Đang tải... (xem toàn văn)
Trong toán học, một bất đẳng thức (tiếng Anh:Inequality) là một phát biểu về quan hệ thứ tự giữa hai đối tượng. (Xem thêm: đẳng thức) Ký hiệu a < b \ có nghĩa là a nhỏ hơn b và Ký hiệu a > b \ có nghĩa là a lớn hơn b. Những quan hệ nói trên được gọi là bất đẳng thức nghiêm ngặt; ngoài ra ta còn có a le b có nghĩa là a nhỏ hơn hoặc bằng b và a ge b có nghĩa là a lớn hơn hoặc bằng b. Người ta còn dùng một ký hiệu khác để chỉ ra rằng một đại lượng lớn hơn rất nhiều so với một đại lượng khác. Ký hiệu a >> b có nghĩa là a lớn hơn b rất nhiều. Các ký hiệu a, b ở hai vế của một bất đẳng thức có thể là các biểu thức của các biến. Sau đây ta chỉ xét các bất đẳng thức với các biến nhận giá trị trên tập số thực hoặc các tập con của nó. Nếu một bất đẳng thức đúng với mọi giá trị của tất cả các biến có mặt trong bất đẳng thức, thì bất đẳng thức này được gọi là bất đẳng thức tuyệt đối hay không điều kiện. Nếu một bất đẳng thức chỉ đúng với một số giá trị nào đó của các biến, với các giá trị khác thì nó bị đổi chiều hay không còn đúng nữa thì nó được goị là một bất đẳng thức có điều kiện. Một bất đẳng thức đúng vẫn còn đúng nếu cả hai vế của nó được thêm vào hoặc bớt đi cùng một giá trị, hay nếu cả hai vế của nó được nhân hay chia với cùng một số dương. Một bất đẳng thức sẽ bị đảo chiều nếu cả hai vế của nó được nhân hay chia bởi một số âm. Hai bài toán thường gặp trên các bất đẳng thức là Chứng minh bất đẳng thức đúng với trị giá trị của các biến thuộc một tập hợp cho trước, đó là bài toán chứng minh bất đẳng thức. Tìm tập các giá trị của các biến để bất đẳng thức đúng. Đó là bài toán giải bất phương trình. Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của một biểu thức một hay nhiều biến.
1 ___________ ABC GLA nhữngphơngphápchứngminh bĐT độc đáo ___________ ng s hói khi phi i u vi mt i th mnh hn, m hóy vui mng vỡ bn ó cú c hi chin u ht mỡnh gla abc những ph ơng pháp chứng minh LI NểI U Nhng nm gn õy Bt ng thc (BT) ging nh mt n hong - mang trong mỡnh nhiu v p huyn bớ . T nhng kỡ thi H C, HSG Tnh hay n nhng kỡ thi Olympic quc gia, quc t, BT c trao cho mt v trớ c bit quan trng. Nú xut hin trong bi thi nh th thỏch s dng mnh ca cỏc chin binhvỡ th nú cú kh nng hụ phong, hoỏn v , nú lm chao o khụng bit bao nhiờu cỏi u thụng minh nht. Cng chớnh vỡ v p cha ng nhiu s tim n ú m khụng bit bao nhiờu anh ti lao vo cuc chinh phc nh cao. Hng lot nhng cỏi tờn luụn c gii tr yờu Toỏn, yờu BT trong nc nhc n nh : Phm Kim Hựng, Nguyn Anh Cng, Vừ Thnh Nam, Bựi Vit Anh vi s mi m v phng phỏp, sõu sc v kin thc. Bờn cnh h l nhng tỏc phm tuyt nh nh : Dn bin, Only ABC, GLAvi sc sỏt thng khng khip khi ng cnh nhng BT nh cao Cú l vỡ th m BT khụng cũn ng kiờu hónh nh trc na, gi õy mt a tr 15, 17 tui cú th nhỡn nhng BT ng cp quc t ca nhng nm v trc vi n ci ngo ngh Nhng cỏi lung linh huyn o ú cha hn ó b chinh phc, bi trong dõn gian õu ú vn cũn m o búng ca nhng anh ti cha hộ l. May mn cho tụi bi tụi ớt nht cng ó mt ln c bit n nhng iu mi l ú, cú th vi tụi mt phỏt minh, 1 sỏng kin quỏ xa vi bi cũn quỏ mờnh mụng nhng BT tụi ch dỏm nhỡn ngm nú t rtrt xa, cú nhng phng phỏp gii toỏn tụi c hng trm ln m cha hiu ht s gi gm ca tỏc gi . Nhng cú mt ai ú ó núi rng : ng s hói khi phi i u vi mt i th mnh hn, m hóy vui mng vỡ bn ó cú c hi chin u ht mỡnhtụi thy mỡnh mnh m hn !!! - phạm kim chung - 2 ___________ ∑ ABC GLA nh÷ngph−¬ngph¸pchøngminh b§T ®éc ®¸o ___________ Đừng sợ hãi khi phải đối đầu với một đối thủ mạnh hơn, mà hãy vui mừng vì bạn đã có cơ hội để chiến đấu hết mình I. 1 KĨ THUẬT CÔ – SI NGƯỢC DẤU . # Bài 1 . ( Sáng tạo BĐT – P.K.H ) Cho . Chứng minh bất đẳng thức : a,b,c 0: a b c 3>++= 222 abc 1b 1c 1a 2 3 + +≥ +++ BG . Ta có : 22 AM GM 22 aab ab aa 1b 1b 2b 2 − =− ≥ − =− ++ ab a . Hoàn toàn tương tự ta có : ()() 222 abc 1 abc abbcca 1b 1c 1a 2 2 ++≥++−++≥ +++ 3 . Do () 2 abc ab bc ca 3 3 ++ + +≤ = # Bài 2 . ( Sáng tạo BĐT – P.K.H ) Cho .Chứng minh bất đẳng thức a,b,c,d 0: a b c d 4>+++= 2222 abcd 2 1b 1c 1d 1a + ++≥ ++++ BG . Hoàn toàn tương tự Bài 1 . Lưu ý rằng : ()() ()() 2 AM GM ac bd ab bc cd da a c b d 4 4 − ⎡++ +⎤ ⎣⎦ +++=+ + ≤ = # Bài 3 . ( Sáng tạo BĐT – P.K.H ) Cho .Chứng minh bất đẳng thức a,b,c,d 0: a b c d 4>+++= 22 2 2 abcd 2 1bc1cd1da 1ab + ++ ++++ ≥ BG . Ta có : ( ) 22 AM GM AM GM 22 b aac aabc abcba.a.c aaa a 1bc 1bc 2 4 2b c −− + =− ≥− =− ≥− ++ Hoàn toàn tương tự ta có : ()()() 22 2 2 abcd 1 1 a b c d ab bc cd da abc bcd cda dab 1bc 1cd 1da 1ab 4 4 +++≥+++−+++−+++ ++++ Lại có : ()() ()() 2 AM GM ac bd ab bc cd da a c b d 4 4 − ⎡++ +⎤ ⎣⎦ +++=+ + ≤ = và ()() () () () () 22 AM GM bc ad abc bcd cda dab bc a d da c b a d c b 44 − ++ +++= ++ + ≤ ++ + = = ()() () () ( 2 AM GM bcad abcd abcd abcd 4 416 − ++ +++ +++ ≤ +++ = ) . đpcm ⇒ # Bài 4 . ( Sáng tạo BĐT – P.K.H ) Cho .Chứng minh bất đẳng thức : a,b,c,d 0> 3333 22 2222 22 abcdabc abbccdda 2 d + ++ +++≥ + ++ + BG . Ta có : 32 2 AM GM 22 22 aab ab aa ab ab 2ab 2 − b a = −≥−= ++ − . Hoàn toàn tương tự ta sẽ giải quyết được BĐT trên . # Bài 5 . ( Sáng tạo BĐT – P.K.H ) Cho .Chứng minh bất đẳng thức : a,b,c 0: a b c 3>++= 222 222 abc 1 a2b b2c c2a + +≥ +++ BG . Ta có : 22 2 AM GM 3 22 22 3 4 a2ab 2ab2 aaa a2b a2b 3 3ab − =− ≥ − =− ++ a.b . Lại có : 3 ___________ ABC GLA nhữngphơngpháp chứngminh bĐT độc đáo ___________ ng s hói khi phi i u vi mt i th mnh hn, m hóy vui mng vỡ bn ó cú c hi chin u ht mỡnh AM GM 3 22 3 12ab a.b 1.ab.ab 3 + = . Do ú : () 2 2 a2 a12ab a2b 9 + + Hon ton tng t ta cú : ()() 222 222 abc 4 242 abc abbcca 3 1 a2b b2c c2a 9 3 33 ++++++ +++ = . pcm . # Bi 6 . ( Sỏng to BT P.K.H ) Cho .Chng minh bt ng thc : a,b,c 0: a b c 3>++= 222 333 abc 1 a2b b2c c2a + + +++ BG . Ta cú : 23 3 AM GM 3 2 33 2 3 a2ab 2ab2 aaa a2b a2b 3 3b a = = ++ ba Li cú : AM GM 3 2 3 12a b a b 1.a.a b. 3 + = . n õy tng t Bi 5 . # Bi 7 . ( Sỏng to BT P.K.H ) Cho .Chng minh bt ng thc : a,b,c 0: a b c 3>++= 222 a1 b1 c1 3 b 1b 1c 1 +++ + + +++ BG . Bi toỏn ny cú cỏch lm tng t Bi 1. chng qua tỏc gi ch cng thờm i lng 222 111 b 1b 1c 1 ++ ++ + vo v trỏi ca BT ó CM . # Bi 8 . ( Sỏng to BT P.K.H ) Cho .Chng minh bt ng thc a,b,c,d 0: a b c d 4>+++= 22 22 a1 b1 c1 d1 4 1b 1c 1d 1a ++++ + ++ ++++ # Bi 9 . ( Sỏng to BT P.K.H ) Cho .Chng minh bt ng thc a,b,c,d 0: a b c d 4>+++= 22 22 1111 2 1b 1c 1d 1a + ++ ++++ # Bi 10 . ( Sỏng to BT P.K.H ) Cho .Chng minh bt ng thc : a,b,c 0: a b c 3>++= 222 222 abc ab bc ca 2 3 + + +++ 4 ___________ ABC GLA nhữngphơngpháp chứngminh bĐT độc đáo ___________ ng s hói khi phi i u vi mt i th mnh hn, m hóy vui mng vỡ bn ó cú c hi chin u ht mỡnh II. 1 S DNG TIP TUYN TèM LI GII TRONG CHNG MINH BT NG THC Tụi khụng cú nhiu nhng thụng tin v phng phỏp ny, ch bit phng phỏp ny c vit bi Kin - Yin Li vi tiờu Using Tangent Lines to Prove Inequalities nm 2005. Sau ú trờn din n toỏn hc : www.mathscope.org tỏc gi Nguyn Tt Thu ó vit li lm ti SKKN Cỏi hay ca phng phỏp ny l s xut phỏt t nhiờn tỡm li gii cho bt ng thc. Ta i vo mt s VD sau ú s im qua ý gii toỏn ca nú. # Bi 1. Cho . Chng minh rng : a,b,c R:a b c 6++= ( ) 444 333 abc2abc++ ++ BG . - Li gii 1. Thc ra bi toỏn vi bi toỏn ny thỡ gó khng l Cauchy Schwarz (BunhiaCopxki) s khut phc nú khụng my khú khn. () ()()() () () 2 CS SCW 2 333 222 222 333 222 abc abcabc abc abc abc2abc 3 ++ ++ + + + + + + + + + + T ú ta cú : . ()()()()( CS SCW 2 2 22444 333 2 22333 abcabc abc 2abcabc ++ ++ ++ ++ ++ ) 3 - Li gii 2. S tht thiu sút khi khụng nhc n s sỏt thng kinh hong ca BT AM GM (Cụ-si ) . Ta cú : . AM GM AM GM AM GM 43434 a2a 3a,b2b 3b,c2c 3c + + + Li cú : . Do ú : AM GM AM GM AM GM 333 a 2 3a, b 2 3b, c 2 3c + + + () ( ) ( ) 444 333 a b c 2abc 2a b c 3abc 6+++ ++ ++ + ++ pcm - Li gii 3. Nhng tỏc gi mun dựng bi toỏn n gin ny nhc n mt cỏch chng minh khỏc : Ta cú : ()() ( ) 2 43 2 43 a2 . Tng t ta cú : a 8a16 a2a2a40a2a8a16= + ( ) ( ) 444 333 abc2abc 8abc480++ ++ ++= pcm Nu nhỡn qua thỡ Li gii 3. cú v thiu t nhiờn khi i lng ( 8a 16 ) xut hin. Nhng ú cng chớnh l im mu cht ca phng phỏp tip tuyn. Nhn xột : Nu y = ax + b l tip tuyn ca th hm s y = f(x) ti im A(x 0 ; y 0 ) ( A khụng phi l im un) khi ú tn ti mt khong ( ; ) cha im x 0 sao cho ( ) ( ) fx hoc ax b,x ;+ ( ) ( ) fx ax b, x ;+ . ng thc xy ra khi x = x 0 . T õy ta cú hoc () ( ) nn iii i1 i1 f x a x nb, x ; == + () ( ) nn iii i1 i1 f x a x nb, x ; == + Phng trỡnh tip tuyn ti A(x 0 ; y 0 ) l : y y 0 = f(x 0 )(x x 0 ) Nh vy trong li gii 3. phng trỡnh y = 8x 16 chớnh l tip tuyn ca th hm s ti x 0 = 2 . V chng minh ( ) 43 x2x 8x160 , ta ch vic chia a thc ny cho ( x 2) 2 . # Bi 2 . Cho . Chng minh bt ng thc : a,b,c 0: a b c 1>++= abc 1bc1ca 1ab 10 ++ +++ 9 BG . Trc khi gii bng phng phỏp tip tuyn nh t tng ca tỏc gi, tụi s gii quyt nú bi mt BT quen thuc : BT Schwarz . Ta cú : () () 2 222 Schwarz AM GM 3 abc abc 1 VT a abc b bca c cab a b c 3abc 10 abc 1 9 ++ =++ = +++ +++ ++ + 9 _ Li gii bng phng phỏp tip tuyn : gii c bng phng phỏp tip tuyn, nht thit phi chuyn BT ó cho v 1 BT cha cỏc biu thc di dng 1bin s. 5 ___________ ABC GLA nhữngphơngpháp chứngminh bĐT độc đáo ___________ ng s hói khi phi i u vi mt i th mnh hn, m hóy vui mng vỡ bn ó cú c hi chin u ht mỡnh Ta cú : () AM GM 2 aa4 (b c) 1bc 41a 1 4 = + + + + 2 a . Tng t nh vy ta s a BT ó cho v dng tng ng nh sau : 222 4a 4b 4c 9 a2a5b2b5c2c510 ++ + + + . Xột hm s 2 4x f(x) x2x5 = + , o hm : f'(x)= () 2 2 2 4x 20 x2x5 + + . Phng trỡnh tip tuyn ti im cú honh x 0 = 1 3 ( im ri ) l : 99x 3 y 100 = . Do ú : 2 4x x2x5+ ( ) ( 2 2 (3x 1) 15 11x 99x 3 0, x 0;1 100 100(x 2x 5) = + ) . n õy bi toỏn ó tỡm ra hng i ! # Bi 3 . Cho l di ba cnh tam giỏc . Chng minh bt ng thc : a,b,c 111 9 1 1 1 4 abcabc abbcca +++ + + + ++++ BG. Chun húa : Bt ng thc ó cho thun nht nờn ta ch cn chng minh BT ỳng vi mi s thc dng tha món : a + b + c =1. Khi ú BT ó cho tr thnh : 41 41 41 9 1a a 1b b 1c c + + ( ) ( ) ( ) fa fb fc 9 ++ Xột hm s () 2 5x 1 fx xx = , tip tuyn ti im cú honh x 0 = 1 3 l : y = 18x 3 Xột f(x) (18x 3) = ()() 2 2 3x 1 2x 1 xx . Do a, b, c l 3 cnh ca tam giỏc nờn : 1 a b c 2a (2b,2c)=++> do ú 1 x 2 < suy ra : 1 f(x) (18x 3) 0, x 0; 2 . T ú ta gii quyt bi toỏn ! # Bi 4 ( V Toỏn Ba Lan 1996 ). Cho 3 a,b,c 4 tha món : a+ b+ c =1. Chng minh bt ng thc 222 abc a1b1c110 ++ 9 + ++ BG . Xột hm s : 2 x f(x) x1 = + . Phng trỡnh tip tuyn ti im cú honh x 0 = 1 3 l : 36x 3 y 50 + = Xột ()( ) () 2 2 3x 1 4x 3 36x 3 3 f(x) 0, x 50 4 50 x 1 + + = + . T ú ta cú li gii ! # Bi 5 ( JAPAN MO 2002 ). Chng minh rng vi mi a, b, c khụng õm ta cú bt ng thc : () () () () () () 222 22 2 22 bca cab abc 3 5 bc a ca b ab c + + + 2 + + ++ ++ ++ BG . Chun húa : a + b + c = 1. BT ó cho tng ng vi BT : () () () 222 222 12a 12a 12a 3 2a 2a 1 2a 2a 1 2a 2a 1 5 + + + + + Xột hm s : 2 2 4x 4x 1 f(x) 2x 2x 1 + = + , phng trỡnh tip tuyn ti im cú honh x 0 = 1 3 l 54x 23 y 25 + = Do ú : f(x) 54x 23 25 + = ( ) () 32 2 254x 27x 1 25 2x 2x 1 + + = ()() () () 2 2 23x 1 6x 1 0, x 0;1 25 2x 2x 1 + + . Bi toỏn ó tỡm ra hng gii quyt ! 6 ___________ ABC GLA nhữngphơngpháp chứngminh bĐT độc đáo ___________ ng s hói khi phi i u vi mt i th mnh hn, m hóy vui mng vỡ bn ó cú c hi chin u ht mỡnh # Bi 6 ( USA MO 2003 ). Chng minh rng vi mi a, b, c khụng õm ta cú bt ng thc : () () () () () () 22 22 2 22 b c 2a c a 2b a b 2c 8 bc 2a ca 2b ab 2c ++ ++ ++ Chỳ ý : Khi chng minh : f(x) (ax b) 0 + nu bn ngi bin i tng ung thỡ o hm v kho sỏt nú trờn khong thớch hp . 2 2 + + ++ ++ ++ BG . Chun húa : a + b + c = 1. BT ó cho tng ng vi BT : () () () 222 222 1a 1b 1c 8 3a 2a 1 3b 2b 1 3c 2c 1 +++ + + + + + Xột hm s : () 2 2 x2x1 fx 3x 2x 1 ++ = + , phng trỡnh tip tuyn ti im cú honh x 0 = 1 3 l : 12x 4 y 3 + = Lỳc ú : f(x) 12x 4 3 + = ()() () ( 2 2 3x 1 4x 1 0, x 0;1 33x 2x 1 + + ) . Bi toỏn ó tỡm ra hng gii quyt ! cỏc bi tp 3, 5, 6 ta bt gp mt k thut cú tờn l : K thut chun húa , nú s mang n cho BT cn chng minh vi 1 cỏch nhỡn d hn. Nhng BT chun húa c l nhng BT thun nht : /n hm s thun nht : Hm s f(a, b, c) c gi l thun nht vi cỏc bin trờn min I nu nú tha món iu kin : f(ta, tb, tc) = t k f(a, b, c) vi mi t,a,b,c I v k l mt hng s khụng ph thuc vo a,b,c,t m ch ph thuc vo bn thõn hm f. # Bi 7 ( RUSSIA MO 2002 ). Cho . Chng minh bt ng thc : a,b,c 0: a b c 3>++= abcabbcca + + ++ BG . Ta cú : 9 = (a+b+c) 2 = a 2 +b 2 +c 2 +2(ab+bc+ca) . Do ú BT cn CM tng ng vi BT : 222 abc2a2b2c+++ + + 9 Xột hm s : f(x) = x 2 2x+ , tip tuyn ca hm s ti im cú honh x 0 = 1 l : y = 3x . Khi ú f(x) 3x = x 2 3x 2x+ ( ) ( ) ( 2 x1 x2x 0,x 0;3= + ) . Bi toỏn ó tỡm thy hng gii ! # Bi 8 . Cho . Chng minh bt ng thc : a,b,c 0> () 222 22 13 111 abc abc abc abc 33 + 2 + ++++++++ BG . Chun húa : a 2 + b 2 + c 2 =1 . BT ó cho tng ng vi BT : 13111 abc1 abc 33 + ++ +++ _Li gii 1. BT () 13111 abc 10 abc 33 + ++++ .Li cú : 111 9 abcabc ++ ++ , ta cn CM : () 33 abc 10 abc + ++ ++ , xột hm s () 33 fx x 1, x + = vi 0x 3< , hm f(x) nghch bin suy ra pcm . _ Li gii 2. Bi toỏn ny lm c bng phng phỏp tip tuyn vi vic xột hm : () ( 131 ) . x,x 0;1 x 33 + = fx , tip tuyn ca nú ti x 0 = 1 3 l : y 123 223 x 3 3 ++ = + # Bi 9 . Cho . Chng minh bt ng thc : a,b,c 0> ()()() () 222 abc 9 4a b c bc ca ab ++ + + +++ BG . _ Li gii 1. S dng BT Cauchy Schwarz ( BunhiaCopxki ) 7 ___________ ABC GLA nhữngphơngpháp chứngminh bĐT độc đáo ___________ ng s hói khi phi i u vi mt i th mnh hn, m hóy vui mng vỡ bn ó cú c hi chin u ht mỡnh () () ()() 2 CS SCW Nesbit 22 2 abc abc abc 9 b ccaab 4 bc ca ab ++ + + + + +++ +++ , suy ra pcm . _ Li gii 2 . Phng phỏp tip tuyn . Chun húa : a+b+c=1, BT ó cho tng ng vi BT : ()()() 222 abc 4 1a 1b 1c ++ 9 . Xột hm s : () () 2 x fx 1x = , tip tuyn ca th hm s ti im cú honh x 0 = 1 3 l : 18x 3 y 4 = . Lỳc ú ta cú : () ()( ) () ( 2 32 22 3x 1 2x 3 18x 3 18x 39x 20x 3 f(x) , x 0;1 4 41 x 41 x + + + = = ) . Bi toỏn ó cú hng gii. # Bi 10 (CHINA MO 2005) . Cho a, . Chng minh bt ng thc : b,c 0:a b c 1>++= ( ) ( ) 333 555 10 a b c 9 a b c 1 + + ++ # Bi 11 ( NEWZEALAND MO 1998) . Cho n s thc dng tha món : . Chng minh : n i i1 xn = = nn i 2 i1 i1 ii x 1 1x 1x == + + # Bi 12 ( HONGKONG MO 1998) . Cho cỏc s thc dng x, y, z. Chng minh rng : ( ) () () 222 222 xyz x y z x y z 33 9 xyzxyyzzx +++ + + + ++ ++ # Bi 13 ( Olympic 30-4 nm 2006) . Cho cỏc s thc dng x, y, z. Chng minh rng : ( ) () ( ) () ( ) () 22 2 22 ab c bc a ca b 6 5 bc a ca b ab c +++ 2 + + ++ ++ ++ # Bi 14 . Cho a . Chng minh bt ng thc : ,b,c,d0:abbccdda1>+++= 3333 abcd1 b cd cda dab abc 3 + ++ ++ ++ ++ ++ # Bi 15 . Cho . Chng minh bt ng thc : 222 a,b,c 0:a b c 1>++= 111 1ab 1bc 1ca 2 9 + + # Bi 16 ( BT Nesbit ) . Cho a, . Chng minh bt ng thc : b,c 0> abc3 b ccaab2 ++ +++ _ Tỡm li gii : Chun húa : a+ b + c =3, BT ó cho tr thnh : abc 3a 3b 3c 2 ++ 3 . Xột hm s : () x fx 3x = , phng trỡnh tip tuyn ti x 0 = 1 l : 3x 1 y 4 = Ta cú : () () ( 2 3x 1 3x 1 f(x) 0, x 0;3 443x = ) = .succeed ! # Bi 17 ( CHINA TST 2004 ) . Cho . Chng minh bt ng thc : a,b,c,d 0:abcd 1> () 2 a,b,c,d 1 1 1a + 8 ___________ ∑ ABC GLA nh÷ngph−¬ngph¸p chøngminh b§T ®éc ®¸o ___________ Đừng sợ hãi khi phải đối đầu với một đối thủ mạnh hơn, mà hãy vui mừng vì bạn đã có cơ hội để chiến đấu hết mình # Bài 18 (UK TST 2004 ) . Cho n i i1 a0,i1,n:a = >= = ∏ i 1 . Chứng minh bất đẳng thức : () () n i 2 i1 i a3 3n2,nN a1 = + ≥∀> ∈ + ∑ # Bài 19 . Cho a, . Chứng minh bất đẳng thức : b,c 0> () () () () () () 333 333 333 3a b c 3b c a 3c a b 375 11 3a b c 3b c a 3c a b ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ≤ # Bài 20 ( SERBIA 2005). Cho a, . Chứng minh bất đẳng thức : b,c 0> () abc3 abc 2 bc ca ab ++≥++ +++ _Lời giải khác : Chuẩn hóa : a + b + c =6. BĐT đã cho tương đương với BĐT : abc 3 6a 6b 6c ++ −−− ≥ Đặt : 222 6a x, 6b y,6c z x y z 12 xyz6−= −= −=⇒ + + = ⇒++≤, ta có : 222 6x 6y 6z 3 xyz −−− ++ ≥ () 111 6xy xyz ⎛⎞ z3 ⇔ ++ − ++ ≥ ⎜⎟ ⎝⎠ (1) VT(1) = () () SCW AM GM 111 54 6xyz xyz xyz xyz − ⎛⎞ ++ − ++ ≥ − ++ ≥ ⎜⎟ ++ ⎝⎠ 3 =VP(1) # Bài 21 .Chứng minh bất đẳng thức : () () () 222 222 222 2x 2y 2z 1 2x y z 2y z x 2z x y + +≤ ++ ++ ++ # Bài 22. Cho a, . Chứng minh bất đẳng thức : b,c 0> () () () 333 333 333 abc 1 abc bca cab + +≥ ++ ++ ++ # Bài 23. Cho a, là độ dài các cạnh tam giác. Chứng minh bất đẳng thức : b,c 111 1 1 1 abcabcbcacab ++≤ + + + −+−+− • Mới nhìn qua chúng ta có thể nghĩ rằng bài 10, bài 15 có thể giải quyết đơn giản bằng phương pháp tiếp tuyến, nhưng…hãy đặt bút .!!! Bài 10 ( CHINA MO 2005) . Cho a, . Chứng minh bất đẳng thức : b,c 0:a b c 1>++= ( ) ( ) 333 555 10 a b c 9 a b c 1++ − ++ ≥ _ Tìm lời giải bằng p 2 tiếp tuyến : Xét hàm số : f(x) = 10x 3 – 9x 5 . Phương trình tiếp tuyến tại điểm x 0 = 1 3 là : 75x 16 y 27 − = Do đó : f(x) ( ) ( ) 2 32 35 3x 1 27x 18x 21x 16 75x 16 270x 243x 75x 16 27 27 27 −− − ++ −−−+ −= = . Ta cần xét xem hiệu trên có lớn hơn hoặc bằng 0, hay không ? Lúc đó ta chỉ cần kiểm tra xem hàm số : có dương với mọi 32 g(x) 27x 18x 21x 16=− − + + ( ) x0;1∈ ? 9 ___________ ∑ ABC GLA nh÷ngph−¬ngph¸p chøngminh b§T ®éc ®¸o ___________ Đừng sợ hãi khi phải đối đầu với một đối thủ mạnh hơn, mà hãy vui mừng vì bạn đã có cơ hội để chiến đấu hết mình Đạo hàm : g’(x) = ; 2 81x 36x 21−−+ 7 x 9 g'(x) 0 1 x 3 ⎡ = − ⎢ =⇔ ⎢ ⎢ = ⎢ ⎣ Ta có bảng BT : x 0 1 3 1 g’(x) + 0 − g(x) 16 8 − Nhìn vào BBT ta thấy : g(x) >0 hay g(x) < 0 , x (0;1) ∀ ∈ ….???????????????????? • Rõ ràng phương pháp tiếp tuyến có bán kính sát thương chưa rộng, nó đang bộc lộ điểm yếu…và nhất thiết phải nâng cấp . • Đây là nguyên văn lời giải của nickname : 2M trên trang web : mathscope.org Bài giải trên xuất phát từ Bổ đề : Nếu f(x) lõm trên khoảng (a; b) liên tục trên đoạn [a; b] thì : () () ( ) ( ) ()() ( ) ( ) () [] fa fb fa fb fx fa x a fb x b, x a;b ab ab −− ≤+ −=+ −∀∈ − − . mnh hn, m hóy vui mng vỡ bn ó cú c hi chin u ht mỡnhtụi thy mỡnh mnh m hn !!! - phạm kim chung - 2 ___________ ∑ ABC GLA nh÷ngph−¬ngph¸pchøngminh b§T ®éc ®¸o ___________ Đừng sợ hãi. chinh phc nh cao. Hng lot nhng cỏi tờn luụn c gii tr yờu Toỏn, yờu BT trong nc nhc n nh : Phm Kim Hựng, Nguyn Anh Cng, Vừ Thnh Nam, Bựi Vit Anh vi s mi m v phng phỏp, sõu sc v kin thc. Bờn