B 1 , M, D, N cùng thu󰗚c m󰗚t m󰖸t ph󰖴ng. Tính 󰗚 dài o󰖢n AA 1 theo a 󰗄 t󰗪 giác B 1 MDN là m󰗚t hình vuông. [ S: AA 1 = 2a ] 󰜔 B03 3/ Cho hình chóp t󰗪 giác 󰗂u S.ABCD có c󰖢nh áy b󰖲ng a, góc gi󰗰a c󰖢nh bên và m󰖸t 󰖦y b󰖲ng ϕ , 0 0 < ϕ < 90 0 . Tính tang c󰗨a góc α gi󰗰a hai m󰖸t ph󰖴ng (SAB) và (ABCD) theo ϕ . Tính th󰗄 tích V c󰗨a kh󰗒i chóp theo a và ϕ . [ S: tan α = 2 tan ϕ , V = 3 2 tan 6 a ϕ ] 󰜔 B04 4/ Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình ch󰗰 nh󰖮t v󰗜i AB = a, AD = 2 a, SA = a và SA vuông góc v󰗜i (ABCD). G󰗎i M, N l󰖨n l󰗤t là trung i󰗄m c󰗨a AD, SC; g󰗎i H là giao i󰗄m c󰗨a BM và AC. Ch󰗪ng minh (SAC) 󽝟 (SMB). Tính th󰗄 tích V c󰗨a kh󰗒i t󰗪 di󰗈n ANHB. [ S: V = 3 2 36 a ] 󰜔 B06 5/ Cho hình chóp t󰗪 giác 󰗂u S.ABCD có áy ABCD là hình vuông c󰖢nh a. G󰗎i E là i󰗄m 󰗒i x󰗪ng c󰗨a D qua trung i󰗄m H c󰗨a o󰖢n SA, M là trung i󰗄m c󰗨a AE, N là trung i󰗄m c󰗨a BC. Ch󰗪ng minh MN 󽝟 BD. Tính theo a kho󰖤ng cách d gi󰗰a hai 󰗞ng th󰖴ng MN và AC. VINAMATH.COM VINAMATH.COM 83 BÀI TOÁN HÌNH H󰗍C KHÔNG GIAN TUY󰗃N CH󰗍N LUY󰗇N THI 󰖡I H󰗍C NM 2014 Nguy󰗆n Tùng Giang 8 WWW.VINAMATH.COM Chuyên 󰗂 luy󰗈n thi 󰖢i h󰗎c 󰜔 󰗂 và áp án 󰜔 Tài li󰗈u 󰜧 [ S: d = 2 4 a ] 󰜔 B07 6/ Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình vuông c󰖢nh 2a, SA = a, SB = a 3 và m󰖸t ph󰖴ng (SAB) vuông góc v󰗜i m󰖸t ph󰖴ng (ABCD). G󰗎i M, N l󰖨n l󰗤t là trung i󰗄m c󰗨a AB, BC. Tính theo a th󰗄 tích V c󰗨a kh󰗒i chóp S.BMDN và tính cô sin c󰗨a góc ϕ gi󰗰a hai 󰗞ng th󰖴ng SM và DN. [ S: V = 3 3 3 a , cos ϕ = 5 5 ] 󰜔 B08 7/ Cho hình lng tr󰗦 tam giác ABC.A 1 B 1 C 1 có BB 1 = a, góc gi󰗰a BB 1 và (ABC) b󰖲ng 60 0 ; tam giác ABC vuông t󰖢i C, 󽞸 0 60BAC 󽜾 . Hình chi󰗀u vuông góc c󰗨a B 1 lên (ABC) trùng v󰗜i tr󰗎ng tâm G c󰗨a tam giác ABC. Tính th󰗄 tích V c󰗨a kh󰗒i t󰗪 di󰗈n A 1 ABC theo a. [ S: V = 3 9 208 a ] - B09 8/ Cho hình lng tr󰗦 tam giác 󰗂u ABC.A 1 B 1 C 1 có AB = a, góc gi󰗰a hai m󰖸t ph󰖴ng (A 1 BC) và (ABC) b󰖲ng 60 0 . G󰗎i G là tr󰗎ng tâm c󰗨a tam giác A 1 BC. Tính theo a th󰗄 tích V c󰗨a kh󰗒i lng tr󰗦 ã cho và bán kính R c󰗨a m󰖸t c󰖨u ngo󰖢i ti󰗀p t󰗪 di󰗈n GABC. [ S: V = 3 3 3 8 a , R = 7 12 a ] - B10 9/ Cho hình lng tr󰗦 ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 có áy ABCD là m󰗚t hình ch󰗰 nh󰖮t, AB = a, AD = 3a . Hình chi󰗀u vuông góc c󰗨a 󰗊nh A 1 lên m󰖸t ph󰖴ng (ABCD) trùng v󰗜i giao i󰗄m H c󰗨a AC và BD. Góc gi󰗰a hai m󰖸t ph󰖴ng (ADD 1 A 1 ) và (ABCD) b󰖲ng 60 0 . Tính theo a th󰗄 tích V c󰗨a kh󰗒i lng tr󰗦 ã cho và kho󰖤ng cách d t󰗬 i󰗄m B 1 󰗀n m󰖸t ph󰖴ng (A 1 BD). [S: V = 3 3 2 a , d = 3 2 a ] - B11 10/ Cho hình chóp tam giác 󰗂u S.ABC có SA = 2a, AB = a. G󰗎i H là hình chi󰗀u vuông góc c󰗨a A lên SC. Ch󰗪ng minh SC 󽝟 (ABH) . Tính theo a th󰗄 tích V c󰗨a kh󰗒i chóp S.ABH. [ S: V = 3 7 11 96 a ] 󰜔 B12 11/ Cho hình chóp S.ABCD có áy là hình vuông c󰖢nh a, m󰖸t bên SAB là tam giác 󰗂u và n󰖲m trong m󰖸t ph󰖴ng vuông góc v󰗜i áy. Tính theo a th󰗄 tích V c󰗨a kh󰗒i chóp S.ABCD và kho󰖤ng cách h t󰗬 i󰗄m A 󰗀n m󰖸t ph󰖴ng (SCD). [ S: V = 3 3 6 a , h = 21 7 a ] 󰜔 B2013 III/ KH󰗑I A 1/ Cho hình chóp tam giác 󰗂u T.ABC 󰗊nh T có 󰗚 dài c󰖢nh áy b󰖲ng a. G󰗎i M, N l󰖨n l󰗤t là VINAMATH.COM VINAMATH.COM 83 BÀI TOÁN HÌNH H󰗍C KHÔNG GIAN TUY󰗃N CH󰗍N LUY󰗇N THI 󰖡I H󰗍C NM 2014 Nguy󰗆n Tùng Giang 9 WWW.VINAMATH.COM Chuyên 󰗂 luy󰗈n thi 󰖢i h󰗎c 󰜔 󰗂 và áp án 󰜔 Tài li󰗈u 󰜧 trung i󰗄m c󰗨a SB, SC. Tính theo a di󰗈n tích S c󰗨a tam giác AMN, bi󰗀t r󰖲ng m󰖸t ph󰖴ng (AMN) vuông góc v󰗜i m󰖸t ph󰖴ng (TBC). [ S: S = 2 10 16 a ] 󰜔 A02 2/ Cho hình l󰖮p phng ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 . Tính s󰗒 o c󰗨a góc ϕ gi󰗰a hai m󰖸t ph󰖴ng (BA 1 C) và (DA 1 C). [ S: ϕ = 120 0 ] 󰜔 A03 3/ Cho hình tr󰗦 có hai áy là hai hình tròn tâm O và O 1 , bán kính áy b󰖲ng chi󰗂u cao và b󰖲ng a. Trên 󰗞ng tròn áy tâm O l󰖦y i󰗄m A, trên 󰗞ng tròn áy tâm O 1 l󰖦y i󰗄m B sao cho AB = 2a. Tính theo a th󰗄 tích V c󰗨a kh󰗒i t󰗪 di󰗈n OO 1 AB. [ S: V = 3 3 12 a ] 󰜔 A06 4/ Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình vuông c󰖢nh a, m󰖸t bên SAD là tam giác 󰗂u và n󰖲m trong m󰖸t ph󰖴ng vuông góc v󰗜i áy. G󰗎i M, N, P l󰖨n l󰗤t là trung i󰗄m c󰗨a SB, BC, CD. Ch󰗪ng minh AM 󽝟 BP. Tính theo a th󰗄 tích V c󰗨a kh󰗒i t󰗪 di󰗈n CMNP. [ S: : V = 3 3 96 a ] 󰜔 A07 5/ Cho hình lng tr󰗦 ABC.A 1 B 1 C 1 có áy ABC là tam giác vuông t󰖢i A, AB = a, AC = a 3 , 󰗚 dài c󰖢nh bên b󰖲ng 2a. Hình chi󰗀u vuông góc c󰗨a A 1 lên (ABC) là trung i󰗄m H c󰗨a c󰖢nh BC. Tính theo a th󰗄 tích V c󰗨a kh󰗒i chóp A 1 .ABC và tính cô sin c󰗨a góc ϕ gi󰗰a hai 󰗞ng th󰖴ng AA 1 và B 1 C 1 . [ V = 3 2 a , cos ϕ = 1 4 ] 󰜔 A08 6/ Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình thang vuông t󰖢i A và D, AB = AD = 2a; CD = a; góc gi󰗰a hai m󰖸t ph󰖴ng (SBC) và (ABCD) b󰖲ng 60 0 . G󰗎i H là trung i󰗄m c󰗨a c󰖢nh AD. Cho bi󰗀t hai m󰖸t ph󰖴ng (SBH) và (SCH) cùng vuông góc v󰗜i m󰖸t ph󰖴ng (ABCD). Tính theo a th󰗄 tích V c󰗨a kh󰗒i chóp S.ABCD . [ S: V = 3 3 15 5 a ] 󰜔 A09 7/ Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình vuông c󰖢nh a. G󰗎i M, N làn l󰗤t là trung i󰗄m c󰗨a AB và AD; H là giao i󰗄m c󰗨a CN và DM. Bi󰗀t SH vuông góc v󰗜i m󰖸t ph󰖴ng (ABCD) và SH = a 3 . Tính th󰗄 tích V c󰗨a kh󰗒i chóp S.CDNM và tính kho󰖤ng cách d gi󰗰a hai 󰗞ng th󰖴ng DM và SC theo a. [ S: V = 3 5 3 24 a , d = 2 3 19 a ] 󰜔 A10 8/ Cho hình chóp S.ABC có áy ABC là tam giác vuông cân t󰖢i B, AB = BC = 2a; Hai m󰖸t ph󰖴ng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc v󰗜i m󰖸t ph󰖴ng (ABC). G󰗎i M là trung i󰗄m c󰗨a AB. M󰖸t ph󰖴ng VINAMATH.COM VINAMATH.COM 83 BÀI TOÁN HÌNH H󰗍C KHÔNG GIAN TUY󰗃N CH󰗍N LUY󰗇N THI 󰖡I H󰗍C NM 2014 Nguy󰗆n Tùng Giang 10 WWW.VINAMATH.COM Chuyên 󰗂 luy󰗈n thi 󰖢i h󰗎c 󰜔 󰗂 và áp án 󰜔 Tài li󰗈u 󰜧 qua SM và song song v󰗜i BC c󰖰t AC t󰖢i N. Bi󰗀t góc gi󰗰a hai m󰖸t ph󰖴ng (SBC) và (ABC) b󰖲ng 60 0 . Tính theo a th󰗄 tích V c󰗨a kh󰗒i chóp S.BCNM và kho󰖤ng cách d gi󰗰a hai 󰗞ng th󰖴ng AB và SN. [ S: : V = 3 3a , d = 2 39 13 a ] 󰜔 A11 9/ Cho hình chóp S.ABC có áy ABC là tam giác 󰗂u c󰖢nh a, hình chi󰗀u vuông góc c󰗨a S lên m󰖸t ph󰖴ng (ABC) là i󰗄m H thu󰗚c AB mà HA = 2HB. Góc gi󰗰a 󰗞ng th󰖴ng SC và m󰖸t ph󰖴ng (ABC) b󰖲ng 60 0 . Tính th󰗄 tích V c󰗨a kh󰗒i chóp S.ABC và kho󰖤ng cách d gi󰗰a hai 󰗞ng th󰖴ng SA và BC. [ S: V = 3 7 12 a , d = 42 8 a ] 󰜔 A12 10/ Cho hình chóp S.ABC có áy ABC là tam giác vuông t󰖢i A, 󽞸 0 30ABC 󽜾 , SBC là tam giác 󰗂u c󰖢nh a và m󰖸t bên SBC vuông góc v󰗜i áy. Tính theo a th󰗄 tích V c󰗨a kh󰗒i chóp S.ABC và kho󰖤ng cách h t󰗬 i󰗄m C 󰗀n m󰖸t ph󰖴ng (SAB). [ S: V = 3 16 a , d = 39 13 a ] 󰜔 A13 IV/ M󰗙T S󰗑 BÀI TOÁN THAM KH󰖣O 1/ Cho hình chóp S.ABC có áy ABC là tam giác 󰗂u c󰖢nh a, 󰗞ng th󰖴ng SA vuông góc v󰗜i m󰖸t ph󰖴ng (ABC) và SA = 6 2 a . Tính kho󰖤ng cách d t󰗬 i󰗄m A 󰗀n m󰖸t ph󰖴ng (SBC). [ S: d = 2 2 a ] 󰜔 TK02 (De so 04) 2/ Cho t󰗪 di󰗈n OABC có ba c󰖢nh OA, OB, OC ôi m󰗚t vuông góc. G󰗎i α , β , γ l󰖨n l󰗤t là góc gi󰗰a m󰖸t ph󰖴ng (ABC) v󰗜i các m󰖸t bên (OBC), (OCA), (OAB). Ch󰗪ng minh r󰖲ng: cos cos cos 3α β γ󽜬 󽜬 󽞤 [ S: 󰜧 ] 󰜔 TK02 (De so 05) 3/ Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình vuông c󰖢nh a, SA 󽝟 (ABCD), SA = a. G󰗎i E là trung i󰗄m c󰗨a CD. Tính theo a kho󰖤ng cách d t󰗬 S 󰗀n 󰗞ng th󰖴ng BE. [ S: d = 3 5 5 a ] 󰜔 TK02 (De so 06) 4/ Cho tam giác vuông cân ABC có c󰖢nh huy󰗂n BC; trên 󰗞ng th󰖴ng d vuông góc v󰗜i m󰖸t ph󰖴ng (ABC) t󰖢i A l󰖦y i󰗄m S sao cho góc gi󰗰a hai m󰖸t ph󰖴ng (ABC) và (SBC) b󰖲ng 60 0 . Cho bi󰗀t BC = a, tính 󰗚 dài o󰖢n SA theo a. [ S: SA = 3 2 a ] 󰜔 TK02 (De so 07) VINAMATH.COM VINAMATH.COM . = 3 3 12 a ] VINAMATH.COM VINAMATH.COM 83 BÀI TOÁN HÌNH H