62 BÀI TOÁN 󰖡I S󰗑 T󰗕 H󰗣P- XÁC SU󰖥T CH󰗍N L󰗍C LTH 1 WWW.VINAMATH.COM Chuyên 󰗂 Toán LTH 󰜔 󰗂 và áp án 󰜔 Tài li󰗈u 󰜧 1/ Tính giá tr󰗌 c󰗨a bi󰗄u th󰗪c 0 1 2 3 12 13 13 13 13 13 13 13 S C C C C C C󽜾 󽜬 󽜬 󽜬 󽜬 󽜬 󽜬 . 2/ Tính giá tr󰗌 c󰗨a bi󰗄u th󰗪c 0 1 2 3 12 13 13 13 13 13 13 13 S C C C C C C󽜾 󽜮 󽜬 󽜮 󽜬 󽜬 󽜮 . 3/ Tính giá tr󰗌 c󰗨a bi󰗄u th󰗪c 0 1 2 3 15 16 16 16 16 16 16 16 S C C C C C C󽜾 󽜮 󽜬 󽜮 󽜬 󽜮 󽜬 . 4/ Cho a th󰗪c P(x) = (1+x) 9 + (1+x) 10 + (1+x) 11 + (1+x) 12 + (1+x) 13 + (1+x) 14 . Khai tri󰗄n và rút g󰗎n ta 󰗤c P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + 󰜧 + a 13 x 13 + a 14 x 14 . Tính h󰗈 s󰗒 a 9 . 5/ Cho n là s󰗒 nguyên dng. Ch󰗪ng minh r󰖲ng: 1 3 5 7 2 1 0 2 4 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C 󽜮 󽜬 󽜬 󽜬 󽜬 󽜬 󽜾 󽜬 󽜬 󽜬 󽜬 󽜬 . 6/ Tìm n sao cho: 5 3 5 720. . n n n P A P 󽜬 󽜮 󽜾 . [ S: n = 7 ] 7/ Tìm n sao cho: 3 2 1 1 3 2 n n n A A P 󽜬 󽜬 󽜾 . [ S: n = 4 ] 8/ Gi󰖤i phng trình: 2 2 2 2 50 x x A A󽜬 󽜾 . [ S: x = 5 ] 9/ Gi󰖤i phng trình: 2 1 . 48 x x x A C 󽜮 󽜾 . [ S: x = 4 ] 10/ Gi󰖤i phng trình: 2 4 1 3 210 . x x x P A P 󽜬 󽜮 󽜮 󽜾 . [ S: x = 5 ] 11/ Tìm các s󰗒 nguyên dng x th󰗐a mãn: 1 2 3 2 6 6 9 14 x x x C C C x x󽜬 󽜬 󽜾 󽜮 [ S: x = 7 ] 12/ Gi󰖤i phng trình: 1 2 3 7 2 x x x C C C x󽜬 󽜬 󽜾 [ S: x = 4 ] 13/ Gi󰖤i phng trình: 4 3 4 1 24 23 x x x x A A C 󽜮 󽜬 󽜾 󽜮 . [ S: x = 5 ] 14/ Rút g󰗎n B = 3 2 2 1 1 0 5 4 4 3 3 3 . . .C C C C C C󽜬 󽜬 . [ S: B = 81 ] 15/ Trong khai tri󰗄n Niu 󰜔tn c󰗨a 1 n x x 󽟧 󽟷 󽜬 󽟨 󽟸 󽟩 󽟹 , h󰗈 s󰗒 c󰗨a s󰗒 h󰖢ng th󰗪 ba l󰗜n hn h󰗈 s󰗒 c󰗨a s󰗒 h󰖢ng th󰗪 hai là 35. Tính s󰗒 h󰖢ng không ch󰗪a x trong khai tri󰗄n nói trên. [ S: 252 ] 16/ VINAMATH.COM VINAMATH.COM 62 BÀI TOÁN 󰖡I S󰗑 T󰗕 H󰗣P- XÁC SU󰖥T CH󰗍N L󰗍C LTH 2 WWW.VINAMATH.COM Chuyên 󰗂 Toán LTH 󰜔 󰗂 và áp án 󰜔 Tài li󰗈u 󰜧 a/ Có bao nhiêu s󰗒 t󰗲 nhiên (󰗤c vi󰗀t trong h󰗈 󰗀m th󰖮p phân) g󰗔m 5 ch󰗰 s󰗒 mà các ch󰗰 s󰗒 󰗂u l󰗜n hn 4 và ôi m󰗚t khác nhau. [ S: 120 ] b/ Hãy tính t󰗖ng c󰗨a t󰖦t c󰖤 các s󰗒 t󰗲 nhiên nói trên. [ S: 9.333.240 ] 17/ Cho 5 ch󰗰 s󰗒 1, 2, 3, 4, 5 a/ Có th󰗄 l󰖮p 󰗤c bao nhiêu s󰗒 l󰖾 có b󰗒n ch󰗰 s󰗒 khác nhau t󰗬 5 ch󰗰 s󰗒 nói trên. [S: 72 ] b/ Có th󰗄 l󰖮p 󰗤c bao nhiêu s󰗒 chia h󰗀t cho 3 có 3 ch󰗰 s󰗒 khác nhau t󰗬 5 ch󰗰 s󰗒 nói trên. [ S: 24 s󰗒 ] 18/ Có bao nhiêu s󰗒 t󰗲 nhiên khác nhau, nh󰗐 hn 10000 󰗤c t󰖢o thành t󰗬 nm ch󰗰 s󰗒 sau ây: 0, 1, 2, 3, 4. [ S: 625 s󰗒 ]. 19/ V󰗜i m󰗞i ch󰗰 s󰗒 t󰗬 0 󰗀n 9, có th󰗄 l󰖮p 󰗤c bao nhiêu s󰗒 ch󰖶n có b󰗒n ch󰗰 s󰗒 mà các ch󰗰 s󰗒 ó 󰗂u khác nhau. [ S: 2.296 s󰗒 ]. 20/ T󰗬 tám ch󰗰 s󰗒 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, có th󰗄 l󰖮p 󰗤c bao nhiêu s󰗒, m󰗘i s󰗒 g󰗔m b󰗒n ch󰗰 s󰗒 ôi m󰗚t khác nhau và không chia h󰗀t cho 10. [ S: 1.260 s󰗒 ]. 21/ Có bao nhiêu s󰗒 ch󰖶n g󰗔m 6 ch󰗰 s󰗒 khác nhau ôi m󰗚t, trong ó, ch󰗰 s󰗒 󰖨u tiên là ch󰗰 s󰗒 l󰖾. [ S: 42.000 s󰗒 ] 22/ T󰗬 các ch󰗰 s󰗒 0, 1, 3, 5, 7, có th󰗄 l󰖮p 󰗤c bao nhiêu s󰗒, m󰗘i s󰗒 g󰗔m 4 ch󰗰 s󰗒 khác nhau và không chia h󰗀t cho 5. [ S: 54 s󰗒 ]. 23/ Ng󰗞i ta vi󰗀t các s󰗒 có sáu ch󰗰 s󰗒 b󰖲ng các ch󰗰 s󰗒 1, 2, 3, 4, 5 nh sau: trong các s󰗒 󰗤c vi󰗀t có m󰗚t ch󰗰 s󰗒 xu󰖦t hi󰗈n hai l󰖨n và các ch󰗰 s󰗒 còn l󰖢i xu󰖦t hi󰗈n m󰗚t l󰖨n. H󰗐i có bao nhiêu s󰗒 nh v󰖮y ? [ S: 1800 s󰗒 ]. 24/ Cho nm ch󰗰 s󰗒 0, 1, 2, 3, 4. T󰗬 nm ch󰗰 s󰗒 ó có th󰗄 l󰖮p 󰗤c bao nhiêu s󰗒 ch󰖶n có nm ch󰗰 s󰗒 sao cho trong m󰗘i s󰗒 ó, m󰗘i ch󰗰 s󰗒 nói trên có m󰖸t m󰗚t l󰖨n ? [ S: 60 s󰗒 ]. 25/ Có bao nhiêu s󰗒 khác nhau g󰗔m 7 ch󰗰 s󰗒 sao cho t󰗖ng các ch󰗰 s󰗒 c󰗨a m󰗘i s󰗒 là m󰗚t s󰗒 ch󰖶n. [ S: 9.10 5 .5 s󰗒 ]. 26/ Cho b󰖤y ch󰗰 s󰗒 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Có th󰗄 l󰖮p 󰗤c bao nhiêu s󰗒 ch󰖶n, m󰗘i s󰗒 g󰗔m nm ch󰗰 s󰗒 khác nhau. [S: 1.260 s󰗒 ]. 27/ Xét s󰗒 g󰗔m chín ch󰗰 s󰗒, trong ó có nm ch󰗰 s󰗒 1 và b󰗒n ch󰗰 s󰗒 còn l󰖢i là 2, 3, 4, 5. H󰗐i có bao nhiêu s󰗒 nh th󰗀 n󰗀u: VINAMATH.COM VINAMATH.COM 62 BÀI TOÁN 󰖡I S󰗑 T󰗕 H󰗣P- XÁC SU󰖥T CH󰗍N L󰗍C LTH 3 WWW.VINAMATH.COM Chuyên 󰗂 Toán LTH 󰜔 󰗂 và áp án 󰜔 Tài li󰗈u 󰜧 a/ Nm ch󰗰 s󰗒 1 󰗤c x󰗀p li󰗂n nhau ? [ S: 120 s󰗒 ] b/ Các ch󰗰 s󰗒 󰗤c x󰗀p tùy ý ? [ S: 3.024 s󰗒 ]. 28/ T󰗬 m󰗞i ch󰗰 s󰗒 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có th󰗄 l󰖮p 󰗤c bao nhiêu s󰗒 có sáu ch󰗰 s󰗒 khác nhau sao cho trong các ch󰗰 s󰗒 ó có m󰖸t s󰗒 0 và s󰗒 1. [ S: 21.840 s󰗒 ]. 29/ Có bao nhiêu s󰗒 t󰗲 nhiên g󰗔m nm ch󰗰 s󰗒 khác nhau chia h󰗀t cho 10. [ S: 3.024 s󰗒 ]. 30/ X󰗀p ba viên bi màu 󰗐 có bán kính khác nhau và ba viên bi màu xanh có bán kính b󰖲ng nhau vào m󰗚t dãy b󰖤y ô tr󰗒ng. a/ Có bao nhiêu cách s󰖰p x󰗀p khác nhau ? [ S: 840 cách ]. b/ Có bao nhiêu cách s󰖰p x󰗀p khác nhau sao cho ba viên bi màu 󰗐 x󰗀p c󰖢nh nhau và ba viên bi màu xanh x󰗀p c󰖢nh nhau. [ S: 36 cách ] 31/ M󰗚t t󰗖 g󰗔m 8 h󰗎c sinh trai và 6 h󰗎c sinh gái. C󰖨n l󰖦y m󰗚t nhóm g󰗔m 5 h󰗎c sinh trong ó có 2 h󰗎c sinh gái. H󰗐i có bao nhiêu cách ch󰗎n. [ S: 840 cách ]. 32/ Cho hai 󰗞ng th󰖴ng song song m và n. Trên m l󰖦y 17 i󰗄m hân bi󰗈t, trên n l󰖦y 20 i󰗄m phân bi󰗈t. Tính s󰗒 tam giác có các 󰗊nh là 3 i󰗄m trong s󰗒 37 i󰗄m ã l󰖦y trên m và n. [ S: 5.950 tam giác ] 33/ M󰗚t l󰗜p có 40 h󰗎c sinh g󰗔m 25 trai và 15 gái. Th󰖨y ch󰗨 nhi󰗈m mu󰗒n ch󰗎n 3 h󰗎c sinh 󰗄 tham gia t󰗖 ch󰗪c l󰗆 khai gi󰖤ng. H󰗐i có bao nhiêu cách: a/ Ch󰗎n ra 3 h󰗎c sinh trong l󰗜p ? [ 9.980 cách ] b/ Ch󰗎n ra 3 h󰗎c sinh trong ó có 1 trai và 2 gái ? [ S: 2.625 cách ] c/ Ch󰗎n ra 3 h󰗎c sinh trong ó có ít nh󰖦t 1 h󰗎c sinh trai ? [ S: 9.425 cách ] 34/ M󰗚t h󰗚p 󰗲ng 4 viên bi 󰗐, 5 viên bi tr󰖰ng và 6 viên bi vàng. Ng󰗞i ta l󰖦y ra 4 viên bi t󰗬 h󰗚p ó. H󰗐i có bao nhiêu cách ch󰗎n l󰖦y ra 4 viên bi sao cho trong s󰗒 viên bi l󰖦y ra không có 󰗨 c󰖤 ba màu ? [ S: 645 cách ]. 35/ Trên m󰗚t m󰖸t ph󰖴ng có 9 󰗞ng th󰖴ng song song c󰖰t 10 󰗞ng th󰖴ng song song khác. H󰗐i có bao nhiêu hình bình hành 󰗤c t󰖢o thành trên m󰖸t ph󰖴ng ó ? [ S: 1620 hình ]. 36/ M󰗚t ng󰗞i mu󰗒n ch󰗎n 6 bông hoa t󰗬 3 bó hoa 󰗄 c󰖰m vào m󰗚t bình hoa. Bó th󰗪 nhát có 10 bông h󰗔ng, bó th󰗪 nhì có 6 th󰗤c d󰗤c và bó th󰗪 ba có 4 bông cúc. VINAMATH.COM VINAMATH.COM 62 BÀI TOÁN 󰖡I S󰗑 T󰗕 H󰗣P- XÁC SU󰖥T CH󰗍N L󰗍C LTH 4 WWW.VINAMATH.COM Chuyên 󰗂 Toán LTH 󰜔 󰗂 và áp án 󰜔 Tài li󰗈u 󰜧 a/ H󰗐i ng󰗞i ó có bao nhiêu cách ch󰗎n ra 6 bông hoa tùy ý ? [ S: 38.760 cách ]. b/ N󰗀u ng󰗞i ó mu󰗒n ch󰗎n úng 2 bông h󰗔ng, 2 bông th󰗤c d󰗤c và 2 bông cúc thì ng󰗞i ó có bao nhiêu cách ch󰗎n ? [ 4.050 cách ]. 37/ Trong m󰖸t ph󰖴ng cho a giác 󰗂u (H) có 20 c󰖢nh. Xét các tam giác có úng 3 󰗊nh 󰗤c l󰖦y t󰗬 các 󰗊nh c󰗨a (H). a/ Có t󰖦t c󰖤 bao nhiêu tam giác nh v󰖮y ? Có bao nhiêu tam giác có úng hai c󰖢nh là c󰖢nh c󰗨a (H) ? [ S: 1.140 tam giác; Có 20 tam giác có úng 2 c󰖢nh là c󰖢nh c󰗨a (H) ] b/ Có bao nhiêu tam giác có úng 1 c󰖢nh là c󰖢nh c󰗨a (H) ? Có bao nhiêu tam giác không có c󰖢nh nào là c󰖢nh c󰗨a (H) ? [ S: 320 tam giác; 800 tam giác ]. 38/ M󰗚t l󰗜p h󰗎c có 20 sinh viên, trong ó có 2 cán b󰗚 l󰗜p. H󰗐i có bao nhiêu cách c󰗮 3 ng󰗞i i d󰗲 h󰗚i ngh󰗌 H󰗚i sinh viên c󰗨a tr󰗞ng sao cho trong 3 ng󰗞i ó có ít nh󰖦t 1 cán b󰗚 l󰗜p ? [ S: 324 cách ch󰗎n ] 39/ Trong m󰗚t h󰗚p có 6 viên bi tr󰖰ng (T) và 4 viên bi xanh (X). L󰖦y ng󰖬u nhiên 3 viên bi ra kh󰗐i h󰗚p. Tính xác su󰖦t 󰗄 l󰖦y ra 󰗤c: a/ C󰖤 3 viên bi 󰗂u m󰖨u tr󰖰ng. [ S: 1/6 ] b/ C󰖤 3 viên bi 󰗂u màu xanh. [ S: 1/30 ] c/ Có ít nh󰖦t m󰗚t viên bi màu tr󰖰ng. [ S: 29/30 ] 40/ Trong m󰗚t h󰗚p có 6 viên bi tr󰖰ng (T) và 4 viên bi xanh (X). L󰖦y ng󰖬u nhiên 4 viên bi ra kh󰗐i h󰗚p. Tính xác su󰖦t 󰗄 l󰖦y ra 󰗤c: a/ 3 viên bi màu tr󰖰ng và 1 viên bi màu xanh. [ S: 8/21 ] b/ 1 viên bi màu tr󰖰ng và 3 viên bi màu xanh. [ S: 4/35 ] 41/ Trong m󰗚t cái bình có 4 qu󰖤 c󰖨u xanh và 6 qu󰖤 c󰖨u 󰗐 hoàn toàn gi󰗒ng nhau v󰗂 hình dáng và kích th󰗜c. Sau khi tr󰗚n 󰗂u, ta l󰖦y ra ng󰖬u nhiên 3 qu󰖤 c󰖨u cùng m󰗚t lúc. Tính xác su󰖦t 󰗄 trong 3 qu󰖤 c󰖨u l󰖦y ra có hai qu󰖤 cùng màu. [ S: 8/ 10 ] 42/ M󰗚t h󰗚p bóng èn có 12 bóng, trong ó có 7 bóng t󰗒t. L󰖦y ng󰖬u nhiên 3 bóng. Tính xác su󰖦t 󰗄 󰗤c: a/ 3 bóng t󰗒t. [ S: 7/44 ] VINAMATH.COM VINAMATH.COM 62 BÀI TOÁN 󰖡I S󰗑 T󰗕 H󰗣P- XÁC SU󰖥T CH󰗍N L󰗍C LTH 5 WWW.VINAMATH.COM Chuyên 󰗂 Toán LTH 󰜔 󰗂 và áp án 󰜔 Tài li󰗈u 󰜧 b/ Ít nh󰖦t 2 bóng t󰗒t. [ S: 7/11 ] c/ Ít nh󰖦t 1 bóng t󰗒t. [ S: 21/22 ] 43/ M󰗚t t󰗖 sinh viên có 6 trai và 5 gái. L󰖦y ng󰖬u nhiên 4 sinh viên i lao 󰗚ng. Tính xác su󰖦t 󰗄 󰗤c: a/ Có 1 gái [ S: 10/33 ] b/ Có không quá 3 gái. [ S: 21/22 ] 44/ M󰗚t n v󰗌 v󰖮n t󰖤i có 10 xe ô tô, trong ó có 6 xe t󰗒t. i󰗂u 󰗚ng m󰗚t cách ng󰖬u nhiên 3 xe i công tác. Tìm xác su󰖦t 󰗄 trong 3 xe ó có ít nh󰖦t m󰗚t xe t󰗒t. [ S: 29/30 ] 45/ Gieo 󰗔ng th󰗞i 3 󰗔ng xu cân 󰗒i và 󰗔ng ch󰖦t. Tính xác su󰖦t 󰗄 có ít nh󰖦t m󰗚t m󰖸t s󰖦p xu󰖦t hi󰗈n. [ S: 7/8 ]. 46/ Gieo liên ti󰗀p 3 l󰖨n m󰗚t con xúc x󰖰c. Tìm xác su󰖦t c󰗨a bi󰗀n c󰗒 󰜝t󰗖ng s󰗒 ch󰖦m xu󰖦t hi󰗈n không nh󰗐 hn 16󰜞. [ S: 5/108 ] 47/ X󰗀p ng󰖬u nhiên 5 m󰖬u ch󰗰 cái B, G, N, O, O. Tìm xác su󰖦t 󰗄 󰗤c ch󰗰 BOONG ? [ S: 1/60 ] 48/ Ch󰗎n ng󰖬u nhiên m󰗚t s󰗒 t󰗲 nhiên n g󰗔m 3 ch󰗰 s󰗒 khác nhau. Tính xác su󰖦t 󰗄 n là m󰗚t s󰗒 ch󰖶n. [ S: 41/81 ] 49/ Cho các ch󰗰 s󰗒 0, 2, 4, 5, 6, 8, 9. a/ L󰖮p 󰗤c bao nhiêu s󰗒 t󰗲 nhiên có 3 ch󰗰 s󰗒 mà trong m󰗘i s󰗒 có các ch󰗰 s󰗒 khác nhau t󰗬 các ch󰗰 s󰗒 ã cho. [ S: 180 ] b/ L󰖦y ng󰖬u nhiên m󰗚t s󰗒, trong các s󰗒 l󰖮p 󰗤c t󰗬 a/. Tính xác su󰖦t sao cho s󰗒 l󰖦y 󰗤c là m󰗚t s󰗒 l󰖾. [ S: 2/9 ] 50/ Cho t󰖮p h󰗤p E g󰗔m các s󰗒 có 3 ch󰗰 s󰗒 khác nhau 󰗤c l󰖮p t󰗬 các ph󰖨n t󰗮 c󰗨a t󰖮p h󰗤p G = {0, 1, 2, 3, 4, 5 }. L󰖦y ng󰖬u nhiên m󰗚t ph󰖨n t󰗮 c󰗨a c󰗨a E. a/ Tìm xác su󰖦t 󰗄 l󰖦y 󰗤c m󰗚t ph󰖨n t󰗮 chia h󰗀t cho 5. [ S: 7/25 ] b/ Tìm xác su󰖦t 󰗄 l󰖦y 󰗤c m󰗚t ph󰖨n t󰗮 chia h󰗀t cho 3. [ 3/10 ] VINAMATH.COM VINAMATH.COM 62 BÀI TOÁN 󰖡I S󰗑 T󰗕 H󰗣P- XÁC SU󰖥T CH󰗍N L󰗍C LTH 6 WWW.VINAMATH.COM Chuyên 󰗂 Toán LTH 󰜔 󰗂 và áp án 󰜔 Tài li󰗈u 󰜧 51/ G󰗎i S là t󰖮p h󰗤p t󰖦t c󰖤 các s󰗒 t󰗲 nhiên g󰗔m 3 ch󰗰 s󰗒 phân bi󰗈t l󰖮p 󰗤c t󰗬 các ch󰗰 s󰗒 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Xác 󰗌nh s󰗒 ph󰖨n t󰗮 c󰗨a S. L󰖦y ng󰖬u nhiên m󰗚t s󰗒 t󰗬 S, tính xác su󰖦t 󰗄 s󰗒 󰗤c ch󰗎n là s󰗒 ch󰖶n. [ S: n(S) = 210; 3 7 ] 󰜔 A13 52/ Có hai chi󰗀c h󰗚p ch󰗪a bi. H󰗚p th󰗪 nh󰖦t ch󰗪a 4 viên bi 󰗐 và 3 viên bi tr󰖰ng, h󰗚p th󰗪 hai ch󰗪a 2 viên bi 󰗐 và 4 viên bi tr󰖰ng. L󰖦y ng󰖬u nhiên t󰗬 m󰗘i h󰗚p ra 1 viên bi. Tính xác su󰖦t 󰗄 hai viên bi 󰗤c l󰖦y ra có cùng màu. [ S: 10 21 ] 󰜔 B13 53/ Ch󰗪ng minh r󰖲ng: 1 2 3 4 2012 2013 2012 2013 2013 2013 2013 2013 2013 2 3 4 2012 2013 2013.2C C C C C C󽜬 󽜬 󽜬 󽜬 󽜬 󽜬 󽜾 . 54/ Ch󰗪ng minh: 2 3 4 1 2 1.2. 2.3. 3.4. ( 2).( 1). ( 1). . ( 1). .2 n n n n n n n n C C C n n C n nC n n 󽜮 󽜮 󽜬 󽜬 󽜬 󽜬 󽜮 󽜮 󽜬 󽜮 󽜾 󽜮 . 55/ Ch󰗪ng minh 󰖴ng th󰗪c: 0 1 2 2010 2011 2011 2013 2013 2013 2013 2013 2013.2012. 2012.2011. 2011.2010. 3.2. 2.1. 2013.2012.2C C C C C󽜬 󽜬 󽜬 󽜬 󽜬 󽜾 . 56/ Ch󰗪ng minh: 14 0 1 2 3 12 13 13 13 13 13 13 13 1 1 1 1 1 2 1 2 3 4 13 14 14 C C C C C C 󽜮 󽜬 󽜬 󽜬 󽜬 󽜬 󽜬 󽜾 . 57/ Ch󰗪ng minh: 0 1 2 3 12 13 13 13 13 13 13 13 1 1 1 1 1 1 2 3 4 13 14 14 C C C C C C 󽜮 󽜬 󽜮 󽜬 󽜬 󽜮 󽜾 . 58/ Ch󰗪ng minh r󰖲ng: 1 2 2 3 3 1 1 1 4. 4 . 4 4 . 4 5 n n n n n n n n C C C C 󽜮 󽜮 󽜬 󽜬 󽜬 󽜬 󽜬 󽜬 󽜾 v󰗜i n là s󰗒 nguyên dng. 59/ Ch󰗪ng minh: 2 3 4 1 0 1 2 3 1 2 2 2 2 2 3 1 2. 2 3 4 1 1 n n n n n n n n n n C C C C C C n n n 󽜬 󽜮 󽜮 󽜬 󽜬 󽜬 󽜬 󽜬 󽜬 󽜾 󽜬 󽜬 . 60/ Ch󰗪ng minh r󰖲ng: 1 2 3 4 4 4 6 4 k k k k k k n n n n n n C C C C C C 󽜮 󽜮 󽜮 󽜮 󽜬 󽜬 󽜬 󽜬 󽜬 󽜾 . 61/ Ch󰗪ng minh r󰖲ng: 1 2 3 3 3 3 k k k k k n n n n n C C C C C 󽜮 󽜮 󽜮 󽜬 󽜬 󽜬 󽜬 󽜾 . 62/ Ch󰗪ng minh r󰖲ng: 0 1 2 3 1 1 1 1 ( 1) 1 2 4 6 8 2( 1) 2( 1) n n n n n n n C C C C C n n 󽜮 󽜮 󽜬 󽜮 󽜬 󽜬 󽜾 󽜬 󽜬 . [ H󰗜ng d󰖬n: S󰗮 d󰗦ng khai tri󰗄n (1 󰜔 x 2 ) n 󰜧 ] VINAMATH.COM VINAMATH.COM . và b