PHÒNG GD – ĐT CHƯƠNG MỸ TRƯỜNG THCS NAM PHƯƠNGTIẾNB GV : Nguyễn thị Xuyến ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI KHỐI 8 NĂM HỌC : 2009 – 2010 MÔN : TOÁN Thời gian làm bài : 150 phút ĐỀ BÀI : Bài : 1 (3điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: 1. 8x 2 + 10x – 3 2. 6x 2 + 7xy + 2y 2 3. (x – y) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 ĐÁP ÁN Bài Ý Lời giải vắn tắt Điểm 1 (3đ) 1 (1đ) 8x 2 + 10x – 3 = 8x 2 + 12x – 2x – 3 = 4x(2x + 3) – (2x + 3) = (2x + 3)(4x – 1) 0,5 đ 0,5 đ 2 (1đ) 6x 2 + 7xy + 2y 2 = 6x 2 + 3xy + 4xy + 2y 2 = = 3x(2x + y) + 2y(2x + y) = (2x + y)(3x + 2y) 0,5 đ 0,5 đ 3 (1đ) (x - y) 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3 =(x - y + y - z)[(x - y) 2 -(x - y)(y - z) + (y - z) 2 ] + (z - x) 3 =(x - z)[(x - y) 2 - (x - y)(y - z) + (y - z) 2 - (z - x) 2 ] =(x - z)[(x - y)(x - y - y + z) + (y - z + z - x)(y - z - z + x)] =(x - z)(x - y)(x - 2y + z - y + 2z - x) =3(x - z)(x - y)(z - y) 0,5 đ 0,5 đ Ghi chú: học sinh có thể làm theo cách khác, nếu đúng chấm điểm tròn theo từng phần của bài đó./. BAN GIÁM HIỆU DUYỆT ĐỀ PHÒNG GD – ĐT CHƯƠNG MỸ TRƯỜNG THCS NAM PHƯƠNGTIẾNB GV : Nguyễn thị Xuyến ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI KHỐI 8 NĂM HỌC : 2009 – 2010 MÔN : TOÁN Thời gian làm bài : 150 phút ĐỀ BÀI : Bài 2: (4 điểm) Cho biểu thức: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x - y y x -xy + y P = - + - : x x -xy xy y -xy x - y    ÷   1. Tìm điều kiện của các biến x, y để giá trị của P được xác định; 2. Rút gọn P; 3. Tìm giá trị của P với |2x – 1| = 1 ; |y + 1| = 1 2 ĐÁP ÁN Bài Ý Lời giải vắn tắt Điểm 2 (4đ) 1 (1đ) 2 2 2 2 2 2 2 x x - y y x - xy + y P = - + + : x x(x - y) xy y(x - y) x - y       ĐKXĐ: x ≠ 0; y ≠ 0; x ≠ y 0,5 đ 0,5 đ 2 (1đ) 2 2 2 2 2 2 2 x y + (x - y )(x - y) + xy x - y P = - . x xy(x - y) x - xy + y 2 2 2 2 2 (x + y)(x - xy + y ) x - y 2 (x + y) y - x = - . x xy(x - y) x - xy + y x xy xy = − = 0,5 đ 0,5 đ 3 (2đ) 2x -1 = 1 x = 1 2x -1 = 1 2x -1 = -1 x = 0   ⇔ ⇔     ; loại bỏ x = 0. 1 1 y +1 = y = - 1 2 2 y +1 = 1 3 2 y +1 = - y = - 2 2     ⇔ ⇔         * Với 1 x 1;y 2 = = − thì P = 3 * Với 3 x 1;y 2 = = − thì P = 5 3 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Ghi chú: học sinh có thể làm theo cách khác, nếu đúng chấm điểm tròn theo từng phần của bài đó./. BAN GIÁM HIỆU DUYỆT ĐỀ PHÒNG GD – ĐT CHƯƠNG MỸ TRƯỜNG THCS NAM PHƯƠNGTIẾNB GV : Nguyễn thị Xuyến ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI KHỐI 8 NĂM HỌC : 2009 – 2010 MÔN : TOÁN Thời gian làm bài : 150 phút ĐỀ BÀI : Bài 3: (3 điểm) 1. Giải phương trình: x 16 x 18 x 20 1 49 47 45 − + + + + = 2. Giải phương trình: 4x 2 – 12x + 5 = 0 3. Cho các số x, y, z tùy ý. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 3 3 x y z x y z+ + + +   ≥  ÷   ĐÁP ÁN Bài Ý Lời giải vắn tắt Điểm 3 (3đ) 1 (1đ) Thêm 2 vào 2 vế của phương trình ta được: x 16 x 18 x 20 1 1 1 49 47 45 + + + + + + = + x 65 x 65 x 65 0 49 47 45 + + + ⇔ + − = 1 1 1 (x 65) 0 49 47 45   ⇔ + + − =  ÷   (x 65) 0⇔ + = ; (vì 1 1 1 0 49 47 45 + − ≠ ) Vậy x = – 65 0,5 đ 0,5 đ 2 (1đ) Ta có: 4x 2 – 12x + 5 = 4x 2 – 2x – 10x + 5 = 2x(2x – 1) -5(2x – 1)= = (2x – 1)(2x – 5). Phương trình đã cho tương đương: (2x – 1)(2x – 5) = 0 * 2x – 1 = 0 => x = 1 2 * 2x – 5 = 0 => x = 5 2 Vậy phương trình có 2 nghiệm là: x = 1 2 ; x = 5 2 0,5 đ 0,5 đ 3 (1đ) Ta có 2 2 2 2 2 2 2 (1) 2 (2) 2 (3) x y xy y z yz z x zx + ≥ + ≥ + ≥ Cộng từng vế ba BĐT trên ta được : 2 2 2 2( ) 2( )x y z xy yz zx+ + ≥ + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) 2( ) 3( ) ( ) x y z x y z x y z xy yz zx x y z x y z + + + + + ≥ + + + + + ⇒ + + ≥ + + Chia hai vế cho chín ta được : 2 2 2 2 ( ) 3 9 x y z x y z+ + + + = hay 2 2 2 2 3 3 x y z x y z+ + + +   ≥  ÷   (đpcm) 0,5 đ 0,5 đ Ghi chú: học sinh có thể làm theo cách khác, nếu đúng chấm điểm tròn theo từng phần của bài đó./. BAN GIÁM HIỆU DUYỆT ĐỀ PHÒNG GD – ĐT CHƯƠNG MỸ TRƯỜNG THCS NAM PHƯƠNGTIẾNB GV : Nguyễn thị Xuyến ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI KHỐI 8 NĂM HỌC : 2009 – 2010 MÔN : TOÁN Thời gian làm bài : 150 phút ĐỀ BÀI : Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi D, E, M theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, BC. Chứng minh rằng tứ giác DEMH là hình thang cân? ĐÁP ÁN Bài Ý Lời giải vắn tắt Điểm 4 (3đ) Hình vẽ (0,5đ) M E D H C B A 0,5 đ Chứng minh (2,5đ) Ta có DE là đường trung bình của tam giác ABC nên DE // BC; Do đó tứ giác DEMH là hình thang. Mặt khác tam giác AHC vuông tại H và HE là đường trung tuyến nên: ( ) AC HE 1 2 = DM là đường trung bình của tam giác ABC nên: ( ) AC DM 2 2 = Từ (1) và (2) suy ra: DM = HE. Hình thang DEMH có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình thang cân. (đpcm) 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Ghi chú: học sinh có thể làm theo cách khác, nếu đúng chấm điểm tròn theo từng phần của bài đó./. BAN GIÁM HIỆU DUYỆT ĐỀ PHÒNG GD – ĐT CHƯƠNG MỸ TRƯỜNG THCS NAM PHƯƠNGTIẾNB GV : Nguyễn thị Xuyến ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI KHỐI 8 NĂM HỌC : 2009 – 2010 MÔN : TOÁN Thời gian làm bài : 150 phút ĐỀ BÀI : Bài 5: (4 điểm) Cho hình bình ABCD. Một đường thẳng a cắt AB ở E, cắt AD ở F và cắt đường chéo AC ở G. Chứng minh rằng: AE AB + FA AD = GA AC ? ĐÁP ÁN Bài Ý Lời giải vắn tắt Điểm 5 (4đ) Hình vẽ (0,5đ) 0,5 đ Chứng minh (3,5đ) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Kẻ BM // EF và DN // EF với M,N trên AC Xét tam giác ABM có EG // BM nên AE AB = GA AM (1) Xét tam giác ADN có FG // DN nên AF AD = GA AN (2) Cộng (1) và (2) vế theo vế ta có AE AB + FA AD = GA ANAM + (3) Mặt khác: ∆ ABM= ∆ CDN(g.c.g) Suy ra AM =NC (4) . Thay (4) vào (3) ta được: AE AB + FA AD = GA ANNC + = AG AC (đpcm) 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Ghi chú: học sinh có thể làm theo cách khác, nếu đúng chấm điểm tròn theo từng phần của bài đó./. BAN GIÁM HIỆU DUYỆT ĐỀ F G O E B C A D M N PHềNG GD T CHNG M TRNG THCS NAM PHNGTINB GV : Nguyn th Xuyn GIAO LU HC SINH GII KHI 8 NM HC : 2009 2010 MễN : TON Thi gian lm bi : 150 phỳt BI : Bài 6 :(3 điểm): a) Chứng minh rằng: 2009 2008 + 2011 2010 chia hết cho 2010 b) Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng: 2 2 1 1 2 1 1 1x y xy + + + + c) Chng minh rng : Với a+b+c=0 thì a 4 +b 4 +c 4 =2(ab+bc+ca) 2 P N Bài 6: :(3 điểm): a)(1điểm) Ta có: 2009 2008 + 2011 2010 = (2009 2008 + 1) + ( 2011 2010 1) 0,25 điểm Vì 2009 2008 + 1 = (2009 + 1)(2009 2007 - ) = 2010.() chia hết cho 2010 (1) 0,25 điểm 2011 2010 - 1 = ( 2011 1)(2011 2009 + ) = 2010.( ) chia hết cho 2010 (2) 0,25 điểm Từ (1) và (2) ta có đpcm . 0,25 điểm b)(1điểm) 2 2 1 1 2 1 1 1x y xy + + + + (1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 2 1 1 1 x xy y xy x y x y x y x xy y xy y x xy x y xy + ữ ữ + + + + + + + + + + + + 0,50 điểm Vì 1; 1x y => 1xy => 1 0xy 0,25 điểm => BĐT (2) đúng => BĐT (1) đúng (dấu = xảy ra khi x = y) 0,25 điểm c)(1điểm) Ta có : a+b+c=0 a 2 +b 2 +c 2 +2(ab+ac+bc)=0 a 2 +b 2 +c 2 = -2(ab+ac+bc) 0,25 điểm a 4 +b 4 +c 4 +2(a 2 b 2 +a 2 c 2 +b 2 c 2 )=4( a 2 b 2 +a 2 c 2 +b 2 c 2 )+8abc(a+b+c) Vì a+b+c=0 0,25 điểm a 4 +b 4 +c 4 =2(a 2 b 2 +a 2 c 2 +b 2 c 2 ) (1) Mặt khác 2(ab+ac+bc) 2 =2(a 2 b 2 +a 2 c 2 +b 2 c 2 )+4abc(a+b+c) . Vì a+b+c=0 2(ab+ac+bc) 2 =2(a 2 b 2 +a 2 c 2 +b 2 c 2 ) (2) 0,25 điểm Từ (1)và(2) a 4 +b 4 +c 4 =2(ab+ac+bc) 2 0,25 điểm Ghi chỳ: hc sinh cú th lm theo cỏch khỏc, nu ỳng chm im trũn theo tng phn ca bi ú./. BAN GIM HIU DUYT PHềNG GD T CHNG M TRNG THCS NAM PHNGTINB GV : Nguyn th Xuyn GIAO LU HC SINH GII KHI 8 NM HC : 2009 2010 MễN : TON Thi gian lm bi : 150 phỳt BI : Bi : 1 (3im) Phõn tớch a thc thnh nhõn t: 1. 8x 2 + 10x 3 2. 6x 2 + 7xy + 2y 2 3. (x y) 3 + (y z) 3 + (z x) 3 Bi 2: (4 im) Cho biu thc: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x - y y x -xy + y P = - + - : x x -xy xy y -xy x - y ữ 1. Tỡm iu kin ca cỏc bin x, y giỏ tr ca P c xỏc nh; 2. Rỳt gn P; 3. Tỡm giỏ tr ca P vi |2x 1| = 1 ; |y + 1| = 1 2 Bi 3: (3 im) 1. Gii phng trỡnh: x 16 x 18 x 20 1 49 47 45 + + + + = 2. Gii phng trỡnh: 4x 2 12x + 5 = 0 3. Cho cỏc s x, y, z tựy ý. Chng minh rng: 2 2 2 2 3 3 x y z x y z+ + + + ữ Bi 4: (3 im) Cho tam giỏc ABC, ng cao AH. Gi D, E, M theo th t l trung im ca AB, AC, BC. Chng minh rng t giỏc DEMH l hỡnh thang cõn? Bi 5: (4 im) Cho hỡnh bỡnh ABCD. Mt ng thng a ct AB E, ct AD F v ct ng chộo AC G. Chng minh rng: AE AB + FA AD = GA AC ? Bài 6 :(3 điểm) 1) Chứng minh rằng: 2009 2008 + 2011 2010 chia hết cho 2010 2) Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng: 2 2 1 1 2 1 1 1x y xy + + + + 3) Chng minh rng : Với a+b+c=0 thì a 4 +b 4 +c 4 =2(ab+bc+ca) 2 . Nguyễn thị Xuyến ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI KHỐI 8 NĂM HỌC : 2009 – 2010 MÔN : TOÁN Thời gian làm bài : 150 phút ĐỀ BÀI : Bài : 1 (3điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: 1. 8x 2 + 10x – 3 2 HIỆU DUYỆT ĐỀ PHÒNG GD – ĐT CHƯƠNG MỸ TRƯỜNG THCS NAM PHƯƠNGTIẾNB GV : Nguyễn thị Xuyến ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI KHỐI 8 NĂM HỌC : 2009 – 2010 MÔN : TOÁN Thời gian làm bài : 150 phút ĐỀ BÀI. HIỆU DUYỆT ĐỀ PHÒNG GD – ĐT CHƯƠNG MỸ TRƯỜNG THCS NAM PHƯƠNGTIẾNB GV : Nguyễn thị Xuyến ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI KHỐI 8 NĂM HỌC : 2009 – 2010 MÔN : TOÁN Thời gian làm bài : 150 phút ĐỀ BÀI