TRẦN NAM DŨNG (chủ biên) LỜI GIẢI VÀ BÌNH LUẬN ĐỀ THI CÁC TỈNH, CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2009-2010 MATHSCOPE.ORG dddd Lời nói đầu Kỳ thi VMO năm nay sẽ được tổ chức vào tháng 3/2010. Hiện nay các trường và các tỉnh đang hoàn tất việc thi HSG cấp tỉnh và thành lập đội tuyển. Sau kỳ thi học kì I, việc luyện thi cho kỳ thi VMO 2010 sẽ được khởi động tại tất cả các địa phương. Nhằm giúp các bạn học sinh có thêm cơ hội trao đổi, học hỏi, rèn luyện kỹ năng giải toán, chúng tôi thực hiện cuốn sách này. Thông qua việc giải và bình luận các đề thi học sinh giỏi các tỉnh và các trường Đại học, chúng tôi sẽ đưa ra những bài tập tương tự, nói thêm về phương pháp sử dụng trong bài giải nhằm giúp các bạn nhìn rộng hơn về vấn đề, để có thể áp dụng cho những bài toán khác. Cuốn sách được sự tham gia về chuyên môn của các thầy cô giáo chuyên toán, các cựu IMO, VMO. Ý kiến đóng góp, bình luận có thể gửi trực tiếp qua chủ đề mà chúng tôi mở trên Mathscope.org hoặc theo địa chỉ trannamdung@ovi.com với tiêu đề [4VMO2010]. Các thành viên có đóng góp sẽ được tôn vinh và nhận những quà tặng ý nghĩa. Cuốn sách được thực hiện với sự giúp đỡ của Nokia Vietnam (http://www.nokia. com.vn). TP HCM, ngày 02 tháng 12 năm 2009 Trần Nam Dũng iii iv Trần Nam Dũng (chủ biên) Lời cảm ơn Xin cảm ơn sự nhiệt tình tham gia đóng góp của các bạn: 1. Võ Quốc Bá Cẩn 2. Phạm Tiến Đạt 3. Phạm Hy Hiếu 4. Tạ Minh Hoằng 5. Nguyễn Xuân Huy 6. Mai Tiến Khải 7. Hoàng Quốc Khánh 8. Nguyễn Vương Linh 9. Nguyễn Lâm Minh 10. Nguyễn Văn Năm 11. Đinh Ngọc Thạch 12. Lê Nam Trường 13. Võ Thành Văn Cùng rất nhiều bạn yêu toán khác. v vi Trần Nam Dũng (chủ biên) Mục lục Lời nói đầu iii Lời cảm ơn v I Đề toán và lời giải 1 1 Số học 3 1.1 Đề bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Phương trình, hệ phương trình 15 2.1 Đề bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 Bất đẳng thức và cực trị 27 3.1 Đề bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4 Phương trình hàm và đa thức 43 4.1 Đề bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.2 Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5 Hình học 57 5.1 Đề bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.2 Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 6 Tổ hợp 71 6.1 Đề bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 6.2 Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 vii viii Trần Nam Dũng (chủ biên) 7 Dãy số 89 7.1 Đề bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7.2 Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 II Một số bài giảng toán 99 8 Giải phương trình hàm bằng cách lập phương trình 101 9 Dãy truy hồi loại u n+1 = f (u n ) 107 10 Các định lý tồn tại trong giải tích và định lý cơ bản của đại số 113 11 Phép chứng minh phản chứng 123 12 Nguyên lý Dirichlet 127 13 Cauchy-Bunyakovski-Schwarz Inequality 137 A Đề luyện đội tuyển cho kỳ thi VMO 2010 145 B Hướng dẫn nội dung bồi dưỡng học sinh thi chọn học sinh giỏi Toán Quốc gia lớp 12 THPT 151 Phần I Đề toán và lời giải 1 [...]... 603, x2 = 102 và xn+2 = xn+1 + xn + 2 xn+1 xn − 2 với mọi n ≥ 1 Chứng minh rằng (1) Tất cả các số hạng của dãy số đã cho đều là các số nguyên dương (2) Tồn tại vô hạn số nguyên dương n sao cho biểu diễn thập phân của xn có bốn chữ số tận cùng là 2003 Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh, các trường Đại học năm học 2009 -2010 7 (3) Không tồn tại số nguyên dương n mà biểu diễn thập phân của xn có bốn... Nhận thấy x = 6 là nghiệm của phương trình f (x) = 9, suy ra x = 6 là nghiệm duy nhất của phương trình f (x) = 9, và cũng là nghiệm duy nhất của phương trình đề bài Bài 2.3 Giải hệ phương trình  2  x = y+a y2 = z + a ,  2 z = x+a trong đó a là tham số thoả mãn điều kiện 0 < a < 1 (Ninh Bình) Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh, các trường Đại học năm học 2009 -2010 19 Lời giải Không mất tính tổng...    2  bc − az + 1 = ab  yz 2.12 Giải hệ phương trình 9y3 (3x3 − 1) = −125 45x2 y + 75x = 6y2 Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh, các trường Đại học năm học 2009 -2010 2.2 17 Lời giải Bài 2.1 Giải phương trình 1 2x + 1 1 log2 (x + 2) + x + 2 = log2 + 1+ 2 x x 2 √ + 2 x + 2 (1) (Đại học Vinh) Lời giải Điều kiện để phương trình (1) xác định là x ∈ −2, − 1 ∪ (0, +∞) Bây 2 giờ, ta biến đổi phương... 2) là nghiệm của (1), với k = 4 ta có (1, 1) là nghiệm của (1) Vậy k = 3 và k = 4 là tất cả các giá trị cần tìm suy ra x0 = y0 Thay vào (1) ta được 2 + Ta cũng có thể đánh giá k khác một chút, như sau 2 Cách 1 Từ đẳng thức x0 + y2 + x0 + y0 = kx0 y0 , chia hai vế cho x0 , y0 , ta được 0 x0 y0 1 1 + + + = k y0 x0 y0 x0 Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh, các trường Đại học năm học 2009 -2010 Mặt khác,... trái nguyên tố cùng nhau, và u và v cũng thế Như vậy tồn tại bốn số nguyên Ta cũng có D2 − B2 = 4uv, và có thể viết thành Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh, các trường Đại học năm học 2009 -2010 13 đôi một nguyên tố cùng nhau a, b, c, d (trong đó có đúng một số chẵn) sao cho u = ab, v = cd, D + B = 2ac và D − B = 2bd Từ đây suy ra B = ac − bd, và như vậy ta có thể thế vào phương trình u2 + v2 =... m ∈ N, m lẻ Ta có k 3n − 1 = 32 m k − 1 = 32 − 1 k 32 m−1 k + 32 m−2 k + · · · + 32 + 1 Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh, các trường Đại học năm học 2009 -2010 11 k m−1 k m−2 k Do m lẻ nên 32 + 32 + · · · + 32 + 1, suy ra 3n − 1 22009 khi và chỉ k khi 32 − 1 22009 Từ đây suy ra k ≥ 2, và ta có phân tích 2 k k−1 32 − 1 = (3 − 1)(3 + 1)(32 + 1) 32 + 1 · · · 32 2 k−1 = 23 (32 + 1) 32 + 1 ·... tố cùng nhau Chứng minh rằng tồn tại số nguyên k sao cho (pq − 1)n k + 1 là hợp số với mọi số nguyên dương n Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh, các trường Đại học năm học 2009 -2010 1.2 5 Lời giải n là số lẻ với d = (m, n) d Xác định (am + 1, an − 1) với a là số nguyên dương lớn hơn 1 (Đại học Vinh) Bài 1.1 Giả sử m, n là hai số nguyên dương thoả mãn 2m n n m n , = 1 Vì là số lẻ nên ta có , = 1,... x2 , , x2009 ) và 6 6 6 (x1 , x2 , , x2009 ) được sắp thứ tự như nhau, ta có 2009 2009 ∑ xi2 ∑ xi6 i=1 i=1 2009 ≤ 2009 ∑ xi8 i=1 (2) Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh, các trường Đại học năm học 2009 -2010 23 Từ (1) và (2) ta suy ra 2009 ∑ i=1 2009 8 xi ≥ ∑ xi6 (3) i=1 Từ phương trình thứ hai của hệ đã cho ta suy ra dấu bằng xảy ra ở (3), tức là dấu bằng phải xảy ra ở (1) và ở (2), tức là... vào năm 1780, nhưng trong chứng minh có đôi chỗ có vấn đề, và Weil cũng nói rằng một chứng minh tốt hơn được đưa ra bởi J.Itars vào năm 1973 Bài toán này được đưa vào đề thi e rằng là hơi quá sức, bởi trong phòng thi, nếu không biết trước, khó lòng có thể tìm ra được lời giải trong vòng 180 (cùng với 3 bài toán khác) Tình huống này khiến ta nhớ đến bài 3 của kỳ TST 2009 14 Trần Nam Dũng (chủ biên) Lời. ..  3x · 5 · 3x + 5 = 6  y y 5 Đặt a = 3x và b = Thế thì ta có y a3 + b3 = 9 ab(a + b) = 6 Bằng một chút biến đổi đơn giản, dễ thấy hệ này tương đương với a+b = 3 ab = 2 2 Giải ra ta tìm được a = 2, b = 1 (tương ứng với x = , y = 5) hoặc a = 1, b = 2 3 1 5 (tương ứng với x = , y = ) 3 2 Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh, các trường Đại học năm học 2009 -2010 Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm . biên) LỜI GIẢI VÀ BÌNH LUẬN ĐỀ THI CÁC TỈNH, CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2009 -2010 MATHSCOPE.ORG dddd Lời nói đầu Kỳ thi VMO năm nay sẽ được tổ chức vào tháng 3 /2010. Hiện nay các trường và các tỉnh. cơ hội trao đổi, học hỏi, rèn luyện kỹ năng giải toán, chúng tôi thực hiện cuốn sách này. Thông qua việc giải và bình luận các đề thi học sinh giỏi các tỉnh và các trường Đại học, chúng tôi sẽ. 137 A Đề luyện đội tuyển cho kỳ thi VMO 2010 145 B Hướng dẫn nội dung bồi dưỡng học sinh thi chọn học sinh giỏi Toán Quốc gia lớp 12 THPT 151 Phần I Đề toán và lời giải 1 Chương 1 Số học “Toán học