Phương pháp Chứng minh Hình học  HỌC SINH GIỎI  Giáo viên: Đinh Vũ Hưng Thông minh nghóa biết cách hỏi hợp lý, nghe chăm chú, trả lời dí dỏm ngừng nói cần thiết A Phương pháp “So sánh hai đoạn thẳng” Để chứng minh hai đoạn thẳng ta sử dụng phương pháp sau đây: 1) – Trong tam giác cân, hai cạnh bên – Trong tam giác đều, cạnh – Các cạnh đa giác 2) Trong hai tam giác cạnh tương ứng 3) – Hai đoạn thẳng đoạn thẳng thứ ba – Trung tuyến thuộc cạnh huyền tam giác vuông nửa cạnh huyền – Đường trung bình ứng với cạnh tam giác nửa cạnh – Đường trung trực đoạn thẳng chia đoạn thẳng thành hai đoạn thẳng – Đường trung tuyến tam giác chia cạnh tương ứng thành hai đoạn thẳng a Trong hình bình hành: – Các cạnh đối diện – Các đường chéo cắt trung điểm đường b Trong hình thang cân: – Hai cạnh bên – Hai đường chéo c Trong hình chữ nhật: – Các cạnh đối diện – Các đường chéo cắt trung điểm đường – Hai đường chéo d Trong hình thoi: – Các cạnh bên – Các đường chéo cắt trung điểm đường e Hình vuông có tất tính chất f Trong đường tròn hay hai đường tròn nhau: – Các dây cách tâm – Các dây trương cung g Hai tiếp tuyến phát xuất từ điểm đến đường tròn h Một điểm nằm tia phân giác góc cách hai cạnh góc i Hai đoạn thẳng nghiệm hệ thức Để chứng minh đoạn thẳng a lớn đoạn thẳng b, ta sử dụng phương pháp sau đây: 1) Hai đoạn thẳng a b hai đoạn thẳng dối diện với hai góc A B tam giác ABC   A > B 2) a = m + n vaø b, m, n laø độ dài ba cạnh tam giác 3) a độ dài cạnh huyền b độ dài cạnh góc vuông tam giác vuông 4) a b hai dây cung đường tròn (hay hai đường tròn nhau) mà khoảng cách từ tâm đường tròn đến a nhỏ khoảng cách từ tâm đường tròn đến b 5) Cung nhỏ đường tròn trương dây a lớn cung nhỏ đường tròn trương dây b 6) Góc nội tiếp đường tròn chắn dây cung a lớn góc nội tiếp đường tròn chắn dây cung b Trang Phương pháp Chứng minh Hình học  HỌC SINH GIỎI  7) Nếu a ≤ b đưa đến điều vô lý Giáo viên: Đinh Vũ Hưng Áp dụng: Các Bài tập dành cho “ tất học sinh” 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) Cho hình thang ABCD Đường phân giác góc A cắt cạnh BC điểm E Cm: AB = BE Cho tam giác ABC Trong nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C, ta dựng đường vuông góc với AB A lấy điểm D cho AD = AB Trên nửa mặt phẳng bờ AC có chứa điểm B ta dựng đường vuông góc với AB A lấy điểm E cho AE = AC Chứng minh CD = BE Trên tia phân giác góc nhọn xOy ta lấy điểm A Vẽ hai đường tròn qua O A Đường tròn thứ cắt Ox M cắt Oy P Đường tròn thứ hai cắt Ox N Oy Q Chứng minh MN = PQ Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Kẻ hai đường cao BI CK Gọi M trung điểm cạnh BC Chứng minh MI = MK Cho tam giác ABC trung tuyến AM thuộc cạnh BC Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MD = MA Chứng minh BD = AC Cho đường tròn dường kính AB Từ A B kẻ hai dây cung song song với nhau, hai dây cung cắt đường tròn C D Chứng minh AC = BD Hai đường tròn (O) (O’) có bán kính nhau, cắt A B Đường tròn (O) cắt đường nối tâm C đường tròn (O’) cắt đường nối tâm D Chứng minh AC = BD Cho đường tròn dường kính AB M điểm đường tròn Đường tròn (A; AM) cắt đường tròn (O) điểm thứ hai N Chứng minh BM = BN Qua điểm P nằm đường tròn (O), ta kẻ hai dây cung APB CPD cho OP tia phân giác góc hợp hai dây cung AB CD Chứng minh AB = CD AD = BC   Cho tam giác ABC vuông A B>C Kẻ đường cao AH Trên tia BH lấy điểm D cho HD = HB Kẻ DI vuông góc với AC I kẻ CK vuông góc với AD K Chứng minh DI = DK Cho tam giác ABC Kẻ đường cao AH BK Tia AH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D Kẻ CE vuông góc với BD E Chứng minh CE = CK Cho hình thang ABCD Qua giao điểm I hai đường chéo ta kẻ đường thẳng song song với cạnh đáy AB, đường cắt cạnh bên AD E cắt cạnh bên BC F Chứng minh IE = IF Cho hình chữ nhật ABCD Trên tia đối tia AD, lấy điểm F cho AF = AB Trên tia đối tia AB, lấy điểm E cho AE = AD Đường thẳng FC cắt AB N đường thẳng EC cắt AD M Chứng minh MD = BN Cho tam giác ABC Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác Tia AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác điểm D Chứng minh DC = DB = DI Cho đường tròn dường kính AB Từ đầu mút A ta kẻ dây cung AC từ đầu mút B ta kẻ tiếp  tuyến với đường tròn Tia phân giác BAC cắt BC F, cắt đường tròn H, cắt tiếp tuyến B điểm D Chứng minh BF = BD, HF = HD Cho tam giaùc ABC, AD phân giác góc A Từ D kẻ đường song song với AB, cắt AC điểm E Qua E kẻ đường song song với BC, cắt AB F Chứng minh AE = BF Cho đường tròn (O) điểm C đường tròn Từ C kẻ hai tiếp tuyến CA, CB đến đường tròn (O) Lấy điểm P đoạn thẳng AB kẻ đường vuông góc với OP, đường cắt đoạn thẳng CB điểm D cắt tia CA điểm E Chứng minh PE = PD, AE = BD Biết dùng điều học để biết thêm điều thành Thầy thiên hạ Trang Phương pháp Chứng minh Hình học  HỌC SINH GIỎI  Giáo viên: Đinh Vũ Hưng B Phương pháp “So sánh hai góc –Số đo góc” Để chứng minh hai góc ta sử dụng phương pháp sau đây: 1) Tia phân giác góc chia góc thành hai góc 2) – Trong tam giác cân, hai góc đáy – Trong tam giác cân, đường trung tuyến, đường cao kẻ từ đỉnh đồng thời đường phân giác góc đỉnh – Tam giác có tất tính chất 3) Hai đường thẳng song song hợp với cát tuyến: – Những góc so le nhau, – Những góc so le nhau, – Những góc đồng vị 4) – Hai góc có cạnh tương ứng song song nhọn tù – Hai góc có cạnh tương ứng vuông góc nhọn tù 5) – Hai góc góc thứ ba – Hai góc bù với góc thứ ba – Hai góc phụ với góc thứ ba – Hai góc n lần với góc thứ ba 6) – Trong hai tam giác góc tương ứng – Trong hai tam giác đồng dạng góc tương ứng 7) Trong đường tròn hay hai đường tròn nhau, góc nội tiếp (hoặc góc tia tiếp tuyến dây cung qua tiếp điểm) chắn cung 8) Nếu hai tiếp tuyến đường tròn cắt điểm tia kẻ từ giao điểm qua tâm đường tròn tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến 9) – Các góc đối củahình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông – Các góc đáy hình thang cân – Các góc đa giác Để chứng minh góc α lớn góc β ta sử dụng phương pháp sau đây: 1) Hai góc α β hai góc đối diện với hai cạnh a b tam giác mà a > b 2) Hai góc α β có đỉnh chung, có cạnh chung, nằm phía cạnh chung cạnh thứ hai góc β nằm cạnh chung cạnh thứ hai góc β 3) Hai góc α β nội tiếp đường tròn dây cung (hay cung) bị chắn α lớn dây cung (hay cung) bị chắn β 4) Nếu α ≤ β dẫn đến điều vô lý Để tính số đo góc toán ta sử dụng phương pháp sau đây: 1) Tổng góc tam giác 1800 2) Góc tam giác tổng hai góc không kề với 3) Mỗi góc tam giác 600 4) Góc lớn tam giác vuông có số đo 900 Các góc lại nhỏ 900 5) Hai góc kề Hình bình hành, Hình chữ nhật, Hình thoi, Hình vuông có tổng 1800 6) Hai góc phía, phía hai đường thẳng song song bị cắt cát tuyến có tổng 1800 7) Hai góc đối tứ giác nội tiếp bù 8) Hai góc nhọn, tù có cạnh tương ứng song song vuông góc bù 9) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn góc vuông Góc nội tiếp chắn ¼ đường tròn 450 Trang Phương pháp Chứng minh Hình học 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17)  HỌC SINH GIỎI  Giáo viên: Đinh Vũ Hưng Áp dụng: Các Bài tập dành cho “ tất học sinh” Cho tam giác ABC (AB > AC) Trên cạnh AB ta lấy điểm D cho DB = AB – AC Từ   A kẻ AH ⊥ CD Chứng minh DAH = CAH Cho tam giác ABC cân A Kẻ đường cao AH xuống cạnh BC Gọi M trung điểm cạnh   AC Chứng minh AHM = HAM Từ điểm M đường tròn (O), ta kẻ tiếp tuyến MA với đường tròn tia   MA, lấy điểm B cho AB = AM Chứng minh AMO = ABO    Cho tam giác ABC, A = 2.B Kẻ phân giác AD góc A Từ chân D phân giác, ta kẻ đường song song với AB, cắt AC E Qua E, ta kẻ đường song song với AD, cắt BC F Qua F, kẻ đường song song với AB cắt AC I Tìm tất góc góc B Cho tam giác ABC Trên tia đối tia AB, ta lấy điểm B’ cho B’A = BA tia đối   tia AC lấy điểm C’ cho C’A = CA Chứng minh ACB = AC'B' Cho tam giác cân ABC P điểm cạnh đáy BC Gọi M trung điểm BC, N trung điểm PC Qua M kẻ đường vuông góc với BC, cắt AB E Qua N kẻ đường vuông   góc với BC, cắt AC F Chứng minh EPF= A Từ điểm D cạnh đáy BC tam giác cân ABC, ta kẻ đường vuông góc DI xuống  1 cạnh bên AC Chứng minh IDC= BAC Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi H chân đường cao kẻ từ đỉnh A đến   cạnh BC Chứng minh OAC=BAH Trên nửa đường tròn dường kính AB, ta lấy điểm C D điểm đoạn thẳng AB cho đường vuông góc kẻ từ D với đoạn AB, cắt đoạn thẳng AC điểm E cắt   tiếp tuyến điểm C với nửa đường tròn điểm F Chứng minh FCE=FEC  Cho góc nhọn xOy Trên tia Ox, lấy hai điểm A B Trên tia Oy, lấy hai điểm C, D cho OA = OC, OB = OD Đoạn thẳng AC cắt BD M Chứng minh điểm M nằm tia phân giác  góc xOy   Cho tam giác ABC, B > C Trên cạnh AC, ta lấy điểm D cho hệ thức sau   thỏa mãn: AB2 = AD.AC Chứng minh ABD=ACE Cho đường tròn hai dây cung AB = AC Trên cung AC (không chứa điểm B), ta lấy   điểm M Gọi S giao điểm AM BC Chứng minh ASC=MCA Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn Từ điểm M cung AC, Ta vẽ dây cung MN // AB, dây cung cắt BC I cắt đường tròn N Chứng minh tam giác BIM cân Cho tam giác ABC vuông A Trên tia AB ta lấy điểm D cho AD = AC tia AC, ta lấy điểm E cho AE = AB Kẻ đường cao AH tam giác ABC Đường thẳng AH cắt DE điểm M Hãy so sánh tam giác ABC, ADE tìm góc tương ứng  Trên tia phân giác Oy góc xOy , ta lấy điểm A vẽ đường tròn (A; OA) Đường tròn   cắt tia Ox điểm B tia Oy điểm C Chứng minh OBA=OCA    Cho tam giác ABC, B < C < A Lấy cạnh BC hai điểm M vaø N cho       CAM=B , BAN=C Chứng minh CMA=BNA Cho tam giác ABC Gọi N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CA I, J, K lần   lượt trung điểm đoạn thẳng NP, BP, CN Chứng minh QJI=JQK Trang Phương pháp Chứng minh Hình học  HỌC SINH GIỎI  Giáo viên: Đinh Vũ Hưng   Lấy điểm M cạnh AB Trên tia CA lấy 18) Cho tam giác ABC, A=2.B   điểm N cho AM = AN (điểm N đoạn thẳng AC) Chứng minh BMD=ABC Nuôi chẳng răn lỗi cha , Dạy trò không nhiêm lỗi thầy Cha nghiêm, Thầy giỏi mà học không nên Tội C Phương pháp “ Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với ” 1) Trong tam giác cân (hay tam giác đều), đường phân giác góc đỉnh đường trung tuyến thuộc cạnh đáy đồng thời đường cao thuộc cạnh đáy 2) Định nghóa: Tam giác vuông tam giác có hai cạnh vuông góc với Để chứng minh tam giác tam giác vuông, ta chứng minh: - Tam giác nội tiếp nửa đường tròn - Tam giác có tổng hai góc 900 1v - Tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh nửa cạnh - Tam giác có độ dài cạnh thỏa mãn hệ thức Pytago hệ 3) Đường phân giác hai góc kề bù vuông góc với 4) – Nếu a // b mà a ⊥ c b ⊥ c – Nếu a // b vaø c // d maø a ⊥ c b ⊥ d 5) – Các đường chéo hình thoi (hoặc hình vuông) vuông góc với – Các cạnh hình chữ nhật (hoặc hình vuông) vuông góc với 6) – Đường kính qua trung điểm dây cung không qua tâm vuông góc với dây cung – Đường kính qua trung điểm cung qua trung điểm dây cung vuông góc với dây cung 7) – Tiếp tuyến đường tròn vuông góc với bán kính qua tiếp điểm – Hai đường tròn cắt đường nối tâm vuông góc vơí dây chung – Đường trung trực đoạn thẳng vuông góc với đoạn thẳng Áp dụng: Các Bài tập dành cho “ tất học sinh” Cho tam giác ABC vuông góc A BC có điểm D cho CD = CA Trên cạnh AB ta lấy điểm E cho AE = AH (AH đường cao ∆ABC ) Chứng minh: b) DE ⊥ AB a) AD ⊥ EH Cho góc xOy điểm M nằm góc Từ M kẻ MB ⊥ Oy Gọi A trung điểm OM H trung điểm BC Chứng minh AH ⊥ BC Cho nửa đường tròng đường kính AB Trong nửa mặt phẳng bờ AB, có chứa nửa đường tròn ta kẻ tia Ax, By vuông góc với AB Tại điểm C nửa đường tròn, ta dựng tiếp tuyến với nửa đường tròn Tiếp tuyến cắt tia Ax điểm D cắt tia By điểm E Gọi O trung điểm đoạn thẳng AB Chứng minh OE ⊥ OD Cho ba điểm B, H, C cho BC = 13 cm; BH = cm, HC = cm Từ H ta dựng đường vuông góc với đường thẳng BC đường thẳng vuông góc này, chọn điểm A cho AH = cm Chứng minh AB ⊥ AC Cho hình vuông ABCD Trên tia BC, ta lấy điểm M nằm điểm B,C tia CD ta lấy điểm N cho DN = BM đường vuông góc với MA M đường vuông góc với NA N cắt F Chứng minh: CF ⊥ CA Cho ∆ABC vuông góc A, đường cao AH M trung điểm cạnh BC N trung điểm cạnh AC Đường thẳng MN cắt tia AH điểm D Chứng minh AM ⊥ DC Trang Phương pháp Chứng minh Hình học  HỌC SINH GIỎI  Giáo viên: Đinh Vũ Hưng Tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O , H chân đường cao kẻ từ A Tia phân giác góc OAH cắt đường tròn điểm M Chứng minh OM ⊥ BC Cho hình vuông ABCD Trên cạnh AD lấy điểm E cạnh DC lấy điểm F cho AE = DF Gọi M N trung điểm đoạn thẳng EF BF Chứng minh AF ⊥ MN Cho hình bình hành ABCD có AB = AC Đường thẳng qua B song song với AC, cắt đường thẳng chứa cạnh DC điểm E Chứng minh AE ⊥ BC 10 Cho môït hình vuông ABCD Trên tia BC ta lấy điểm M nằm đoạn thẳng BC tia CD ta lấy điểm N cho DN = BM Kẻ từ M đường thẳng song song với AN kẻ từ N đường thẳng song song với AM Hai đường thẳng cắt điểm F Chứng minh AM ⊥ AN AF ⊥ MN 11 Từ điểm P đường tròn tâm O, ta kẻ tiếp tuyến PA cát tuyến PCD đến đường tròn Phân giác góc CAD cắt đường tròn điểm E Chứng minh OE ⊥ CD 12 Cho bốn điểm A, B, C, D theo thứ tự cho AB = BC = CD Gọi M đỉnh tam giác đáy BC P giao điểm đường thẳng AM với đường vuông góc với đường thẳng AD kẻ từ điểm D Chứng minh rằng: a) AM = MP b) BM // CP c) MC ⊥ AM d) PC ⊥ MD 13 Cho hai đường tròn tam O O’ Kẻ tiếp tuyến chung tiếp tuyến chung ngoài, chúng cắt M N Chứng minh: a) OM ⊥ O' M b) ON ⊥ O' N 14 Cho ∆ABC , kẻ đường cao BH, CH’ Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Chứng minh: OA ⊥ HH ' 15 Cho hình vuông ABCD Trên cạnh AD lấy điểm M cạnh DC lấy điểm N cho AM = DN Chứng minh: a) BM = AN b) BM ⊥ AN vaø BN ⊥ CM c) Hai đường CM AN cắt I Chứng minh BI ⊥ MN 16 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Các đường thẳng AB CD cắt điểm N Các đường thẳng AD CB cắt điểm M Chứng minh đường phân giác góc AMB AND vuông góc với 17 Cho tam giác cân ABC nội tiếp đường tròn D điểm cung nhỏ BC Nối CD DB Trên tia DB ta lấy đoạn DE = CD Nối CE cắt AD I cắt đường tròn điểm F Gọi M trung điểm AC Chứng minh a) AD phân giác góc BDC b) AD ⊥ CE c) MI ⊥ FD Sự tiến từ ngữ đẹp, song động tiến thay đổi thay đổi có kẻ thù 1) – – – 2) – – – 3) D Phương pháp “ Chứng minh đường thẳng song song” Khi hai đường thẳng tạo với cát tuyến: Hai góc vị trí so le (hoặc so le ngoài) nhau, Hai góc vị trí đồng vị nhau, Hai góc vị trí phía (hoặc phía) hai đường thẳng song song với – Hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba song song với Hai đường thẳng vuông góc với đường thẳng thứ ba song song với Đường trung bình ứng với cạnh tam giác song song với cạnh Đường trung bình hình thang song song với hai cạnh đáy Các cạnh đối hình bình hành (hoặc hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông) song song với Trang Phương pháp Chứng minh Hình học  HỌC SINH GIỎI  Giáo viên: Đinh Vũ Hưng 4) Nếu đường thẳng chia hai cạnh tam giác thành đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ song song với cạnh lại 10 11 12 13 14 15 16 17 Áp dụng: Các Bài tập dành cho “ tất học sinh” Cho góc xOy Trên tia Ox ta lấy hai điểm A B Trên tia Oy ta lấy hai điểm C D cho OC = OA OD = OB Chứng minh AC// BD Hai đường tròn tâm O O’ cắt hai điểm A B Qua A kẻ cát tuyến cắt đường tròn tâm O M đường tròn tâm O’ M’ Qua B ta kẻ cát tuyến cắt đường tròn tâm O điểm M đường tròn tâm O’ N’ Chứng minh MN// M’N’ Cho đường tròn tâm O Lấy ba điểm A, B, C Vẽ đường tròn đường kính BC, đường cắt đường thẳng AB điểm I Gọi M trung điểm đoạn thẳng AB Chứng minh OM// CI Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Từ H ta kẻ HF ⊥ AB HE ⊥ AC Gọi M trung điểm cạnh BC, N trung điểm cạnh AB Đường thẳng MN cắt đường thẳng AH điểm D Chứng minh EF// DB Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh MN // QP Cho hai hình bình hành ABCD ABEF có chung cạnh AB Chứng minh DE // CF Cho ∆ABC , M điểm cạnh AB, N trung điểm cạnh AC Trên tia MN ta lấy điểm cho NP = MN Chứng minh: MC // AP CP // AB Cho tam giác ABC trung tuyến AM thuộc cạnh BC Tia phân giác góc AMB cắt cạnh AB điểm P tia phân giác góc AMC cắt cạnh AC điểm Q Chứng minh PQ // BC Cho ba tia Ox, Oy, Oz xuất phát từ điểm O Từ điểm B B’ nằm tia Oy, ta kẻ đường BA ⊥ Ox , B' A ' ⊥ Ox vaø BC ⊥ Oz , B' C' ⊥ Oz Chứng minh AC // A’C’ Chứng minh dây không nối đấu mút cung với đầu mút cung khác cung ấy, song song với Cho tam giác ABC Kẻ đường cao AH Tia AH cắt đường tròn điểm H’ Đường kính qua A cắt đường tròn điểm thứ hai A’ Chứng minh A’H’ // BC Cho hai đường tròn đồng tâm Từ điểm I nằm đường tròn lớn nằm đường tròn nhỏ, ta kẻ hai tiếp tuyến đến đường tròn nhỏ Tiếp tuyến thứ cắt đường tròn lớn A C Tiếp tuyến thứ hai cắt đường tròn lớn B D Chứng minh AB // CD Cho góc xOy Kẻ tia phân giác Ot lấy điểm I Đường tròn tâm I, bán kính OI cắt Ox điểm A, cắt Ot điểm B cắt Oy điểm C Đường thẳng AB cắt cạnh Oy E Đường thẳng CB cắt cạnh Ox điểm D Chứng minh: a) CE = AD b) AC // DE Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax, By tiếp tuyến điểm M nửa đường tròn Tiếp tuyến cắt Ax C By D Gọi N giao điểm AD BC, P giao điểm OC AM, Q giao điểm OD BM a) Chứng minh MN// AC b) Chứng minh PQ//AB Cho hình bình hành ABCD Đường phân giác góc A cắt đường chéo BD điểm M đường phân giác góc D cắt đường chéo AC điểm N Chứng minh MN// AD Cho phần tư đường tròn tâm O, giới hạn hai bán kính vuông góc OA, OB Trên cung AB ta lấy hai điểm M N cho AM = BN Các đường thẳng AM BN giao điểm C Chứng minh: a) MN // AB b) OC ⊥ MN Cho tứ giác ABCD AB = AD, BC = CD Kéo dài cạnh cắt M N Chứng minh: MN// BD Trang Phương pháp Chứng minh Hình học  HỌC SINH GIỎI  Giáo viên: Đinh Vũ Hưng 18 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, kéo dài cạnh AB CD cho gặp điểm M Chứng minh đường phân giác góc M song song với phân giác góc họp thành hai đường chéo Không có kho báu quý học thức Hãy tích lũy lấy nó, lúc đủ sức E Phương pháp “ Chứng minh ba điểm thẳng hàng” 1) Điểm M gọi điểm nằm hai điểm A, B ta có AM + MB = AB 2) Nếu hai góc vị trí đối đỉnh mà có hai cạnh nằm đường thẳng hai cạnh lại nằm đường thẳng 3) Hai góc kề bù có cạnh chung hai cạnh lại nằm đường thẳng Hai góc kề bù có tổng số đo 1800 (hoặc 2v) 4) Để chứng minh ba điểm A, B, M thẳng hàng, ta chứng minh: – MA, MB song song với đường thẳng – MA, MB vuông góc với đường thẳng (hoặc hai đường thẳng song song) – Đường thẳng AB qua M  = – AMB 180 2v = – MA, MB hai tia phân giác hai góc đối đỉnh 5) Các điểm A, M, B thuộc tập hợp điểm đường thẳng ( đướng cao, đường trung trực, đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung bình…) Áp dụng: Các Bài tập dành cho “ tất học sinh” S S Cho điểm M nằm hai điểm A, B điểm O không nằm đường thẳng AB Gọi A’, B’ M’ điểm đối xứng điểm A, B, M qua điểm O chứng minh A’, B’, M’ thẳng hàng Cho tam giác ABC Gọi H trực tâm tam giác A điểm đối xứng đỉnh A qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác I trung điểm cạnh BC Chứng minh điểm đối xứng trực tâm H qua cạnh BC nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác chứng minh ba điểm A’, I, H thẳng hàng Chứng minh đường thẳng Simson tam giác: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn Từ điểm M đường tròn ta kẻ đường vuông góc MI, MJ, MK xuống đường thẳng AB, AC, BC Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng Chứng minh đường thẳng Euler tam giác: Cho tam giác ABC Gọi H trực tâm, G trọng tâm, O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, M N trung điểm cạnh BC, AC Chứng minh: a) ∆ABH ∆MNO b) ∆AHG ∆MOG c) Ba điểm H, G, O thẳng hàng Trong nửa đường tròn đường kính AB, ta lấy dây BC Từ điểm H nằm hai điểm A, B ta kẻ đường vuông góc với AB, đường cắt đường thẳng BC điểm E đường tròn đường kính BE cắt nửa đường tròn đường kính AB điểm D Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng Cho tam giác ABC vuông góc A lấy AB, AC làm cạnh huyền, ta vẽ tam giác vuông cân ABD, ACE phía tam giác ABC Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng Cho hình thang cân ABCD (AD = BC), đường chéo AC BD cắt điểm I; E trung điểm CD; F trung điểm AB Chứng minh ba điểm E, I, F thẳng hàng Cho đường tròn tâm O, đường kính AB Lấy điểm C nằm hai điểm A, B Vẽ đường tròn đường kính BC, tâm O’ Đường trung trực đoạn thẳng AC cắt đường tròn O hai điểm Trang 10 11 12 13 14 15 Phương pháp Chứng minh Hình học  HỌC SINH GIỎI  Giáo viên: Đinh Vũ Hưng D, E Đường thẳng DB cắt đường tròn O’ điểm F Chứng minh ba điểm E, C, F thẳng hàng Cho ∆ABC Kẻ đường cao BP CQ cắt điểm H gọi I, J, K trung điểm đoạn thẳng AH, PQ, BC Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng Cho hai đường tròn tâm O O’ cắt hai điểm A, B Đường thẳng OA cắt đường tròn O điểm C đường tròn O’ điểm F Đường thẳng O’A cắt đường tròn O điểm E đường tròn O’ điểm D Hai đường thẳng CE DF cắt điểm H Chứng minh: a) Ba điểm C, B, D thẳng hàng b) Ba điểm H, A, B thẳng hàng Cho tam giác ABC vuông góc A Gọi O tâm đường tròn qua A tiếp xúc với đường thẳng BC điểm B; O’ tâm đường tròn qua A tiếp xúc với đường thẳng BC điểm C Đường thẳng CA cắt đường tròn O điểm E đường thẳng BA cắt đường tròn O’ điểm D Gọi M trung điểm cạnh BC Chứng minh: a) Ba điểm O, A, O’ thẳng hàng b) Ba điểm B, O, E thẳng hàng c) ∆OMO' vuông Cho góc xOy Trên cạnh Ox ta đặt đoạn AB Trên cạnh Oy ta đặt đoạn CD = AB Gọi M N trung điểm đoạn thẳng AC BD Dựng hình bình hành BAMP DCMP Chứng minh:  a) Ba điểm P, N, O thẳng hàng b) MN song song với phân giác góc xOy Cho hình chữ nhật ABCD Nối C với điểm E đoạn thẳng DO lấy điểm F tia CE cho EF = CE Từ F kẻ FH ⊥ DA FG vuông góc với đường thẳng AB Chứng minh: a) AF // DB b) E, H, G thẳng hàng Cho hình vuông ABCD Lấy điểm E hình vuông cho tam giác CED tam giác Lấy phía hình vuông hai điểm F G cho ∆FCB tam giác AGD cân G Chứng minh: a) A, E, F thẳng hàng b) G, F tâm O hình vuông thẳng hàng Cho hình thang ABCD Các đường thẳng AD BD giao điểm E Giao điểm hai đường chéo AC BD G Gọi F H trung điểm hai cạnh đáy DC AB Chứng minh: a) Các điểm F, G, H thẳng hàng b) Các điểm E, F, G, H thẳng hàng Người hỏi điều chưa biết nhà Bác học Người xấu hổ khoông dám hỏi kẻ thừ F Phương pháp “ Chứng minh chứng minh đường đồng quy ” 1) – Đưa phương pháp chứng minh điểm thẳng hàng – Chứng minh đường thẳng thứ ba qua giao điểm hai đường thẳng 2) Trong tam giác: – Ba đường trung tuyến đồng quy điểm (trọng tâm) – Ba đường cao đồng quy điểm (trực tâm) – Ba đường phân giác đồng quy điểm (tâm đường tròn nội tiếp tam giác) – Ba đường trung trực đồng quy điểm (tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác) 3) “Nếu nhiều đường thẳng định hai đường thẳng song song đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ chúng đồng quy” 4) Định lý Ceva: “Trên cạnh BC, CA, AB tam giác ABC ta lấy điểm tương ứng P, Q, R PB QC RA + + =” −1 Điều kiện cần đủ để ba đường thẳng AP, BQ, CR đồng quy PC QA RA Trang Phương pháp Chứng minh Hình học  HỌC SINH GIỎI  Giáo viên: Đinh Vũ Hưng 5) Chú ý: Việc chứng minh đường thẳng qua điểm cố định thường đưa việc chứng minh đường thẳng đồng quy chứng minh điểm thẳng hàng Áp dụng: Các Bài tập dành cho “ tất học sinh” Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh AB ta lấy điểm M cạnh CD ta lấy điểm N cho DN = BM Chứng minh ba đường thẳng MN, DB, AC đồng quy điểm Cho hình thang ABCD, M N trung điểm hai đáy AB CD Chứng minh đường thẳng MN, AD BC đồng quy điểm Cho tam giác ABC vuông góc A; AH đường cao AM đường trung tuyến thuộc cạnh huyền Từ H ta kẻ HD ⊥ AB ; HE ⊥ AC Gọi Q trung điểm cạnh AC Qua C kẻ Cx // DE Chứng minh: a) AM ⊥ DE b) đường thẳng AH, QM Cx đồng quy điểm Cho hình bình hành ABCD Trên tia AD ta lấy điểm E cho DE = AD Trên tia AB ta lấy điểm F cho BF = AB Chứng minh: a) Ba điểm E, C, F thẳng hàng b) Ba đường thẳng AC, EB, FD đồng quy Cho tam giác ABC Các tia phân giác góc B C giao điểm E Các tia phân giác góc B C giao điểm F Chứng minh đường thẳng AB, EF, AC đồng quy Cho tam giác ABC Đường tròn đường kính AC đường tròn đường kính AB cắt điểm D (khác điểm A).Nửa đường tròn đường kính BC cắt cạnh AB điểm E cắt cạnh AC điểm F Chứng minh: a) Ba điểm B, D, C thẳng hàng b) Ba đường thẳng AD, BE, CF đồng quy Cho hình thang ABCD Từ đỉnh D đáy nhỏ ta kẻ đường thẳng song song với cạnh bên BC, đường cắt đường chéo AC điểm M Qua đỉnh C ta kẻ đường song song với cạnh bên AD, đường cắt cạnh đáy AB điểm F Qua F ta lại kẻ đường song song với đường chéo AC, đường cắt cạnh bên BC điểm P Chứng minh: a) MP // AB b) Ba đường thẳng MP, CF, DB đồng quy Điều mà anh biết khí giới anh, điều mà anh lại khí giới người khác G Phương pháp “ Xác định hình dạng hình ” Xác định tam giác cân: Một tam giác cân thì: – Hai góc đáy – Hai cạnh bên – Đường trung tuyến thuộc cạnh đáy đồng thời đường cao, đường phân giác góc đỉnh – Muốn chứng minh tam giác cân, ta cần rõ thỏa mãn ba điều kiện Xác định tam giác đều: Tam giác tam giác: – Có ba cạnh – Có ba góc – Là tam giác cân có góc 600 Xác định tam giác vuông: Định nghóa: Tam giác vuông tam giác có hai cạnh vuông góc với Để chứng minh tam giác tam giác vuông, ta chứng minh: – Tam giác nội tiếp nửa đường tròn Trang 10 Phương pháp Chứng minh Hình học  HỌC SINH GIỎI  Giáo viên: Đinh Vũ Hưng Cho biết diện tích S góc đỉnh C tam giác ABC Với cạnh AC BC tam giác ABC có cạnh AB bé nhất? Gọi K M trung điểm cạnh AB CD tứ giác lồi ABCD; L N nằm hai cạnh tứ giác cho KLMN hình chữ nhật Chứng minh diện tích hình chữ nhật KLMN nửa diện tích tứ giác ABCD Hãy tìm tứ giác lồi điểm cho đoạn thẳng nối điểm với trung điểm cạnh chia tứ giác cho thành bốn phần có diện tích Cho tam giác ABC có diện tích Hai người chơi trò chơi sau: Người thứ chọn điểm X cạnh AB, người thứ hai chọn điểm Y cạnh BC người thứ tiếp tục chọn điểm Z cạnh CA Mục tiêu người thứ làm cho diện tích tứ giác XYZ lớn Mục tiêu người thứ hai làm cho diện tích tam giác XYZ nhỏ Hỏi người thứ làm cho diện tích tam giác XYZ đạt giá trị lớn bao nhiêu? Cho đường chéo hình thang chia hình thang thành tam giác Tìm diện tích hình thang biết diện tích tam giác kề với đáy S S Các cạnh đối AB DE, BC EF, CD FA lục giác ABCDEF song song với Chứng minh hai tam giác ACE BDF có diện tích Cho tập hợp hữu hạn điểm mặt phẳng, ba điểm thẳng hàng Biết diện tích tam giác với đỉnh điểm không vượt đơn vị Chứng minh tất điểm tập hợp phân bố bên tam giác có diện tích đơn vị 10 Chứng minh diện tích tam giác nội tiếp hình bình hành lớn nửa diện tích hình bình hành 11 Cho điểm P tam giác ABC Tìm cạnh tam giác điểm Q cho đường gấp khúc APQ chia tam giác thành hai phần có diện tích 12 Cho tứ giác lồi ABCD có diện tích Trên cạnh AB CD lấy điểm A’, B’ C’, D’ BB' DD ' AA ' CC' cho = = a ; = = b a + b < Xác định diện tích A’B’C’D’ AB CD AB CD 13 Điểm S chọn tam giác ABC cho tam giác ABS, BCS, CAS có diện tích Chứng minh S trọng tâm tam giác ABC 14 Trên cạn AB, BC, CA tam giác ABC chọn điểm C; A; B cho = 2C1B; BA1 2A1C;CB1 2B1A Chứng minh diện tích tam giác tạo đường AC1 = = thẳng AA ; BB ; CC diện tích tam giác ABC 15 Từ tam giác cho cắt hình chữ nhật có diện tích lớn 16 Chứng minh cạnh tam giác nhỏ diện tích tam giác nhỏ O Phương pháp “ Các toán cực trị Hình học phẳng” Các toán cực trị Hình học toán đòi hỏi tìm điều kiện hình đại lượng Hình học đạt giá trị lớn nhỏ Để giải toán ta thường sử dụng kiến thức sau: 1) Trong tam giác, canh lớn hiệu hai cạnh nhỏ tổng chúng 2) Độ dài đường gấp khúc nối hai điểm lớn độ dài đoạn thẳng nối hai điểm 3) Cho đường xiên đường vuông góc kẻ từ điểm tới đường thẳng:  Đường vuông góc ngắn đường xiên Trang 26 Phương pháp Chứng minh Hình học  HỌC SINH GIỎI   Đường xiên có hình chiếu lớn 4) Đường kính dây cung lớn đường tròn Giáo viên: Đinh Vũ Hưng Áp dụng: Các Bài tập dành cho “ tất học sinh” Cho đường thẳng d hai điểm A, B thuộc nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng d Tìm điểm M ∈ d cho MA − MB có giá trị lớn Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn bán kính R điểm M chạy cung bé AB Hãy chứng minh tổng khoảng cách từ M đến A B không lớn đường kính đường tròn Tìm hình chữ nhật nội tiếp đường tròn có chu vi lớn Chứng minh hình chữ nhật có diện tích lớn Tam giác DMN gọi nội tiếp tam giác ABC ba đỉnh tam giác DMN nằm ba cạnh tam giác ABC Hãy tìm tam giác nội tiếp tam giác ABC cho trước cho có chu vi nhỏ Qua đỉnh A tam giác ABC dựng đường thẳng d cho tổng khoảng cách từ đỉnh B C tới d lớn Cho điểm M nằm tam giác ABC có cạnh a, b, c Gọi khoảng cách từ điểm M đến cạnh a, b, c tương ứng x,y, z Hãy xác định vị trí điểm M tam giác cho biểu thức: a b c P = + + đạt giá trị nhỏ x y z Cho tam giác ABC cân đỉnh A nội tiếp đường tròn (O; R) Một tia Ax nằm hai tia AB, AC cắt BC D (O; R) E Tìm vị trí tia Ax cho độ dài DE lớn Cho đường tròn (O; R) có AB dây cung cố định không qua tâm O, C điểm di động cung lớn AB (C không trùng với A B) Gọi D tiếp tuyến C đường tròn (O;R); M , N chân đường vuông góc vẽ từ A B đến d Tìm vị trí C cho khoảng cách MN dài nhất, ngắn Cho đường tròn (O; R) dây BC cố định biết BC = R Một điểm A di động cung lớn BC Tìm vị trí A cho diện tích phần mặt phẳng giới hạn cung nhỏ BC, dây AB dây AC lớn Tính diện tích theo R Cho hình vuông ABCD cạnh a Xét hình thang có bốn đỉnh bốn cạnh hình vuông hai đáy song song với đường chéo hình vuông Tìm hình thang có diện tích lớn tìm diện tích lớn Trong tứ giác ABCD có AB = AD = a, BC = CD = b tứ giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất? Tính bán kính theo a b Trong tam giác có đáy a đường cao tương ứng h a cho trước Hãy tìm tam giác có chu vi nhỏ 10 11 12 P Phương pháp “ Nguyên tắc cực hạn” Trong trình tìm kiếm lời giải nhiều toán Hình học, có lợi xem xét phần tử biên, phần tử giới hạn đó, tức phần tử mà đại lượng Hình học nhận giá trị lớn giá trị nhỏ nhất, chẳng hạn cạnh lớn nhất, cạnh nhỏ tam giác; góc lớn hay góc nhỏ đa giác …v.v… Những tính chất phần tử biên, phần tử giới hạn nhiều giúp tìm lời giải thu gọn toán Phương pháp tiếp cận tới lời giải toán gọi “Nguyên tắc cực hạn” Áp dụng: Trang 27 Phương pháp Chứng minh Hình học 10 11 12 13 14 15  HOÏC SINH GIỎI  Giáo viên: Đinh Vũ Hưng Các Bài tập dành cho “ tất học sinh” Một nước có 80 sân bay, mà khoảng cách hai sân bay khác Mỗi máy bay cất cánh từ sân bay bay đến sân bay gần Chứng minh sân bay có máy bay Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Lấy điểm P bất kỳ, chứng minh khoảng cách lớn khoảng cách từ P đến đỉnh A, B, C tam giác không nhỏ lần khoảng cách bé khoảng cách từ điểm P đến cạnh tam giác Cho tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo AC BD cắt E Chứng minh bán kính bốn đường tròn nội tiếp tam giác EAB, EBC, ECD, EDA mà tứ giác ABCD hình thoi Chứng minh tất cạnh tam giác nhỏ diện tích tam giác nhỏ Chứng minh bốn hình tròn đường kính bốn cạnh tứ giác phủ kín miền tứ giác ABCD Gọi O giao điểm tứ giác lồi ABCD Chứng minh tam giác AOB, BOC, COD, DOA có chu vi tứ giác ABCD hình thoi Trên mặt phẳng cho × 2000 điểm, ba điểm thẳng hàng Người ta tô 2000 điểm màu đỏ tô 2000 điểm lại màu xanh Chứng minh tồn cách nối tất điểm màu đỏ với tất điểm màu xanh 2000 đoạn thẳng điểm chung Cho tứ giác ABCD thoả mãn bán kính đường tròn nội tiếp bốn tam giác ABC, BCD, CDA DAB Chứng minh ABCD hình chữ nhật Cho 2000 đường thẳng phân biệt ba đường thẳng số chúng đồng quy Chứng minh 2000 đường thẳng cho đồng quy điểm Trên mặt phẳng cho 2000 điểm, khoảng cách chúng đôi khác Với điểm số 2000 điểm với điểm gần Chứng minh với cách nối nhận đường gấp khúc khép kín Trên mặt phẳng cho 2000 điểm thoả mãn ba điểm số chúng thẳng hàng Chứng minh 2000 điểm cho thẳng hàng Bên đường tròn tâm O bán kính R = có điểm phân biệt Chứng minh tồn hai điểm số chúng mà khoảng cách hai điểm nhỏ Trên cạnh tam giác ABC lấy điểm C thuộc cạnh AB, A thuộc cạnh BC B thuộc cạnh CA Biết độ dài đoạn thẳng AA ; BB ; CC không lớn Chứng minh SABC ≤ (đơn vị diện tích) Trên mặt phẳng cho 2000 điểm không thẳng hàng Chứng minh tồn đường tròn qua số 2000 điểm cho mà đường tròn không chứa bên đường thẳng số 1997 điểm lại Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm O Chứng minh đường chéo AC BD giao O tứ giác ABCD hình thoi Q Phương pháp “ Nguyên tắc Dirichlet” Peter Gustav Lejeune Dirichlet nhà toán học người Đức sống kỉ 19 (1805 – 1859) ng phát biểu nguyên tắt phân chia phần tử vào lớp, mà cách phát biểu phổ thông nguyên tắc là: “Nếu nhốt m thỏ vào n chuồng ( m > n) phải có chuồng chứa Trang 28 Phương pháp Chứng minh Hình học  HỌC SINH GIỎI  Giáo viên: Đinh Vũ Hưng từ trở lên” Việc chứng minh nguyên tắc đơn giản (bằng phương pháp phản chứng) Tuy nhiên, lại phương pháp có hiệu để giải nhiều toán hình học phức tạp Nguyên tắc Dirichlet cho kiểu chứng minh không kiến thiết, tức nói chắn thỏ nhốt chung vào chuồng cụ thể mà cần biết chắn phải có chuồng Việc vận dụng nguyên tắc Dirichlet vào giải toán giúp bạn học sinh bước đầu làm quen với khái niệm đẳng cấu toán học Để áp dụng nguyên tắc Dirichlet cần phải làm xuất tình nhốt thỏ vào chuồng thỏa mãn điều kiện: ­ Số thỏ nhiều số chuồng ­ Thỏ phải nhốt hết vào chuồng, không bắt buộc chuồng phải có thỏ 10 11 12 13 Áp dụng: Các Bài tập dành cho “ tất học sinh” Trong hình vuông mà độ dài cạnh cho trước 33 điểm phân biệt, điểm thẳng hàng Người ta vẽ đường tròn có bán kính , có tâm điểm cho Hỏi có hay không ba điểm số điểm nói cho chúng thuộc vào phần chung ba hình tròn có tâm ba điểm Trên mặt phẳng cho 25 điểm cho từ điểm số chúng tìm điểm có khoảng cách nhỏ Chứng minh tồn hình tròn có bán kính chứa không 13 điểm Cho hình vuông ABCD đường thẳng phân biệt thỏa mãn đường thẳng chia hình vuông thành tứ giác có diện tích tỉ lệ với Chứng minh tồn đường thẳng đồng quy điểm Cho đa giác gồm 1999 cạnh Người ta sơn đỉnh đa giác màu xanh đỏ Chứng minh phải tồn đỉnh sơn màu tạo thành tam giác cân Cho tam giác ABC có cạnh Đánh dấu điểm phân biệt tam giác ABC Chứng minh phải tồn điểm số mà khoảng cách chúng nhỏ 0,5 Bên hình vuông có cạnh 1, lấy 51 điểm phân biệt Chứng minh phải tồn điểm số 51 điểm nằm hình tròn có bán kính Bên hình tròn (O; R) có diện tích người ta lấy 17 điểm phân biệt Chứng minh tìm ba điểm tạo thành tam giác có diện tích bé Bên sân hình chữ nhật có chiều dài 4m chiều rộng 3m có chim ăn Chứng minh phải có chim mà khoảng cách đậu chúng nhỏ m Các điểm mặt phẳng tô màu: xanh, đỏ, vàng Chứng minh tồn điểm tô màu mà khoảng cách chúng Trên mặt phẳng cho 100 điểm phân biệt Nối điểm với 66 điểm số 99 điểm lại đoạn thẳng Chứng minh xảy trường hợp có điểm số điểm 100 điểm cho không nối với Cho điểm phân biệt nằm bên hình vuông ABCD có cạnh 35 + Chứng minh tìm điểm hình vuông cho cho khoảng cách từ đến điểm cho lớn 10 Mỗi điểm mặt phẳng tô màu xanh đỏ Chứng minh tìm điểm tô màu tạo thành tam giác có cạnh Mỗi điểm mặt phẳng tô hai màu đen đỏ Chứng minh tồn tam giác mà đỉnh tô màu Trang 29 Phương pháp Chứng minh Hình học  HỌC SINH GIỎI  Giáo viên: Đinh Vũ Hưng 14 Trên mặt phẳng cho 2000 đường thẳng phân biệt đôi cắt Chứng minh tồn 180 đường thẳng mà góc tạo chúng không lớn 2000 15 Bên đường tròn có bán kính 2000 có 8000 đoạn thẳng có độ dài Chứng minh dựng đường thẳng d song song vuông góc với đường thẳng l cho trước, cho d cắt đoạn thẳng cho R 1) 2) 3) ­ Phương pháp “ Tìm tập hợp điểm” Khi giải toán “tập hợp điểm” ta thường làm sau: tập hợp điểm M có tính chất α hình (H) tập hợp điểm có tính chất α tập hợp điểm thuộc hình (H) hai tập hợp Muốn ta phải chứng minh phần Phần thuận: Lấy điểm M có tính chất α , ta chứng minh M thuộc hình (H): M(α) ⇒ M ∈ (H) Sau phải xét xem điểm M nằm toàn hay phần hình (H) Phần gọi phần giới hạn, cần trình bày cuối phần thuận trước chứng minh phần đảo Phần đảo: Lấy điểm M’ thuộc hình (H) (hoặc phần hình (H)) giới hạn chứng minh M’ có tính chất α : M ' ∈ (H) ⇒ M '(α) Chỉ sau chứng minh phần thuận lẫn phần đảo (hoặc cặp mệnh đề tương đương) ta phép kết luận tập hợp điểm M có tính chất α hình (H) (hoặc phần hình đó) Trong thực hành, việc giải toán tập hợp điểm quy việc phân tích toán cho đưa tập hợp điểm biết Với toán phức tạp, trình phân tích phải kéo dài đưa tập hợp điểm Ta minh hoạ sơ đồ sau: Phần thuận: M(α) ⇒ M(β) ⇒ ⇒ M( γ ) ⇒ M ∈ (H) ­ Phần đảo: M ' ∈ (H) ⇒ M '( γ ) ⇒ ⇒ M '(β) ⇒ M '(α) γ tính chất xác định tập hợp điểm Những tập hợp điểm chương trình toán phổ thông sở là:  Tập hợp điểm cách hai điểm A B cho trước đường trung trực đoạn thẳng AB  Tập hợp điểm cách hai cạnh góc tia phân giác góc  Tập hợp điểm có khoảng cách l không đổi đến đường thẳng cố định xy hai đường thẳng song song với xy   Cho tia Ox, tập hợp điểm M cho MOx có số đo α không đổi ( 0 < α < 180 ) hai tia Oy Oy’ cho góc xOy xOy’ có số đo α  Tập hợp điểm M cách điểm O cố định đoạn OM = R (không đổi) đường tròn (O; R)   Tập hợp điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước góc α ( AMB = α = không đổi ) hai cung tròn đối xứng qua AB (gọi cung chứa góc α vẽ đoạn AB) Áp dụng: Các Bài tập dành cho “ tất học sinh” Cho góc vuông xOy Một điểm M di động cạnh Oy Nối M với hai điểm cố định A, B cạnh Ox Các đường vuông góc với MA A với MB B cắt điểm N a) Chứng minh bốn điểm M, A, B, N nằm đường tròn tìm tập hợp tâm I đường tròn b) Tìm tập hợp điểm N Trang 30 10 Phương pháp Chứng minh Hình học  HỌC SINH GIỎI  Giáo viên: Đinh Vũ Hưng Cho hai điểm A, B cố định đường thẳng d Trong nửa mặt phẳng bờ đường thẳng d, ta kẻ tia Ax, By vuông góc với d lấy Ax điểm C, By điểm D thoả mãn hệ thức: AB2 = 4AC BD Gọi O trung điểm AB Chứng minh: a) Hệ thức CD2 = OC2 + OD2 b) Các cặp tam giác sau đồng dạng ODC AOC; ODC BOD c) Giả sử C, D thay đổi đoạn thẳng AB, AC, BD luôn thoả mãn hệ thức (1) Tìm tập hợp hình chiếu trung điểm O lên đoạn CD Cho góc vuông xOy Trên cạnh Oy lấy điểm A cố định cạnh Ox có điểm B di động Dựng hình vuông ABCD (nằm góc vuông xOy) Tìm tập hợp tâm I hình vuông Cho nửa đường tròn đường kính AB điểm M di động nửa đường tròn Tiếp tuyến M cắt đường song song với AM, kẻ từ tâm O, điểm P Tìm tập hợp điểm P Cho góc vuông xOy điểm P tia phân giác Oz Một đường tròn thay đổi tâm I, qua O P, cắt Ox A Oy B a) Chứng minh I trung điểm AB Tìm tập hợp điểm I b) Chứng minh PI ⊥ AB c) Gọi Q điểm đối xứng P qua điểm I Tìm tập hợp điểm Q Cho hai đường tròn tâm O O’ có bán kính tiếp xúc với điểm B Đường thẳng nối tâm OO’ cắt đường tròn tâm O điểm A cắt đường tròn tâm O’ điểm C Ta kẻ hai dây AP thuộc đường tròn tâm O, BM thuộc đường tròn tâm O’, song song với Các tia AP CM cắt điểm H a) Chứng minh PM = BH b) Tìm tập hợp điểm H c) Tìm tập hợp trung điểm I PM Cho góc xOy, điểm B cố định Oy điểm C cố định Ox cho OC = OB, M điểm di động tia BC (M phía góc xOy) Kẻ ME ⊥ Oy MF ⊥ Ox    a) So sánh góc BME ; BMF xOy b) Từ suy tập hợp điểm có hiệu khoảng cách đến hai cạnh tam giác độ dài l cho trước Cho hình chữ nhật ABCD góc vuông xAy quay xung quanh đỉnh A Tia Ax cắt đường thẳng BC điểm M tia Ay cắt đường thẳng CD điểm P Dựng hình chữ nhật PAMN a) Chứng minh tâm O hình chữ nhật cách ba điểm M, P, C Từ suy tập hợp điểm O  b) Chứng minh góc ACN = 1v Tìm tập hợp điểm N Trên đường thẳng d có hai điểm cố định A, B Từ điểm C thuộc đường thẳng AB, ta kẻ đường vuông góc Cx với đường thẳng d lấy Cx đoạn CM = AC a) Tìm tập hợp điểm M C di chuyển AB b) Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AB lấy đoạn BD = BA Gọi H hình chiếu D lên MB Tìm tập hợp điểm H c) Từ A B kẻ đường vuông góc với MA, MB, đường cắt P Chứng minh tứ giác AMBP nội tiếp đường tròn Xác định tâm O đường tròn tìm tập hợp điểm O  Cho đường tròn tâm O điểm A cố định đường tròn Một góc xAy có số đo không đổi, quay xung quanh điểm A Hai tia Ax, Ay cắt đường tròn điểm B, C a) Tìm tập hợp trung điểm I BC b) Kẻ từ C đường vuông góc với CA, đường cắt tia Ox điểm M Tìm tập hợp điểm M Trang 31 11 12 13 14 Phương pháp Chứng minh Hình học  HỌC SINH GIỎI  Giáo viên: Đinh Vũ Hưng Cho nửa đường tròn ANB, tâm O, đường kính AB, M điểm cung AB Kẻ hai bán kính vuông góc OC, OD (điểm C hai điểm A, M) Gọi C’và D’ hình chiếu C D AB a) So sánh tam giác OCC’ ODD’ b) Chứng minh đường phân giác góc C’CO qua điểm cố định F Tính góc CFD c) Xác định hình tính tứ giác CDBF d) Chứng minh: CB ⊥ DF e) Tìm tập hợp giao điểm N CB AD điểm C di chuyển cung AM Cho đường tròn tâm O, đường kính AB tiếp tuyến Ax điểm A Từ điểm M di chuyển Ax, ta kẻ tiếp tuyến MC đến đường tròn a) Chứng minh tứ giác AOCM nội tiếp b) Tìm tập hợp tâm đường tròn ngoại tiếp ∆AMC c) Tìm tập hợp trực tâm ∆ABC d) Tìm tập hợp tâm I đường tròn nội tiếp ∆ABC Cho điểm M di động đoạn thẳng cố định AB Gọi Bx đường vuông góc với AB B Dựng tam giác AMN Đường vuông góc với MN N cắt Bx điểm P a) Tìm tập hợp điểm N b) Tìm tập hợp trung điểm I BN c) Tìm tập hợp tâm O đường tròn ngoại tiếp tứ giác BPNM Cho ba điểm cố định A, B, C theo thứ tự đường thẳng d Một đường tròn thay đổi qua hai điểm B, C Từ A ta kẻ tiếp tuyến AM với đường tròn Tìm tập hợp điểm M S Phương pháp “ Dựng hình” 1) 2) 3) 4) 10 Giải toán dựng hình thỏa số điều kiện cho trước thước compa (nếu phép sử dụng dụng cụ đề cần nói rõ) Muốn giải toán dựng hình ta cần trình tự thực phép dựng hình (dựng đường thẳng qua hai điểm biết, dựng đường tròn biết tâm bán kính nó, …) để tạo nên hình thỏa điều kiện đề Nói chung, lời giải toán dựng hình chia làm phần: Phân tích: giả sử dựng hình thỏa điều kiện đề Phân tích hình để tìm cách đưa toán cho toán dựng hình biết Cách dựng: trình bày phép dựng tạo nên hình cần dựng Chứng minh: chứng tỏ hình vừa dựng thoả điều kiện đề Biện luận: xét xem trường hợp toán có nghiệm có nghiệm, trường hợp toán vô nghiệm Sau toán dựng hình bản: Dựng đoạn thẳng đoạn thẳng a cho trước Dựng đoạn thẳng có độ dài tổng (hiệu) độ dài hai đoạn thẳng cho trước Dựng trung điểm đoạn thẳng cho trước Dựng góc góc cho trước Dựng đường phân giác góc cho trước Dựng đường thẳng qua điểm cho trước vuông góc với đường thẳng cho trước Dựng đường thẳng qua điểm cho trước song song với đường thẳng cho trước không qua điểm Dựng tam giác biết hai cạnh góc xen hai cạnh ấy, biết cạnh góc kề cạnh ấy, biết ba cạnh Dựng tam giác vuông biết cạnh huyền cạnh góc vuông Dựng điểm chia đoạn thẳng cho trước thành nhiều phần Áp dụng: Các Bài tập dành cho “ tất học sinh” Trang 32 10 Phương pháp Chứng minh Hình học  HỌC SINH GIỎI  Giáo viên: Đinh Vũ Hưng Dựng tam giác vuông biết cạnh góc vuông hiệu cạnh huyền cạnh góc vuông Cho đường tròn đường kính AB điểm C đường tròn Chỉ dùng thước thẳng, dựng đường thẳng qua điểm C vuông góc với đường thẳng AB Dựng hình bình hành ABCD biết AB = a, tổng hai đường chéo AC + BD = m góc α tạo hai đường chéo Dựng tam giác biết tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tâm đường tròn bàng tiếp Cho đường tròn tâm O, bán kính R điểm M đường tròn Hãy dựng dây cung qua M có độ dài a cho trước Dựng tam giác ABC biết cạnh BC đường cao, đường phân giác, đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A chia góc BAC thành góc Cho bốn đường tròn(O ;r ); (O ; r ); (O ; r ); (O ; r ) Hãy dựng hình vuông cho cạnh (hay cạnh kéo dài) tiếp xúc với đường tròn cho Dựng hai đường tròn tiếp xúc với nhau, có tâm hai điểm cố định cho trước tiếp tuyến chung chúng qua điểm cố định cho trước Dựng tam giác vuông ABC biết cạnh huyền BC = a khoảng cách tâm đường tròn nội tiếp tam giác trọng tâm tam giác nhỏ Cho trước góc 190 Hãy dùng thước thẳng compa để vẽ góc 10 T Phương pháp “ Các phép biến hình” Phép đối xứng trục 1) Hình đối xứng qua đường thẳng: a) Định nghóa 1: hai điểm M M’ gọi đối xứng với qua đường thẳng d d đường trung trực đoạn thẳng NM’ Kí hiệu: phép đối xứng qua trục d S d MM ' ⊥ d (tại H) định nghóa    → M ' = Sd (M) ←  HM = HM ' b) Định nghóa 2: hai hình F F’ gọi đối xứng với qua đường thẳng d điểm thuộc hình đối xứng với điểm thuộc hình qua d ngược lại định nghóa   → = Sd (F) ← (M ∈ F ⇔ = Sd (M) ∈ F ') F' M' c) Định lý: hai đường thẳng AB A’B’ có điểm A A’; B B’ đối xứng với qua đường thẳng d hai đoạn thẳng đối xứng qua đường thẳng d A ' = Sd (A) A ' B' = AB ⇒  A ' B' = Sd (AB) B' = Sd (B) Từ định lý ta suy ra: Nếu đỉnh tam giác ABC đối xứng với đỉnh tam giác A’B’C’ qua trục d hai tam giác đối xứng với Nếu hai điểm đường thẳng đối xứng với hai điểm đường thẳng khác qua trục d hai đường thẳng đối xứng với 2) Trục đối xứng hình: Định nghóa: đường thẳng d gọi trục đối xứng hình F điểm đối xứng điểm thuộc hình F qua trục d thuộc hình F A ' = Sd (A) A ' B' = AB địnhnghóa → Fcó trục đối xứng d ← F = Sd (F)  ⇒ A ' B' = Sd (AB) B' = Sd (B) Trang 33 Phương pháp Chứng minh Hình học  HỌC SINH GIỎI  Giáo viên: Đinh Vũ Hưng 3) Trục đối xứng số hình: a) Một góc có trục đối xứng đường phân giác góc b) Một đoạn thẳng có trục đối xứng đường trung trực đoạn thẳng c) Một tam giác cân có trục đối xứng đường trung trực (cũng đường cao, đường phân giác, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy) d) Một hình thang cân có trục đối xứng đường thẳng qua trung điểm hai đáy e) Hình chữ nhật có hai trục đối xứng hai đường thẳng qua giao điểm đường chéo vuông góc với cạnh hình chữ nhật f) Hình vuông có bốn trục đối xứng, hai đường chéo hai đường thẳng qua giao điểm hai đường chéo vuông góc với cạnh hình vuông g) Bất kì đường kính trục đối xứng đường tròn 1) Hình đối xứng qua điểm: Phép đối xứng tâm a) Điểm đối xứng qua điểm: định nghóa  = = MM '  → = So (M) ← OM OM ' M' b) Hình đối xứng qua ñieåm:   → = SO (F) ← (M ∈ F ⇔ = SO (M) ∈ F ') F' M' định nghóa A ' = SO (A) A ' B' = AB ⇒  A ' B' = SO (AB) B' = SO (B) A ' = SO (A)   d) Hệ quả: B' SO (B)  ⇒ ∆A ' B' C' SO (∆ABC) = =  C' = SO (C)  2) Tâm đối xứng hình: c) Định lí: Định nghóa: địnhnghóa → Hình Fcó tâm đối xứng ← F = SO (F) Một số hình có tâm đối xứng: Hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông có tâm đối xứng giao điểm hai đường chéo Đường tròn có tâm đối xứng tâm Phép tịnh tiến 1) Khái niệm vectơ: Vectơ đoạn thẳng có định hướng tức đoạn thẳng rõ thứ tự điểm mút Điểm  t đầu gọi gốc, điểm mút thứ hai gọi vectơ mú     Kí hiệu: AB hay a Đường thẳng AB gọi giá AB Độ dài đoạn thẳng AB gọi môđun     AB kí hiệu AB Vectơ  ng nhau: Hai vectơ phương giá chúng song song trùng Các bằ      véctơ AB ; CD ; EF hình bên phương         Hai vectơ phương hướng ( AB CD ) kí hiệu AB  CD hay ngược hướng         ( AB vaø EF ) kí hiệu AB  EF   Định nghóa: hai vectơ a b gọi chúng có môđun hướng     định nghóa a  b    → a = b ←    a = b  2) Phép tịnh tiến: Trang 34 Phương pháp Chứng minh Hình học  HỌC SINH GIỎI  Giáo viên: Đinh Vũ Hưng  a) Định nghóa: Trong mặt phẳng P cho vectơ V Phép  n hình mặt phẳng P biến biế   điểm M thuộc P thành điểm M’ thuộc P cho MM ' = V gọi phép tịnh tiến theo V kí  hiệu TV  b) Cách viết: TV : M  M ' 3) Một số tính chất phép tịnh tiến: Phép tịnh tiến biến: a) Đoạn thẳng thành đoạn thẳng phương b) Đường thẳng thành đường thẳng phương, tia thành tia phương c) Góc thành góc có cạnh tương ứng phương d) Đường tròn thành đường tròn Phép quay 1) Phép quay: Cho điểm O góc α ( O0 ≤ α ≤ 180 ) Ta quy ước chiều quay ngược chiều kim đồng hồ chiều dương, thuận chiều kìm đồng hồ chiều âm Phép biến hình biến điểm M tuỳ ý mặt OM ' = OM  phẳng thành điểm M’ cho:  gọi phép quay tâm O, góc quay α Điểm M’ gọi  MOM ' = α  ảnh điểm M phép quay Hoặc Q O,α : M  M ' Kí hiệu: M ' = Q O,α (M) Trong hình bên ta có: M ' = Q O,60 (M) N ' = Q O,−900 (N) 2) 3) ­ ­ Hoaëc Q O,60 : M  M ' Hoaëc Q O,−900 : N  N ' Ảnh hình phép quay: a) Trong phép quay, tập hợp ảnh tất điểm hình (H) tạo thành hình (H’) gọi ảnh hình (H) A ' = Q O,α (A)   b) Neáu: Q O,α (AB)  ⇒ A ' B' = B' = Q O,α (B)   Các tính chất phép quay: Phép quay biến: a) Một đoạn thẳng thành đoạn thẳng b) Một đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia c) Một góc thành góc d) Một đường tròn thành đường tròn e) Nếu góc quay α =180 phép quay trở thành phép đối xứng tâm(tâm quay tâm đối xứng) Cách xác định tâm quay a) Trường hợp cho biết ảnh điểm A’ = Q(A) góc quay α Gọi O tâm quay ta có: OA = OA’ nên O thuộc đường trung trực d đoạn AA’ Vậy tâm quay O giao điểm đường trung trực d cung chứa góc α b) Trường hợp cho biết ảnh hai điểm A’ = Q(A); B’ = Q(B) Nếu AA’ không song song với BB’: tâm quay O giao điểm hai đường trung trực d , d hai đoạn thẳng AA’ BB’ Nếu AA’// BB’ tâm quay O giao điểm hai đường thẳng AB A’B’ Áp dụng: Các Bài tập dành cho “ tất học sinh” Trang 35 Phương pháp Chứng minh Hình học  HỌC SINH GIỎI  Giáo viên: Đinh Vũ Hưng Trong tất tam giác có chung cạnh diện tích nhau, tìm tam giác có chu vi nhỏ Cho trực tâm H tam giác ABC H’ điểm đối xứng H qua BC a) Chứng minh H’ nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AHB, BHC, CHA có bán kính c) Gọi (O; R) đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Cho B, C cố định A di động (O; R) Tìm tập hợp trực tâm H tam giác ABC d) Cho trước đường tròn (O; R), điểm A nằm đường tròn điểm H đường tròn Dựng tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) nhận A làm đỉnh H trực tâm Dựng tam giác ABC biết đường tròn ngoại tiếp tam giác, trực tâm H tam giác điểm E cạnh BC Cho đường thẳng d hai điểm E, F nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ đường thẳng d Hãy dựng tam giác nhận E, F chân hai đường cao đường cao thứ ba nằm đường thẳng d  Cho tam giác cân ABC (CA = CB) có ACB = 100 Qua A B vẽ tia AL BK(L thuộc BC,   K thuộc AC) cho LAB = 30 ; KBA = 20 AL cắt BK M tính góc ACM, BCM Cho ba điểm O ; O ; O điểm M (trong ñieåm O ; O ; O ; M ba điểm thẳng hàng) Gọi M điểm đối xứng M qua O ; M điểm đối xứng M qua O ; M điểm đối xứng M qua O ; M điểm đối xứng M qua O ; M điểm đối xứng M qua O ; M điểm đối xứng M qua O Chứng minh M trùng M Cho ba đường tròn (O ; R);(O ; R);(O ; R) tieáp xúc đôi 1: (O ) tiếp xúc với (O ) A; (O ) tiếp xúc với (O ) B; (O ) tiếp xúc với (O ) C điểm M tuỳ ý đường tròn (O ; R) goïi M1 = SA (M) ; M = SB (M1 ) ; M = SC (M ) Chứng minh M = SO1 (M) vaø M ∈ (O1; R) 10 11 12 13 14 Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định điểm C di động đường tròn Trên tia AC lấy điểm D cho AC = CD Vẽ hình bình hành ADBE Tìm tập hợp điểm E Dựng hình bình hành nội tiếp tứ giác cho trước nhận điểm O cho trước làm tâm đối xứng Dựng hình bình hành biết ba trung điểm ba cạnh Cho tam giác ABC Dựng hình vuông BCDE nằm nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng BC không chứa đỉnh A Gọi AH đường cao tam giác ABC Từ D E dựng DI ⊥ AB , EK ⊥ AC Chứng minh ba đường thẳng EK, DI, AH đồng quy Cho hình thang ABCD (BC// AD) có tổng hai đáy lớn tổng hai cạnh bên Gọi M giao điểm đường phân giác hai góc A B, N giao điểm đường phân giác hai góc C D Chứng minh rằng: 2MN = (BC + AD) − (AB + CD) Cho hình vuông ABCD tâm O gọi M N điểm theo thứ tự nằm cạnh AB CD Hãy xác định M N cho đường gấp khúc OMNB có độ dài nhỏ MN // BC Tính độ dài theo cạnh hình vuông a Giải toán đường gấp khúc OMNB có độ dài lớn Qua giao điểm A hai đường tròn nhau, người ta vẽ cát tuyến di động cắt hai đường tròn B C Từ B vẽ Bx ⊥ BC từ C vẽ Cy song song với đường nối tâm OO’ cắt Bx M Tìm tập hợp điểm M Trang 36 15 16 17 18 19 20 21 Phương pháp Chứng minh Hình học  HỌC SINH GIỎI  Giáo viên: Đinh Vũ Hưng Cho đường tròn(O; R), dây cung AB cố định điểm M di động đường tròn a) Tìm tập hợp trực tâm H tam giác MAB b) Tìm tập hợp giao điểm E F đường tròn tâm M bán kính MH đường tròn tâm H bán kính HM  Cho đường tròn (O) đường kính EF hai điểm A, B đường tròn Dựng góc nội tiếp ACB cho hai cạnh góc chắn EF đoạn thẳng có độ dài l cho trước Trên cạnh tam giác ABC miền tam giác, vẽ tam giác ABC , BCA , CAB Chứng minh rằng: a) AA = BB = CC b) Ba đường thẳng AA ; BB ; CC đồng quy điểm Cho tam giác ABC điểm M tuỳ ý a) Chứng minh khoảng cách từ điểm M đến ba đỉnh tam giác ABC không lớn tổn khoảng cách đến hai đỉnh lại b) Tìm điều kiện cần đủ để M nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Cho góc vuông xOy điểm A cố định đường phân giác góc Một đường tròn thay đổi qua hai điểm O A, cắt Ox C cắt Oy D Chứng minh OC + OD số Cho góc vuông xOy điểm A cố định Ox Tam giác ABC nằm miền góc xOy có đỉnh B thuộc Oy Tìm tập hợp đỉnh C Cho đường tròn (O) đường kính AB điểm C di động đường tròn Trên tia AC lấy đoạn AD = BC a) Xác định phép quay biến BC thành AD b) Tìm tập hợp điểm D U Phương pháp “ Hình học Không gian” A Phần đại cương: Cách xác định mặt phẳng biểu diễn mặt phẳng: a) Cách biểu diễn mặt phẳng: dùng hình bình hành b) Các cách xác định mặt phẳng: - Hai đường thẳng cắt xác định mặt phẳng - Một đường thẳng điểm nằm đường thẳng xác định mặt phẳng - Ba điểm không thẳng hàng xác định mặt phẳng - Hai đường thẳng song song xác định mặt phẳng Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng: a) Vị trí tương đối đường thẳng với đường thẳng không gian: - Hai đường thẳng trùng - Hai đường thẳng song song - Hai đường thẳng cắt Đặc biệt: Hai đường thẳng vuông góc với - Hai đường thẳng chéo b) Vị trí tương đối đường thẳng với mặt phẳng không gian: - Đường thẳng nằm mặt phẳng - Đường thẳng cắt mặt phẳng Đặc biệt: Đường thẳng mặt phẳng vuông góc với - Đường thẳng song song với mặt phẳng c) Vị trí tương đối hai mặt phẳng không gian: - Hai mặt phẳng trùng - Hai mặt phẳng song song với - Hai mặt phẳng cắt Đặc biệt: Hai mặt phẳng vuông góc với Phương pháp chứng minh: Trang 37 Phương pháp Chứng minh Hình học  HỌC SINH GIỎI  Giáo viên: Đinh Vũ Hưng - Hai đường thẳng trùng nhau, ta chứng minh chúng có hai điểm chung - Hai đường thẳng song song, dùng phương pháp hình học phẳng - Hai đường thẳng cắt nhau, ta chứng minh chúng có điểm chung Đặc biệt: Hai đường thẳng vuông góc với nhau, ta chứng minh chúng tạo thành góc vuông - Hai đường thẳng chéo nhau, ta chứng minh chúng không đồng phẳng điểm chung Đặc biệt: Đường thẳng mặt phẳng vuông góc với nhau, ta chứng minh: Đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nằm mặt phẳng - Đường thẳng song song với mặt phẳng, ta chứng minh: + Đường thẳng mặt phẳng điển chung + Đường thẳng song song với đường thẳng nằm mặt phẳng cho - Hai mặt phẳng trùng nhau, ta chứng minh cách xác định mặt phẳng - Hai mặt phẳng song song với nhau, ta chứng minh: + Hai mặt phẳng điển chung + Hai đường thẳng cắt nằm mặt phẳng song song với mặt phẳng - Hai mặt phẳng cắt nhau, ta chứng minh chúng có đường thẳng chung Đặc biệt: Hai mặt phẳng vuông góc với nhau, ta chứng minh đường thẳng nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng B Phần công thức tính diện tích hình hình học: Diện tích xung quanh hình lăng trụ đứng là: S xq = p ⋅ l Với p chu vi đáy, l độ dài cạnh bên Diện tích toàn phần hình lăng trụ tổng diện tích xung quanh với hai lần diện tích đáy Thể tích hình lăng trụ đứng: V = B⋅h Với B diện tích đáy, h độ dài đường cao Diện tích xung quanh hình chóp tính theo công thức: S xq = p ⋅ d Với p chu vi đáy, d độ dài đường cao mặt bên Thể tích hình chóp tính theo công thức: V= B⋅h Với B diện tích đáy, h độ dài đường cao Diện tích xung quanh hình chóp cuït: Sxq = ( p + p ') d Thể tích hình cóp cụt tính theo công thức: V = S xq = πRh Diện tích xung quanh hình trụ là: Thể tích hình trụ là: V = πR h Diện tích xung quanh hình nón là: S xq = πRl πR h Diện tích xung quanh hình nón cụt là: S xq = π(R + r )l Thể tích hình nón là: V = Thể tích hình nón cụt laø: V = π R + r + Rr h ( ) Hình cầu: Trang 38 ( h B + B'+ BB' ) Phương pháp Chứng minh Hình học Diện tích mặt cầu laø: S xq = πR ;  HỌC SINH GIỎI  Thể tích hình cầu là: V = Giáo viên: Đinh Vũ Hưng πR 3 Áp dụng: Các Bài tập dành cho “ tất học sinh” Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) A Trên đường thẳng d lấy điểm K a) Chứng minh BC ⊥ KH b) Kẻ AI đường cao tam giác KAH Chứng minh AI ⊥ (KBC) c) Cho AB = 15 cm, AC = 20 cm, AK = 16 cm Tính độ dài đoạn thẳng BC, KH, IH, IK tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (KBC) Cho hình vuông ABCD, O giao điểm hai đường chéo AC BD Một đường thẳng d vuông góc với mp (ABCD) O Lấy điểm S đường thẳng d, nối SA, SB, SC SD a) Chứng minh AC ⊥ (SBD) b) Chứng minh mp (SAC) ⊥ mp (ABCD) mp (SAC) ⊥ mp (SBD) c) Tính SO biết AB = a SA = a d) Tính diện tích xung quanh thể tích hình chóp S.ABCD Cho tam giác ABC có độ dài cạnh a Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) trọng tâm G tam giác ABC Trên đường thẳng d lấy điểm S nối SA, SB, SC a) Chứng minh SA = SB = SC b) Tính diện tích toàn phần thể tích hình chóp S.ABC, cho biết SG = 2a Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O (như hình vẽ) a) Tìm hình vẽ đường thẳng chéo với đường thẳng SA b) Tìm giao tuyến mặt phẳng (SAC) mặt phẳng (SBD) c) Gọi M; N trung điểm SC; SD; chứng minh rằng:  MN//AB MN song song với mặt phẳng (ABCD)  Bốn điểm A; B; M; N đồng phẳng d) Tìm giao tuyến mặt phẳng (SBD) mặt phẳng (ABMN), suy giao điểm mặt phẳng (SBD) với đường thẳng AM Không xét mặt phẳng (ABMN) có tìm giao điểm không? Cho tia Sx; Sy; Sz vuông góc đôi lấy điểm A; B; C tia (khác S) a) Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (SAB); SB vuông góc với mặt phẳng (SAC); SA vuông góc với mặt phẳng (SBC); b) Chứng minh mặt phẳng (SAB); mặt phẳng (SBC); mặt phẳng (SCA) vuông góc với đôi c) Vẽ CH ⊥ AB Chứng minh SH vuông góc với AB Tính SH theo SA, SB, SC Cho hình chữ nhật ABCD có AB=2cm; AD=4cm Từ A dựng AA’ vuông góc với mặt phẳng (ABCD) AA’=5cm a) Chứng tỏ ∆ACA’ vuông, tính độ dài A’C b) Chứng tỏ ∆BCA’ vuông tìm lại độ dài A’C c) Hãy vẽ thêm đỉnh B’; C’; D’ để hình hộp chữ nhật ABCD, A’B’C’D’ d) Tính diện tích toàn phần thể tích hình hộp chữ nhật  Cho ∆ABC vuông B có cạnh huyền AC = 6cm A = 30 Từ A dựng AA’ vuông góc với mặt phẳng (ABC) AA’=4cm a) Tính độ dài BA; BC; A’B; A’C Trang 39 10 11 Phương pháp Chứng minh Hình học  HỌC SINH GIỎI  Giáo viên: Đinh Vũ Hưng b) Tính thể tích ABCA’ hai cách khác c) Hãy vẽ thêm hai đỉnh để hình lăng trụ có đáy ∆ABC Tính thể tích hình lăng trụ Cho ∆ABC cạnh a có trực tâm H; từ H dựng HS vuông góc với mặt phẳng (ABC) a HS = a) Chứng tỏ S.ABC hình chóp tam giác b) Tính diện tích xung quanh thể tích hình chóp c) Gọi A’; B’; C’ trung điểm SA; SB; SC:  Chứng tỏ ABC, A’B’C’ hình chóp cụt có chiều cao SH  Tính diện tích toàn phần thể tích hình chóp cụt Cho hình chữ nhật ABCD có AB=3cm; AD=4cm, quay vòng quanh cạnh BC a) Xác định tên gọi hình sinh yếu tố b) Tính diện tích xung quanh thể tích hình Cho tam giác vuông ABC có hai cạnh góc vuông AB = 4cm; AC = 3cm, quay quanh AB vòng a) Xác định tên gọi hình sinh yếu tố b) Tính diện tích xung quanh thể tích hình c) Cắt hình mặt phẳng qua trung điểm I AB song song với mặt phẳng sinh đường thẳng CA Hãy gọi tên tính diện tích xung quanh, thể tích hai hình vừa cắt Cho nửa hình tròn có đường kính AB quay vòng quanh AB a) Gọi tên hình sinh yếu tố b) Cho AB=10cm, tính diện tích thể tích hình Trang 40 ... minh Hình học  HỌC SINH GIỎI  Giáo viên: Đinh Vũ Hưng Chú ý: hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông hình bình hành đặc biệt Vì vậy, bốn tính chất nói hình bình hành tính chất hình thoi, hình chữ... trung bình hình thang song song với hai cạnh đáy Các cạnh đối hình bình hành (hoặc hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông) song song với Trang Phương pháp Chứng minh Hình học  HỌC SINH GIỎI  Giáo... : a) b) + + = + + ? ?9 AM BN CL HM HN HL Trang 20 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 Phương pháp Chứng minh Hình học  HỌC SINH GIỎI  Giáo viên: Đinh Vũ Hưng Cho hình vuông ABCD nội