TỔNG HỢP KIẾN THỨC TOÁN HỌC ĐẠI SỐ

9 1.1K 25
TỔNG HỢP KIẾN THỨC TOÁN HỌC ĐẠI SỐ

Đang tải... (xem toàn văn)

Thông tin tài liệu

tổng hợp kiến thức cách giải dạng tập toán Phần I: Đại số A Kiến thức cần nhớ Điều kiện để thức có nghĩa A có nghĩa A Các công thức biến đổi thức A2 = A a AB = A B ( A ≥ 0; B ≥ 0) b c A = B d A2 B = A B e A B ( A ≥ 0; B > 0) A B = A2 B ( A ≥ 0; B ≥ 0) A B = − A2 B f A = B B ( B ≥ 0) AB ( A < 0; B ≥ 0) ( AB ≥ 0; B ≠ 0) i A A B = B B k C C ( A mB ) = A − B2 A±B m C C( A m B ) = A − B2 A± B ( B > 0) ( A ≥ 0; A ≠ B ) ( A ≥ 0; B ≥ 0; A ≠ B ) Hµm sè y = ax + b (a ≠ 0) - Tính chất: + Hàm số đồng biến R a > + Hàm số nghịch biến R a < - Đồ thị: Đồ thị đờng thẳng qua điểm A(0;b); B(-b/a;0) Hµm sè y = ax2 (a ≠ 0) - Tính chất: + Nếu a > hàm số nghịch biến x < đồng biến x > + Nếu a < hàm số đồng biến x < nghịch biến x > - Đồ thị: tổng hợp kiến thức cách giải dạng tập toán Đồ thị đờng cong Parabol qua gốc toạ độ O(0;0) + Nếu a > đồ thị nằm phía trục hoành + Nếu a < đồ thị nằm phía dới trục hoành Vị trí tơng đối hai đờng thẳng Xét đờng thẳng y = ax + b (d) vµ y = a'x + b' (d') (d) (d') cắt a a' (d) // (d') ↔ a = a' vµ b ≠ b' (d) ≡ (d') ↔ a = a' vµ b = b' Vị trí tơng đối đờng thẳng đờng cong Xét đờng thẳng y = ax + b (d) vµ y = ax2 (P) (d) vµ (P) cắt hai điểm (d) tiếp xúc với (P) điểm (d) (P) điểm chung Phơng trình bậc hai Xét phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a ≠ 0) C«ng thøc nghiƯm C«ng thøc nghiƯm thu gän ∆ = b2 - 4ac ∆' = b'2 - ac víi b = 2b' Nếu > : Phơng trình cã hai nghiƯm - NÕu ∆' > : Ph¬ng trình có hai phân biệt: nghiệm phân biệt: x1 = −b+ ∆ −b− ∆ ; x2 = 2a 2a ' ' − b ' + ∆' ; x2 = − b − ∆ x1 = a a NÕu ∆ = : Phơng trình có nghiệm kép - Nếu ' = : Phơng trình có nghiệm b b ' : x1 = x2 = kÐp: x1 = x2 = 2a a Nếu < : Phơng trình vô nghiệm - Nếu ' < : Phơng trình vô nghiƯm HƯ thøc Viet vµ øng dơng - HƯ thức Viet: Nếu x1, x2 nghiệm phơng trình bËc hai ax2 + bx + c = (a≠0) th×: −b   S = x1 + x2 = a    P = x x = c  a  - Mét sè øng dông: + Tìm hai số u v biết u + v = S; u.v = P ta giải phơng trình: x2 - Sx + P = (§iỊu kiƯn S2 - 4P 0) + Nhẩm nghiệm phơng trình bËc hai ax2 + bx + c = (a≠0) Nếu a + b + c = phơng tr×nh cã hai nghiƯm: x1 = ; x2 = c a tổng hợp kiến thức cách giải dạng tập toán Nếu a - b + c = phơng trình có hai nghiệm: x1 = -1 ; x2 = − c a Giải toán cách lập phơng trình, hệ phơng trình Bớc 1: Lập phơng trình hệ phơng trình Bớc 2: Giải phơng trình hệ phơng trình Bớc 3: Kiểm tra nghiệm phơng trình hệ phơng trình nghiệm thích hợp với toán kết luận B dạng tập Dạng 1: Rút gọn biểu thức Bài toán: Rút gọn biểu thức A  §Ĩ rót gän biĨu thøc A ta thùc hiƯn bớc sau: - Quy đồng mẫu thức (nếu có) - Đa bớt thừa số thức (nếu có) - Trục thức mẫu (nếu có) - Thực phép tính: luỹ thừa, khai căn, nhân chia - Cộng trừ số hạng đồng dạng Dạng 2: Bài toán tính toán Bài toán 1: Tính giá trị biểu thức A Tính A mà điều kiện kèm theo đồng nghĩa với toán Rút gọn biểu thức A Bài toán 2: Tính giá trÞ cđa biĨu thøc A(x) biÕt x = a  Cách giải: - Rút gọn biểu thức A(x) - Thay x = a vào biểu thức rút gọn Dạng 3: Chứng minh đẳng thức Bài toán: Chứng minh đẳng thức A = B Một số phơng pháp chứng minh: - Phơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa A=B A-B=0 - Phơng pháp 2: Biến đổi trực tiếp A = A1 = A2 = = B - Phơng pháp 3: Phơng pháp so sánh A = A1 = A2 = = C A=B B = B1 = B2 = = C - Phơng pháp 4: Phơng pháp tơng đơng A = B A' = B' A" = B" ↔ ↔(*) (*) ®óng ®ã A = B tổng hợp kiến thức cách giải dạng tập toán - Phơng pháp 5: Phơng pháp sử dụng giả thiết - Phơng pháp 6: Phơng pháp quy nạp - Phơng pháp 7: Phơng pháp dùng biểu thức phụ Dạng 4: Chứng minh bất đẳng thức Bài toán: Chứng minh bất đẳng thức A > B Một số bất đẳng thức quan trọng: - Bất đẳng thức Cosi: a1 + a2 + a3 + + an n ≥ a1.a2 a3 an (víi a1.a2 a3 an ≥ ) n DÊu “=” x¶y vµ chØ khi: a1 = a2 = a3 = = an - Bất đẳng thức BunhiaCôpxki: Với mäi sè a1; a2; a3;…; an; b1; b2; b3;…bn ( a1b1 + a2b2 + a3b3 + + anbn ) ≤ (a12 + a22 + a32 + + an2 )(b12 + b22 + b32 + + bn2 ) a1 a2 a3 an DÊu “=” x¶y vµ chØ khi: b = b = b = = b n  Mét sè ph¬ng pháp chứng minh: - Phơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa A>B A-B>0 - Phơng pháp 2: Biến đổi trực tiÕp A = A1 = A2 = = B + M2 > B nÕu M ≠ - Ph¬ng pháp 3: Phơng pháp tơng đơng A > B A' > B' ↔ A" > B" ↔ ↔(*) (*) A > B - Phơng pháp 4: Phơng pháp dùng tính chất bắc cầu A > C vµ C > B → A > B - Phơng pháp 5: Phơng pháp phản chứng Để chứng minh A > B ta giả sử B > A dùng phép biến đổi tơng đơng để dẫn đến ®iỊu v« lÝ ®ã ta kÕt ln A > B - Phơng pháp 6: Phơng pháp sử dụng giả thiết - Phơng pháp 7: Phơng pháp quy nạp - Phơng pháp 8: Phơng pháp dùng biểu thức phụ Dạng 5: toán liên quan tới phơng trình bậc hai Bài toán 1: Giải phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a0) Các phơng pháp giải: - Phơng pháp 1: Phân tích đa phơng trình tích - Phơng pháp 2: Dùng kiến thức bậc hai x2 = a x = a - Phơng pháp 3: Dùng công thức nghiệm Ta cã ∆ = b2 - 4ac + NÕu ∆ > : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = −b+ ∆ −b− ∆ ; x2 = 2a 2a + Nếu = : Phơng trình có nghiệm kép tổng hợp kiến thức cách giải dạng tập toán x1 = x2 = b 2a + Nếu < : Phơng trình vô nghiệm - Phơng pháp 4: Dùng công thức nghiệm thu gän Ta cã ∆' = b'2 - ac víi b = 2b' + Nếu ' > : Phơng trình cã hai nghiƯm ph©n biƯt: x1 = ' ' − b ' + ∆' ; x2 = − b − ∆ a a + NÕu ∆' = : Ph¬ng tr×nh cã nghiƯm kÐp −b ' x1 = x2 = a + Nếu ' < : Phơng trình vô nghiệm - Phơng pháp 5: Nhẩm nghiệm nhờ định lí Vi-et Nếu x1, x2 nghiệm phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a≠0) th×: −b   x1 + x2 = a    x1.x2 = c  a  Chó ý: NÕu a, c trái dấu tức a.c < phơng trình có hai nghiệm phân biệt Bài toán 2: BiƯn ln theo m sù cã nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = ( ®ã a, b, c phơ thc tham sè m )  XÐt hƯ sè a: Cã thĨ cã khả a Trờng hợp a = với vài giá trị m Giả sử a = ↔ m = m0 ta cã: (*) trë thành phơng trình bậc ax + c = (**) + NÕu b ≠ víi m = m0: (**) cã mét nghiÖm x = -c/b + NÕu b = vµ c = víi m = m0: (**) vô định (*) vô định + Nếu b = vµ c ≠ víi m = m0: (**) vô nghiệm (*) vô nghiệm b Trờng hợp a ≠ 0: TÝnh ∆ hc ∆' + TÝnh ∆ = b2 - 4ac NÕu ∆ > : Ph¬ng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = b+ −b− ∆ ; x2 = 2a 2a NÕu ∆ = : Phơng trình có nghiệm kép : x1 = x2 = −b 2a NÕu ∆ < : Ph¬ng trình vô nghiệm + Tính ' = b'2 - ac víi b = 2b' NÕu ∆' > : Ph¬ng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = ' ' − b ' + ∆' ; x2 = − b − ∆ a a −b ' NÕu ∆' = : Phơng trình có nghiệm kép: x1 = x2 = a tổng hợp kiến thức cách giải dạng tập toán Nếu ' < : Phơng trình vô nghiệm - Ghi tóm tắt phần biện luận Bài toán 3: Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax + bx + c = ( ®ã a, b, c phơ thc tham sè m ) cã nghiƯm  Có hai khả để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = cã nghiƯm: Hc a = 0, b ≠ Hc a ≠ 0, ' Tập hợp giá trị m toàn giá trị m thoả mÃn điều kiện điều kiện Bài toán 4: Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax + bx + c = ( a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã nghiƯm ph©n biƯt a ≠ a ≠ hc  ' ∆ > > Điều kiện có hai nghiệm phân biệt Bài toán 5: Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc ax + bx + c = ( ®ã a, b, c phơ thc tham sè m ) cã nghiƯm  §iỊu kiÖn cã mét nghiÖm: hai a ≠ a = hc  hc  b ≠ ∆ = a ≠  ' ∆ = Bài toán 6: Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc ax + bx + c = ( ®ã a, b, c phơ thc tham sè m ) cã nghiÖm kÐp hai a ≠  §iỊu kiƯn cã nghiƯm kÐp:  ∆ = a ≠ hc  ' ∆ = Bài toán 7: Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc ax + bx + c = ( ®ã a, b, c phơ thc tham sè m ) v« nghiƯm hai a ≠  §iỊu kiƯn cã mét nghiƯm:  ∆ < a ' < Bài toán 8: Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc ax + bx + c = ( ®ã a, b, c phơ thc tham sè m ) cã nghiÖm hai a ≠ a = hc  hc b ≠ ∆ =  §iỊu kiƯn cã mét nghiƯm:  a ' = Bài toán : Tìm điều kiện tham số m để phơng tr×nh bËc ax + bx + c = ( a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã hai nghiƯm cïng dÊu  §iỊu kiƯn cã hai nghiƯm cïng dÊu: hai ∆ ≥   c P = a >  hc ∆' ≥   c P = a >  Bµi toán 10 : Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a, b, c phô thuéc tham sè m) có nghiệm dơng Điều kiện có hai nghiệm dơng: tổng hợp kiến thức cách giải dạng tập toán c   P = > hc a  b  S = − a >   ∆' ≥  c  P = > a  b  S = − a >   ∆ ≥  c   P = > hc a  b  S = − a <   ∆' ≥  c  P = > a  b  S = a < Bài toán 11 : Tìm điều kiện tham số m để phơng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = ( ®ã a, b, c phơ thc tham sè m ) có nghiệm âm Điều kiện có hai nghiệm âm: Bài toán 12 : Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phơ thc tham sè m) cã nghiƯm tr¸i dÊu Điều kiện có hai nghiệm trái dấu: P < a c trái dấu Bài toán 13 : Tìm điều kiện tham số m để phơng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = (*) ( a, b, c phô thuéc tham sè m) có nghiệm x = x1 Cách giải: - Thay x = x1 vào phơng trình (*) ta có: ax12 + bx1 + c = → m - Thay giá trị m vào (*) x1, x2 P - Hc tÝnh x2 = S - x1 hc x2 = x Bài toán 14 : Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phơ thc tham sè m) cã nghiƯm x1, x2 thoả mÃn điều kiện: a x1 + βx2 = γ b x12 + x2 = k 1 c x + x = n d x12 + x2 ≥ h e x13 + x2 = t  §iỊu kiƯn chung: ∆ ≥ ' (*) Theo định lí Viet ta cã: −b   x1 + x2 = a = S (1)    x1.x2 = c = P (2)  a  x x a Trêng hỵp: α +β =γ −b   x1 + x2 = a Gi¶i hƯ  αx1 + β x2 = γ  x1, x2 Thay x1, x2 vµo (2) → m tổng hợp kiến thức cách giải dạng tập toán Chọn giá trị m thoả mÃn (*) b Trờng hợp: x12 + x22 = k ↔ ( x1 + x2 )2 − x1 x2 = k Thay x1 + x2 = S = −b c vµ x1.x2 = P = vµo ta cã: a a S2 - 2P = k → T×m đợc giá trị m thoả mÃn (*) 1 c Trêng hỵp: x + x = n ↔ x1 + x2 = nx1.x2 ↔ − b = nc Giải phơng trình - b = nc tìm đợc m thoả mÃn (*) d Trờng hợp: x12 + x22 ≥ h ↔ S − P − h Giải bất phơng trình S2 - 2P - h ≥ chän m tho¶ m·n (*) e Trêng hỵp: x13 + x2 = t ↔ S 3PS = t Giải phơng trình S 3PS = t chọn m thoả mÃn (*) Bài toán 15 : Tìm hai số u v biết tổng u + v = S vµ tÝch u.v = P cđa chóng  Ta cã u vµ v lµ nghiƯm phơng trình: x2 - Sx + P = (*) (Điều kiện S2 - 4P 0) Giải phơng trình (*) ta tìm đợc hai số u v cần tìm Nội dung 6: giải phơng trình phơng pháp đặt ẩn số phụ Bài toán1: Giải phơng trình trïng ph¬ng ax4 + bx2 + c =  Đặt t = x2 (t0) ta có phơng trình at2 + bt + c = Giải phơng trình bậc hai ẩn t sau thay vào tìm ẩn x Bảng tóm tắt at + bt + c = ax4 + bx2 + c = v« nghiƯm v« nghiệm nghiệm âm vô nghiệm nghiệm kép âm vô nghiệm nghiệm dơng nghiệm đối nghiệm nghiệm dơng cặp nghiệm đối Bài toán 2: Giải phơng trình A( x + 1 ) + B( x + ) + C = x x = t ↔ x2 - tx + = x 1 Suy t2 = ( x + )2 = x + + ↔ x + = t x x x Đặt x + tổng hợp kiến thức cách giải dạng tập toán Thay vào phơng trình ta cã: A(t2 - 2) + Bt + C = ↔ At2 + Bt + C - 2A = = t giải tìm x x 1 Bài toán 3: Giải phơng trình A( x + ) + B( x − ) + C = x x Đặt x = t x2 - tx - = x 1 Suy t2 = ( x − )2 = x + − ↔ x + = t + x x x Gi¶i phơng trình ẩn t sau vào x + Thay vào phơng trình ta có: A(t2 + 2) + Bt + C = ↔ At2 + Bt + C + 2A = Giải phơng trình ẩn t sau vào x = t giải tìm x x Bài toán 4: Giải phơng trình bậc cao Dùng phép biến đổi đa phơng trình bậc cao dạng: + Phơng trình tích + Phơng trình bậc hai Nội dung 7: giải hệ phơng trình ax + by = c a ' x + b ' y = c ' Bài toán: Giải hệ phơng trình Các phơng pháp giải: + Phơng pháp đồ thị + Phơng pháp cộng + Phơng pháp + Phơng pháp đặt ẩn phụ Nội dung 7: giải phơng trình vô tỉ Bài toán 1: Giải phơng trình d¹ng  Ta cã  g ( x) ≥ f ( x) = g ( x) ↔   f ( x ) = [ g ( x )] f ( x) = g ( x ) (1) (2) (3) Giải (3) đối chiếu điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp nghiệm (1) Bài toán 2: Giải phơng trình dạng f ( x) + h( x) = g ( x)  §iỊu kiƯn cã nghÜa cđa phơng trình tổng hợp kiến thức cách giải dạng tập toán f ( x) ≥  h ( x ) ≥  g ( x) Với điều kiện thoả mÃn ta bình phơng hai vế để giải tìm x Nội dung 8: giải phơng trình chứa giá trị tuyệt đối Bài toán: Giải phơng trình dạng f ( x ) =g ( x ) Phơng pháp 1:  g ( x) ≥ f ( x ) =g ( x ) ↔  [ f ( x)] = [ g ( x)] 2 XÐt f(x) ≥ → f(x) = g(x) XÐt f(x) < → - f(x) = g(x) Phơng pháp 3: Với g(x) ≥ ta cã f(x) = ± g(x)  Ph¬ng pháp 2: Nội dung 9: giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Bài toán: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f(x) Phơng pháp 1: Dựa vào luỹ thừa bậc chẵn - Biến đổi hàm số y = f(x) cho: y = M - [g(x)]2n , n ∈Z → y ≤ M Do ®ã ymax = M g(x) = - Biến đổi hàm sè y = f(x) cho: y = m + [h(x)]2k k∈Z → y ≥ m Do ®ã ymin = m h(x) = Phơng pháp 2: Dựa vào tập giá trị hàm Phơng pháp 3: Dựa vào đẳng thức Nội dung 10: toán liên quan đến hàm số * Điểm thuộc đờng - đờng qua điểm Bài toán: Cho (C) đồ thị hàm số y = f(x) điểm A(xA;yA) Hỏi (C) có qua A không? Đồ thị (C) qua A(xA;yA) toạ độ A nghiệm phơng trình (C) A(C) ↔ yA = f(xA) Dã ®ã tÝnh f(xA) NÕu f(xA) = yA (C) qua A Nếu f(xA) yA (C) không qua A * tơng giao hai đồ thị Bài toán : Cho (C) (L) theo thứ tự độ thị hàm số y = f(x) y = g(x) HÃy khảo sát tơng giao hai đồ thị Toạ độ điểm chung (C) (L) nghiệm phơng trình hoành độ điểm chung: f(x) = g(x) (*) 10 tổng hợp kiến thức cách giải dạng tập toán - Nếu (*) vô nghiệm (C) (L) điểm chung - Nếu (*) có nghiệm kép (C) (L) tiếp xúc - Nếu (*) có nghiệm (C) (L) có điểm chung - Nếu (*) có nghiệm (C) (L) có điểm chung * lập phơng trình đờng thẳng Bài toán 1: Lập phơng trình đờng thẳng (D) qua điểm A(xA;yA) có hệ số góc k Phơng trình tổng quát đờng thẳng (D) : y = ax + b (*) - Xác định a: ta có a = k - Xác định b: (D) qua A(xA;yA) nên ta cã yA = kxA + b → b = yA - kxA - Thay a = k; b = yA - kxA vào (*) ta có phơng trình (D) Bài toán 2: Lập phơng trình đờng thẳng (D) qua điểm A(xA;yA); B(xB;yB) Phơng trình tổng quát đờng thẳng (D) : y = ax + b  y A = ax A + b  y B = ax B + b (D) ®i qua A B nên ta có: Giải hệ ta tìm đợc a b suy phơng trình (D) Bài toán 3: Lập phơng trình đờng thẳng (D) cã hƯ sè gãc k vµ tiÕp xóc víi đờng cong (C): y = f(x) Phơng trình tổng quát đờng thẳng (D) : y = kx + b Phơng trình hoành độ điểm chung (D) (P) là: f(x) = kx + b (*) Vì (D) tiÕp xóc víi (P) nªn (*) cã nghiƯm kÐp Từ điều kiện ta tìm đợc b suy phơng trình (D) Bài toán 3: Lập phơng trình đờng thẳng (D) qua điểm A(xA;yA) k tiếp xúc với đờng cong (C): y = f(x) Phơng trình tổng quát đờng thẳng (D) : y = kx + b Phơng trình hoành độ ®iĨm chung cđa (D) vµ (P) lµ: f(x) = kx + b (*) Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép Từ điều kiện ta tìm đợc hệ thức liên hệ a b (**) Mặt khác: (D) qua A(xA;yA) ta có yA = axA + b (***) Tõ (**) vµ (***) → a b Phơng trình đờng thẳng (D) 11 ... nghĩa với toán Rút gọn biểu thức A Bài toán 2: Tính giá trị biểu thức A(x) biết x = a Cách giải: - Rút gọn biĨu thøc A(x) - Thay x = a vµo biĨu thức rút gọn Dạng 3: Chứng minh đẳng thức Bài toán: ... kiện (2) chọn nghiệm thích hợp nghiệm (1) Bài toán 2: Giải phơng trình dạng f ( x) + h( x) = g ( x)  Điều kiện có nghĩa phơng trình tổng hợp kiến thức cách giải dạng tập toán  f ( x) ≥  h (... pháp dùng biểu thức phụ Dạng 4: Chứng minh bất đẳng thức Bài toán: Chứng minh bất đẳng thức A > B Một số bất đẳng thức quan trọng: - Bất đẳng thức Cosi: a1 + a2 + a3 + + an n ≥ a1.a2 a3 an (víi

Ngày đăng: 29/01/2015, 02:00

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan