Đang tải... (xem toàn văn)
Những kết luận mới của luận án: - Chứng minh Định lý bốn đỉnh trên mặt phẳng với mật độ cầu đúng khi và chỉ khi hàm mật độ là một hằng số. - Đưa ra một phân loại triệt để các đường có f -độ cong hằng trên mặt phẳng với mật độ f-tuyến tính. - Chỉ ra rằng một đường cong có f-vectơ vận tốc hằng và f -trắc địa khi và chỉ khi nó là điểm cực tiểu của f-phiếm hàm năng lượng. - Phát biểu và chứng minh được định lý kiểu Bernstein cho đồ thị f-cực tiểu toàn phần trong không gian Gn X• .
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN LÊ NAM MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐƯỜNG VÀ MẶT TRONG KHÔNG GIAN VỚI MẬT ĐỘ Chuyên ngành: Hình học và Tôpô Mã số: 62. 46. 10. 01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2015 0 Công trình được hoàn thành tại: Đại học Vinh Người hướng dẫn khoa học: 1. PGS.TS Đoàn Thế Hiếu 2. TS Nguyễn Duy Bình Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp trường họp tại vào hồi giờ 00 phút, ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện: 1. Thư viện Nguyễn Thúc Hào – Trường Đại học Vinh 2. Thư viện quốc gia Việt Nam 1 MỞ ĐẦU 1 Lý do chọn đề tài Đa tạp với mật độ là một đa tạp Riemann (M n , g) với một hàm trơn, dương, thường được dùng là e −f ở đó f là một hàm trơn, được sử dụng làm trọng số cho thể tích k-chiều (1 ≤ k ≤ n). Trong luận án, chúng tôi dùng các khái niệm f-thể tích, f -diện tích, f-độ dài, f -độ cong, f-độ cong trung bình, f-trắc địa, siêu mặt f-cực tiểu, siêu mặt f-ổn định lần lượt để chỉ thể tích, diện tích, độ dài, độ cong của đường cong phẳng, độ cong trung bình, đường trắc địa, siêu mặt cực tiểu, siêu mặt ổn định theo mật độ. Đây là một phạm trù mới, có nhiều ứng dụng trong Toán học, Vật lý. Đặc biệt, không gian Gauss, tức là R n với mật độ 1 (2π) n/2 e −|x| 2 /2 , được nhiều nhà xác suất quan tâm. Do đó, việc tìm hiểu hình học vi phân trên đa tạp với mật độ không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có ý nghĩa thực tiễn. Nhận thấy vai trò quan trọng của đa tạp với mật độ, giáo sư F. Morgan đã đề ra một dự án "rất quan trọng" là "tổng quát hóa toàn bộ hình học vi phân cổ điển lên đa tạp với mật độ". Trong dự án đó, ông và các cộng sự đã đạt được nhiều kết quả về bài toán đẳng chu, tổng quát một số định lý cổ điển của lý thuyết đường lên mặt phẳng với mật độ. Chẳng hạn, C. Ivan và các đồng nghiệp đã mở rộng Định lý Gauss-Bonet (xem [40]); F. Morgan đã chứng minh Định lý Myers với mật độ (xem [50]). Họ cũng chứng minh được nghiệm của bài toán đẳng chu trong không gian với mật độ nếu tồn tại thì biên của nó phải có f-độ cong trung bình hằng (xem [40]). Do đó, việc khảo sát tính chất hình học của siêu mặt có f-độ cong trung bình hằng, đặc biệt các siêu mặt f-cực tiểu là cần thiết. Bên cạnh đó, các nhà nghiên cứu cũng chỉ ra một số kết quả về lý thuyết đường không còn đúng khi được gia thêm mật độ. Qua đó, chúng ta thấy rằng có rất nhiều vấn đề về lý thuyết đường trong không gian với mật độ cần được nghiên cứu như: Định lý nào của hình học vi phân đặc trưng cho mặt phẳng Ơclit? Các định lý nào có thể mở rộng lên mặt phẳng với mật độ? Phân loại các đường có f-độ cong hằng trên các mặt phẳng với mật độ, khảo sát các đường f-trắc địa trên đa tạp với mật độ. 2 Lý thuyết mặt trong không gian với mật độ cũng là một lĩnh vực nghiên cứu đang rất thời sự. Những năm gần đây, I. Corwin, C. Ivan và các cộng sự đã cho một số ví dụ và tính chất về các mặt có f-độ cong trung bình hằng (xem [40]). D. T. Hieu và N. M. Hoang đã phân loại các mặt mặt kẻ trụ f-cực tiểu, mặt tịnh tiến f-cực tiểu trong không gian với mật độ log-tuyến tính (xem [32]). D. T. Hieu đã áp dụng phương pháp dạng cỡ cho đa tạp với mật độ vào khảo sát tính f -ổn định của một số lớp siêu mặt đặc biệt (xem [33]). T. H. Colding, W. P. Minicozzi II và S. J. Kleene đã đưa ra một số tính chất hình học của mặt f-cực tiểu trong không gian Gauss (xem [18], [45]),. . . Một số định lý cổ điển của hình học vi phân về siêu mặt cực tiểu cũng được chứng minh trong không gian với mật độ cụ thể như: Định lý Bernstein, Định lý Liouville, bất đẳng thức Simons (xem [8], [36], [57]),. . . Các kết quả đó cho thấy lý thuyết mặt nói chung, lý thuyết mặt cực tiểu nói riêng biến đổi rất đa dạng khi được gia thêm mật độ. Do đó, việc khảo sát các định lý của siêu mặt f -cực tiểu trong không gian với một số mật độ quen thuộc là đáng quan tâm và cần thiết. Với các lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là "Một số tính chất của đường và mặt trong không gian với mật độ". 2 Mục đích nghiên cứu Chúng tôi nghiên cứu lý thuyết đường và lý thuyết mặt trong không gian với mật độ theo các mục đích sau: . (a) Khảo sát Định lý bốn đỉnh và mở rộng Định lý Fenchel trên các mặt phẳng với mật độ; (b) Phân loại các đường cong có f-độ cong hằng trên mặt phẳng với mật độ log-tuyến tính; (c) Nghiên cứu các tính chất của đường f-trắc địa cực tiểu trên đa tạp với mật độ; (d) Chứng minh một số định lý kiểu Bernstein trên không gian Gauss, không gian G n ×R và trên các không gian với mật độ tổng quát; (e) Chứng minh định lý kiểu Bernstein cho mặt f-cực tiểu trong không gian G 2 × R n−2 , với n ≥ 3. 3 3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Lý thuyết đường và lý thuyết mặt trong không gian với mật độ. 3.2 Phạm vi nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu các vấn đề sau: . • Các định lý cổ điển của lý thuyết đường trên mặt phẳng với mật độ như: Định lý bốn đỉnh, Định lý Fenchel; • Phân loại các đường cong có f-độ cong hằng trên mặt phẳng với mật độ; • Khảo sát tính chất hình học của các đường f-trắc địa cực tiểu; • Siêu mặt f -cực tiểu trong không gian Gauss và không gian với mật độ tích; • Các định lý kiểu Bernstein trong các không gian với mật độ cụ thể. 4 Phương pháp nghiên cứu Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong khi thực hiện đề tài. Về mặt kỹ thuật, luận án sử dụng 4 phương pháp chính. Đó là phương pháp giải phương trình vi phân để xác định tham số hóa của các đường cong có f-độ cong hằng, các mặt f-cực tiểu; phương pháp biến phân để xác định tham số của các đường f-trắc địa cực tiểu, xác định các biến phân f-diện tích; phương pháp dùng dạng cỡ để chứng minh các tính chất cực tiểu diện tích; phương pháp dùng các ước lượng gradient, ma trận của dạng cơ bản thứ hai và dùng nguyên lý cực đại để chứng minh các định lý kiểu Bernstein. 5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Như chúng ta đã thấy, đa tạp với mật độ là một lĩnh vực nghiên cứu rất mới và hấp dẫn. Các kết quả mang tính thời sự, có nhiều ứng dụng trong Toán học và Vật lý. Đặc biệt, các tính chất hình học của đường và siêu mặt biến đổi rất đa dạng khi được gia thêm mật độ. Do đó, việc nghiên cứu về lý thuyết đường và lý thuyết mặt trên các không gian với mật độ là đáng quan tâm và cần thiết. Những kết quả 4 đạt được sẽ góp phần làm phong phú thêm sự hiểu biết về hình học vi phân của đường và mặt trong không gian với mật độ. Luận án có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh chuyên ngành Hình học - Tôpô. 6 Tổng quan và cấu trúc của luận án 6.1 Tổng quan một số vấn đề liên quan đến luận án Trên đa tạp với mật độ (M n , g, e −f dV ), D. Barky - M. Émery, M. Gromov (xem [3], [30]) đề xuất mở rộng độ cong trung bình và độ cong Ricci của một siêu mặt lần lượt là H f = H + 1 n −1 df dN , và Ric f = Ric + Hessf, ở đó N là trường vectơ pháp đơn vị của siêu mặt. Các mở rộng trên đã được kiểm tra thỏa mãn các biến phân thứ nhất và thứ hai của phiếm hàm diện tích theo mật độ (xem [40], [47], [49], [50]). H f , Ric f lần lượt được gọi là độ cong trung bình theo mật độ hay f-độ cong trung bình và độ cong Ricci theo mật độ hay f-độ cong Ricci. Khái niệm đa tạp với mật độ đã từng xuất hiện trong Toán học với các tên gọi khác nhau như: đa tạp với trọng (weighted manifolds), "không gian của các kiểu thuần nhất" (space of homogeneous type) (xem [15]), "không gian mêtric-độ đo" (metric-measure space) (xem [30]). Năm 2004, V. Bayle đã trình bày tổng quan về không gian mêtric- độ đo và khảo sát biến phân thứ hai của phiếm hàm f-diện tích trong luận án của ông (xem [4]). Một năm sau đó, F. Morgan đã gọi tên các lớp đa tạp này là đa tạp với mật độ (manifolds with density) (xem [49]). Trong bài báo đó, ông trình bày biến phân thứ nhất, thứ hai của phiếm hàm f-diện tích, các mở rộng của ước lượng thể tích của Heintze và Karcher, tổng quát bất đẳng thức đẳng chu của Levy và Gromov. Ông cũng trình bày chi tiết hơn về đa tạp với mật độ, vai trò của mật độ trong chứng minh giả thuyết Poincaré của Perelman ở cuốn sách Lý thuyết độ đo hình học (p. 197-201, [51]). 5 Đa tạp với mật độ là một phạm trù tốt để mở rộng các bài toán về biến phân trong hình học như: bài toán đẳng chu, siêu mặt f-cực tiểu, f-ổn định. Sau đây là một số kết quả về bài toán đẳng chu trên đa tạp với mật độ. Năm 1975, C. Borell đã chứng minh một bất đẳng thức đẳng chu trong không gian Gauss. Ông đã chỉ ra miền đẳng chu trên không gian này là nửa không gian (xem [7]). Một kết quả hết sức bất ngờ. Tiếp theo, M. Gromov chứng minh được hình cầu tâm O là miền đẳng chu trên không gian R n với mật độ e a|x| 2 , a > 0, (xem [29]). S. G. Bobkov và C. Houdré tìm ra nghiệm của bài toán đẳng chu trên đường thẳng với mật độ giảm dần (xem [6]); E. A. Carlen và C. Kerce chứng minh tính duy nhất nghiệm của bài toán đẳng chu trên nửa không gian Gauss (xem [10]); C. Antonio, F. Morgan, A. Ros và B. Vincent chỉ ra điều kiện cần cho bài toán đẳng chu tồn tại nghiệm, tính chính quy của miền nghiệm, chứng minh rằng siêu mặt cầu là nghiệm duy nhất của bài toán đẳng chu trong không gian R n với mật độ e a|x| 2 , a > 0, (xem [11], [48], [55]). Đối với bài toán đẳng chu trên mặt phẳng với các mật độ cụ thể, một nhóm sinh viên của trường Williams, dưới sự hướng dẫn của giáo sư F. Morgan, đã có một số kết quả ban đầu như: biên của miền đẳng chu trên mặt phẳng với mật độ phải có f-độ cong hằng (xem [12], [40]), tính chất nghiệm của bài toán bong bóng đôi trong không gian Gauss (xem [39], [11]), các kết quả về bài toán đẳng chu trong các hình quạt Gauss (xem [11], [26]), không tồn tại nghiệm bài toán đẳng chu trên mặt phẳng với mật độ e x , tính duy nhất nghiệm của bài toán đẳng chu trên mặt phẳng với mật độ r p , p > 0 (xem [12]). Theo hướng mở rộng các định lý cổ điển của hình học vi phân lên không gian và đa tạp với mật độ, nhiều kết quả đã được công bố như: Định lý Gauss-Bonnet suy rộng (xem [20], [40]), tính duy nhất của đường trắc địa trên mặt phẳng với mật độ có độ cong Gauss suy rộng âm (xem [12]), Định lý Myers trên mặt phẳng và không gian với mật độ (xem [50]), Định lý Liouville trên không gian với mật độ (xem [8], [36]),. . . Tuy nhiên, một số định lý cổ điển không còn đúng khi gia thêm mật độ. Chẳng hạn, Định lý bốn đỉnh trên mặt phẳng với mật độ cầu là không đúng (xem [31]). Ngoài các hướng nghiên cứu trên, việc nghiên cứu lý thuyết về siêu mặt f-cực tiểu, siêu mặt có f-độ cong hằng, f-độ cong Gauss hằng 6 trong không gian và đa tạp với mật độ cũng nhận được nhiều sự quan tâm. Các tác giả C. Ivan, H. Stephanie, Ă. Vojislav và Y. Xu đã chỉ ra một số mặt có f -độ cong trung bình hằng trong không gian Gauss, khảo sát một số chính chất hình học của các mặt có f -độ cong trung bình hằng (xem [40]), J. M. Espinar và H. Rosenberg đã khảo sát tính chất hình học của các mặt đầy đủ và có f -độ cong trung bình hằng (xem [25]), D. T. Hieu và N. M. Hoang đã phân loại các mặt kẻ trụ f-cực tiểu trong không gian R 3 với mật độ log-tuyến tính (xem [32]). Tính chất cực tiểu f-diện tích của các siêu mặt f-cực tiểu cũng được một số người làm hình học quan tâm. Chẳng hạn, D. T. Hieu đã áp dụng phương pháp dạng cỡ với mật độ để chứng minh một số đa tạp con là f-cực tiểu diện tích (xem [33]). Bên cạnh đó, các tính chất của siêu mặt f-cực tiểu ổn định cũng được khảo sát bởi một số tác giả (xem [13], [33], [47]). Chúng ta có thể xem các nghiệm tự đồng dạng của dòng độ cong trung bình là các trường hợp đặc biệt của các siêu mặt f-cực tiểu trong các không gian với mật độ. Cho M là một đa tạp Riemann khả vi n-chiều trong không gian R n+1 . Một phép nhúng phụ thuộc thời gian x t = x(., t) : M ×[0, T ) −→ R n+1 , ở đó [0, T ) ⊂ R, là một nghiệm của dòng độ cong trung bình nếu ∂ ∂t x(p, t) = −H(p, t)N(p, t), p ∈ M, t ∈ [0, T ), (1) với H(p, t), N(p, t) lần lượt là độ cong trung bình và vectơ pháp đơn vị của siêu mặt x t (M) tại x t (p). Trong hệ tọa độ chuẩn tắc, do ∆x = −HN nên phương trình trên có thể viết lại dạng ∂ ∂t x(p, t) = ∆x. (2) Đây là phương trình truyền nhiệt. Trong không gian R n+1 , xét các nghiệm của dòng độ cong trung bình dạng x(u, t) = λ(t)x 0 (u), ở đó λ(t) > 0. Khi đó, chúng ta có λ (t)x 0 = H λ(t), x , N λ(t), x . (3) 7 Từ đó, chúng ta được H(x 0 ) = a x 0 , N(x 0 ), (4) với a = λλ là một hằng số và λ = λ 2 0 + 2at. Chúng ta xét 2 trường hợp sau: . (i) Nếu a < 0 thì λ → 0 khi t → −λ 0 2a . Ta gọi x t là một tự co rút (self-shrinker). (ii) Nếu a > 0 thì λ → ∞ khi t → ∞. Ta gọi x t là một tự giãn nở (self-expander). Mặt khác, chúng ta xét không gian R n+1 với mật độ e a|x| 2 /2 . Khi đó, f-độ cong trung bình của siêu mặt xác định bởi x t được cho bởi H f = H − a x, N. (5) Từ các đẳng thức (4) và (5), chúng ta thấy rằng các siêu mặt f-cực tiểu trong không gian R n+1 với mật độ e a|x| 2 /2 là các siêu mặt tự co rút nếu a < 0, là các siêu mặt tự giãn nở nếu a > 0. Hoàn toàn tương tự, các nghiệm tịnh tiến x t = x 0 + at, ở đó a ∈ R n+1 là một vectơ hằng, của dòng độ cong trung bình là các siêu mặt f-cực tiểu trong không gian R n+1 với mật độ log-tuyến tính e ax . Một số tác giả còn mở rộng việc nghiên cứu nghiệm tịnh tiến của dòng mở rộng với một lực tác động (with a forcing term) dạng ∂ ∂t x t = −(H + b).N, b ∈ R. Khi đó, f-độ cong trung bình của x t trên R n+1 với mật độ log-tuyến tính là một hằng số (xem [19], [22], [24], [37], [53]). Như vậy, các mặt f -cực tiểu trong không gian Gauss, không gian R n với mật độ e |x| 2 /4 và không gian với mật độ log-tuyến tính là các trường hợp đặc biệt của nghiệm tự đồng dạng của dòng độ cong trung bình. Đây là một lĩnh vực nghiên cứu đang rất thời sự. Bên cạnh các kết quả về tính lồi, thời gian tồn tại hữu hạn, hội tụ về điểm tròn, tính chính qui, phân loại các các kì dị loại I của dòng độ cong trung bình (xem [27], [28]), việc phân loại các nghiệm tuyến tính với vận tốc hằng cũng có một số kết quả ban đầu (xem [38], [41], [42], [43]). Đối với các 8 nghiệm tự đồng dạng, N. Kapouleas, S. J. Kleene và N. M. Møller đã xây dựng thành công một dòng tự co rút không compact (xem [44]). S. J. Kleene và N. M. Møller đã chỉ ra rằng một tự co rút tròn xoay, đầy đủ, nhúng trong không gian R n hoặc là siêu phẳng, siêu mặt cầu, siêu mặt trụ hoặc là tích của đường tròn với một (n − 2)-cầu (xem [45]). Một số tác giả nghiên cứu lĩnh vực này cũng đưa ra các đánh giá về tăng trọng thể tích, ước lượng gradient, khảo sát tính ổn định và compact của dòng độ cong trung bình (xem [14], [18], [19], [23], [46]). K. Ecker và G. Huisken đã chứng minh được định lý kiểu Bernstein cho các mặt tự co rút với điều kiện tăng trọng thể tích theo đa thức (xem [23]). Sau đó, điều kiện này được bỏ đi bởi L. Wang (xem [57]). 6.2 Cấu trúc của luận án Ngoài các phần Một số ký hiệu thường dùng trong luận án, Mở đầu, Kết luận chung và Kiến nghị, Danh mục công trình liên quan trực tiếp đến luận án và Tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận án được trình bày trong 3 chương. Chương 1 được dành để giới thiệu các kiến thức cơ sở của luận án. Mục 1.1 trình bày các khái niệm cơ bản trên đa tạp với mật độ. Mục 1.2 trình bày các định nghĩa và công thức tính độ cong trung bình của mảnh tham số của siêu mặt trong không gian R n . Mục 1.3 trình bày khái niệm và công thức tính độ cong trung bình và độ cong Ricci của một đa tạp con định hướng được trong đa tạp Riemann. Mục 1.4 trình bày 4 tích phân và 1 bất đẳng thức cần sử dụng trong luận án. Chương 2 trình bày về lý thuyết đường trên mặt phẳng và đa tạp với mật độ. Mục 2.1 trình bày về khái niệm f-độ cong của đường cong phẳng, biến phân thứ nhất của phiếm hàm f-độ dài. Mục 2.2 trình bày về Định lý Gauss-Bonnet suy rộng. Mục 2.3 trình bày về định lý kiểu Fenchel trên mặt phẳng với mật độ. Mục 2.4 trình bày về Định lý bốn đỉnh trên mặt phẳng với mật độ cầu. Mục 2.5 phân loại các đường cong có f-độ cong hằng trên mặt phẳng với mật độ log-tuyến tính. Mục 2.6 trình bày về đường f-trắc địa cực tiểu trong đa tạp với mật độ. Các kết quả chính của Chương 2 là Định lý 2.3.2, Định lý 2.4.7, Hệ quả 2.4.10, Hệ quả 2.4.11, Định lý 2.5.3, và Mệnh đề 2.6.6. Các nội dung chính của Chương 2 được trình bày trong 4 bài báo [5], [31], [34] và [52]. [...]... tạp với mật độ, f -độ dài, f -diện tích, f -thể tích, không gian Gauss, không gian với mật độ cầu và log-tuyến tính, đa tạp tích với mật độ tích 1.2 Mảnh tham số của siêu mặt trong Rn Trong mục này, chúng tôi giới thiệu các khái niệm: mảnh tham số của siêu mặt chính qui, đạo hàm theo hướng của một trường vectơ, ánh xạ Weingarten, dạng cơ bản thứ hai, độ cong chính, phương chính, độ cong trung bình của. .. thức và tích phân cần sử dụng trong luận án 11 Chương 2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA ĐƯỜNG TRÊN MẶT PHẲNG VÀ TRÊN ĐA TẠP VỚI MẬT ĐỘ Trong chương này, chúng tôi phát biểu và chứng minh Định lý Fenchel, Định lý bốn đỉnh trên mặt phẳng với mật độ cầu, phân loại các đường cong có f -độ cong hằng trên mặt phẳng với mật độ log-tuyến tính và thiết lập mối quan hệ giữa các đường f -trắc địa cực tiểu với f... trên mặt với mật độ - Phát biểu và chứng minh định lý kiểu Fenchel trên mặt phẳng với mật độ e−f , trong đó f là một hàm điều hòa - Chứng minh rằng Định lý bốn đỉnh trong mặt phẳng với mật độ cầu đúng khi và chỉ khi hàm mật độ là một hàm hằng Tức là, Định lý bốn đỉnh có thể dùng đặc trưng cho mật độ Ơclít trong lớp các mật độ cầu - Phân loại triệt để các đường cong có f -độ cong hằng trên mặt phẳng với. .. thuyết mặt trong không gian với mật độ Mục 3.1 trình bày về khái niệm f -độ cong trung bình, biến phân thứ nhất và thứ hai của phiếm hàm f -diện tích, mối quan hệ giữa các f -độ cong trung bình đối với các mật độ khác nhau Mục 3.2 trình bày về nguyên lý dạng cỡ trên đa tạp với mật độ, tính cực tiểu f -diện tích của đồ thị của một hàm khả vi trong không gian với mật độ Mục 3.3 trình bày về siêu mặt f... tại mật độ nào khác mật độ Gauss trên mặt phẳng R2 để định lý bốn đỉnh không còn đúng không? Một kết quả khá thú vị về số đỉnh của đường tròn trên mặt phẳng R2 với mật độ log-tuyến tính theo r Trước tiên, chúng ta cần bổ đề sau 13 2.4.2 Bổ đề Trên mặt phẳng R2 với mật độ e−f (r) , phép quay tâm O, góc quay bất kỳ không làm thay đổi hàm f -độ cong của một đường cong 2.4.3 Định lý Trên mặt phẳng R2 với. .. niệm và kết quả cơ bản cần sử dụng trong luận án như: đa tạp với mật độ, đa tạp tích với mật độ tích, f -độ dài, f -diện tích, f thể tích, độ cong trung bình của siêu mặt trong không gian Rn , vectơ độ cong trung bình và độ cong Ricci của đa tạp con trong một đa tạp Riemann Đồng thời, chúng tôi đưa ra 4 tích phân và 1 bất đẳng thức cần sử dụng trong các chứng minh ở Chương 2 1.1 Đa tạp với mật độ Trong. .. KHÔNG GIAN VỚI MẬT ĐỘ Trong chương này, chúng tôi đưa ra tham số hóa của một số mặt f -cực tiểu trong không gian Gauss G3 và không gian tích G2 × R, xây dựng một chứng minh ngắn gọn cho định lý dạng Bernstein trong không gian Gn × R, n ≥ 2 Các kết quả chính của Chương 3 được viết dựa trên bài báo [35] 3.1 f -độ cong trung bình của siêu mặt 3.1.1 Định nghĩa ([30]) Trên đa tạp Riemann M n với mật độ e−f... mật độ cầu Trong mục này, chúng tôi ký hiệu r = x2 + y 2 Chúng ta vẫn định nghĩa đỉnh của đường cong đơn, đóng và lồi trên mặt phẳng với mật độ là điểm mà tại đó f -độ cong đạt cực trị địa phương Theo Định lý 4 đỉnh trên mặt phẳng với mật độ hằng (xem [9]), số đỉnh ít nhất của một đường cong đơn đóng là 4 Êlíp là một ví dụ Do kf là một hàm liên tục nên một đường cong đơn, đóng trên mặt phẳng với mật. .. với mật độ log-tuyến tính Từ đó, luận án rút ra một số hệ quả quan trọng như: tính không tồn tại nghiệm của bài toán đẳng chu trên mặt phẳng với mật độ ex , phân loại các nghiệm tịnh tiến với trường lực mở rộng - Chứng minh rằng một đường cong là điểm cực tiểu của f -phiếm hàm năng lượng khi và chỉ khi nó có f -vận tốc hằng và f -trắc địa cực tiểu 18 Chương 3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA MẶT TRONG KHÔNG... phẳng R2 sao cho đường tròn (C) tâm I(0, b), bán kính ε, với 0 < b < ε, có f -độ cong hằng 14 2.5 Phân loại các đường cong có f -độ cong hằng trên mặt phẳng với mật độ log-tuyến tính 2.5.3 Định lý Trên mặt phẳng R2 với mật độ ey , các đường có f -độ cong hằng sai khác với các đường sau một phép tịnh tiến 1 Một đường có f -độ cong bằng 0 hoặc là một đường thẳng song song với trục Oy hoặc là đường Grim-Reaper . luận án là " ;Một số tính chất của đường và mặt trong không gian với mật độ& quot;. 2 Mục đích nghiên cứu Chúng tôi nghiên cứu lý thuyết đường và lý thuyết mặt trong không gian với mật độ theo các. vậy, các mặt f -cực tiểu trong không gian Gauss, không gian R n với mật độ e |x| 2 /4 và không gian với mật độ log-tuyến tính là các trường hợp đặc biệt của nghiệm tự đồng dạng của dòng độ cong. hình học của các đường f-trắc địa cực tiểu; • Siêu mặt f -cực tiểu trong không gian Gauss và không gian với mật độ tích; • Các định lý kiểu Bernstein trong các không gian với mật độ cụ thể. 4 Phương