SỞ GD&ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 4 *** ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG DẠY – HỌC BỒI DƯỠNG LẦN 2 NĂM HỌC 2012 – 2013 Môn: TOÁN; Khối: D (Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề) I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 4 2 2 2 y x x    có đồ thị (C). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho. Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình 2 2sin 2 sin sin 2 sin 2 2cos x x x x x     . Câu 3 (1,0 điểm).Giải hệ phương trình       2 2 1 0 ( , ) 1 2 0 x y x y x y x x y y                 . Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân   1 0 23 1 dxxxI . Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 3a, AD = 2a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AB. Góc giữa mặt phẳng (SCD) và đáy bằng 60 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB theo a. Câu 6 (1,0 điểm). Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn 1 4 1. x y   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + y. II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần riêng ( phần A hoặc phần B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng 3 biết ( 3; 2), A   (1;1) B và trọng tâm G thuộc đường thẳng : 2 1 0 d x y    . Tìm tọa độ điểm C. Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian Oxyz, cho A(1; 4;0)  và hai đường thẳng 1 2 1 : 2 2 3 x y z       ; 2 3 2 1 : 1 3 2 x y z         . Viết phương trình tham số của đường thẳng d qua A cắt 1  và vuông góc với 2  . Câu 9.a (1,0 điểm). Tìm tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn đẳng thức: 4 2 1 i z i    . B. Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có cạnh bằng 5, đỉnh (1;5), A hai đỉnh B, D nằm trên đường thẳng : 2 4 0 d x y    . Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D biết đỉnh B có hoành độ dương. Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): 2 2 2 2 4 6 11 0 x y z x y z        và mặt phẳng (): 0 3 2 2     z y x . Viết phương trình mặt phẳng (  ) song song với mặt phẳng (  ) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r = 3. Câu 9.b (1,0 điểm). Tìm phần thực của số phức   1 n z i   , biết rằng n   và thỏa mãn phương trình: 4 4 log ( 3) log ( 9) 3 n n     . HẾT Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: …………………………….……………… ; Số báo danh: ……… 1 SỞ GD&ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 4 *** ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG DẠY – HỌC BỒI DƯỠNG LẦN 2 NĂM HỌC 2012 – 2013 Môn: TOÁN; Khối: D (Đáp án – Thang điểm gồm có 05 trang) Câu Đáp án Điểm 1 Cho hàm số 4 2 2 2 y x x    có đồ thị (C) 2,0 1.a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 1,0  TXĐ: D = R  Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: 3 ' 4 4 ; ' 0 0; 1 y x x y x x        0,25 Các khoảng nghịch biến:   ; 1   và   0;1 ; các khoảng đồng biến:   1;0  và   1;  - Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại 1; 3 CT x y     ; đạt cực đại tại 0, 2 CT x y    . - Giới hạn: lim lim x x y y      0,25 - Bảng biến thiên: x  – 1 0 1  y ' – 0 + 0 – 0 + y  –2  – 3 – 3 0,25  Đồ thị: x y -1 -3 -2 O 1 0,25 1.b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho. 1,0 Ta có (C) có điểm cực đại là: A(0 ;– 2). Giả sử d qua A(0 ;– 2) và có hệ số góc k có dạng: y = kx – 2. 0,25 d là tiếp tuyến với (C) khi và chỉ khi hpt sau có nghiệm: 4 2 3 2 2 2 4 4 x x kx x x k            0,25 2 3 3 4 2 0 4 4 4 4 4 6 2 9 3x 2x 0 0; 3 4 6 9 k k x x k x x k x x k                                    0,25 Vậy các pttt cần tìm là: 4 6 4 6 2; 2; 2 9 9 y y x y x        . 0,25 2 Giải phương trình: 2 2sin 2 sin sin 2 sin 2 2cos (1). x x x x x    1,0 Ta có: (1) 2 2sin 2 sin sin 2 sin 2sin . x x x x x     sin 2 (2sin 1) sin (2sinx 1) 0 x x x      (2sinx 1)(sin 2 x sinx) 0     0,25 1 2sinx 1 0 sinx 2 sin 2 x sinx 0 sin 2 sin x x                 0,25 * 1 sin 2 2 6 x x k         hoặc 7 2 6 x k     . 0,25 * sin 2 sin x x  2 x k    hoặc 2 3 3 x k     . Vậy phương trình có các họ nghiệm : 2 6 x k      , 7 2 6 x k     , 2 x k   và 2 3 3 x k     (k ). 0,25 3 Giải hệ phương trình       2 2 1 0 1 2 0 x y x y x x y y               1,0            2 2 2 1 0 1 (1) 1 2 0 2 0 (2) x y x y x y x y x x y y y x y x y y                             . 0,25 Từ (1) suy ra 0 y  . Từ đó:       2 2 2 1 0 (x y) 2(x y) 1 0 x y x y             2 ( 1) 0 1 x y x y        0,5 Khi đó hệ trở thành: 2 0, 1 1 1, 2 1 x y x y x y x y                 Vậy hệ phương trình có nghiệm (0 ; 1), (–1 ; 2). 0,25 4 Tính tích phân   1 0 23 1 dxxxI 1,0 Ta có: 1 2 2 0 . 1 . I x x xdx    Đặt 2 2 2 1 1 t x x t xdx tdt         Đổi cận: khi 0 1; 1 0 x t x t       0,5 3 1 0 1 3 5 2 2 4 1 0 0 2 (1 ). . ( ) 3 5 15 t t I t t tdt t t dt                  0,5 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 3a, AD = 2a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AB. Góc giữa mặt phẳng (SCD) và đáy bằng 60 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB theo a. 1,0 Kẻ D (K C D). HK C   Khi đó: D D (SHK) D C KH C C SH        CD SK   Do đó góc giữa (SCD) và (ABCD) là  0 60 SHK  . K B A D C S H I 0,25 Trong tam giác vuông SHK ta có: 0 tan 60 2a 3. SH HK  Thể tích khối chóp S.ABCD là : 3 . D D 1 1 . 3 .2a.2a 3 4a 3. 3 3 S ABC ABC V s SH a   0,25 Vì (SCD)//AB nên       , ,( ) ,( ) d AB SC d AB SCD d H SCD  . Trong mp(SHK) kẻ , HI SK I SK   . Khi đó: ( ) CD SH CD SHK CD HI CD HK          nên   ) ( )( ,d H SC HI SCD H D I    0,25 Do tam giác SHK vuông tại H nên: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 3 12 4 3a HI a HI SH HK a a        Vậy   3 ,d AB SC HI a   . 0,25 6 Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn 1 4 1 x y   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + y. 1,0 Do , 0 x y  nên ta có:     2 2 2 2 2 2 1 4 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) . . 1 2 9 x y x y x y x y x y                          0,5 9. P x y     Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 2 y x y x    1 4 1 4 3 1 1 1 3 6 2 x y x y x x x             . 0,5 7.a Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng 3 biết ( 3; 2), A   (1;1) B và trọng tâm G thuộc đường thẳng : 2 1 0 d x y    . Tìm tọa độ điểm C. 1,0 4 Ta có do G là trọng tâm tam giác ABC nên: (C,AB) 3d(G,AB) d  . 5 AB  , 1 3 . (C, AB) . (G,AB) 2 2 ABC S AB d AB d    2S 2 d(G,AB) 3A 5 B    d G B A C 0,5 Gọi (2 1, ) G a a d   , AB có phương trình: 3 4 1 0 x y    0 3(2 1) 4 1 2 ( , ) 2 2 2 2 5 5 a a a d G AB a a               . 0,25 - Với 0 ( 1;0) ( 1;1) a G C      . - Với 2 (3;2) (11;7) a G C    . 0,25 8.a Trong không gian Oxyz, cho A(1; 4;0)  và hai đường thẳng 1 2 1 : 2 2 3 x y z       ; 2 3 2 1 : 1 3 2 x y z         . Viết phương trình tham số của đường thẳng d qua A cắt 1  và vuông góc với 2  . 1,0 Ta có 1 2 2 : 1 2 3 x t y t z t             . Gọi   1 1 2 2 ; 1 2 ;3 M d M M t t t           1 2 ;3 2 ;3 AM t t t     . 0,5 Ta có 2  có vtcp 2 ( 1; 3;2) u     . Do 2 2 . 0 10 10 0 1 d AM u t t              3;1;3 AM  0,25 Phương trình tham số của đường thẳng d cần tìm qua A(1; 4;0)  và có vtcp   3;1;3 AM  là: 1 3 4 3 x t y t z t            . 0,25 9.a Tìm tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn đẳng thức: 4 2 1 i z i    . 1,0 Ta có: 4 4 (1 i) 2 2 1 (1 i)(1 i) i i i i         . 0,25 Gọi số phức ,( ; R) z x yi x y    . Khi đó: 4 2 ( 2 2i) 2 ( 2) ( 2)i 2 1 i z x yi x y i               2 2 2 2 ( 2) ( 2) 2 ( 2) (y 2) 4 x y x           . 0,5 Vậy tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán là đường tròn có phương trình: 2 2 ( 2) (y 2) 4 x     . 0,25 7.b Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có cạnh bằng 5, đỉnh (1;5) A , hai đỉnh B, D nằm trên đường thẳng d: x – 2y + 4 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D biết đỉnh B có hoành độ dương. 1,0 5 Phương trình đường thẳng AC qua A và vuông góc với BD có dạng: 2(x – 1) + (y – 5) = 0  2x + y – 7 = 0. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Tọa độ I là nghiệm của hpt: 2 x y+4 = 0 2x+ y 7 = 0          2 2;3 3;1 3 x I C y         . I B A C D 0,5 Do (2 4; ),a 2. B BD B a a     2 2 5 (2 5) ( 5) 5 AB a a       2 1 (ktm) 6 5 0 5 (t/ m) a a a a           . 0,25 Với 5 (6;5) ( 2;1) a B D     . Vậy (6;5),C(3;1), ( 2;1) B D  . 0,25 8.b Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S): 2 2 2 2 4 6 11 0 x y z x y z        và mặt phẳng (  ): 0 3 2 2     z y x . Viết phương trình mặt phẳng (  ) song song với mặt phẳng (  ) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r = 3. 1,0 Ta có m ặt cầu (S) có tâm I(1 ; – 2 ;3) và bán kính R = 5 0,25 Do (β) // (α) nên (β) có dạng : x + 2y – 2z + d = 0 (d ≠ – 3). Do (β) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r = 3 nên ta có :   2 2 I;( ) 4 d R r     . 0,25 2 2 2 1 4 6 9 4 4 3 1 2 ( 2) d d           9 12 21 9 12 9 12 3( ) d d d d d                    lo¹i 0,25 Với 21 ( ): 2 2 21 0 d x y z        . 0,25 9.b Tìm phần thực của số phức   1 n z i   , biết rằng n   và thỏa mãn phương trình: 4 4 log ( 3) log ( 9) 3 n n     . 1,0 Điều kiện: 3,n n    . Phương trình:     4 4 4 log ( 3) log ( 9) 3 log 3 9 3 n n n n             0,25    2 7 3 9 64 6 91 0 13 ( ) n n n n n n                lo¹i 7 n   . 0,25 Với n = 7 ta có:             3 7 2 3 1 1 1 2 1 8 1 8 8 z i i i i i i i i                 0,25 Vậy phần thực của số phức z là 8. 0,25 HẾT . ) 4 d R r     . 0 ,25 2 2 2 1 4 6 9 4 4 3 1 2 ( 2) d d           9 12 21 9 12 9 12 3( ) d d d d d                    lo¹i 0 ,25 Với 21 ( ): 2 2 21 0 d x.       . 0 ,25 Gọi số phức ,( ; R) z x yi x y    . Khi đó: 4 2 ( 2 2i) 2 ( 2) ( 2) i 2 1 i z x yi x y i               2 2 2 2 ( 2) ( 2) 2 ( 2) (y 2) 4 x y x    . 2 3 3 4 2 0 4 4 4 4 4 6 2 9 3x 2x 0 0; 3 4 6 9 k k x x k x x k x x k                                    0 ,25 Vậy các pttt cần tìm là: 4 6 4 6 2; 2; 2 9