THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 TÍCH PHÂN LUYỆN THI ĐẠI HỌC THẦY NGUYỄN QUANG SƠN 0909 230 970 108/53b,Trần Văn Quang,F10,Tân Bình THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 TÍCH PHÂN I ĐỔI BIẾN SỐ TĨM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Đổi biến số dạng b Để tính tích phân  f[u(x)]u (x)dx ta thực bước sau: / a Bước Đặt t = u(x) tính dt  u/ (x)dx Bước Đổi cận: x  a  t  u(a)  , x  b  t  u(b)    b Bước  f[u(x)]u (x)dx   f(t)dt /  a e2 dx x ln x  Ví dụ Tính tích phân I  e Giải dx Đặt t  ln x  dt  ĐỔI CẬN : x  e  t  1, x  e2  t  x I  dt  ln t t  ln Vậy I  ln  cos x  (sin x  cos x) Ví dụ Tính tích phân I  dx Hướng dẫn:  I cos x  (sin x  cos x)  dx   (tan x  1) Ví dụ Tính tích phân I  dx Đặt t  tan x  ;ĐS: I  cos x dx 2x   (1  x) Hướng dẫn: Đặt t  2x  ĐS: I  ln Ví dụ 10 Tính tích phân I   3x dx 1x Hướng dẫn: 3x t2 dt Đặt t    8 ; đặt t  tan u  1x (t  1)2  ĐS: I    THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 Chú ý: Phân tích I  3x dx , đặt t  1x   x tính nhanh Đổi biến số dạng b Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [a;b], để tính  f ( x)dx ta thực bước sau: a Bước Đặt x = u(t) tính dx  u / (t )dt Bước Đổi cận: x  a  t   , x  b  t    b Bước  /  f ( x)dx   f [u(t )]u (t )dt   g (t )dt  a  Ví dụ Tính tích phân I  dx  x2  Giải   Đặt x  sin t, t    ;  dx  cos tdt  2   ĐỔI CẬN : x   t  0, x   t   I  cos t dt   sin2 t    cos t dt  cos t   dt  t       Vậy I  6 Ví dụ Tính tích phân I    x dx Hướng dẫn: Đặt x  sin t ĐS: I   Ví dụ Tính tích phân I  dx  1 x Giải      ;   dx  (tan2 x  1)dt   2  x   t  0, x   t  Đặt x  tan t, t      I tan t  dt  t   tan 1 Ví dụ Tính tích phân I   dx x  2x  Hướng dẫn:    dt  Vậy I   THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 1 I  1 dx  x  2x   dx  Đặt x   tan t ; ĐS: I  12  (x  1) Ví dụ Tính tích phân I  dx  ĐS: I  2 4x  1  Ví dụ Tính tích phân I  dx  ĐS: I  12 x  2x  2 Các dạng đặc biệt 3.1 Dạng lượng giác  Ví dụ 11 (bậc sin lẻ) Tính tích phân I   cos x sin3 xdx Hướng dẫn: Đặt t  cos x ĐS: I  15  Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ) Tính tích phân I   cos xdx Hướng dẫn: Đặt t  sin x ĐS: I  15  Ví dụ 13 (bậc sin cosin chẵn) Tính tích phân I   cos x sin2 xdx  I  cos x sin2 xdx  2  cos x sin 2xdx   Giải   1  (1  cos 4x)dx   cos 2x sin 2xdx 16 0    x sin3 2x  1    sin 4x   (1  cos 4x)dx   sin2 2xd(sin 2x)      16 64    16 24  32  Vậy I  32  Ví dụ 14 Tính tích phân I  dx  cos x  sin x  Hướng dẫn: Đặt t  tan x ĐS: I  ln THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 Biểu diễn hàm số LG theo t  tan 2t 1 t 2t a ; cos a  ; tan a  : sin a  2 1 t 1 t 1t2 3.2 Dạng liên kết  Ví dụ 15 Tính tích phân I  xdx  sin x  Giải Đặt x    t  dx  dt ĐỔI CẬN x   t  , x    t  0  I          2 (  t)dt  sin(  t)     sin t   sin t   dt  t   dt  dt  I I   sin t  sin t    dt  sin t t  cos 2    dt  t  cos     t  d       2   t         Vậy I    tan    2     2 t  cos      2  Tổng quát:    Ví dụ 16 Tính tích phân I     xf(sin x)dx   f(sin x)dx sin2007 x dx sin2007 x  cos2007 x Giải    Đặt x   t  dx  dt ĐỔI CẬN: x   t  , x   t  2   sin2007 t cos2007 t  I   dx   dx  J (1)   sin2007 t  cos2007 t  sin2007  t  cos2007 t 2     Mặt khác I  J     dx    (2) Từ (1) (2) suy I  Tổng quát:   n sin x dx  n sin x  cosn x    cosn x  dx  , n   n n sin x  cos x THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970  Ví dụ 17 Tính tích phân I   sin x dx J  sin x  cos x   cos2 x dx sin x  cos x Giải I  3J   (1)   dx dx IJ  dx   sin x   sin x  cos x  Đặt t  x   dt  dx  I  J  ln (2) 1 1 Từ (1) (2) I  ln  , J ln  16 16  Ví dụ 18 Tính tích phân I    ln(1  x) dx  x2 Giải Đặt x  tan t  dx  (1  tan t)dt ĐC: x   t  0, x   t    ln(1  tan t)   tan2 t  dt   ln(1  tan t)dt  tan t 0    Đặt t   u  dt  du ĐC: t   u  , t   u  4 I   I      tan u            ln    tan u  du   ln   tan u  du      0            ln(1  tan t)dt   ln   tan   u   du       ln 2du   ln   tan u  du  ln  I Vậy I  ln  Ví dụ 19 Tính tích phân I  cos x dx x 1  2007   Hướng dẫn: Đặt x  t ĐS: I   THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 Tổng quát: Với a > ,   , hàm số f(x) chẵn liên tục đoạn  ;    f(x)  a x  dx     f(x)dx Ví dụ 20 Cho hàm số f(x) liên tục  thỏa f(x)  2f(x)  cos x  Tính tích phân I   f(x)dx  Giải      t 2   f(t)dt  J  3I  J  2I    f(x)  2f(x)  dx        cos xdx  2 cos xdx   x      f(x)dx , x  t  dx  dt ĐC: x    t  , Đặt J  I   Vậy I  3.3 Các kết cần nhớ a i/ Với a > , hàm số f(x) lẻ liên tục đoạn [–a; a]  f(x)dx  a a ii/ Với a > , hàm số f(x) chẵn liên tục đoạn [–a; a] a  f(x)dx  2 f(x)dx a iii/ Công thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm)   cos  n xdx    (n  1)!!   , n lẻ  n sin xdx   n !!   (n  1)!!   , n chẵn   n !!   Trong n!! đọc n walliss định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn Chẳng hạn: !!  1; 1!!  1; !!  2; !!  1.3; !!  2.4; !!  1.3.5; !!  2.4.6; !!  1.3.5.7; !!  2.4.6.8; !!  1.3.5.7.9; 10 !!  2.4.6.8.10  Ví dụ 21  cos 11 xdx  10 !! 2.4.6.8.10 256   11!! 1.3.5.7.9.11 693  sin 10 xdx  !!  1.3.5.7.9  63   10 !! 2.4.6.8.10 512  Ví dụ 22 THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 II TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Công thức Cho hai hàm số u(x), v(x) liên tục có đạo hàm đoạn [a; b] Ta có  uv /  u/ v  uv/   uv / dx  u/ vdx  uv/ dx b  d  uv   vdu  udv  b  d(uv)   vdu   udv a b  uv b a  b a b a b b  vdu   udv   udv  uv a a a b a   vdu a Công thức: b b  udv  uv b a a   vdu (1) a Công thức (1) viết dạng: b b  f(x)g (x)dx  f(x)g(x) / b a a   f / (x)g(x)dx (2) a Phương pháp giải toán b Giả sử cần tính tích phân  f(x)g(x)dx ta thực a Cách Bước Đặt u  f(x), dv  g(x)dx (hoặc ngược lại) cho dễ tìm nguyên hàm v(x) vi b phân du  u (x)dx khơng q phức tạp Hơn nữa, tích phân /  vdu phải tính a Bước Thay vào cơng thức (1) để tính kết Đặc biệt: b i/ Nếu gặp b b  P(x) sin axdx,  P(x) cos axdx,  e a a ax P(x)dx a Với P(x) đa thức đặt u  P(x) b ii/ Nếu gặp  P(x) ln xdx đặt u  ln x a Cách b Viết lại tích phân b  f(x)g(x)dx   f(x)G (x)dx / a sử dụng trực tiếp công thức (2) a Ví dụ Tính tích phân I   xe dx x  du  dx u  x   Đặt    dv  e x dx      v  ex     Giải 1  xe dx  xe x x   e x dx  (x  1)e x  THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 e  x ln xdx Ví dụ Tính tích phân I  Giải   du  dx   u  ln x   x Đặt       dv  xdx  x2  v      e  e e x2 e2  x ln xdx  ln x   xdx  2  e Ví dụ Tính tích phân I  x sin xdx  u  sin x  du  cos xdx   Đặt     x  dv  e dx  v  ex     Giải  I   e x sin xdx  ex sin x   du   sin xdx  u  cos x   Đặt   dv  e x dx      v  ex      J e x    e x cos xdx  e  J cos xdx  ex cos x    e x sin xdx  1  I   e2   I  e  (1  I)  I  Chú ý: Đôi ta phải đổi biến số trước lấy tích phân phần 2 Ví dụ Tính tích phân I   cos xdx Hướng dẫn:  Đặt t  x   I   t cos tdt      e Ví dụ Tính tích phân I   sin(ln x)dx ĐS: I  III TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: Phương pháp giải toán: Dạng 1: (sin1  cos1)e  THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 b  Giả sử cần tính tích phân I  f(x) dx , ta thực bước sau a Bước Lập bảng xét dấu (BXD) hàm số f(x) đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:  b Bước Tính I  x1 a x f(x) x2  b  x1  f(x) dx  a x2  f(x)dx   f(x)dx  a b x1  f(x)dx x2 Ví dụ Tính tích phân I   x  3x  dx 3 Giải Bảng xét dấu x x  3x  2 I  x 3  2 3  3x   dx    x  3x   dx   59 Vậy I  59  Ví dụ 10 Tính tích phân I    cos2 x  sin xdx ĐS: I     Dạng b Giả sử cần tính tích phân I    f(x)  g(x)  dx , ta thực a Cách b Tách I  b   f(x)  g(x)  dx  a  b f(x) dx  a  g(x) dx sử dụng dạng a Cách Bước Lập bảng xét dấu chung hàm số f(x) g(x) đoạn [a; b] Bước Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối f(x) g(x) Ví dụ 11 Tính tích phân I  x  x   dx 1 Giải Cách I x  x   dx  1   xdx  1  1 2 x dx   x  dx 1  xdx   (x  1)dx   (x  1)dx 1 10 THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970   x   R  x; m  x      b.4 Cuối ta tính : '  dx   R   t  ; t   '  t  dt   '  VÍ DỤ MINH HỌA  1 Ví dụ Tính tích phân sau x dx x 1 Giải  x  t  1; dx  2tdt; x   t  0, x   t   - Đặt : x   t   t2 1 t3  t   f ( x)dx  2tdt  dt   t  t    dt  1 t t 1 t 1    x  11  - Vậy :  dx    t  t    dt   ln t 1  x 1 1 0 Ví dụ Tính tích phân sau : a x  x  x  dx x b  x dx 2dx x54 c x  xdx d  x5  x3 e x2 1 x4 dx x5  f dx   1 GIẢI a  x  x dx x 1 Đặt : 1  dx  2tdt t2 1  1 t  x 1  x  t 1   I 2tdt  2  t   dt t 11 t  x   t  0, x   t  0 b x  1 1 0 1 2 Vậy : I   t  ln t    x dx  x  x xdx  xdx  tdt Đặt : t   x  x  t     x   t  1, x   t  94  I    t  1 t dt THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 Vậy : I    t  58 1  t  dt   t  t    15 5 c x  xdx  Đặt : 2  dx  2tdt t  1 x  x  1 t2    I   1  t  t  2tdt   x   t  0, x   t  2 0  112 1 Vậy : I    t  t  dt   t  t    2 15 3 2  d   x5  x3 dx  x2   x  x   xdx x2 1 Đặt :  x  t  1; xdx  tdt  t  1 t  1 t.2tdt  2 t  tdt t  x2 1   I   t  x   t  1, x   t  1  1 5  Đặt : t  1 3  x  t  5, dx  2tdt 2.2tdt   x 5   I    1  dt  t4 t4   x  1  t  2, x   t  2 Vậy : I   t  ln t      ln  ln    ln  f  59  1 2dx x54  e Vậy : I   t  t    2 d  x  1 dx    x 1  5 x5  x5  x4   33  Ví dụ Tính tích phân sau : a x  x dx b x  x x 3dx 0 c   x dx d  1 f x xdx 2 x  2 x e x 1 x  3dx GIẢI 95  xdx THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 a x   x dx   x  x xdx Đặt :  x   t ; xdx  tdt 2 t  1 x    I   1  t  t  tdt    t  t  2t  1 dt  x   t  1, x   t  1 7 Vậy : I   t   b 3 t  t    105 3  x x dx   x  x xdx  x  t  1; xdx  tdt Đặt : t   x     x   t  1, x   t    58 1 Vậy : I   t  t    15 5  2  I    t  1 t.tdt    t  t  dt 1 c x  x dx  Đặt :    dx  2costdt ;  x  cost 2 x  sin t    I   sin t.2 cos t.2 cos tdt   sin 2tdt  x=0  t=0.x=2  t=  0        Vậy : I   1  cos4t  dt   t  sin 4t      d  xdx 12  2 x  2 x  - Vậy : I   1 2  x   x dx      x     x   dx 1   3 22 2 2  x2  2  x2    3 1 2  e x  xdx 1   Đặt : 1  x  t  1; dx  2tdt t  1 x    I    t  1 t.2tdt  2  t  t  dt  x  1  t  0, x   t  0 1 1 1 1 Vậy : I   t  t        0 15 5 5 3 96 THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 f x x  3dx   x x  3.xdx  Đặt :  x  t  3; xdx  tdt t  x 3   I  x   t  3, x   t   2  t  1 t.tdt   t  t  dt  56  12   15 1 5 Vậy : I   t  t   Ví dụ Tính tích phân sau : 10 x3 a  dx 1 x   x  c b x x   x  1 dx x 1  x2 d dx x x  1dx e x  x dx GIẢI a 3 1 x3 dx x 1  x   Đặt : t    dx  2tdt x   x  t 1    x  1  t  0; x   t  Vậy : 2 t  t   t   t2    1 2 2tdt  2 dt    t    dt   t  3t  3ln t   t  3t  t  1 t   t2 2 0 0  0 I  Do : I  ln   10 b  10 10 dx dx   x  x  x 1  x    dx   x 1 1  x  t  1; dx  2tdt.x   t  2; x  10  t     dx 2tdt  - Đặt : t  x    f ( x )dx    2   dt 2   t   t  12   t  1 x  1      10 - Vậy : I   c    1  3  f ( x)dx      dt   ln t     ln   t   t  1  t 1     x2  x  x  1 dx   x  x  1 dx  x  1  x  x  1 dx  x  1 97   x x  1dx (1) THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970  x  t  1, dx  3t dt x   t  1; x   t   - Đặt : t  x    3  f ( x )dx  x x  1dx   t  1 t.3t dt   3t  3t  dt  3  33 3 - Vậy : I   f ( x )dx    3t  3t  dt   t  t     14 28 7 3 d x x  1dx   x x  1xdx  xdx  tdt x   t  1, x   t   x   x2  t    2  f ( x)dx  x x  1xdx   t  1 tdt   t  2t  t  dt  - Đặt : t  - Vậy : I   1 2 1 x x  1xdx    t  2t  t  dt   t  t  t   2 1 6 1 2  x  x dx   x  x xdx e 1 0 1  x   t ; xdx  tdt x   t  1, x   t   - Đặt : t   x   2 2  f ( x)dx  x  x xdx  1  t  t  tdt     t  t  dt  1 1 1 - Vậy : I   x  x xdx     t  t  dt    t  t  dt   t  t    15 3 Ví dụ Tính tích phân sau 1  x 1 dx (GTVT-98 ) 3x   x2  dx ( ĐHXD-96) x 1  dx x x2    2 x2 1 x x2  ( BK-95) dx ( HVBCVT-97 ) Giải 1 x 1 dx Ta có : x 1  f ( x)  x   x  1 x  1  x 1 x 1 Vậy : I   2      x  1 x 1   x 1  x x  x  x 1 2 1 f ( x)dx   x x  x  x  dx   x x  x x  x  x   5  15 dx x x2     xdx x2 x2 1  1 98 THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970  2  x  t  1, xdx  tdt.x   t  , x   t   - Đặt : t  x    xdx tdt dt  f ( x )dx     x x   t  1 t t   dx dt    -Vậy : I      acr tan t    12 x x 1 t 1 3 3   t 1 x , dx  t dt , x   t  1; x   t   x 1 3  dx Đặt : t  3x    3 3x   f ( x)dx  x  dx  t  t dt   t  2t  dt  3t 3x   x 1 11  46 - Vậy : I   dx    t  2t  dt   t  t   3 35 3x   15   2  x2  x x2  dx   2 x2  xdx 1 x2 - Đặt :  x  t   xdx  tdt.x  2  t  5, x    t   t  x2 1   x2 1 t   1 1   xdx  tdt  1   dt  1     f ( x )dx    dt x t 1  t 1   t 1 t     - Vậy :   f ( x )dx  2  1 1   t 1  1     dt   t  ln     t  t     t      ln 5     1 1   1 1 Ví dụ Tính tích phân sau 1  x3 x  3 x d x ( HVNHTPHCM-2000) I  1 2/2 x  2x  xdx (ĐHTL-2000)    0 x9 1 x x2 1 x 2 (ĐHTM-97) dx dx (HVTCKT-97) Giải I  x3 x  x dx  1  x  x 1 x x2 1 x2 d x   x x  1x d x  x  x  t  1, xdx  tdt ; x   t  1; x   t   Vậy : Đặt t  x     f ( x )dx   t  1 t.tdt   t  t  dt  99 dx THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 2  x x  1xdx  Suy : - Do : I  I  x 1  x dx  x 1  1   15 15  1 3 4   t  t  dt   t  t   15 ;   1 x = dx  x  xdx  x2   x  t  1, xdx  3t dt  xdx  t dt.x   t  1; x   t   - Đặt : t   x    t  1 3  f ( x)dx  t dt  t  t  1 dt  t  t 12  4t  6t  4t  dt  2t 2  3 2 - Vậy : I    t13  4t 10  6t  4t  dt   t14  t 11  t  t   ( Học sinh tự tìm 21  14 11 1 kết ) 3 x3 I  2/2     2x  xdx =  x  xdx   1  x  xdx    x  1 xdx 2 2 1 2 3 x  x x dx   x x  x dx   x x  x x    x x  x x   5 3 0 5 1      t  dx  costdt.x=0  t=0;x= x dx Đặt : x  sin t     f ( x)dx  sin t costdt=  1-cos2t  dt  x2    cost      1   - Vậy : I   1  cos2t  dt   t  sin 2t   20 2  Ví dụ Tính tích phân sau : dx (HVQS-98) 11  x   x a x x  a dx ,a  (AN-96)  1/ dx 11  x  * Chú ý : 1 x 100 (HVQS-99) (2x  1) x   Giải  dx   dx x x 9 (AN-99) THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 a Một học sinh giải cách , em tham khảo Nhân liên hợp ta :  x   x2    x2  1  x2     1    1 x  2x 2 x  2x 2 x x2   - f(x)= - Vậy : I   f ( x)dx  1 1 11  1  x2  1 dx   1  x  1 x xdx   ln x  x  1  J   1  x  t  1.xdx  tdt; x  1  t  2; x   t   * Tính J : Đặt t   x     t t2 f ( x)dx  tdt  dt  1   dt  t 1 t 1   t  1 t  1   * Học sinh thử tính thử xem có khơng ? Nếu khơng giải thích xem ? ( Theo điều kiện tồn tích phân ) b Một học sinh giải theo cách khác :    dx  cos 2t dt , x  1  t   ; x   t   - Đặt : x  tan t   dt dt   f ( x )dx  cos t  sin t  cost+1 cost  tan t    cost - Sau áp dụng cách giải tích phân chứa hàm số lượng giác , không , hàm số không khả tích với t=0 * Đây cách giải : t 1   - Đặt: t  x   x  t  x   x  t  2tx  x   x  x   t  , 2t 2 t  1  - Suy : dx     dt  2t  - Đổi cận : x=-1, t=  ;x=1 t=  2 2 -Do : 1 I  21 1     dt  2t   1 t 2 1 dt  t 1  2 1 1 1 1 1  t  t  1 dt  ln  t  1   2 1 1 1   2   dt t t t 1  1   Hay : 1  t 1  1 I  ln   ln    2  t   2t  1/   (2 x  1)  ln   ln 2 1   dx 2 1 x 1 * Chú ý : -Cách Đặt x  t ant  dx= 1  dt ; x   t  0; x  t  cos t 101   2 1   2   THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 - Suy : f ( x)dx  dt dt cost du   dt  2 2 cos t  2sin t  cos t  1+sin t 1 u2  tan t  1 cost   cost cos t   1 du - Vậy : I    arctanu  arctan 1 u 0 * Học sinh tự tìm hiểu : Tại lại không đặt t   x để giải a a x x  a dx ,a   x x  a xdx   0 * Học sinh thử làm theo cách có không ? du  dx a u  x 1a   - Đặt :   x  x2    x2  I  2 30 dv  x  x v  1  x    a 3 a - Do : I   a   J 1 Tính tích phân J : J    x dx  3      dx  * Cách khác : a   dx  dt.x   t  0; x  a  t    cos t - Đặt : x  a.tan t    f ( x)dx  a tan t a a dt  a sin tdt  cost cos 2t cos5t    du  costdt.t=0  u=0;t=  t   - Nếu lại đặt u  sin t   sin t u2  f (t )dt  a costdt=a du 3   sin t  1 u2     - Ta lại có : f(u)= 1- 1-u  1-u      1      1  u 1  u    1  u 1  u   * Với : 3   1 1  1 1 1   g (u )     3          3 1  u 1  u    u  u    1  u 1  u     u  u   1  u  1  u   1 1 3 1   1 1 3 1 1                      1  u 3 1  u 3   u  u    1  u 3 1  u 3  1  u  1  u 2  u  u       102 THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 1 1  3 1 1           (1) 3 2  1  u  1  u   16  1  u  1  u   u  u        1 1 1  - h( u )       (2)    2 1  u 1  u    1  u  1  u   u  u     2 Vậy : I  2  g (u)du   h(u )du 2  (3)   1  1  3 1 1  g (u )du             du   1  u 3 1  u 3  16  1  u  1  u   u  u         1  1  3 1  u   11 85 2    2ln         ln    ln  2   1  u  1  u   16   u  u 1 u  2 64 64     2  h(u )du  2   1 1  1 1 1 u  2      du     ln 1   ln 2  1  u  1  u   u  u  1 u 1 u 1 u    Thay kết tìm vào (3) Vậy : I  4  dx x x 9  x xdx x2  149 64  x  t  9.xdx  tdt ; x   t  4; x   t   - Đặt : t  x    tdt dt 1 1  f ( x)dx      dt    t   t  t  3 t  3  t  t    1 1  t 3  1 - Vậy : I       ln  ln   ln  dt  ln 6 t 3 t 3 t 3 6 7 Ví dụ Tính tích phân sau x3 dx (HVNGTPHCM-2000) 2 x  x 1 2/2   3  x  1dx (YHN-2001)  Giải 103 x2 1 x dx (HVTCKT-97) (1  x )3 dx (YHP-2000) THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 1 x3  0x x 1 dx =   x2 1  x x  1  x 2  dx  x  x   x dx (1) x - Với : x3 x  1dx   x x  1xdx 0  x  t  1.xdx  tdt.x   t  1; x    Đặt : t  x    2  g ( x )dx  x x  1xdx   t  1 t.tdt   t  t  dt  - Cho nên : 2  x x  1xdx  - x dx   2/2   t  26 1  t  dt   t  t   (2)  15 5 51  1 x  (3) Thay (2) (3) vào (1) ta có : I    5 15 15    t= dx  costdt.x=0  t=0;x= x  dx Đặt : x  sin t    f ( x)dx  sin t costdt= 1-cos2t dt  x2  cost     cos2t 1 1 1  2  - Do : I   dt   t  sin 2t       2  2 2 3.I=  x2  1dx = x x  I 5 2I   Vậy : x2 1 3   x2 x2 1 dx    x  1dx   2 x2 1 dx dx  I   ln x  x    ln   1  I   ln 2   1   dx  costdt.x=0  t=0;x=1  t=   (1  x ) dx Đặt : x  sin t    f ( x)dx  cos 6tcostdt=cos 4tdt  1  cos2t  dt   Vậy :      cos4t  1 3  I   1  2cos 2t  dt     cos 2t  cos4t  dt   3t  2sin 2t  sin 4t   16 0    0 Ví dụ Tính tích phân sau 104 THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 a 1 2  x a  x dx (a  0) (SPIHN-2000) 0 1  dx (CĐSPHN-2000) x4 x2  dx x 1  x (QG-97) dx  x(1  x ) (CĐSPKT-2000) Giải a x a  x dx (a  0)   dx  a.costdt.x=0  t=0;x=a  t= - Đặt : x  a.sin t    f ( x )dx  a sin t.a.cost.a.costdt=a sin t cos tdt    a - Vậy : I   a sin 2tdt  dx x 1  x    0  a4   a4  1  cos4t  dt   t  sin 4t      16  1 x 1  x  x  1  x  dx    x   x dx    x  1  x3    2 1 0  x   x   dx  x   x  dx dx    1 x   x  1  x     x   Vậy : I    x  4   x  2  1  8  2  3  1   23  3  x   t  1 dx   t  1 dt; x   t  2; x   t   dx   Đặt : t   x    t  1 dt  1  dt     dt x(1  x )  f ( x )dx   t 1 t   t  1 t t  t  1   t 1 1  1  - Vậy : I  2    dt  ln   ln  ln   ln t t 2   t 1 Ví dụ 10 Tính tích phân sau 2 (x  x)dx dx .(ĐHHĐ-99) x2  2x x 1 3 x x  1dx  dx (ĐHCT)     0 x 1 105 1 (ĐHĐN-97) THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 /  (x  1)sin xdx   x  2x x 1 dx ( ĐHTSNT-2000) Giải 1  (x  x)dx x2  1  x2  x      dx    x     dx  x2  x2   x2   0 0 1    x  1dx  arctanx    J     x2  1 1 - Tính J ( Sử dụng phương pháp tích phân phần ) 1 1 x2  1  x  1dx  x x    dx     x    dx   I  arctanx 0 x2  x2   0  - Do : I     I    x  t  2.dx  2tdt.x   t  3; x   t  dx   Đặt : t   x   2tdt    x 1  f ( x)dx  t   1  t   dt    2     - Do : I   1   dt   t  ln t      ln    ln     ln  1   t 1     2 x 3 x  1dx   x2  dx x 1 a 2  x  x dx  8  1 8 1 u 1 du    udu  u  u   du    24     udu     30 3 0 1 u   2  u      8 1 1 du   du 1 26 52   24   I    I 8    1 u  1  I   3 2 6 1 u 3  u    b  x2 1  x  1   x  1  dx dx   x 1 x 1 1  x   t ; dx  2tdt.x   t  1; x   t   - Đặt : t  x    t  2t  f ( x )dx  2tdt   2t  4t   dt  t  2 2 - Vậy : I    2t  4t   dt   t  2t  4t   3 1 106 THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 / (x  1)sin xdx   x 1  a  x  2x   dx   x  1 s inxdx   x s inxdx   s inxdx   x d  cosx   cosx  J   0 0 1 - Tính J:         2   2 J   x d  cosx   cosx.x   x.cosxdx  2. x.d  s inx    x.s inx   sin xdx  0   0 0        cosx      I    2 2   0   b I   x  x3 x2  dx   x  x  2 x2  xdx  x  t  1; xdx  tdt ; x   t  1; x   t   - Đặt : t  x     t  1 t  1 tdt  t  dt  f ( x)dx     t 1  26 - Vậy : I    t  1 dt   t  t   5 1 1 x  xdx (ydtphcm-2000) BÀI TẬP TỰ LUYỆN 2 x  x dx (ĐHNGT-2000)  0 x dx 2x 1  x e  3ln x.ln x dx (KB-2004) x   x dx (DB-2003) dx  2x   4x  (DB-2006) e 11   ln x dx (DB-06) x  ln x  (KA-2003) x x 4 x   x  dx (KA-2004) dx x2  x  1dx (DB-2005) 10 10 12  107 dx (DB-06) x 1  x2 x5  2x3 x2  dx (CĐSPHN-04) THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 13  x5  1 15 e3 x4 dx (CĐSPKT-04) 5x   2x2  8x 1 ln2 x  x ln x  dx (DB-05) 14 dx 16 x a  x dx 18 x  a2 dx x a 21  23*+ 20* 22*  x3  dx x4 dx x  dx 1 x x  19*   x2  x  a 17 3x      24  108  x2 x2 1  x   dx 1 x6 dx x dx 1 x  1 x dx ... số trước lấy tích phân phần 2 Ví dụ Tính tích phân I   cos xdx Hướng dẫn:  Đặt t  x   I   t cos tdt      e Ví dụ Tính tích phân I   sin(ln x)dx ĐS: I  III TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ... tính tích phân phần ta được: 1 1 I  2  tcost    costdt  2  tcost    sin t    sin1  cos1 0 0 43 THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 II PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN  Tích phân. .. xdx  x  1   xdx 1 1 V ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG: Diện tích hình thang cong Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình thang cong giới hạn đường b y 