TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG ÔN HỌC SINH GIỎI MÔN GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY I . Những kinh nghiệm ôn luyện : 1. Học sinh - Chọn học sinh có kĩ năng giải toán tốt , yêu thích bộ môn giải toán trên máy tính cầm tay - Trong đội tuyển nên có học sinh lớp 8 để tạo nền tảng cho năm sau 2. Giáo viên - Là một môn thi tương đối khó, đặc biệt là trong những năm gần đây vì vậy giáo viên phải thường xuyên tìm tòi qua tài liệu hoặc trong các đề thi cấp tỉnh, đề thi khu vực, đề thi quốc gia. Giáo viên phải tự xây dựng cho mình kế hoạch ôn luyện rõ ràng, chi tiết, đủ các dạng bài tập cơ bản. - Trong quá trình ôn luyện, giáo viên nên chia nhỏ các dạng bài đế học sinh dễ nắm bắt, và mỗi dạng bài có cách giải cụ thể và Ví dụ: a, Bài tập tính giá trị biểu thức có thể chia thành các dạng sau: - Tính giá trị của biểu thức đại số - Tính giá trị của biểu thức hình học - Tính giá trị của biểu thức có sử dụng biến nhớ b, Bài toán kinh tế có thể chia thành các dạng sau: - Bài toán lãi kép - Bài toán trả lãi - Bài toán gửi góp - Phải nhận dạng được những dạng bài tập cơ bản mà trong đề thi luôn có như : tính giá trị của biểu thức, bài tập về đa thức, bài toán kinh tế - Không được ôn tủ, mà phải ôn kĩ các dạng bài . Xem các đề thi của năm trước để tìm tòi thêm các dạng bài tập mới. - Luyện cho học sinh thật kĩ, học sinh phải nắm được hết các dạng bài tập và cách giải của nó, không được mở lại phần hướng dẫn của giáo viên khi gặp được dạng bài đã học. - Khuyến khích các em tự học qua mạng, tự tìm tòi cách bấm máy để cho kết quả nhanh. - Luyện đề cho học sinh sau khi các em đã làm thành thạo các dạng bài tập. Luyện đề sẽ giúp các em học sinh củng cố nhiều dạng kiến thức, rèn luyện kĩ năng làm bài, hình thành thói quen đọc kĩ hướng dẫn của đề ( điều này rất quan trọng với đề thi casio ). 1 II. Các dạng bài tập cơ bản thường gặp trong đề thi: 1. Tính giá trị của biểu thức : - Đây là dạng bài tập luôn có trong đề thi, là bài tập dễ nhất trong đề về mặt toán học nhưng yêu cầu kĩ năng bấm máy cao. - Trong đề thi, bài tập này chiếm từ 5 đến 6 điểm và là dạng bài tập chỉ cần điền kết quả - Trong quá trình ôn luyện, với dạng bài tập này giáo viên phải luyện được cho học sinh bấm kết quả phải đúng, không được phép đuổi theo kết quả của đáp án. - Với những học sinh mới ôn, giáo viên nên bắt đầu từ những biểu thức đơn giản để học sinh đỡ chán nản - Có thể chia nhỏ dạng bài tập này như sau: a, Tính giá trị của biểu thức đại số: - Bấm máy theo thứ tự thực hiện phép tính - Với hệ thống máy tính CASIO FX 500MS, CASIO FX 500ES thì phải chú ý đến hệ thống dấu ngoặc - Nếu biểu thức quá cồng kềnh, phải ngắt phép tính một cách hợp lý. - Hướng dẫn học sinh cách chuyển đổi từ số thập phân vô hạn tuần hoàn sang phân số Cách đổi chung: Đổi số tuần hoàn sang số thập phân: mỗi chữ số tuần hoàn là 1 số 9 dưới mẫu (nếu sau dấu phảy có một con số thì thêm 1 chữ số 0 bên phải số 9), trên tử lấy nguyên số trừ phần trước tuần hoàn Ví dụ: 4,(37) = 437 4 99 - = 433 99 ; 3,5(26) = 3526 35 3491 990 990 - = Bài tập: Đổi ra phân số: a/ 3,08(078) b/ 0,(123) c/ 4,(35) d/ 2,45(736) e/ 0,8(945) f/ 0,82(345) - Lựa chọn các bài tập luyện đủ các loại biểu thức như : có chứa căn, có số thập phân vô hạn tuần hoàn, có các loại số Ví dụ: Bài 1 :Tính giá trị của biểu thức. (Tính chính xác đến 0,000001) 1. A = 4 2 4 0, 8 : ( .1,25) (1,08 ) : 4 5 25 7 (1,2.0,5) : 1 5 1 2 5 0,64 (6 3 ).2 25 9 4 17 - + + - - (ĐS: 1 2 3 ) 2 2. B = 1 1 7 90 2 3 0,3(4) 1,(62) :14 : 11 0,8(5) 11 + + − (ĐS: 106 315 ) Bài 2. Thực hiện phép tính A = 1 1 1 . 1 9 3,5 1 4 0,25 2 : : 7 100 69 9 10 2 .0,5. 7 1 2 1 2,2.10 1 : 5 + − + + − + Kq: A = 10 Bài 3: Tính giá trị của biểu thức A =23% của 3 2 2 15 9 8 47,13 : 11 4 7 22 21 14 13 12, 49 2 25 24   − +  ÷       − +    ÷       Kq: A =-109,3409047 Bài 4: Tính a) 3 3 3 3 3 A 5 4 2 20 25= − − − + b) 3 3 3 3 3 3 54 8 B 200 126 2 6 2 1 2 1 2 = + + + − + + Kq: a) A =-0,700213952 B = 1,224443667 b, Tính giá trị của biểu thức hình học: - Nhập biểu thức vào máy tính nếu gặp biểu thức đã biết số đo của góc Ví dụ : B = 2 0 3 0 2 0 3 0 3 0 3 0 2 cos 55 .sin 70 10cotg 50 .cotg 65 3 cos 48 .cotg 70 − ( Đề QN năm 2006 ) P = 3 0 3 0 2 0 0 0 0 0 sin 90 cot 30 cos 45 tan 20 2 7 sin108 cos32 tan 64 − − + + . c, Tính giá trị của biểu thức có sử dụng biến nhớ : - Ta có 2 cách tính: Sử dụng cách gán giá trị (phím STO) hoặc tính trực tiếp bằng nút Ans VD1: Tính giá trị của biểu thức: 20x 2 -11x - 2006 tại a) x = 1; b) x = -2; c) x = 2 1− ; d) x = 0,12345 1,23456 ; Cách làm: Gán 1 vào ô nhớ X: Nhập biểu thức đã cho vào máy: (Ghi kết quả là -1997) Sau đó gán giá trị thứ hai vào ô nhớ X: Rồi dùng phím # để tìm lại biểu thức, ấn = để nhận kết quả. (Ghi kết quả là -1 904) 3 Làm tương tự với các trường hợp khác (ĐS c) 1 1995 2 − ; d) -2006,899966). Ta có thể sử dụng phím Ans: 1 = 20Ans 2 – 11Ans – 2006 = VD2: Tính giá trị của biểu thức: x 3 - 3xy 2 – 2x 2 y - 3 2 y 3 tại: a/ x = 2; y = -3. b/ x = 4 3− ; y = -2 7 3 c/ x = 2 7 5 + y = 2,35 2,69 Bài tập áp dụng : 1/ Tính 5 4 2 3 2 3x 2x 3x x A 4x x 3x 5 − + − = − + + khi x = 1,8165; x = - 0,235678; x = 865,321 2/ a. Tính 4 3 2 x 5x 3x x 1+ − + − khi x = 1,35627 b. Tính 5 4 3 2 P(x) 17x 5x 8x 13x 11x 357= − + + − − khi x = 2,18567 3/ x x 9 3 x 1 1 T(x) : 9 x 3 x x 3 x x æ ö æ ö + + ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç = + - ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç - + - è ø è ø . Tính 3 T( 231007) ; 2007 T( 2008) . 4/ 15 x -11 3 x - 2 2 x + 3 B = + - x + 2 x -3 1- x x +3 , với x = 2012 2013 d, Tính các tổng hữu hạn : - Đây là dạng bài tập thường gặp trong những năm gần đây, và là dạng bài tập học sinh thường lúng túng do không nhớ công thức hoặc cách biến đổi - Với dạng bài này học sinh phải nắm được kiến thức kĩ năng về mặt toán học ( do không thể dùng máy tính bấm trực tiếp ), sau đó chỉ sử dụng MTCT như công cụ hỗ trợ trong tính toán VD: tính tổng S = 1 1.3 + 1 3.5 + + 1 2005.2007 S = 1 2 3+ + 1 3 4+ + + 1 2007 2008+ 2.Bài tập liên phân số: - Giáo viên hướng dẫn học sinh theo 3 dạng: a. Tính giá trị của liên phân số - Tính theo thứ tự thực hiện phép tính - Tính ngược từ dưới lên Ví dụ: Tính 4 = + + + + 1 B 7 1 3 1 3 1 3 4 5 A 3 4 2 5 2 4 2 5 2 3 = + + + + + b, Tìm số chưa biết trong liên phân số Ví dụ : Tính a, b biết (a, b nguyên dương) - Quy trình bấm phím -1 -1 329 64 b = a 3 1051 329 9 - 3 = x = 64 1 9 7; b = 9 c =Ên Sau ®ã Ên M¸y hiÖn Ên Ên M¸y hiÖn 5 Cø bÊm tiÕp tôc ®Õn khi m¸y hiÖn 7 th × cho ta kÕt qu¶ a = - Cho học sinh luyện tập 5 329 1 1 1051 3 1 5 1 a b = + + + Tìm các số tự nhiên a ; bsao cho 12246 1 5 1 2107 1 1 4 1 3 1 8 1 a b = + + + + + + Tìm a ,b ,c biết 3 12585 20052006 1 a) 9 b) a 2 1 1354 2007 10 b 1 1 a c b d + = = + + + + + c, Tìm x trong liên phân số: - Tính giá trị của liên phân số - Nhập biểu thức tính x Ví dụ: Tìm x biết : x x 4 1 1 1 4 1 1 2 3 1 1 3 2 4 2 + = + + + + + + Tìm x biết 4 1 2 4 1 8 2 1 1 9 3 2 4 4 2 x 1 4 1 1 2 7 5 1 8 + = +   + +  ÷   +  ÷  ÷  ÷ + − +  ÷  ÷  ÷ + +  ÷  ÷   +  ÷   3.Bài tập về đa thức: a, Tính giá trị của đa thức tại các giá trị cho trước của biến Ví dụ 1: Cho đa thức P(x) = x 5 + ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e Biết P(1) = 1, P(2) = 4, P(3) = 9, P(4) = 16, P(5) = 25. a/ Tính các giá trị P(6), P(7), P(8), P(9) b/ Viết lại đa thức P(x) với các hệ số là số nguyên. Giải: Ta có P(1) = 1, P(2) = 4, P(3) = 9, P(4) = 16, P(5) = 25. Xét đa thức Q(x) = P(x) – x 2 . Dễ thấy Q(1) = 1, Q(2) = 4, Q(3) = 9, Q(4) = 16, Q(5) = 25. Suy ra 1; 2; 3; 4; 5 là nghiệm của đa thức Q(x). Vì hệ số của x 5 = 1 nên suy ra Q(x) có dạng: Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x - 5) Nên Q(6) = (6 – 1)(6 – 2)(6 – 3)(6 – 4)(6 - 5) = P(6) – 6 2 . Suy ra P(6) = 6 2 + 5! = 156. 6 Tương tự P(7) = 7 2 + 6! = 769. P(8) = 8 2 + 7! 2! = 2584. P(9) = 9 2 + 8! 3! = 6801. b)P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x - 5) + x 2 . P(x) = x 5 – 15x 4 + 85x 3 – 284x 2 + 274x – 120. Ví dụ 2 : Cho đa thức Q(x) = x 4 + mx 3 + nx 2 + px + q và cho biết Q(1) = 5; Q(2) = 7; Q(3) = 9; Q(4) = 11. Tính các giá trị Q(10); Q(11); Q(12); Q(13). Giải như ví dụ 7: Xét đa thức P(x) = Q(x) – (2x + 3). Ta tính được Q(10) = 3047. Q(11) = 5065. Q(12) = 7947. Q(13) = 11909. Ví dụ 3: Cho đa thức f(x) bậc 4, hệ số của bậc cao nhất là 1 và thoả mãn: f(1) = 3; f(3) = 11; f(5) = 27. Tính giá trị A = f(-2) + 7f(6) = ? H.Dẫn:- Đặt g(x) = f(x) + ax 2 + bx + c. Tìm a, b, c sao cho g(1) = g(3) = g(5) = 0 ⇒ a, b, c là nghiệm của hệ phương trình: 3 0 9 3 11 0 25 5 27 0 a b c a b c a b c + + + =   + + + =   + + + =  ⇒ bằng MTBT ta giải được: 1 0 2 a b c =−   =   =−  ⇒ g(x) = f(x) - x 2 - 2 - Vì f(x) bậc 4 nên g(x) cũng có bậc là 4 và g(x) chia hết cho (x - 1), (x - 3), (x - 5), do vậy: g(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - x 0 ) ⇒ f(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - x 0 ) + x 2 + 2. Ta tính c: A = f(-2) + 7f(6) = đượ Ví dụ 4: Cho đa thức P(x) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx +d có P(1)=7 ; P(2)=28 ; P(3)=63. Tính P = (P(100) + P(-96)):8 Giải : Đặt Q(x) = P(x) - 7x 2 . Làm tương tự ta có Q(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-r) và P(x)=Q(x) + 7x 2 P(100)= 99.98.97.(100 - r ) + 7.100 2 P(-96)= (-97).(-98).(-99).(-96-r) + 7.(-96) 2 b/ Tìm dư của 2 đa thức f(x) và g(x) và điều kiện chia hết: 7 a, Lý thuyết - Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức g(x) = x – a là hằng số bằng f(a). VD1: Chia f(x) = x 3 + 4x 2 - 5 cho g(x) = x – 1. Ta có số dư là f(1) = 1 3 + 4.1 2 – 5 = 0 - Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức g(x) = ax + b là hằng số bằng f b a −    ÷   . VD2: Chia f(x) = 3x 3 + 2x 2 + 5x – 7 cho g(x) = 2x + 1. Ta có số dư là: f 3 2 1 1 1 1 75 3. 2. 5. 7 2 2 2 2 8 − − − − −         = + + − =  ÷  ÷  ÷  ÷         - Khi chia đa thức P(x) + m cho nhị thức ax+b ta luôn được P(x) = Q(x)(ax + b)+ m + r. Muốn P(x) chia hết cho x – a thì m + r = 0 hay m = -r = - P( b a − ) VD3: Tìm a để 4 3 2 x 7x 2x 13x a+ + + + chia hết cho x + 6. Ta có: a = -f(-6) = 222 Ta có thể thực hiện: Ta nhập biểu thức : X 4 + 7X 3 + 2X 2 + 13X +A = 0 Ấn: SHIFT SOLVE = X ? nhập -6 Ấn tiếp: SHIFT SOLVE máy hiện: A = 222. Vậy : a = 222. Ví dụ 6: Xác định giá trị k để đa thức f(x) = x 4 – 9x 3 +21x 2 + x + k chia hết cho đa thức g(x) = x 2 – x – 2. C 1 : Lấy f(x) chia cho g(x) để tìm số dư và đặt số dư bằng 0 để tìm k. Ta có: f(x) = (x 2 – x – 2)(x 2 – 8x + 15) +k +30 = 0 Vậy để f(x) M g(x) thì k + 30 = 0. Suy ra k = -30 C 2 : Ta có g(x) = x 2 – x – 2 = x 2 – 2x + x – 2 = x(x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1) Vậy f(x) chia hết cho g(x) = x 2 – x – 2 thì cũng chia hết cho (x – 2)(x + 1) Áp dụng định lí Bezoul và định nghĩa của phép chia hết ta thay x = -1 hoặc x = 2 vào f(x), ta được f(-1) = 0 ⇔ k = - 30. c/ Tìm thương của phép chia đa thức: Trong trường hợp chia một đa thức P n (x) cho một nhị thức x – m ta có thể sử dụng thuật toán Hoocne như sau: Giả sử khi chia đa thức P n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 + … + a 1 x + a 0 cho nhị thức x – m ta được đa thức Q n (x) = b n-1 x n-1 + b n-2 x n-2 + … + b 1 x + b 0 thì giữa các hệ số a n , a n-1 , a n-2 , …, a 1 , a 0 và b n-1 , b n-2 , b 1 , b 0 có mối quan hệ sau đây: b n-1 = a n b n-2 = m. b n-1 + a n-1 . . . . . . b 0 = m.b 1 + a 1 và số dư r = m.b 0 + a 0 8 a n a n-1 a n-2 … a 1 a 0 m b n-1 = a n b n-2 = m.b n-1 + a n-1 b n-3 = m.b n-2 + a n-2 b 0 = m.b 1 + a 1 r = m.b 0 + a 0 Ví dụ 1: Tìm thương và số dư của đa thức f( 4 2 x) 2x 3x 4x 5= − + − chia cho g(x) x 2= + Ta ghi: 2 0 -3 4 -5 -2 2 -4 5 -6 7 Vậy đa thức thương Q 3 2 (x) 2x 4x 5x 6= − + − và số dư r = 7 Ví dụ 2: Tìm thương và số dư của đa thức 4 3 2 f(x) 3x 5x 4x 2x 7= + − + − chia cho g(x) 4x 5= − 3 5 -4 2 -7 5 4 3 35 4 111 16 683 64 6 87 256 Vậy đa thức Q 3 2 35 111 683 (x) 3x x x 4 16 64 = + + + và số dư r = 6 87 256 . d/ Phân tích đa thức f(x) thành nhân tử: Cơ sở: “Nếu tam thức bậc hai ax 2 + bx + c có 2 nghiệm là x 1 , x 2 thì nó viết được dưới dạng ax 2 + bx + c = a(x – x 1 )(x – x 2 )”. “Nếu đa thức f(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + + a 1 x + a 0 có nghiệm hữu tỷ p q thì p là ước của a 0 , q là ước của a 0 ”. Đặc biệt: “Nếu đa thức f(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + + a 1 x + a 0 có a 1 = 1 thì nghiệm hữu tỷ là ước của a 0 ”. Nếu đa thức f(x) có nghiệm là a thì đa thức f(x) chia hết cho (x – a). Ví dụ 1: Phân tích đa thức f(x) = x 3 - 5x 2 + 11 x - 10 thành nhân tử? Dùng chức năng giải phương trình bậc 3 cài sẵn trong máy để tìm nghiệm của f(x) ta thấy có 1 nghiệm thực là x 1 = 2. Nên ta biết được đa thức x 3 - 5x 2 + 11 x - 10 chia hết cho (x - 2). Sử dụng sơ đồ Hoocner để chia x 3 - 5x 2 + 11 x - 10 cho (x - 2) ta có: Khi đó bài toán trở về tìm thương của phép chia đa thức f(x) cho (x – 2). Khi đó ta có f(x) = (x - 2)(x 2 - 3x + 5) Tam thức bậc hai x 2 - 3x + 5 vô nghiệm nên không phân tích thành nhân tử được nữa. Vậy x 3 - 5x 2 + 11 x - 10 = ( x - 2)(x 2 - 3x + 5) Ví dụ 2: Phân tích đa thức f(x) = x 5 + 5x 4 – 3x 3 – x 2 +58x - 60 thành nhân tử? Nhận xét: Nghiệm nguyên của đa thức đã cho là Ư(60). Ta có Ư(60) = { ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 5; ± 6; ± 10; ± 12; ± 15; ± 20; ± 30; ± 60} 9 Lập quy trình để kiểm tra xem số nào là nghiệm của đa thức: Do vậy ta biết x = -3 là một nghiệm của đa thức đã cho, nên f(x) chia hết cho (x + 3). Khi đó bài toán trớ về tìm thương của phép chia đa thức f(x) cho (x - 3). Khi đó ta có f(x) = (x + 3)(x 4 + 2x 3 - 9x 2 + 26x - 20) * Ta lại xét đa thức g(x) = x 4 + 2x 3 - 9x 2 + 26x - 20 Nghiệm nguyên là ước của 20. Dùng máy ta tìm được Ư(20) = { ± 1; ± 2; ± 4; ± 5; ± 10; ± 20} Lập quy trình để kiểm tra xem số nào là nghiệm của đa thức g(x): Do vậy ta biết x = -5 là một nghiệm của đa thức đã cho, nên f(x) chia hết cho (x + 5). Khi đó bài toán trớ về tìm thương của phép chia đa thức f(x) cho (x+5). Khi đó ta có g(x) = (x + 5)(x 3 - 3x 2 + 6x - 4) Tiếp tục dùng chức năng giải phương trình bậc 3 để tìm nghiệm nguyên của h(x) = x 3 - 3x 2 + 6x - 4 Kết quả, là đa thức h(x) có nghiệm là x = 1 nên chia h(x) cho (x-1) ta được: h(x) = (x - 1)(x 2 - 2x + 4). Ta thấy đa thức (x 2 - 2x + 4) vô nghiệm nên không thể phân tích thành nhân tử. Vậy f(x) = (x + 3)(x + 5)(x - 1)(x 2 - 2x + 4) e.Tìm GTNN, GTLN của biểu thức - Sử dụng kĩ năng tìm GTNN, GTLN trong toán học - Sử dụng máy tính trong việc tính toán Ví dụ:(đề QN năm 2012) Cho x là một số thực khác 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q= 2 2 2011,2012 2 2013,2014 2014,2015 x x x − + Cách giải: Q= 2013,2014 2014,2015 . 2 1 x - 2 2014,2015 . 1 x + 2011,2012 2014,2015 = at 2 - bt +c = a.(t - 2 b a ) 2 + c - 2 4 b a ( với a = 2013,2014 2014,2015 , b = 2 2014,2015 c = 2011,2012 2014,2015 , t = 1 x ) GTNN của Q = c- 2 4 b a ≈ 0,99851 10 [...]... Gii K thờm ng cao AH Cotg380 = BH HC 11 v Cotg320 = ; Do ú Cotg380 + Cotg320 = AH AH AH Tớnh c AH ta tớnh c BH v HC p dng Pi ta go tớnh c AB v AC 30 ỏp s AB 6,203211324 cm AC 7,206905832 cm Chỳ ý hc sinh tớnh toỏn cỏc cnh theo h thc toỏn hc ri mi thay s liu vo tớnh toỏn Khụng dựng mỏy tớnh tớnh tng on thng riờng bit vỡ s khú kim tra kt qu v cú th dn n sai sút do quỏ trỡnh lm trũn s Mt s bi tp tham