BÀI TẬP TỔ HỢP – XÁC SUẤT Đỗ Văn Thọ (Biên soạn) Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất Đỗ Văn Thọ 2 BÀI TẬP: TỔ HỢP – XÁC SUẤT A. Các bài toán về số sổ hợp, số chỉnh hợp và nhị thức niu – tơn I. Một số kiến thức cần ghi nhớ:     ! . 1 . 2 1 0! 1 n P n n n n        ! , 0 k n ! ! k n n C k n k       ! , 1 k n ! k n n A n k     , 0 k n k n k n n C C     1 1 1 , 1 k<n k k k n n n C C C                 0 1 1 2 2 2 1 1 0 0 1 1 2 2 2 0 1 1 1 n n n n k n k k n n n n n n n n n n n k n k k n k n k n n n n k n k k n n n n n n n n k k n k k n k a b C a C a b C a b C a b C ab C b C a b a b C a C a b C a b C a b C b C a b                                     Số hạng tồng quát của nhị thức   n a b  có dạng 1 k n k k k n T C a b    II. Bài tập: Bài 1: Cho k, n là các số nguyên và 3 k n   . Chứng minh 1 2 3 3 3 3 k k k k k n n n n n C C C C C         Bài 2: Cho k, n là các số nguyên và 4 k n   . Chứng minh 1 2 3 4 4 4 6 4 k k k k k k n n n n n n C C C C C C           Bài 3: Cho k, n là các số tự nhiên và 4 k n   . Chứng minh 1 2 3 2 3 2 3 2 5 4 k k k k k k n n n n n n C C C C C C             Bài 4: Chứng minh các hệ thức sau:       2 1 2 1 1 1 1 2 2 , k 2 A , 1 1 , 0, 0 1 1 , 2 n n n n k n k n k k k k n n n k k k n n n k k n n A A k A A kA n k nC k C kC n k n k k C n n C n k                              Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất Đỗ Văn Thọ 3 Bài 5: Viết 3 số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng của x của: 10 . 1 2 x a        b.   8 3 2 x  Bài 6: Khai triển: a. 7 1 x x        b.   7 a b  c.       6 2 2 1 1 P x x x    Bài 7: Tìm số hạng chính giữa của khai triển: a.   10 1 x  b.   2008 4 P x x x         Bài 8: Tìm số hạng không chứa x của khai triển: a.   12 1 , 0 P x x x x          b. 7 3 4 1 , 0 x x x         Bài 9: Trong khai triển 28 3 15 n x x x         , tìm số hạng không chứa x. Biết rằng: 1 2 79 , 2 n n n n n n C C C n       Bài 10: Tìm hệ số của số hạng chứa 8 x trong khai triển nhị thức Niu – tơn 5 3 1 n x x        , biết rằng   1 4 3 7 3 , 0 n n n n C C n n        Bài 11: Tìm các số hạng nguyên trong khai triển: a.   5 3 2 3  b. 7 3 4 5 2        Bài 12: Tìm hệ số của: a. 10 x trong khai triển   75 5 3 x  b. 31 x trong khai triển 40 2 1 x x        Bài 13: Tìm hệ số của: a. 25 10 x y trong khai triển của   15 3 x xy  b. 101 99 x y trong khai triển   200 2 3 x y  Bài 14: Trong khai triển 12 x 1 x        hãy tìm số hạng tự do. Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất Đỗ Văn Thọ 4 Bài 15: Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn: a/ ( 2a+b) 4 , b/ ( x-3y) 5 , c/ 6 x 3 x        Bài 16: Tìm hệ số của: a. 16 x trong khai triển   10 2 2 x x  b. 1008 x trong khai triển 2009 2 3 1 x x        c. 8 x trong khai triển 12 1 x x        (ĐHCHQG - 2000) d. 3 7 x y trong khai triển   10 2 x y  e. 10 x trong khai triển 10 2 1 3 3 x        f. 12 x trong khai triển 20 3 3 2x x        g. 43 x trong khai triển 21 5 3 2 1 x x        Bài 17: Tìm số hạng chứa 28 x trong khai triển   10 3 x xy  Bài 18: Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển: a.   21 3 x xy  (nghĩa là có 2 số hạng đứng giữa là số hạng thứ 11, 12) b.   20 4 2 3 1 x x xy          Bài 19: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển a. 7 3 4 1 x x        , với x>0 (ĐH khối D - 2004) b. 17 4 3 3 2 1 x x        , với 0 x  (ĐH QG HN 2000) c. 50 3 2 1 x x        , với 0 x  Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất Đỗ Văn Thọ 5 d. 12 3 3 2 1 x x x          , với 0 x  e. 16 3 4 2 1 1 x x         , với 0 x  f. 60 14 1 x x        , với 0 x  g. 12 3 4 1 x x        , với 0 x  h.   8 2 4 1 x x   i. 20 2 1 x x        , với 0 x  j. 15 3 2 3 2x x        , với 0 x  Bài 20: Trong khai triển 28 3 15 n x x x         , 0 x  . Hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x, biết rằng 1 2 79 n n n n n n C C C      Bài 21: Tìm hệ số của số hạng chứa: a. 8 x trong khai triển 12 5 4 1 x x        b. 5 x trong khai triển     5 10 2 1 2 1 3 x x x x    (Khối D - 2007) Bài 22: Giải các phương trình sau: a. 1 2 3 7 2 n n n C C C n    b. 1 2 3 2 6 6 9 14 n n n C C C n n     c. 2 2 2 3 3 3 2 100 n n n n n n n n C C C C C C      d. 5 3 5 720 n n n P A P    e. 2 2 2 6 12 n n n n P A P A    f. 3 2 1 3 12 n n n A A P    g. 4 5 6 1 3 n n n C C C    Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất Đỗ Văn Thọ 6 Bài 23: Tìm hệ số của số hạng chứa 8 x trong khai triển 5 3 1 n x x        , biết rằng   1 4 3 7 3 n n n n C C n       Bài 24: Cho khai triển 3 23 3 n x x        . Biết tổng hệ số của ba số hạng đầu tiên trong khai triển bằng 631. Tìm hệ số của số hạng có chứa 5 x Bài 25: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức sau a. 18 3 3 1 x x        b. 12 1 x x        Bài 26: Tìm hệ số của số hạng 4 x trong khai triển 12 3 3 x x        Bài 27: Trong khai triển   28 3 15 , 0 n x x x x          . Hãy tìm số hạng không chứa x . Biết rằng 1 2 79 n n n n n n C C C      Bài 28: Tìm x trong khai triển của nhị thức 1 2 2 2 n x x         có tổng số hạng thứ 3 và thứ 5 bằng 135, còn tổng 2 1 22 n n n n n n C C C      Bài 29: ìm hệ số của số hạng chứa 2 x trong khai triển nhị thức 3 2 1 n x x        . Biết tổng ba hệ số thứ nhất, thứ hai, thứ ba trong khai triển trên là 11 Bài 30: Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển   6 3 15  Bài 31: Tìm số hạng nguyên trong khai triển   9 3 3 2  Bài 32: Tính hệ số của 25 10 x y trong khai triển   15 3 x xy  B. Một số bài toán về quy tắc đếm: I. Tóm tắt kiến thức: 1. Quy tắc cộng: Giả sử một công việc có thể tiến hành theo một trong hai phương án A hoặc B. Phương án A có thể thực hiện bởi n cách, phương án B có thể thực hiện m cách. Khi đó công việc có thể thực hiện bởi n+m cách Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất Đỗ Văn Thọ 7 2. Quy tắc nhân: Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể làm theo n cách, công đoạn B có thể làm theo m cách. Khi đó công việc được thực hiện theo n.m cách 3. Hoán vị (hiểu nôm na như sau): Cho tập hợp A gồm n phần tử, khi đó ta lấy “tất cả” n phần tử đó ta đi sắp xếp vào “n vị trí” đã có sẵn 4. Chỉnh hợp (hiểu nôm na như sau): Cho tập hợp A gồm n phần tử, khi đó ta lấy ra “k phần tử trong n phần tử”, sau đó ta lấy k phần tử đó ta “sắp xếp vào k vị trí” đã có sẵn thì gọi là “chỉnh hợp chập k của n phần tử” 5. Tổ hợp (hiểu nôm na như sau): Cho tập hợp A gồm n phần tử, khi đó ta lấy ra “k phần tử trong n phần tử”, gọi là “tổ hợp chập k của n phần tử” Nhận xét: Chỉnh hợp khác tổ hợp ở chỗ là “Chỉnh hợp thì ta lấy ra k phân tử trong n phần tử rồi đi sắp xếp vào k vị trí đã có sẵn” còn “tổ hợp thì ta chỉ lấy ra k phần tử trong n phần tử chứ không sắp xếp gì hết”. * Các chú ý khi giải bài tập 1. Trong bài toán đếm thì ta ưu tiên đếm các trường hợp có điều kiện đặc biệt (trường hợp số 0 đứng đầu trong bài toán đếm số, các điều kiện ràng buộc khác của bài toán…) 2. Ta thường lẫn lộn giữa tổ hợp và chỉnh hợp, điểm khác nhau cơ bản là sắp xếp có thứ tự hay không. Để phân biệt ta làm như sau: Đầu tiên ta đưa ra một đáp án của bài toán sau đó ta đảo vị trí các phần tử trong đáp án, nếu: - Tạo nên đáp án mới  có thứ tự  tổ hợp - Không tạo nên đáp án mới  không có thứ tự  chỉnh hợp II. Bài tập: Bài 1: Một lớp có 30 học sinh. Cần chọn một bạn làm lớp trưởng, một bạn làm lớp phó và một bạn làm thư ký. Hỏi có bao nhiêu cách chọn, biết rằng học sinh nào cũng có khả năng làm lớp trưởng, lớp phó hoặc thư ký như nhau. Bài 2: Một lớp có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất Đỗ Văn Thọ 8 a) Có bao nhiêu cách chọn một học sinh tham gia cuộc thi về môi trường. b) Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh gồm 2 nam và 1 nữ tham gia sân chơi kiến thức dưới cờ. c) Có bao nhiêu cách chọn 4 học sinh trực an toàn giao thông, biết rằng trong đó phải có ít nhất 2 học sinh nam. Bài 3: Một trường phổ thông có 5 học sinh giỏi lớp 10, 6 học sinh giỏi lớp 11 và 8 học sinh giỏi lớp 12. Cần chọn 4 học sinh để tham gia đội tuyển thi “Đố vui để học”. Hỏi có bao nhiêu cách chọn, nếu mỗi khối có ít nhất một học sinh. Bài 4: Một học sinh có 4 quyển sách Toán khác nhau và 3 quyển sách Văn khác nhau. Cần sắp xếp 7 quyển sách trên thành một dãy theo hàng ngang trên một tủ sách. a) Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp. b) Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu 2 quyển kề nhau phải khác nhau. Bài 5: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu: a) Số lẻ có 3 chữ số khác nhau. b) Số chia hết cho 5 và có 3 chữ số khác nhau. Bài 6: Một hội đồng nhân dân có 15 người, cần bầu ra 1 chủ tịch, 1 phó chủ tịch, 1 uỷ ban thư ký và không được bầu 1 người vào 2 hay 3 chức vụ. Hỏi có mấy cách ? Bài 7: Từ 7 chữ số   0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau a. Nếu số đó là số lẻ b. Nếu số đó là số chẵn ĐS: a. 900 số b. 1260 số Bài 8: Có 3 nam và 3 nữ cần xếp ngồi vào một hàng ghế. Hỏi có mấy cách xếp sao cho : a) Nam, nữ ngồi xen kẽ ? b) Nam, nữ ngồi xen kẽ và có một người nam A, một người nữ B phải ngồi kề nhau ? Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất Đỗ Văn Thọ 9 c) Nam, nữ ngồi xen kẽ và có một người nam C, một người nữ D không được ngồi kề nhau ? Bài 9: Cho tám chữ số   0;1;2;3;4;5;6;7 . Có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và không chia hết cho 10 ĐS: 1260 số Bài 10: Cho 6 chữ số 2, 3, 5, 6, 7, 9. Hỏi từ các chữ số đã cho, lập được mấy số đôi một khác nhau và : a) Gồm 3 chữ số ? b) Gồm 3 chữ số và nhỏ hơn 400 ? c) Gồm 3 chữ số và chẵn ? d) Gồm 3 chữ số và chia hết cho 5 ? Bài 11: Có 100000 vé được đánh số từ 00000 đến 99999. Hỏi số vé gồm 5 chữ số khác nhau. Bài 12: Xét dãy số gồm 7 chữ số (mỗi chữ số được chọn từ 0, 1, …., 8, 9) thỏa chữ số vị trí số 3 là số chẵn, chữ số cuối không chia hết cho 5, các chữ số 4, 5, 6 đôi một khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn. Bài 13: Cho 10 chữ số 0, 1, 2, …, 7, 8, 9. Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số khác nhau nhỏ hơn 600000 xây dựng từ các chữ số trên. Bài 14: Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} có thể lập được bao nhiêu số có 8 chữ số từ X mà chữ số 1 có mặt đúng 3 lần còn các chữ số khác có mặt đúng 1 lần. Bài 15: Người ta viết ngẫu nhiên các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu, sau đó xếp ngẫu nhiên thành 1 hàng. a) Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được tạo thành. b) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được tạo thành. Bài 16: Có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ 0, 2, 3, 6, 9. Bài 17: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số lẻ. Bài 18: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau và chia hết cho 5. Bài 19: Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Có bao nhiêu: Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất Đỗ Văn Thọ 10 a) Số chẵn có 4 chữ số khác nhau đôi một. b) Số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5. c) Số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 9. Bài 20: Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau mà số đó không chia hết cho 3. ĐS: 66 số Bài 21 a. Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó chữ số đầu tiên là số lẻ b. Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó có đúng ba số lẻ và ba chữ số chẵn ĐS: a. 42.000 số b. 64.800 số Bài 22: Cho các chữ số   0;1;2;3;4;5 . Từ các chữ số đã cho ta lập được a. Bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số và 4 chữ số đó khác nhau từng đôi một b. Bao nhiêu số chia hết cho 5, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng đôi một c. Bao nhiêu số chia hết cho 9, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng đôi một ĐS: a. 156 số b. 36 số c. 16 số Bài 23: Với các chữ số   0;1;2;3;4;5;6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 5 chữ số khác nhau và trong đó nhất thiết phải có chữ số 5 ĐS: 1560 số Bài 24: a. Có thể tìm được bao nhiêu số gồm ba chữ số khác nhau đôi một b. Từ có chữ số   0;1;2;3;4;5;6;7 lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau ĐS: a. 648 số b. 3000 số Bài 25: Từ các chữ số   1;2;3;4;5;6 thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau. Hỏi trong các số đã thiết lập được, có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau [...]... Bài 14: Tìm xác suất để khi gieo con xúc xắc 6 lần độc lập, không lần nào xuất hiện mặt có số chấm là một số chẵn (ĐS: 1 / 64 ) 15 Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất Đỗ Văn Thọ Bài 15: Một người đi du lịch mang 3 hộp thịt, 2 hộp hoa quả và một hộp sữa kích thước và hình dáng giống hệt nhau Do trời mưa nên các hộp bị mất nhãn Chọn ngẫu nhiên 3 hộp Tìm xác suất để trong đó có 1 hộp thịt, 1 hộp sữa và 1 hộp hoa... ngẫu nhiên 4 quả cân Tìm xác suất để tổng trọng lượng bốn quả cân được chọn không vượt quá 12kg Bài 9: Trong 100 vé xổ số có 1 vé trúng 100.000 đồng, 5 vé trúng 50.000 đồng và 10 vé trúng 10.000 đồng Một người mua ngẫu nhiên 4 vé Tìm xác suất để người mua trúng thưởng 250.000 đồng Bài 10: Gieo đồng thời ba con xúc xắc Tìm xác suất để: a Tổng số chấm xuất hiện ở 3 con là 10 b Tổng số chấm xuất hiện ở... 120 cách b 66 cách C XÁC SUẤT I TÓM TẮT LÝ THUYẾT: - Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù ta đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó - Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là  - Biến cố là một tập con của không gian mẫu 13 Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất Đỗ Văn Thọ - Tập... gọi là biến cố chắc chắn - Xác suất của biến cố A Ta gọi n  A là số phần tử của A, còn n    là số kết quả có thể xảy ra của phép thử Khi đó xác suất của biến cố A, kí hiệu là P  A  n  A P  A  n  II Bài tập: Bài 1: Xác định không gian mẫu và số phần tử khi gieo ngẫu nhiên 1 đồng xu: a 1 lần b 2 lần liên tiếp c 3 lần liên tiếp Bài 2: Xác định không gian mẫu và số phần tử khi gieo ngẫu... viên bi trắng và 2 viên bi vàng Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi a Mô tả không gian mẫu b Mô tả biến cố có 2 bi trắng c Biến cố: “có nhiều nhất 2 bi trắng” có bao nhiêu khả năng? Bài 5: Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương nhỏ hơn 9 Tính xác suất để: a Số được chọn là số nguyên tố b Số được chọn chia hết cho 3 Bài 6: Gieo hai con xúc xắc cân đối a Mô tả không gian mẫu 14 Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất Đỗ Văn Thọ... trong đó có 6 nam và 4 nữ Người quản lí chọn ngẫu nhiên 6 người Tìm xác suất để a Có 6 khách là nam b Có 4 khách nam, 2 khách nữ c Có ít nhất 2 khách nữ Bài 12: Một hòm có 9 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 9 Chọn ngẫu nhiên ra 2 tấm thẻ Tính xác suất để tích của hai số trên hai tấm thẻ là một số chẵn Bài 13: Chọn ngẫu nhiên 5 quân bài trong cỗ bài tú lơ khơ ta được một sấp 5 bài Tính xác suất để trong sấp... cách ngẫu nhiên lên một toa Tìm xác suất để có đúng 1 khách lên tàu (ĐS: 7!/ 7 7 ) Bài 19: Một đợt xổ số phát hành 20.000 vé trong đó có 1 giải nhất, 100 giải nhì, 200 giải ba, 1000 giải tư và 5000 giải khuyến khích Tìm xác suất để 1 người mua 3 vé, trúng 1 giải nhì, 2 giải khuyến khích (ĐS: 25999 / 199996666 ) Bài 20: Gieo đồng thời 3 con xúc xắc Tìm xác suất để tổng số chấm xuất hiện của ba con là... lập bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau sao cho trong các chữ số đó có mặt chữ số 0 và 1 ĐS: 42.000 số Bài 32: Cho tập A  0;1; 2;3; 4;5;6; 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau đôi một trong các trường hợp sau: a Số 5 chữ số là số chẵn b Một trong 3 chữ số đầu tiên phải bằng 1 11 Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất Đỗ Văn Thọ ĐS: a 3000 số b 2280 số Bài 33: Một lớp học có 25 học sinh Lớp học... ban cán sự lớp gồm một lớp trưởng, một lớp phó và 3 ủy viên Hỏi có mấy cách lập ra ban cán sự lớp ĐS: 13.160.160 Bài 37: Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn học sinh A, B, C, D và E vào một chiếc ghế dài sao cho: a Bạn C ngồi chính giữa b Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế ĐS: a 24 cách b 12 cách Bài 38: Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó Hỏi... Bài 39: Trong một phòng có hai bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 hoc sinh gồm 5 nam và 5 nữ Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi nếu: a Các học sinh ngồi tùy ý b Các học sinh nam ngồi một bàn và các học sinh nữ ngồi môt bàn ĐS: a 3.628.800 b 28.800 12 Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất Đỗ Văn Thọ Bài 40: Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp Hỏi có bao nhiêu cách cử ba người . BÀI TẬP TỔ HỢP – XÁC SUẤT Đỗ Văn Thọ (Biên soạn) Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất Đỗ Văn Thọ 2 BÀI TẬP: TỔ HỢP – XÁC SUẤT A. Các. vào k vị trí” đã có sẵn thì gọi là “chỉnh hợp chập k của n phần tử” 5. Tổ hợp (hiểu nôm na như sau): Cho tập hợp A gồm n phần tử, khi đó ta lấy ra “k phần tử trong n phần tử”, gọi là tổ hợp. của n phần tử” Nhận xét: Chỉnh hợp khác tổ hợp ở chỗ là “Chỉnh hợp thì ta lấy ra k phân tử trong n phần tử rồi đi sắp xếp vào k vị trí đã có sẵn” còn tổ hợp thì ta chỉ lấy ra k phần tử trong