Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp giải phơng trình vô tỷ Đề tài: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp Giải phơng trình vô tỷ A Nhận thức cũ- Giải pháp cũ: Phơng trình vô tỷ phơng trình chứa ẩn dấu Trong chơng trình đại số ,phơng trình vô tỷ dạng toán khó Khi gặp phơng trình có chứa tơng đối phức tạp, học sinh lúng túng không tìm cách giải hay mắc sai lầm giải Có phơng trình giải phơng pháp quen thuộc Khi gặp phơng trình vô tỷ , học sinh thờng quen phơng pháp nâng luỹ thừa vế để làm dấu Nhng trình giải thờng mắc phải số sai lầm phép biến đổi tơng đơng phơng trình ,vì dẫn đến thừa thiếu nghiệm Có số phơng trình sau làm dấu dẫn đến phơng trình bậc cao, mà việc nhẩm nghiệm để đa phơng trình bậc nhất, bậc để giải lại khó khăn Vì học sinh lúng túng không tìm lời giải B Nhận thức giải pháp I Nhận thức mới: Để khắc phục tồn dạy cho học sinh giải phơng trình vô tỷ , giáo viên cần trang bị cho học sinh kiến thức sách giáo khoa kiến thức mở rộng, hình thành phơng pháp giải cách kịp thời Với phơng trình cần học sinh nhận dạng phát cách giải tìm cách giải phù hợp , nhanh Qua dạng tổng quát cách giải hớng dẫn học sinh đặt đề toán tơng tự, từ khắc sâu cách làm cho học sinh Nếu biết phân dạng , chọn ví dụ tiêu biểu , hình thành đờng lối t cho học sinh tạo nên hứng thú nghiên cứu, giúp học sinh hiểu sâu, nhớ lâu nâng cao hiệu giáo dục Giỏo viờn: on Kớnh- Trng THCS Qu Xuõn Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp giải phơng trình vô tỷ II Giải pháp mới: A- Hệ thống hoá kiến thức liên quan bổ sung mét sè kiÕn thøc më réng C¸c tÝnh chÊt cđa l thõa bËc 2, bËc 3, tỉng qu¸t hoá tính chất luỹ thừa bậc chẵn luỹ thừa bậc lẻ Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử , đẳng thức Các bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski, bất đẳng thức có chứa giá trị tuỵêt đối Cách giải phơng trình, bất phơng trình bậc , bậc ẩn, cách giải hệ phơng trình Bổ sung kiến thức để giải phơng trình đơn giản: * A ≥  A = B ⇔ B ≥ A = B2  A ≥ A = B * A= B⇔ * A+ B =0⇔ A=B=0 B Cung cấp cho học sinh phơng pháp thờng dùng để giải phơng ttrình vô tỷ Phơng pháp Nâng lên luỹ thừa để làm vế phơng trình( thờng dùng vế có luỹ thừa bậc) Ví dụ: Giải phơng trình x − − x − = 3x (1) + phơng trình (1) hai vế có bậc hai, học sinh mắc sai lầm để nguyên hai vế nh bình phơng hai vế để làm Vì giáo viên cần phân tích kỹ sai lầm mà học sinh mắc phải tức cần khắc sâu cho häc sinh tÝnh chÊt cña luü thõa bËc 2: a = b ⇔ a2 = b2 ( Khi a, b cïng dÊu ) Giáo viên: Đồn Kính- Trường THCS Quế Xuõn Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp giải phơng trình vô tỷ Vì bình phơng hai vế đợc phơng trình tơng đơng với phơng trình ban đầu hai vế dấu phơng trình (1), VP , nhng vế trái cha đà ta nên chuyển vế đa phơng trình có vÕ cïng ≥ (1) ⇔ x − = x + 3x Đến học sinh bình phơng hai vế: x = 5x − + 3x − ⇔ − x = 15 x − 13 x + (*) Ta lại gặp phơng trình có vế chứa , học sinh mắc sai lầm bình phơng tiếp vế để vế phải mà không để ý hai vế ®· cïng dÊu hay cha ⇔ − 14 x + 49 x = 4(15 x − 13x + 2) ⇔ 11x − 24 x + = ⇔ (11x − 2)( x − 2) = x = 11 Và trả lời phơng trình (*) có nghiệm : x = ; x = ⇔  11 x = Sai lầm học sinh gì? Tôi cho học sinh khác phát sai lầm : + Khi giải cha ý đến điều kiện để thức có nghĩa nên sau giải không chiếu với điều kiện (1) : ĐK : x x1 = 11 nghiệm (1) + Khi bình phơng hai vế phơng trình (*) cần có điều kiện − x ≥ ⇔ x ≤ vËy x = không nghiệm (1) - Sau phân tích sai lầm mà học sinh thờng gặp , từ cho học sinh tìm cách giải không phạm sai lầm đà ph©n tÝch Giáo viên: Đồn Kính- Trường THCS Quế Xuõn Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp giải phơng trình vô tỷ C1: Sau tìm đợc x = x = thử lại (1) không nghiệm Vậy (1) vô 11 nghiệm ( cách thử lại làm việc tìm TXĐ phơng trình đà cho tơng đối phøc t¹p )  x ≥   x ≥ ⇔ x ≥   x C2: Đặt điều kiện tồn thức (1) Sau giải đến (*) bình phơng hai vế đặt thêm điều kiện x ≤ vËy x tho¶  x mÃn : nên phơng trình (1)vô nghiệm x C3: Có thể dựa vào điều kiện ẩn để xét nghiệm phơng trình §iỊu kiƯn cđa (1) : x ≥ ®ã x < x ⇒ x − < x − ⇒ x − < x Vế trái vËy chØ xÐt dÊu x − − NÕu 2 x − ≥ 16 19  2x − − ≥ ⇔  ⇔x≥ x ≥  Th× x − + + x − − = ⇔ 2 x − = ⇔ x − = Giáo viên: Đoàn Kính- Trường THCS Quế Xn S¸ng kiÕn kinh nghiƯm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp giải phơng trình vô tỷ Giải x = (Không thoả m·n ®iỊu kiƯn) + NÕu x − < ⇔ Th× 19 ≤x≤ 2 x − + − x − + = ⇔ x = v« sè nghiƯm x tho¶ m·n 19 ≤x≤ 2 KÕt ln: C2: 19 ≤x≤ 2 ( §Ĩ giải (***) sử dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối A + B A + B dấu = xảy A.B ≥ 0) Gi¶i: (***) 2x − + + ⇔ 2x − − = 2x − + + − 2x − = Ta cã: 2x − + + − 2x − ≥ VËy: x − + + − x − = Khi 4 − x − ≥  ⇔ x ≥  2x − + + − 2x − = Gi¶i ra: ( )( ) 2x − + − 2x − ≥ 19 x 2 Bài tập tơng tự: Giải phơng tr×nh a) x + − x − + x + − x − = b) x + x − + x − x − = (Nh©n vÕ với xuất đẳng thức) Phơng pháp 3: Đặt ẩn phụ: Phơng pháp đặt ẩn phụ phơng pháp hay mà tâm đắc , phơng pháp dùng để giải đợc nhiều phơng trình phơng pháp dùng cách đặt ẩn phụ để đa dạng phơng trình vô tỷ đơn giản Cách đặt ẩn phụ: + Đặt Èn phơ Giáo viên: Đồn Kính- Trường THCS Quế Xuõn Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp giải + Đặt ẩn phụ phơng trình vô tỷ + Đặt nhiều ẩn phụ A) Cách đặt ẩn phụ : C1: Chọn ẩn phụ thích hợp để đa phơng trình phơng trình có ẩn ẩn phụ đà đặt Giải phơng trình tìm ẩn phụ , từ tìm ẩn VD1:Giải phơng trình: x +6x+12+ x + 3x + =9 (4) -Nhận xét:+ phơng trình bình phơng vế đa phơng trình bậc mà việc tìm nghiệm khó + Biểu thức có mối liên quan : 2x2+6x+12=2(x2+3x+2)+8 Hớng giải:+ Đặt ẩn phụ y= x + 3x + + Chó ý: §èi với ĐK: x2+3x+2 giải đợc nhng với toán mà biểu thức phức tạp tìm giá trị x thử lại xem có thoả mÃn ĐK hay không x Giải: ĐK: x2+3x + ( x+1) (x+2) ≥ ⇔   x ≥ Đặt : x + 3x + =y ≥ PT (4) ⇔ 2y2+y+8=9 ⇔ 2y2+y -1=0 Gi¶i ra:y1=1/2 ( Thoả mÃn ĐK); y2=-1( Loại) Thay vào: x + 3x + =1/2 ⇔ x2+3x+2=1/4 Gi¶i ra:x1= −3+ ; x2= −3− 2 Giáo viên: Đồn Kính- Trường THCS Quế Xn S¸ng kiÕn kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp giải phơng trình vô tỷ 3+ thoả mÃn nghiệm cđa PT (4) §èi chiÕu víi §K: x= VD2: Giải phơng trình: x x + x − 12 x + = ( Đề thi học sinh giỏi tỉnh lớp 10 năm 2003-2004) Híng dÉn : §K : x − 12 x + ≥ 0; ∀x Ta biÕn ®ỉi ®Ĩ thấy đợc mối quan hệ biểu thứctrong phơng tr×nh: x − x + 6( x x ) + = Đặt : x − x = a Ta cã ph¬ng trình: 6a + = a (I) Giải(I) tìm a từ tìm x VD2: Giải phơng trình: ( + x − 1)( − x + 1) = x HD: ta tìm mối liên hệ biểu thức cách đặt : 1+ x = u ; Rút x theo u thay vào biểu thức lại phơng trình để đa phơng trình ẩn u Giải: ĐK : -1 x ; C1: Đặt: 1+ x = u (0 ≤ u ≤ ) ⇒ x = u2 −1 (5) ⇔ (u − 1)( − u + 1) = 2(u − 1) ⇔ (u − 1)[ ( − u + 1) − 2(u + 1) ] u − = ⇔  − u + − 2(u + 1) =  + NÕu : u − = ⇒ u = 1( tho¶ m·n) ⇒ x + = x = (Thoả mÃn ĐK) Giỏo viên: Đồn Kính- Trường THCS Quế Xn S¸ng kiÕn kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp giải phơng trình vô tỷ u + = 2(u + 1) 2u + ≥ ⇔ ⇔ 5u + 4u − = 2 2 − u = ( 2u + 1) Giải ra: 1 24 u1 = 1( loại); u = ⇒ x =   − = thoả mÃn điều kiện 25 5 VËy x = 0; x = − 24 lµ nghiệm (5) 25 c2:ở đặt : − x = a; + x = b ; Đa hệ phơng trình: (a 1)(b + 1) = a − b   a + b = C2: Đặt ẩn phụ đa phơng trình ẩn: ẩn ẩn phụ, tìm mối quan hệ già ẩn ẩn phụ VD3: Giải phơng trình: x = − x (6) NhËn xÐt:- NÕu b×nh phơng hai vế đa phơng trình bậc khó nhẩm nghiệm vô tỷ.Vì ta đặt ẩn phụ nhng cha đa đợc phơng trình chứa ẩn -HÃy tìm cách đa hệ phơng trình có ẩn ẩn ẩn phụ Tìm mối quan hệ ẩn ẩn phụ từ đ a phơng trình đơn giản x Giải: ĐK: 2 x ≥ 2 − x = y  §Ỉt: y = − x ⇒ x = − y ;Ta cã hÖ:  2 − y = x Đây hệ phơng trình đối xøng ⇒ ( y − x)( y + x − 1) = x = y ⇒ 1 − x = y + Nếu x=y ta có phơng trình: − x = x gi¶i x = (tho¶ m·n ®iỊu kiƯn) Giáo viên: Đồn Kính- Trường THCS Quế Xuõn 10 Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp giải phơng trình vô tỷ + Nếu1-x=y ta có phơng trình: x = − x gi¶i ra: x = 1− ( Thoả mÃn điều kiện) Vậy phơng trình (6) có nghiÖm x1 = 1; x = 1− VD4: Giải phơng trình: x + x + 2006 = 2006 Cách 1: Đặt x + 2006 = y ta có hệ phơng trình x + 2006 = − x x = − y ⇔ x = y −   x + 2006 = x +   x + 2006 = y  gi¶i   x + y = 2006 từ sử dụng phơng pháp để giải tiếp Chú ý : Cách thờng sử dụng quan hệ ẩn ẩn phụ đa đợc hệ phơng trình đối xứng Cách 2: Đa vế vÒ cïng bËc: x2 + x + 1 = x + 2006 − x + 2006 + 4 1  ⇔ x +  2   x + = ⇔ x + =   1  =  x + 2006 −  2  x + 2006 − x + 2006 2 Đến tiếp tục giải theo phơng pháp Bài tập tơng tự : Giải phơng trình x + = y  a) x + = 2 x ; HD: Đặt ẩn phụ y = x − ta cã hÖ :   y + = 2x  3 b) x + x + = x + ; HD : Đặt ẩn phụ y = x + x c) x + x + + x + 3x + = 15 Giáo viên: Đồn Kính- Trường THCS Qu Xuõn 11 Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp giải phơng trình vô tỷ B) Đặt ẩn phụ: dạng ta đặt ẩn phụ đa hệ phơng trình ẩn phụ, giải hệ tìm giá trị ẩn phụ, từ từ mối quan hệ ẩn ẩn phụ đặt lúc đầu đa phơng trình đơn giản VD1: Giải phơng trình: x + x − = (7) NhËn xÐt: ë vÕ tr¸i có bậc bậc nên việc nâng luỹ thừa vế để làm dấu khó + Hai biểu thức có mèi quan hÖ: − x + x − = (hằng số) + Đặt ẩn phụ: Sẽ đa hệ phơng trình không chứa giải Giải: ĐK: x Đặt: x = u; x − = v Ta cã hệ phơng trình: u + v = 3 u + v = gi¶i u1 = 0; u = 1; u = −2 Tõ ®ã: x1 = 1; x = 2; x3 = 10 ( thoả mÃn điều kiện) Vậy phơng trình (7) cã nghiÖm: x1 = 1; x = 2; x3 = 10 VD2: Giải phơng trình: x + x +1 = ( Đề thi vào Phan Béi Ch©u 2005) a + b = HD: §Ỉt x − = a; x + = b ; Ta cã hÖ:   a − b = −3 Gi¶i ra:a=1; b=1 ; tõ giải tìm x=3 Tổng quát: Đối với phơng trình có dạng: n a f ( x) + m b ± f ( x) = c Ta thêng ®Ỉt: u = n a − f ( x) ; v = m b + f ( x) Khi ®ã ta đợc hệ phơng trình: Giỏo viờn: on Kớnh- Trng THCS Qu Xuõn 12 Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp giải phơng trình vô tû u + v = c hc  n m u + v = a + b u + v = c  n m u − v = a b Giải hệ tìm u, v sau dó tìm x VD3: Giải phơng trình: ( 3x + 1) ( ) + ( 3x − 1) + x − = (9) Nhận xét: Nếu lập phơng hai vế phức tạp không đa đợc dạng a.b=0 nh phơng trình (2) x = (3 x + 1)(3 x − 1) Nªn đặt ẩn phụ Giải: Đặt u = 3x + v = 3x − u + v + uv =  (9) trë thµnh:  3 u + v =  u = v = −1 Gi¶i ra:  vËy ta cã: 3 3x + =  ⇒ x = VËy (9) cã nghiÖm x=0 3  3x − =  Bµi tËp tơng tự: Giải phơng trình : a) 1 +x+ − x =1 2 b) x + a x +b =1 Ngoài cách có số đặt ẩn phụ nhng không đa đợc hệ PT ta tìm quan hƯ cđa Èn phơ , thay vµo hƯ thøc đà đặt lúc đầu để đa phơng trình đơn giản Nh VD sau: VD4: Giải phơng trình: 2( x + 2) = x + (10) Nhận xét: Nếu bình phơng hai vế phơng trình đa phơng trình bậc khó giải: Hớng dẫn: + Nhận xét biểu thức x3+1 ? có dạng HĐT: x3 + 1=(x+1)(x2-x+1) Giỏo viờn: Đồn Kính- Trường THCS Quế Xn 13 S¸ng kiÕn kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp giải phơng trình vô tỷ + Tìm mối quan hệ x +2 vµ x3 +1 x2 +2 =(x2-x+1)+(x+1) + Từ ta đặt ẩn phụ: a = x + 1; b = x − x + tìm mối quan hệ a, b từ tìm x Giải: ĐK : x 2( x + 1) = ( x + 1)( x x + 1) Đặt a = x + 1; b = x − x + Ta có: a2=x+1 ; b2= x2-x+1 ; x2+2=a2+b2 Phơng trình ®· cho trë thµnh: 2(a + b ) = 5ab a = 2b ⇔ (2a − b)(a − 2b) = ⇔  b = 2a * Víi a= 2b ta cã: x +1 = x2 − x +1 ⇔ x − 5x − =  + 37  x1 = ⇒ ( Thoả mÃn điều kiện) 37 x2 =  + Víi b=2a Ta cã: x − x + = x + Từ giải tìm x ( dạng việc tìm mối quan hệ biểu thức hai vế quan trọng Vì trớc giải phải quan sát nhận xét để tìm phơng pháp giải phù hợp) VD5:Giải phơng trình: 2(3 x + 5) x + = 3x + x + 30 ( Đề thi vào Phan Bội Châu 2004-2005) HD : HÃy biểu diễn để thấy mèi quan hƯ c¸c biĨu thøc: Giáo viên: Đồn Kính- Trng THCS Qu Xuõn 14 Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp giải [ 3( x + 3) + 1] phơng trình vô tỷ x + = 3( x + 9) + x + 2 Đặt: x + = a; x + = b ; Ta cã PT: (3a + 1)b = a + 3b ⇔ (3b − 1)(b − a) =  b = a  x +9 =  Gi¶i ra:  ⇔  ; Gi¶i ra: x=0 b= 2 x + = x + VD5: Giải phơng trình: x + 16 = 2( x + 8); ( Đề thi vào Phan Bội Châu 2005) HD: Biến đổi 2( x + 2)( x − x + 4) = 2( x + 8) Mèi liªn hÖ: x + = ( x − x + 4) + (2 x + 4) ; §Ỉt: 2( x + 2) = a; x − x + = b Ta có phơng trình: 5ab = 2(a + b ) ⇔ (2a b)(a 2b) = Từ tìm a,b, tìm đợc x BT Tơng tự: Giải phơng trình a) 2( x − 3x + 2) = x + b) x + + x + = 3x + x + x + − 16 Híng dÉn:NhËn xÐt: (2 x + 3)( x + 1) = x + x + Đặt : u = x + ≥ 0; v = x + ≥ ⇒ u + v = 3x + ⇒ 3x = u + v Nên ta có phơng trình: u + v = u + v − 20 + 2uv ⇔ (u + v) − (u + v) 20 = Đặt: u+v=t Ta có phơng trình: t2-t-20=0 t = Giải ra: Do đó: t = −4(loai ) 2x + + x + = Đến dùng phơng pháp để giải: x=3 C) Đặt nhiều ẩn phụ: Giỏo viờn: on Kính- Trường THCS Quế Xn 15 S¸ng kiÕn kinh nghiƯm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp giải phơng trình vô tỷ VD1: Giải phơng trình: x − + x − 3x − = x + x + + x x + Nhận xét: + Phơng trình nhìn phức tạp , nghĩ đến phơng pháp bình phơng vế đa phơng trình phức tạp + Việc đặt điều kiện để thức có nghĩa phức tạp , nên ta giải phơng trình tìm x thử lại + Quan sát nhận xét biểu thức : (2 x 1) ( x − x − 2) = ( x + x + 3) − ( x x + 2) Nên nghĩ đến phơng pháp đặt ẩn phụ : Giải: Đặt x − = u; x − 3x − = v; x + x + = z; x − x + = t u + v = z + t Ta cã hÖ :  u − v = z − t 2 2 Tõ ®ã suy ra: u = t ⇒ x − = x + x + Giải : x=-2 Thay vào thoả mÃn phơng trình đà cho , Vậy phơng trình có nghiệm x=-2 ( Phơng pháp thấy hay độc đáo , từ GV đặt nhiều đề toán đẹp) Bài tập tơng tự: Giải phơng tr×nh 2006 x − 2005 + 2005 x − x − 2004 = 2006 x + x − 2003 + 2005 x + x − 2002 Phơng pháp 4: Đa dạng : A2 + B2 = A.B=0 phơng pháp ta sư dơng A2 + B2 = A = B = ; A.B =0 Khi A=0 hc B=0 Ví dụ: Giải phơng trình: x + 4x + = 2x + NhËn xÐt: + Sö dụng phơng pháp 1, 2, khó giải + Biến đổi đa dạng A2 + B2 = Giải:Điều kiện: x Giỏo viờn: Đồn Kính- Trường THCS Quế Xn 16 S¸ng kiÕn kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp giải phơng trình vô tỷ x + 4x + 2x + = ⇔ ( x − x + 1) + (2 x + − 2 x + + 1) = ⇔ ( x + 1) + ( x + − 1) = x + =   2x + −1 = Giải x=-1 Ví dụ 2: Giải phơng trình: 2x + 2x + = 4x + Nhận xét: + phơng trình ta ®Ỉt Èn phơ y = x2 + x tõ ®ã đa hệ phơng trình đối y = x2 + x  xøng:  x = y + y  x = y Tõ ®ã suy ra:  råi giải tìm x x = y + Ta nhân vế phơng trình với đa dạng: x + ( x + − 1) = giải x=0 ( cách giải đơn giản hơn) Bài tập tơng tự: a) Giải phơng trình x − x + 26 = x + VD: Giải phơng trình: b) x+ y + z +4 = x−2 +4 y −3 +6 z −5 x + x + − − x = −3 ( §Ị thi häc sinh giái hun 2005) HD: Tìm mối quan hệ biểu thức: x + = 4( x + 1) − (1 − x) ; PT trë thµnh: (2 x + 1) − ( − x ) + x + + − x = ⇔ (2 x + 1) − − x + = ⇔ ( x + 1) (5 x + − 1) = Gi¶i ra: x=-24/25 ( TMĐK) Ngoài ta đặt: x + = a; − x = b ; ta cã hª: a + b = ; Tõ giải tìm a;b tìm đợc x 2  2a − b + 4a − b =  Giáo viên: Đồn Kính- Trường THCS Quế Xuõn 17 Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp giải phơng trình vô tỷ Bài tập tơng tự : Giải phơng trình x + − 3x − = x+3 HD: NhËn xÐt x + = ( x + 1) − ( 3x − ) Tõ ®ã biến đổi đa dạng :A.B =0 Phơng pháp 5: Dùng bất đẳng thức Sử dụng điều kiện xảy dấu = bất đẳng thức không chặt VD1: Giải phơng trình: Giải: ĐK: x > a=b x 4x − 4x − =2 x + (`11) a b ;Sử dụng bất đẳng thức: + ≥ b a Ta cã: x 4x − + víi a, b > dÊu “=” x¶y 4x − ≥2 x Do ®ã (11) ⇔ x = x − Gi¶i ra: x = thoả mÃn điều kiện Vậy (11) có hai nghiệm x = VD2: Giải phơng tr×nh: 3x + x + + x + 10 x + 14 = − x x (12) Nhận xét:+ở phơng trình ta không nên bình phơng hai vế + Xét biểu thức 3x2+6x+7 = 3(x+1)2 +4; 5x2+10x + 14 = 5(x+1)2 + 9; 4-2x-x2=-(x+1)2+5 từ có lời giải: Giải: VT: 3x + x + + x + 10 x + 14 = − x − x ≥ + = VP: − x − x = − ( x + 1) ≤ VËy vÕ ®Ịu b»ng 5, ®ã x + = ⇒ x = −1 KÕt luËn pt (12) cã mét nghiÖm x=-1 BT tơng tự: Giải phơng trình a) 3x + x + + x + 10 x + 14 = − x − x Giáo viên: Đồn Kính- Trường THCS Quế Xn 18 Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp giải phơng trình vô tỷ b) x x + 15 = x − x + 18 x − x + 11 VD3: Giải phơng trình: x + x = x − 10 x + 27 NhËn xét: Nếu bình phơng vế đa phơng trình bậc 4, khó giải Hớng dẫn : Sử dụng BĐT so sánh vế Giải: ĐK: x ≤ Ta thÊy: x − 10 x + 27 = ( x − 5) + ≥ Mặt khác áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có (1 x − + − x ) ≤ (1 2 ) + 12 ( x − + − x ) = 2.2 = ⇒ x−4 + 6− x ≤ VËy ta suy ra: x2-10x+27=2 x−4 + 6− x = (1) (2) Gi¶i (1) ta đợc x=5 thay vào (2) ta thấy vế Vậy phơng trình có nghiệm x=5 BT tơng tự : Giải phơng trình a) b) x2 + 1+ x + 1− x = x2 + Đa dạng: ( (HD: áp dụng BĐT cô si) 1 = 4−x+  x x  )  1 − x + x +  + = áp dụng BĐT Bunhiacopxki x x Tổng quát cách giải: + Biến đổi pt dạng f(x)=g(x) mà f ( x) ≥ a; g ( x) ≤ a víi a số Nghiệm pt giá trị x thoả mÃn đồng thời f(x)=a g(x) = a Giáo viên: Đồn Kính- Trường THCS Quế Xn 19 Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp giải phơng trình vô tỷ + Biến đổi pt dạng h(x) =m ( m số) mà ta có h(x) m h(x) m nghiệm pt giá trị x làm cho dấu đẳng thức xảy + áp dụng BĐT Côsi Bunhiacôpxki Phơng pháp 6: Đoán nghiệm, chøng minh nghiƯm nhÊt VÝ dơ: Gi¶i pt: − x − 3x − = Nhận xét: Nếu sử dụng phơng pháp khó giải đợc nên suy nghĩ để tìm cách giải khác Hớng dẫn: + Thử nhẩm tìm nghiệm pt + Chøng minh nghiƯm nhÊt Gi¶i: NhËn thÊy x = lµ mét nghiiƯm cđa pt + XÐt  − x6 < 5 − x <   x > th×  ⇒ ⇒ − x − 3x − < 3 x − >  x − >   nên pt vô nghiệm x > x < ta cã:  ⇒ − x − 3 x − > nên pt vô nghiệm + xét x − <  VËy pt cã nghiÖm x=-1 x=1 Ví dụ 2: Giải phơng trình: x −1 + x + = −x3 + Giải: Nhận thấy x=0 nghiệm phơng tr×nh +NÕu x Vậy VP 1 nên phơng trình vô nghiệm + Nếu x>0 VP1 nên phơnhg trình vô nghiệm Vậy x=0 nghiệm phơng trình BT tơng tự: Giải phơng trình x + 28 + 23 x + 23 + x − + x = + Giáo viên: Đồn Kính- Trường THCS Quế Xn 20 S¸ng kiÕn kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp giải Hớng dẫn: TXĐ: x phơng trình vô tû NhËn thÊy x=2 lµ nghiƯm Chøng tá: ≤ x2 phơng trình vô nghiệm (ở phơng trình phức tạp mà việc sử dụng phơng pháp đến phơng pháp không giải đợc ta nghĩ đến phơng pháp 5) Bài học kinh nghiệm Trên đà trình bày cách nhận dạng phơng pháp giải phơng trình vô tỷ Trớc giải học sinh nhận xét thử biện pháp từ đễ đến khó để tìm phơng pháp phù hợp để giải Sau học sinh giải tập tơng tự dạng, tự đặt thêm số tập để khắc sâu thêm phơng pháp giải Tôi nghĩ với vấn đề , chuyên đề toán học dạy theo dạng , sâu dạng tìm hớng t ,hớng giải phát triển toán Sau tập tổng hợp để học sinh biệt phân dạngvà tìm cách giải thích hợp cho chắn học sinh nắm vững vấn đề Và tin toán học niềm say mê với tÊt c¶ häc sinh Víi kinh nghiƯm nho nhá nh xin đợc trao đổi đồng nghiệp.Tôi mong đợc góp ý chân thành đồng nghiệp thầy cô đà có nhiều kinh nghiệm giảng dạy Ngời thực ON KÍNH Giáo viên: Đồn Kính- Trường THCS Quế Xn 21 .. .Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp giải phơng trình vô tỷ II Giải pháp mới: A- Hệ thống hoá kiến thức liên quan bổ sung số kiến thức mở réng C¸c tÝnh... Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp giải phơng trình vô tỷ VD1: Giải phơng trình: x + x − 3x − = x + x + + x − x + Nhận xét: + Phơng trình nhìn phức tạp , nghĩ đến phơng pháp. .. Xn Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp giải phơng trình vô tỷ Phơng pháp 2: Phơng pháp đa phơng trình chứa ẩn dấu giá trị tuỵêt đối Phơng pháp là: Khi gặp phơng trình mà biểu