HỆ THỐNG KIẾN THỨC TOÁN 12 Nhắc lại số công hức đạo hàm bản: Bài ( u ± v) / = u / ± v / ( u.v ) / = u / v + u.v / ( C.v ) / = C.v / sát SƠ / 7.( x ) = / ( ) x α / VÀ THỊ SỐ u / v − v / u u   = v2 v − C.v / C   = v2 v 19 ( ) 10 x / ta coù y = y/ = a1 a2 nghiệm 3.Tính giới hạn: lim y = ad − bc (cx + d ) ( ) 12.( e ) / = x = a ln a x / 11 a x / = ex x 13.( log a x ) = x ln a / 14.( ln x ) = x / 15.( sin x ) = cos x / b1 a x +2 b2 a2 (a x = α x α −1 −1 1 9.  = x x (v ≠ 0) a1 x + b1 x + c1 y= a x + b2 x + c 20 / / / ax + b y= cx + d 6.( C ) = ta coù c1 b x+ c2 b2 + b2 x + c ) c1 c2 16.( cos x ) = − sin x / 17.( tan x ) = cos x −1 / 18.( cot x ) = sin x / (u ) α / toán 1: Khảo hàm số = α x α −1 u / / − v/ 1 =   v v / u/ u = u ĐỒ KHẢO SÁT VẼ ĐỒ HÀM ( ) (a ) (e ) u / = a u ln a.u / u / = e u u / ( log a u ) / ( ln u ) / = u/ u ln a u/ u = u / cos u = ( sin u ) / ( cos u ) / ( tan u ) / ( cot u ) / = −u / sin u u/ cos u − u/ = sin u = 1.Tìm tập xác định: D=… Tính đạo hàm: y’= cho y’=0 tìm lim y = với xo nghiệm mẫu 4.Tìm phương trình tiệm cận (nếu có) 5.Lập bảng biến thiên 6.Chỉ khoảng đồng biến,nghịch biến 7.Chỉ rõ điểm CỰC ĐẠI,CỰC TIỂU 8.Xét tính lồi lõm điểm uốn (Đối với hàm số bậc hàm trùng phương) Tính y’’ cho y’’=0 tìm nghiệm lập bảng xét dấu y’’ 9.Nhận xét đồ thị: • Chỉ rõ tâm đối xứng(trục đối xứng đồ thị) • Chỉ rõ giao điểm (C) với trục Oy Ox • Cho thêm điểm đặt biệt để vẽ 10 Vẽ đồ thị x →±∞ x → xo ± 1.Hàm số bậc : y = ax3 + bx2 + cx + d (a≠0) Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (violet.vn/phamdohai) Trang số a>0 ; coù CT a b>0 a>0,không CT a0 a< b b f/(x0) = ? • P.trình tiếp tuyến M là: y = f/(x0)(x− x0) + f(x0) Tiếp tuyến có hệ số góc k : Nếu : tiếp tuyến // đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = a tiếp tuyến ⊥ đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = − a • Giả sử M(x0; f(x0)) tiếp điểm => hệ số góc tiếp tuyến f/(x0) • Giải phương trình f/(x0) = k => x0 = ? −> f(x0) = ? • Phương trình tiếp tuyến y = k (x − x0) + f(x0) Chú ý : + Hai đường thẳng vuông góc : k1.k2 = −1 + Hai đường thẳng song song : k1 = k2 Bài toán 3: Biện luận số nghiệm phương trình đồ thị : Giả sử phải biện luận số nghiệm Pt : F(x; m) = • Biến đổi phương trình F(x; m) = dạng f(x) = g(x) Trong đồ thị hàm số y = f(x) vẽ y=g(x) đường thẳng song song với Ox Chú ý:Ở mức độ khó đồ thị y=g(x) // với đường thẳng cố định quay quanh điểm cố định) • Vẽ đồ thị:y = g(x) ; đồ thị (C): y =f(x) • Dựa vào đồ thị xét tương giao đồ thị (C) với đồ thị y = g(x) Bài toán 4: xét tính đơn điệu Phương pháp xác định khoảng tăng, giảm hàm số : + MXĐ: D= ? Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (violet.vn/phamdohai) Trang số + Đạo hàm : y/ = ? cho y/ = ( có ) xét dấu y/ + BXD (sắp nghiệm PT y/ = giá trị không xác định hàm số từ trái sang phải tăng dần) / * y > hàm số tăng ; y/ < hàm số giảm + Kết luận : hàm số đồng biến , nghịch biến khoảng Định lý (dùng để tìm giá trị m): a) f(x) tăng khoảng (a;b) f/(x) ≥ ∀ x ∈ (a;b) b) f(x) giaûm khoảng (a;b) f/(x) ≤ ∀ x ∈ (a;b) Bài tốn 5: Cực trị hàm số • Dấu hiệu I : + MXĐ D=? + Đạo hàm : y/ = ? cho y/ = ( có ) xét dấu y/ + BBT : (sắp nghiệm PT y/ = giá trị không xác định hàm số từ trái sang phải tăng dần) + Tính yCĐ ; yCT ; kết luận cực trị ? Chú ý: 1) Nếu hàm số tăng ( giảm)trên (a;b) khơng có cực trị (a;b) 2) Số cực trị hàm số số nghiệm đơn phương trình y/ =  / 3) x0 cực trị hàm số  y / ( x ) = y ( x ) đổi dấu qua x0 • Dấu hiệu II: + MXĐ + Đạo hàm : y/ = ? y// = ? cho y/ = ( có ) => x1 , x2 … + Tính y//(x1); y//(x2)…… Nếu y//(x0) > hàm số đạt CT x0 , yCT= ? Nếu y//(x0) < hàm số đạt CĐ x0 , yCĐ= ? • Tìm m để hàm số đạt cực trị xo:  f / ( x0 ) = + xo điểm cực trị  / /  f ( x0 ) ≠  f / ( x0 ) = + xo điểm cực đại  / /  f ( x0 ) >  f / ( x0 ) = + xo điểm cực tiểu  / /  f ( x0 ) < • Hàm số đạt cực trị y0 x0  f / ( x0 ) =  Hàm số đạt cực trị y0 x0  f ( x ) = y  f // ( x ) ≠ 0  Chuù ý : dấu hiệu II dùng cho h/s mà y/ khó xét dấu (như hàm lượng giác,mũ,logarit,luỹ thừa,… ) * Nếu y = f(x) đa thức đường thẳng qua điểm cực trị là: y = phần dư phép chia f(x) cho f/(x) Daïng 2: Cực trị hàm hữu tỉ : Cho h/s y = Và y/ = u u(x) ; v(x) đa thức có MXĐ: D v u′v − v′u v = g(x) v dấu y/ dấu cuûa g(x) Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (violet.vn/phamdohai) Trang số Nếu h/s đạt cực trị x0 y/(x0)= => g(x0) = u/v−v/u = => u′ v′ = u v Do giá trị cực trị y(x0) = u′(x ) v′(x ) Một số dạng tập cực trị thường gặp - a ≠ Để hàm số y = f ( x ) có cực trị ⇔ f ' ( x ) = có nghiêm ⇔  ∆ > - Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm phía tung ⇔ yCD yCT < - Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm phía trục tung ⇔ xCD xCT < -  yCD + yCT > Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm trục hoành ⇔   yCD yCT > -  yCD + yCT < Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm trục hoành ⇔   yCD yCT < - Để hàm số y = f ( x ) có cực trị tiếp xúc với trục hồnh ⇔ yCD yCT = Bài toán 6: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Phương pháp tìm GTLN GTNN h/s y = f(x) [a;b]: • xét hàm số y = f(x)=… [a;b] • Đạo hàm : y/ = ? cho y/ = ( có ) _ x1 , x2 … chọn nghiệm thuộc [a;b] • Tính f(x1) ; f(x2) ……… So sánh → KL f(a) ; f(b) • Kết luận: max y = [a;b] ? y = [a;b] ? P/pháp tìm GTLN GTNN h/s (a;b) MXĐ : • Miền xét (a;b) TXĐ • Đạo hàm : y/ = ? cho y/ = ( có ) xét dấu y/ • Lập BBT: • Từ BBT kết luận * Neáu toàn miền xét h/s có CT GTNN giá trị CT y = y ct [a;b] max y = yCĐ [a;b] * Nếu toàn miền xét h/s có CĐ GTLN giá trị CĐ * Nếu hàm số ln tăng (giảm) (a;b) khơng có cực trị khoảng (a;b) Chú ý : Khi gặp h/s không cho miền xét ta tìm TXĐ h/s : • TXĐ đoạn [a;b]hoặc khoảng ta dùng cách • TXĐ khoảng dùng cách • Đơi khi:Đặt ẩn phụ t=u(x) Biến tốn tìm GTLN,NN hàm số y = f(x) khoảng thành tốn tìm GTLN,NN hàm số y = g(t) đoạn khác Bài toán : Giao điểm hai đường cong ( đ.thẳng đường cong) Cho hai đồ thị (C1) : y = f(x) ; (C2) : y = g(x) Hoành độ giao điểm (C1) (C2) có nghiệm phương trình : f(x) = g(x) (1) Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (violet.vn/phamdohai) Trang số • pt(1) vô nghiệm (C1) (C2) điểm chung • pt(1) có n nghiệm (C1) (C2) có n điểm chung * Số nghiệm (1) số giao điểm hai đường cong f (x) = g(x) Điều kiện tiếp xúc : Đồ thị (C1) tiếp xúc (C2) hệ pt  có nghiệm f ′(x) = g′(x) Bài tốn 8: Ứng dụng tích phân :Tính diện tích hình phẳng thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng quay quanh trục Ox Oy  (C1 ) (C2 )  (C1 ) (C2 ) (H )  (H )  x = a , x = b (a < b) y = c, y = d (c < d ) b d S = ∫ y C1 − yC2 dx S = ∫ x C − xC2 dy a c b VOx =π∫ y d C1 −y C2 2 VOy =π∫ xC1 − xC2 dy dx a c Bài tốn 9: Tìm điểm cố định họ đường cong (Cm): y=f(x,m) • Biến đổi PT y=f(x,m) thành PT theo ẩn m • Toạ độ điểm cần tìm nghiệm hệ PT gồm tất hệ số • Giải hệ kết luận …………………… PHầN 2: HÀM Số MŨ VÀ LOGARIT Bài tốn 1:Dùng cơng thức tính biểu thức có chứa hàm số mũ logarit a−n = a n ; a0 = ; m n m an = a ( m; n nguyên dương , n > 1) • Các quy taéc: ax.ay = ax+y (a.b)x =ax.bx a a x y =a x −y x a   ÷ b  = a b x x ( ax ) y ( y) = a x =a x.y • Hàm số mũ : y = a x với a > ; a ≠ TXĐ : D = R MGT : (0; +∞ ) + a > ; h/s đồng biến : x1 > x2 ⇔ a x1 > a x2 + < a < ; h/s nghịch biến : x1 > x2 ⇔ a x1 < a x2 * Hàm số logarit: α = logaN ⇔ aα = N logax = b ⇔ x= ab • Đặc biệt : a loga x = x ; log a a x = x ; loga1 = • Các qui tắc biến đổi : với a , B , C > ; a ≠ ta coù: log a (B.C) = log a B + log a C β B log a  ÷ = log a B − log a C log aα Bβ = log a B α C • Công thức đổi số : với a , b , c > ; a , c ≠ ta coù : log c a.log a b = log c b ⇔ log a b = log c b log c a < a, b ≠ : log a b = log b a Chú ý : log10x = lg x ; log e x = ln x • Hàm số Logarit: y = log a x với a > ; a ≠ TXĐ : D = (0 ; +∞ ) MGT : R + a > ; h/s đồng biến : x1 > x2 > ⇔ log a x1 > log a x2 + < a < 1;h/s ngh bieán: x1 > x2 > ⇔ log a x1 ( eu)/ = u/.eu −> ( au)/ = u/.au.lna (ex) / = ex ( ax) / = ax.lna (lnx) / = x ∈(0;+∞) x (logax) / = −> (lnu)/ = −> (logau )/ = x ln a u′ u u′ u ln a Bài toán 3: Giải phương trình mũ: (a x = b a x = a log ab x=log a b) a x = b x=log a b Cách Sử dụng định nghĩa Cách Sử dụng pp đưa số a f (x) =a g(x) Cách Sử dụng pp đưa số đặt ẩn phụ α a 2f (x) +β a f (x) + γ = ; Đặt : t = a f (x) = g(x)  0 < a ≠ f (x) Ñk t > f (x) Ñk t > α a b + f (x) +β a b−f (x) + γ = ; Đặt : t = a α a f (x) +β bf (x) + γ = a.b = 1; Đặt: t = a α a 2f (x) +β ( a.b ) f (x) + γ b 2f (x) = ; f (x) ; = b f (x) t f (x) a Đặt t =  ÷ b Bài tốn 4: Giải phương trình logarit : Cách Sử dụng định nghĩa f(x) >  log a f(x)=b 0 < a ≠ f(x)=a b  Cách Sử dụng pp đưa số log a f(x) = f (x) > (hay  log a g(x) 0 < a ≠ f (x) = g(x)  g(x) > 0) Bài tốn 5: Giải bất phương trình mũ logarit Về phương trình mũ logarit có cách gải bất phương trình mũ logarit có cách giải Tuy nhiên,ta cần ý dạng sau: • Bất phương trình mũ dạng: TH1 : < u(x) u(x) ; TQuat : f (x) u(x) f (x) ≥ u(x) g(x) ≥ u(x) g(x) f (x) ≥ g(x) 0 < u(x) ≠1   [ u(x) -1][f (x) −g(x)]≥0  • Bất phương trình logarit dạng: log f(x) ≥ log g(x) a a TH1 : < u(x) log u(x) f(x) ≥ log u(x) g(x) f (x) ≥ g(x) TQuat : ; log u(x) f(x) ≥ log u(x) g(x) 0 < u(x) ≠1  f(x) >0  g(x) >0 [ u(x) -1][f (x) −g(x)]≥0  Lưu ý: *) trường hợp có ẩn số nên sử dụng cơng thức sau để toán trở nên dễ dàng a f (x) > a g(x)  (a−1)(f(x) − g(x)) > Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (violet.vn/phamdohai) Trang số log a f(x) > log a g(x)  (a−1)(f(x) − g(x)) > *) Khi giải tốn bất phương trình mũ logarit phải nắm thật vững tính chất đơn điệu hai hàm số *) Nắm vững phép lấy hợp, lấy giao hai hay nhiều tập hợp số Bài toán 5: Giải hệ phương trình mũ logarit (Khơng có ban cô bản) Thông thường giải PP PHầN 3: NGUN HÀM Bài tốn 1:Tìm ngun hàm bản(dựa vào bảng nguyên hàm hàm số bản) ∫ dx = x + C x α ∫ x dx = ∫ dx α+1 ∫ (ax + b) dx = + C (α ≠-1 ) α +1 ∫ = lnx + C ( x≠ 0) x x ∫ e dx = x ∫ a dx a ∫ Cosx.dx ∫ Sinx.dx dx x ln a +C = ax + b ∫e ex + C = (ax + b) α ∫a ax + b αx +β a( α + 1) a dx = + C (α ≠-1) lnax+ b + C a dx = α+1 eax+b + C a α αx + b ln a +C = Sinx + C = − Cos x + C ∫ Cos(ax + b).dx = ∫ Sin(ax + b).dx = − Cos(ax+ b) + C ∫ dx Cos x = ∫ (tan x + 1).dx = tanx + C ∫ dx Sin x = ∫ (Cot x + 1).dx = −Cotx + C ∫ ∫ dx Cos (ax + b) dx Sin (ax + b) Sin(ax+ b) + C a a = tan(ax+ b) + C a = − Cot(ax+ b) + C a Bài tốn 2: Tìm ngun hàm phương pháp đổi biến số Dạng 1: Tính I = ∫ f [u(x)].u '(x)dx cách đặt t = u(x) • Đặt t = u(x) ⇒ dt = u '(x)dx • I = ∫ f [u(x)].u '(x)dx = ∫ f (t)dt Dạng 2: Tính I = ∫ f (x)dx Nếu khơng tính theo dạng tích phân có chứa số hàm biểu thức sau đổi biến sau: 2 a −x a2 + x2 ; ; 2 a −x + x2 a đặt x = atant CHÚ Ý: u ( x) / ∫ f (e ).u ( x)dx ∫ f (ln x) x dx ∫ f ( ax + b ).dx ∫ f (sin x, cos x )dx n đặt x = asint Đặt t = u (x) Đặt t = ln(x) Đặt t = n ax + b • Nếu f hàm lẻ cosx : đặt t = sinx • Nếu f hàm lẻ sinx : đặt t = cosx • Nếu f hàm chẵn sinx, cosx dùng công thức hạ bậc: + cos x − cos x cos x = , sin x = 2 Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (violet.vn/phamdohai) Trang số • Nếu f chứa sinx cosx đặt t = tan x ∫ f( ∫ f ( a − x ).dx Đặt x = a sin t a + x ).dx Đặt x = a tan t ∫ f( x − a ).dx Đặt x= ∫ f( Đặt t = x + x2 ± a2 ).dx x2 ± a2 a cos t Bài tốn 3: Tìm nguyên hàm phương pháp phần: Nếu u(x) , v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục I ∫ u(x).v'(x)dx = u(x).v(x) − ∫ v(x).u '(x)dx Hay ∫ udv = uv − ∫ vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx) phân tích hàm số dễ phát hiện u dv sin ax  ∫ f ( x ) cosax dx với f(x) đa thức: @ Dạng  ax  e  u = f ( x ) du = f '( x ) dx     sin ax  sin ax  ⇒ Đặt Sau thay vào cơng thức ∫ udv = uv − ∫ vdu để tính  cos ax  dx   dv =  v = ∫ cosax  dx ax  ax   e  e     a.dx u = ln( ax + b ) du = ⇒ ∫ f ( x ) ln( ax + b )dx @ Dạng 2: Đặt  ax + b dv = f ( x ) dx v = ∫ f ( x ) dx  Sau thay vào cơng thức ∫ udv = uv − ∫ vdu để tính ax sin ax  @ Dạng 3: ∫ e  Ta thực phần hai lần với u = eax dx cosax   b b PHầN 4: TÍCH PHÂN ∫a f ( x).dx = F ( x) = F (b) − F (a) a Bài tốn 1: Tính tích phân cách sử dụng tính chất nguyên hàm Bài tốn 2: Tính tích phân phương pháp đổi biến số b / ∫ f [u(x)]u dx cách a Đặt t = u(x) ⇒ dt = u '(x)dx Dạng 1: Tính I = • • • đặt t = u(x) Đổi cận x=a => t = u(a) x=b => t = u(b) I= Dạng 2: Tính I = b / ∫ f [u(x)]u dx a β ∫ f (x)dx α u(b) = ∫ f (t)dt u(a) Nếu khơng tính theo dạng tích phân có chứa số hàm biểu thức sau đổi biến sau: 2 a −x a2 + x2 ; ; 2 a −x + x2 a đặt x = asint đặt x = atant Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (violet.vn/phamdohai) Trang số Bài toán 3: Tìm nguyên hàm phương pháp phần: Nếu u = u(x) , v = v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục [a;b] I = b b b ∫ udv = u.v a − ∫ vdu a a phân tích hàm số dễ phát hiện u dv @ Dạng β ∫ α sin ax  f ( x ) cosax dx với f(x) đa thức:  ax  e  Sau thay vào cơng thức @ Dạng 2: ∫ udv = uv − ∫ vdu để tính  u = ln( ax + b ) du = ⇒ Đặt  dv = f ( x ) dx v = ∫  β ∫ f ( x ) ln( ax + b )dx α Sau thay vào cơng thức Đặt u = f ( x ) du = f '( x ) dx     sin ax  sin ax  ⇒      dv = cos ax  dx v = ∫ cosax  dx ax ax   e  e    ∫ udv = uv − ∫ vdu a.dx ax + b f ( x ) dx để tính PHầN 5: DIệN TÍCH HÌNH PHẳNG − THể TÍCH VậT THể TRỊN XOAY Bài tốn 1: Tính diện tích hình phẳng y • Hình phẳng giới hạn : hàm số y = f (x) liên tục [a;b]  Diện trục hoành y = 0; x = a; x = b tích : S = b ∫ | f (x) | dx a b a Chú ý : thiếu cận a, b giải pt : f(x) = hàm số x = f (y) liên tục [a; b] Dieän x = 0;y = a; y = b  • Hình phẳng giới hạn : trục hoành tích : S = • Hình phẳng giới hạn :  hàm số y = f (x) liên tục [a; b]   hàm số y = g(x) liên tục [a; b] x = a; x = b  x b ∫ | f (y) | dy a y Diện tích : S = b ∫ | f (x) − g(x) | dx a y=f(x ) y=g( x) x b a Chú ý : 1) Nếu thiếu cận a, b giaûi pt : f(x) = g(x) 2) Nếu tốn qua phức tạp ta vẽ hình để xác định hình phẳng tính thơng qua tổng hiệu nhiều hình • Hình phẳng giới hạn :  hàm số x = f (y) liên tục [a; b]   hàm số x = g(y) liên tục [a; b] Diện  y = a;y = b  tích : S = b ∫ | f (y) − g(y) | dy a Bài tốn 2:Tính thể tích vật thể trịn xoay : * Thể tích hình tròn xoay hình phẳng giới hạn đường :  hàm số y = f (x) liên tục [a; b]  quay trục hoành y = 0; x = a; x = b quanh trục Ox f(x) ≥ [a;b] V = b π ∫ f (x) dx   a PHầN 6: Số PHứC Bài tốn 1: Tìm số phức, tính mơđun,số phức liên hợp,biểu diễn số phức,… Cho hai số phức a+bi c+di 1) a+bi = c+di  a = c b = d 2) môđun số phức z = a + bi = a + b 3) số phức liên hợp z = a+bi z = a − bi * z+ z = 2a; z z = z = a + b2 4) (a+bi ) +( c+di) = (a+c)+(b+d)i 5) (a+bi ) −( c+di) = (a−c)+(b−d)i 6) ) (a+bi )( c+di) = (ac − bd)+(ad+bc)i Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (violet.vn/phamdohai) Trang số c + di = [(ac+bd)+(ad-bc)i] + b2 a + bi a 7) z = (để thực phép chia:ta nhân tử mẫu cho số phức liên hợp số phức mẫu) Bài tốn 2: Giải phương trình bậc Cho phương trình ax2 + bx + c = với ∆ = b2 − 4ac Nếu ∆ = phương trình có nghiệp kép b x1 = x = − 2a Nếu ∆ > phương trình có hai nghiệm: x= Nếu ∆ < phương trình có hai nghiệm: x= −b ± ∆ 2a −b ± i ∆ 2a Phần 1: Thể tích, diện tích khối hình • Tính diện tích mặt (là tam giác,tứ giác,hình trịn, ) • Tính thể tích khối chóp • • • Tính thể tích khối hộp chữ nhật Tính thể tích khối lăng trụ: Khối cầu: o Xác định tâm bán kính mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp  Dựng trục d đa giác đáy  Trong mp chứa cạnh bên trục d,ta dựng đường trung trực d’ (hoặc mp trung trực) cạnh bên  Khi đó:gọi I = d ∩ d ' Suy I tâm mc(S) ngoại tiếp hình chóp  Tính bán kính r (là khoảng cách từ I đến đỉnh hình chóp) o Tính diện tích mặt cầu S = 4πr2 V = πr3 thể tích khối cầu o • V = Bh ; V= a.b.c V= Bh Khối trụ: o Tính diện tích xung quanh hình trụ Sxq = 2πrl; o diện tích tồn phần hình trụ Stp = 2πr(r + l) o thể tích khối trụ V = πr2h Khối nón: o Tính diện tích xung quanh hình nón Sxq = πrl; o diện tích tồn phần hình nón Stp = πr(r + l) • Phần 2: Phương pháp tọa độ không gian → a = (x;y;z) Tính chất : Tích Cho → a ⇔ → a = → → → i + y j + z k → a3) , b = (b1;b2; b3) x = (a1;a2; → → • a ± b =(a1 ± b1; a2 ± b2; a3 ± b3) → • k a = (ka1;ka2;ka3) k∈R →→ → → vô hướng : a b = a1.b1 + a2.b2 +a3.b3= a . b Cos a1b1 + a 2b + a 3b3 Cos ϕ = → a cuøng → → a ⊥ b 2 2 2 a1 + a + a b1 + b + b3 ⇔ a1.b1 + a2.b2 + a3.b3 = → → → → → → → → phương b ; a ≠ ⇔ b = k a ⇔ [ a , b ] = Toạ độ điểm: → → → → M = (x;y;z) ⇔ OM = (x;y;z) ⇔ OM = x i + y j + z → AB = ϕ → k ( xB− xA ; yB−yA;zB −zA) Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (violet.vn/phamdohai) 10 Trang số • M chia đoạn AB theo tỉ số k≠1 ( • M trung điểm AB → MA → = k MB ) xA + x  B x M =   y +y  A B I:  y M =   z +z B z = A M   • G trọng tâm tam giác ABC   x G = (x A + x B + x C )   G:  y G = (y A + y B + y C )   z G = (z A + z B + z C )  • Tíchrcó hướng véctơ : Cho a = (a1 ; a2 ; a3 ); → → r Khi [ a , b ] = b = (b1 ; b2 ; b3 ) *[ → → a , b ] ⊥ → a ;[ → → a , b ] ⊥ Thì M có toạ độ : x − k.x  B x M = A 1− k   y − k.y  A B y M = 1− k   z − k.z B z = A 1− k  M  → b  a a a a a a  ; ;  b b b b1 b1 b  → → → a , b , c • Đk đồng phẳng véctơ :  ÷ ÷  → → → a , b ] c = → → → ba véc tơ AB , AC , AD đồng phẳng ⇔ [ • ĐK để điểm A,B,C,D không đồng phẳng ( tạo thành tứ diện ) là: → → → [ AB , AC ] AD ≠ khoâng đồng phẳng • ĐK để điểm A,B,C,D không đồng phẳng ( khơng tạo thành tứ diện ) laø: A ∉ mp ( BCD ) → → • Diện tích tam giác ABC : SABC = [ AB , AC ] • Thể tích tứ diện ABCD : VABCD = → → → [ AB , AC ] AD  → → → • Thể tích hình hộp : VABCD.A'B'C 'D' = [ AB , AD ] AA′  Phần 3: Mặt cầu (S) Bài tốn 1: xác định tâm bán kính mặt cầu Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) ; bk R laø : (x −a)2 + (y − b)2+ (z−c )2 = R2 Phương trình tổng quát mặt cầu ( S): x2 + y2+ z2+ 2.Ax+ 2.By + 2.Cz + D = với A2 + B2 + C2−D > có tâm I(−A ;−B;−C) ; bán kính R = A + B2 + C2 − D Bài toán 2: Viết phương trình mặt cầu • Pt.mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) qua M1(x1;y1;z1) + Bán kính R = IM1 = (x1 − a) + (y1 − b) + (z1 − c) • Pt.mặt cầu (S) đường kính AB : + Tâm I trung ñieåm AB => I( xA + xB ; yA − yB ; zA − z B ) + Bán kính R = IA • Pt mặt cầu (S) qua bốn điểm A,B,C,D: p/ pháp : Pt tổng quát mặt cầu (S) Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (violet.vn/phamdohai) 11 Trang số x2 + y2+ z2+ 2.Ax+ 2.By + 2Cz + D = (1) Thay toạ độ điểm vào (1) => giải hệ tìm hệ số A;B;C;D • Pt.mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) tiếp xúc mặt phẳng (α) bán kính R = d(I; (α)) Bài tốn 3: Xác định vị trí tương đối mặt cầu đường thẳng x - x o y - yo z - z o = = ; mc(S): (x −a)2 + (y−b)2 +(z−c)2 = R2 a b c Tính d(I; (d)) = ? Nếu:• d(I; d ) > R (d) (S) điểm chung ( rời nhau) • d(I; α ) = R (d) tiếp xúc với (S) ( d tiếp tuyến) (d) ∩ (S) ={M0} ; • d(I; α ) < R (d) cắt mặt cầu (S) điểm phân biệt A B (Chú ý:AB vng góc với đt qua tâm I trung điểm nó) Cho (d) : Bài tốn 4: Xác định vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng Cho (α) : A x + B y + Cz +D = ; (S): (x −a)2 + (y−b)2 +(z−c)2 = R2 Tính d(I; (α)) = ? Nếu:• d(I; α ) > R (α) (S) điểm chung ( rời nhau) • d(I; α ) = R (α) tiếp xúc với (S) ( α mp tiếp diện) (α) ∩ (S) ={M0} ; Cách viết mặt phẳng tiếp diện : (α) qua M0 nhận → IM0 làm VTPT • d(I; α ) < R α cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C) có tâm H; bán kính r * P.t đ.tròn(C ) A x + B y + Cz +D = (x −a)2 + (y−b)2 + (z−c)2= R2 + Tâm H hình chiếu I lên mp (α) + bán kính r = R − [d(I ; α )]2 Cách xác định Hình chiếu H tâm I lên mp(α) : → + Lập pt đ.thẳng (d) qua I nhận nα làmVTCP Giả sử (d)  x = a + At   y = b + Bt z = c + Ct  + Toạ độ điểm H nghiệm hệ PT (gồm pt mp(α) pt đ.thẳng (d)) + Giải hệ tìm t=>x;y;z Suy toạ độ điểm H Bài toán 4: Cách viết mặt phẳng tiếp diện điểm M0: +) Xác định tâm bán kính mặt cầu (S) → +) Tính IM0 +) Mặt phẳng tiếp diện (α) qua M0 nhận → IM0 làm VTPT Phần 4: Mặt phẳng, đường thẳng Bài toán 1: Cáchviết phương trình mặt phẳng: Cách 1:Viết dạng bản: r Biết (P) qua Mo(xo;yo;zo) có VTPT n = ( A, B, C ) có PTTQ A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-zo)=0 CHÚ Ý: uu ur uu ur * (ABC): +) tính AB = ? ; AC = ? r uu uu ur ur +) VTPT (ABC) n = [AB, AC] r => viết mặt phẳng qua A có VTPT n r ur u u u ur * mp(a,b) : a//b VTPT n = [u a ,AB] với A∈ a; B ∈ b r ur ur u u Nếu a cắt b n = [u a ,u b ] Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (violet.vn/phamdohai) 12 Trang số *(A;a) VTPT r ur u u u ur n = [u a ,AB] * (α) //(β) VTPT * (α) ⊥a VTPT với B∈ a u r ur u u n α = nβ u r ur u u nα = ua * (α) có hai vectơ phương r r a, b ur r r u n α = [a, b] *(α) qua điểm A B đồng thời chứa đ.thẳng a // a có VTCP *(α) vng góc hai mặt phẳng (P) (Q) VTPT u r ur u u u u ur r a n α = [u a , AB] ( thay ur r u ua = a ) u r ur u u u u u r n α = [n P , n Q ] * Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB +) Xác định trung điểm M đoạn thẳng AB uu ur +) Tính vectơ AB uu ur Mặt phẳng trung trực qua M có VTPT AB * (α) song song đường thẳng vng góc với mặt phẳng u r ur ur u u u n α = [n β , u a ] * (α) chứa đ.thẳng (D) ⊥(β) +) chọn M đ.thẳng (D) ur u r uu u u u r +) VTPT (α) n α = [u D , nβ ] * Viết PT mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) song song với (d/) +) chọn M đ.thẳng (d) u u ur ur ur u u +) VTPT (α) n P = [u d ,u d / ] ur ur u u u u ur Viết PT mp(P) qua M có VTPT n P = [u d ,u d / ] Bài toán viết phương trình đường thẳng.(PTTS PTCT)  x = x o + a.t r  Biết (d) qua Mo(xo;yo;zo) có VTCP u = ( a, b, c ) có PTTS  y = y o + b.t  z = z + c.t o  r x - x o y - yo z - zo = = Biết (d) qua Mo(xo;yo;zo) có VTCP u = ( a, b, c ) có PTCT a b c CHÚ Ý: *∆ qua điểm A có VTCP r u * ∆ qua điểm A B => ∆ qua A có VTCP *∆ qua A // (D) => ∆ qua A có VTCP uu ur AB uu u r uD *∆ qua A ⊥(α) ∆ qua A có VTCP ur u nα * ∆ giao tuyến hai mặtu phẳng (α) (β) r u r ur u +) VCTP ∆ u = [n α , nβ ] +) Cho ẩn giải hệu2 ẩn u r ur điểm M? lại tìm r u ur r r u u u u = [n α , n β ] u = [n α , n β ] => ∆ qua M có VTCP Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (violet.vn/phamdohai) 13 Trang số * ∆ hình chiếu đ.thẳng (d) lên mp (β) o Viết phương trình mp(P) chứa (d) vng góc mp(β) ur ur ur u u u (chọn M đ.thẳng (d),VTPT (α) n P = [u d , n β ] ) o Đường thẳng ∆ cần tìm giao tuyến mp (P) mp(β) Viết PT ∆ dạng tham số tắc (choumộtuẩnu = giải hệ gồm ẩn y z PT hai x u r u ur r mặt phẳng (P) (β)=> M? => ∆ qua M có VTCP u ∆ = [n P , nβ ] ) * Cách viết phương trình đường cao AH ∆ABC r uu uu ur ur +) Tìm tọa độ VTPT mp(ABC) n = [BC, AC] = ? r uu r ur +) Tìm tọa độ VTCP đường cao AH là: u = [BC, n] = ? r uu r ur => Viết PT đường cao AH qua A có VTCP u = [BC, n] * Cách viết phương trình đường trung trực củaucạnh BC ∆ABC r u r uu u ur +) Tìm tọa độ VTPT mp(ABC) n = [BC, AC] = ? r uu r ur +) Tìm tọa độ VTCP trung trực là: u = [BC, n] = ? +) Tìm tọa độ điểm M trung điểm đoạn thẳng BC  Đường trung trực cạnh BC ∆ABC đường thẳng qua M có VTCP r uu r ur u = [BC, n] Bài tốn 3: tìm hình chiếu điểm lên mặt phẳng đ.thẳng * Tìm hình chiếu H M lên (α) +) Viết PT đ.thẳng (D) qua M có VTCP +) giải hệ gồm ur u nα PTmp(α)  PT(D) +) Hình chiếu H giao điểm (α) (D) nghiệm hệ * Tìm hình chiếu H M lên đường thẳng (D) uu u r +) Viết PT mặt phẳng (P) qua M có VTPT u D +) giải hệ gồm PTmp(α)  PT(D) +) Hình chiếu H giao điểm (α) (D) nghiệm hệ Bài tốn 4: Tìm tọa độ điểm A/ đối xứng với điểm A qua đt mp * Đối xứng qua mp(α) +) Viết PT đ.thẳng (D) qua M có VTCP +) giải hệ gồm ur u nα PTmp(α)  PT(D) +) Hình chiếu H giao điểm (α) (D) nghiệm hệ +) Tọa độ điểm đối xứng A/ :  x = 2x − x H  A/   y = 2y H − y / A  z = 2z H − z / A  * Đối xứng quađường thẳng (D) +) Viết PT mặt phẳng (P) qua M có VTPT +) giải hệ gồm uu u r uD PTmp(α)  PT(D) +) Hình chiếu H giao điểm (α) (D) nghiệm hệ +) Tọa độ điểm đối xứng A/ :  x = 2x − x H  A/   y = 2y H − y / A  z = 2z H − z / A  Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (violet.vn/phamdohai) 14 Trang số Bài toán 5: Xác định vị trí tương đối mp mp, đt đt, đt mp * Vị trí tương đối mp (P) mp(Q) (P) : Ax + By + Cz + D = ; (Q) : A/x + B/y + C/z + D/ = → → với n =(A;B;C) vaø n′ =(A/; B/ ; C/ ) A A/ (P) ≡ (Q) (P) // (Q) A A/ B B/ = A C C C/ = A/ ≠ B B/ ≠ D D/ D D/ B C C A ≠ / ∨ /≠ / B/ C C A → → ⊥ α/ n n′ = AA/ + BB/ + CC/ → → caét α/ n n′ không phương (P) cắt (Q) Chú ý :• α •α B = B/ = C / = ∨ =0 * vị trí tương đối đ.thẳng (d1) (d2) x = x o / + a / t x = x o + at   / / / Cho hai đường thẳng d d’ có phương trình d : y = y o + bt , d : y = y o + b t z = z + ct  / / o  z = z o + c t ur u ur u ud = ( a;b;c ) ,u d / = a / ;b / ;c / , Ta có vectơ phương d d’ : ( ) M o ( x o ;yo ;z o ) ∈ d;M o / x o / ;y o / ;z o / ∈ d / ur u r r u u ud ∧ u / =  d a) d // d’ ⇔  M o ∉ d  ur u r r u u ud ∧ u / =  d b) d ≡ d’ ⇔  M o ∈ d  ur u r u uu u/ u u ur u r  u ∧ u / M M = o o  d d c) d cắt d’ ⇔  ur u r r u u ud ∧ ud / ≠  ur u r u uu u/ u u ur u r d) d chéo d’ ⇔ u d ∧ u d / M o M o ≠ ( ) ) ( ( ) ur u r u u * d ⊥ d’ ⇔ u d u d / = x o + at1 = x o / + a / t  / / * Muốn tìm giao điểm d d’ ta lập hệ phương trình  y o + bt1 = y o + b t tìm t1, t2 sau thay vào  / / z o + ct1 = z o + c t phương trình d d’ tìm giao điểm * Vị trí tương đối đ.thẳng (D) mặt phẳng (P) x = x o + at  Cho đường thẳng d có phương trình d : y = y o + bt mp (P) có phương trình Ax + By + Cz + D = z = z + ct o  ur u Ta có vectơ phương đường thẳng u d = ( a;b;c ) Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (violet.vn/phamdohai) 15 Trang số ur u Vectơ phám tuyến mp(P) n P = ( A;B;C ) M o ( x o ;y o ;z o ) ∈ d ur ur u u u d n P =  a) d // (P) ⇔  M o ∉ (P)  ur ur u u  ud n P = b) d ⊂ (P) ⇔  M o ∈ (P)  ur ur u u c) d cắt (P) ⇔ u d n P ≠ ur u ur u * d ⊥ (P) ⇔ n P = k.u d ( k ≠ ) x = x o + at (1)  y = yo + bt (2) * Muốn tìm giao điểm d (P0 ta giải hệ phương trình :  thay x,y,z từ z = z o + ct (3)  Ax + By + Cz + D = (4)  phương trình (1), (2), (3) vào phương trình (4) giải tìm t sau thay vào phương trình (1), (2), (3) tìm giao điểm Bài tốn 6: Tính khoảng cách * từ điểm A(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D = d(A;(α)) = Ax + By0 + Cz0 + D A + B2 + C * (P)//(Q) d((P),(Q)) = d(A;(Q)) với điểm A chọn tùy ý (P) * Khoảng cách tử đường thẳng (d) đến mặt phẳng (P) với (d)//mp(P) +) chọn điểm M (d) tính d(M;(d)) = ? +) d((d), mp(p)) = d(M,(mp(P)) * Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (D) (khơng có cơng thức tính chương trình phân ban ban bản) ta tính sau: Cách +) lập PT mp(Q) qua A vng góc với (D) +) Tìm giao điểm H mp(P) đ.thẳng (D) +) Khoảng cách cần tìm đoạn thẳng AH ur u u u u uu r [ud ; AM ] ur u Cách Áp dụng công thức : d ( A, d ) = M thuộc d u d * Khoảng cách hai đường thẳng song song (d) (d/) +) Chọn điểm M (d) ur u +) Viết PT mặt phẳng (P) qua M có VTPT u d +) Tìm điểm N giao điểm (d/ ) mp(P) ( cách giải hệ gồm PTcủa (d/) PT mặt phẳng (P) => nghiệm x,y,z tọa độ điểm N) +) Khoảng cách cần tìm độ dài đoạn thẳng MN * Khoảng cách hai đường thẳng chéo (d) (d/) Cách 1: Viết PT mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) song song với (d/) +) chọn M đ.thẳng (d) Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (violet.vn/phamdohai) 16 Trang số ur u ur u u u ur +) VTPT (α) n P = [u d ,u d / ] ur ur u u u u ur => Viết PT mp(P) qua M có VTPT n P = [u d ,u d / ] Chọn điểm N (d/) Tính d(N, mp(P)) =?  d((d), (d/)) = d(N, mp(P)) Cách 2: Tìm đoạn vng góc chung hai đường thẳng ur u r u u u u uu r [ud ; ud / ].MN / ur u r Cách Áp dụng công thức : d (d ; d ) = [uu; uu ] d d/ Bài tốn 7: Tính góc * Góc hai mp (P) A1x+B1y+C1z+D1 = u ur r u Với · ϕ = ((mp(Q),mp(P)) cosϕ = * Góc đường thẳng (D): Với · ϕ = ((D), mp(P)) Α1A + B1B2 + C1C2  2 2 2 A1 + B1 + C1 A + B2 + C2 mặt phẳng Ax+By+Cz+D = ur ur u u ur ur u u n u P D  Α + bB + cC  a nP uD A + B2 + C a + b + c u u SinΨ=|cos( n P , u D ) |= ur ur = u ur r u ¶ ϕ = (d,∆ ) n1 n  x = x + at   y = y0 + bt  z = z0 + ct Góc hai đường thẳng (d) : Với n1.n u ur = r u mp(Q) A2x+B2y+C2z+D2 = cosϕ = u1.u  x = x + a1t   y = y0 + b1t  z = z0 + c1t u ur = r u u1 u Và ( ∆ ): / x = x + a 2t /   / /  y = y0 + b t  / / z = z0 + c2 t   1a + b1b + c1c2  a + b2 + c2 a + b + c2 a1 1 2 Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (violet.vn/phamdohai) 17 Trang số ... theo ẩn m • Toạ độ điểm cần tìm nghiệm hệ PT gồm tất hệ số • Giải hệ kết luận …………………… PHầN 2: HÀM Số MŨ VÀ LOGARIT Bài tốn 1:Dùng cơng thức tính biểu thức có chứa hàm số mũ logarit a−n = a n... Tiếp tuyến có hệ số góc k : Nếu : tiếp tuyến // đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = a tiếp tuyến ⊥ đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = − a • Giả sử M(x0; f(x0)) tiếp điểm => hệ số góc tiếp... cơng thức sau để toán trở nên dễ dàng a f (x) > a g(x)  (a−1)(f(x) − g(x)) > Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (violet.vn/phamdohai) Trang số log a f(x) > log a g(x)  (a−1)(f(x) − g(x)) > *) Khi giải toán