II. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 1.Định nghĩa • Phương trình vi phân cấp 2 tổng quát có dạng: 0)",',,( =yyyxF hay )',,(" yyxfy = Ở đây: x là biến độc lập, y(x) là hàm chưa biết và )("),(' xyxy là các đạo hàm của nó. • Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp 2 là hàm ),,( 21 ccxy ϕ = Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của phương trình vi phân cấp 2 2. Bài toán Cauchy )',,(" yyxfy =    = = bxy axy )(' )( 0 0 bax ,,; 0 là các số cho trước. • Nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát bằng cách cho các hằng số c 1 , c 2 những giá trị cụ thể được gọi là nghiệm riêng. mãn điều kiện đầu: thỏa 0)",',( =yyxF b- Cách giải: ')( yxz = VD1: Giải phương trình vi phân )1(' 1 1 " −= − − xxy x y Nhận xét: Phương trình này không chứa y 3. Phương trình vi phân cấp 2 giảm cấp được 3.1 Phương trình vi phân cấp 2 không chứa y a- Dạng: ')( yxz = đặt Hạ bậc bằng cách đặt nên ta Phương trình đầu )1( 1 1 ' −=⋅ − −⇒ xxz x z Đây là phương trình tuyến tính cấp 1 với hàm cần tìm là )(xz ∫ +−=⇒ ∫∫ − − − ]).1([)( 1 1 1 1 1 cdxexxexz dx x dx x ∫ + − −−=⇒ ] 1 1 ).1()[1()( 1 cdx x xxxxz ) 2 )(1()( 1 2 c x xxz +−=⇒ 11 23 22 ' cxc xx y −+−=⇒ 11 2 1 34 268 cxc x c xx y +−+−=⇒ là nghiệm tổng quát của phương trình. VD2: Giải phương trình vi phân: xyy cotg).1'(2" −= Nhận xét: Phương trình này không chứa y nên ta đặt ')( yxz = Phương trình đầu xzz cotg).1(2' −=⇒ )01:ÐK(cotg.2 1 ≠−= − ⇒ Zxdx z dz dxx z dz ∫ ∫ = − ⇒ cotg2 1 1 sinln21ln cxz +=−⇒ xcz 2 1 sin1 =−⇒ 21 )2sin 4 1 2 ( cx x cxy +−+=⇒ tổng quát của phương trình. là nghiệm xcy 2 1 sin1' +=⇒ 3.2 Phương trình vi phân cấp 2 không chứa x 0)",',( =yyyF b- Cách giải: ')( yyz = dy dz z dx dy dy dz dx dz y ⋅=⋅==⇒ " a- Dạng: VD1: Giải phương trình vi phân: 0'". 2 =−yyy thoả điều kiện    = = 2)0(' 1)0( y y Hạ bậc bằng cách đặt Nhận xét: Phương trình này không chứa x nên ta đặt ')( yyz = z dy dz y ⋅=⇒ " Từ phương trình đầu ta có: 0 2 =−⋅ zz dy dz y )0,0:(; ≠≠=⇒ zyĐK z dz y dy zcy lnln 1 =+⇒ ycz 1 =⇒ dxc y dy 1 =⇒ 21 ln cxcy +=⇒ xc ecy 1 2 =⇒ Từ điều kiện đầu ta tính được 1,2 21 == cc Vậy nghiệm của bài toán thoả điều kiện đầu là x ey 2 = ycy 1 '=⇒ là nghiệm tổng quát của phương trình. Trường hợp:    = = 0' 0 y y VD2: Giải phương trình vi phân )1'('" += yyyy Nhận xét: Phương trình này không chứa x nên ta đặt ')( yyz = z dy dz y ⋅=⇒ " Từ phương trình đầu ta có: )1( +=⋅⋅ zzz dy dz y loại vì không thoả mãn điều kiện đầu [...]... hằng số: Phương trình y"+ a1 y '+ a2 y = 0 k + a1k + a2 = 0 2 (*) được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình (*) ∗ Nếu phương trình đặc trưng có 2 nghiệm thực phân biệt k1 , k 2 Lúc này: Nghiệm tổng quát của phương trình (*) là: k1x k2 x y = c1e + c2e ∗ Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép k1 = k2 Lúc này: Nghiệm tổng quát của phương trình (*) là: y = (c1 + c2 x)e k1 x ∗ Nếu phương trình. .. nghiệm phức k1 = α + iβ  k2 = α − iβ Lúc này: Nghiệm tổng quát của phương trình (*) là: y = e (c1 cos βx + c2 sin βx) αx VD1: Giải phương trình vi phân: y"+4 y '+3 y = 0 Ta có: Phương trình đặc trưng: có nghiệm k + 4k + 3 = 0 2 k1 = −1, k2 = −3 Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình này là: −x y = c1e + c2e −3 x VD2: Giải phương trình vi phân: y"−10 y ' +25 y = 0 Ta có: Phương trình đặc trưng: có nghiệm... = 0 2 k1 = k2 = 5 Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình này là: y = (c1 + c2 x)e 5x VD3: Giải phương trình vi phân: y" +2 y '+4 y = 0 Ta có: Phương trình đặc trưng: có nghiệm phức: 2 k + 2k + 4 = 0  k1 = −1 + 3 i  k2 = −1 − 3 i Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình này là: −x y = e (c1 cos 3.x + c2 sin 3.x) b) Phương trình tuyến tính cấp 2 không thuần nhất với hệ số hằng số: y"+ a1 y '+ a2 y... riêng của phương trình đầu Lấy y* thế vào phương trình đầu (*) ta tính được: A= ½ , B=-1, C=1 x 2x 3x 1 2 Vậy y = (c1e + c2 e ) + e ( x − x + 1) 2 VD2: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình y"−4 y '+4 y = xe 2x Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng: ∗ y= y+ y Bước 1: Tìm y Phương trình đặc trưng nghiệm kép k − 4k + 4 = 0 2 có k1 = k2 = 2 ⇒ y = (c1 + c2 x)e 2x Bước 2: Tìm nghiệm Ta có: α =2 y* f... riêng của phương trình: y"+ a1 y '+ a2 y = f1 ( x) là nghiệm riêng của phương trình: y"+ a1 y '+ a2 y = f 2 ( x) VD4: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: y"− y ' = 5e − sin 2 x x Nghiệm tổng quát của phương trình này là: ∗ y= y+ y Bước 1: Tìm y Phương trình đặc trưng 2 k −k =0 k1 = 0, k2 = 1 ⇒ y = c1e + c2e ox x có nghiệm Bước 2: Tìm * y f ( x) = f1 ( x) + f 2 ( x) với f 2 ( x) = − sin 2 x y... 1 = x + c2 c1 1 c1 ⇒ (c1 y − 1) = c2e x là nghiệm tổng quát của phương trình Trường hợp: y=0   y' = 0  y ' = −1  thoả mãn phương trình đầu nên ta nhận các nghiệm y =0  y = c  y = −x + c  4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng Phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằng có dạng tổng quát là: y"+a1y'+a2 y = f (x) với ai là các hằng số thực a) Phương trình tuyến tính cấp 2 thuần nhất... Lúc này: αx phương trình đặc y = x e H n ( x ) * h VD1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình y"−3 y ' +2 y = e ( x + x) (∗) 3x 2 Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng: ∗ y= y+ y Bước 1: Tìm y Phương trình đặc trưng nghiệm k − 3k + 2 = 0 2 có k1 = 1 , k2 = 2 ⇒ y = c1e + c2e x 2x y* 3x 2 f ( x) = e ( x + x) Bước 2: Tìm Ta có: α = 3 không phải là nghiệm của phương trình đặc * 3x 2 trưng nên y... xx 2 x x x2  x t VD: Giải phương trình Euler: 2 x y"−xy'+ y = ln x Đặt: Thế (trong miền x>0) ⇒ t = ln x '  y x = 1 ⋅ yt' x  ⇒ "  y " = 1 ( ytt − yt' )  xx x 2 x=e y t " xx ' x ,y vào phương trình đầu ta được: y − 2y + y = t " tt ' t Đây là phương trình tuyến tính cấp 2 không thuần nhất hệ số hằng ⇒ y = y + y* • Phương trình đặc trưng có nghiệm kép k − 2k + 1 = 0 2 k1 = k2 = 1 ⇒ y = (c1 + c2t... + * y2 là nghiệm riêng của phương trình y"− y ' = 5e (α = 1, Pn ( x) = 5) x Ta có: α =1 là nghiệm của phương trình đặc trưng nên: y = x.e A * 1 x Lấy được Với * y1 thế vào phương trình y"− y' = 5e x ta tính A=5 * y2 là nghiệm riêng của phương trình: y"− y ' = − sin 2 x (α = 0, β = 2, Pn ( x ) = 0, Qm ( x ) = −1) Ta có: α ± iβ = ±2i không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng nên: y = A cos 2 x... Bước 2: Tìm nghiệm Ta có: α =2 y* f ( x) = e x 2x là nghiệm kép của phương trình đặc trưng nên y* = x2e2x.(Ax + B) là nghiệm riêng của phương trình đầu y* thế vào phương trình đầu ta tính được A=1 , B=0 6 2x 2 1 2x Vậy y = (c1 + c2 x )e + x ( x ).e 6 Lấy •Trường hợp f ( x) = eαx [ Pn ( x) cos βx + Qm ( x) sin βx]  Nếu α ± iβ không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng thì y = e [ H l ( x) cos βx . xét: Phương trình này không chứa y 3. Phương trình vi phân cấp 2 giảm cấp được 3.1 Phương trình vi phân cấp 2 không chứa y a- Dạng: ')( yxz = đặt Hạ bậc bằng cách đặt nên ta Phương trình. thực. ∗ Nếu phương trình đặc trưng có 2 nghiệm thực phân biệt 0'" 21 =++ yayay 0 21 2 =++ akak 21 , kk a) Phương trình tuyến tính cấp 2 thuần nhất với hệ số hằng số: Phương trình phương trình. hàm của nó. • Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp 2 là hàm ),,( 21 ccxy ϕ = Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của phương trình vi phân cấp 2 2. Bài toán Cauchy )',,("