LỜI MỞ ĐẦU Đời sống khoa học ngày càng phát triển thì nảy sinh càng nhiều bài toán thực tế đòi hỏi toán học giải quyết. Một trong những nhu cầu thực tế là làm các phép toán mà ước lượng được sai sè. Vào năm 1972, trong một kết quả đăng trên tạp chí Proceedings of the Sixth Berkeley Symposium,Stein đã đưa ra phương pháp để có thể xác định mức độ chính xác của một xấp xỉ chuẩn tới phân phối của tổng các biến ngẫu nhiên phụ thuộc thoả mãn điều kiện mixing. Kể từ đó rất nhiều nhà toán học đã tham gia nghiên cứu mở rộng các kết quả về xấp xỉ chuẩn của Stein và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Bản luận văn đã chọn đề tài : “Phương pháp Stein cho xấp xỉ chuẩn” làm đề tài nghiên cứu của mình. Nội dung bản luận văn gồm 3 chương: Chương I: Giới thiệu phương pháp cơ bản của Stein, đưa ra các tính chất nghiệm của phương trình Stein vào xây dựng các đẳng thức Stein. Chương II: Trình bày bài toán xấp xỉ chuẩn với hàm trơn trong các trường hợp các biến ngẫu nhiên độc lập, các biến ngẫu nhiên phụ thuộc địa phương, các biến ngẫu nhiên thay đổi được. Chương III: Trình bày về cận Berry - Esseen đều trong trường hợp bị chặn và trường hợp độc lập; cận Berry - Esseen không đều trường hợp độc lập. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới thầy giáo TS. Trần Quang Vinh người tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu. 1 Tác giả xin chân thành cảm ơn tới các thầy trong tổ Toán ứng dụng khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã dìu dắt tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả xin bày tá lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy đã đọc và đóng góp nhiều ý kiến bổ sung quý báu góp phần làm luận văn được hoàn thiện. Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học nên bản luận văn này không tránh khỏi thiếu sót. Tôi kính mong các thầy cô cùng bạn đọc đóng góp ý kiến để luận văn được hoàn thiện hơn. Hà Nội, năm 2009. 2 CHƯƠNG 1: PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN CỦA STEIN 1.1. Giới thiệu Phương pháp Stein là cách ước lượng độ chính xác một xấp xỉ của một phân phối xác suất bởi một phân phối xác suất khác, được thực hiện bởi cách so sánh kỳ vọng như trong chuyên khảo “Approximate computation of expectations” của Stein xuất bản năm 1986. Mét cận trên sẽ được tính cho hiệu kỳ vọng, tính theo 2 phân phối khác nhau, của một hàm trong họ các hàm test. Chẳng hạn, nếu họ các hàm test chứa các hàm chỉ tiêu của tất cả các tập đo được thì độ chính xác được cho bởi khoảng cách biến phân toàn phần d TV giữa 2 phân phối TV A h H d (P,Q):= sup hdP hdQ sup P(A)-Q(A)- = ∈ ∫ ∫ ở đó H = {1 A : A đo được}. Nếu phân phối xác định trên R và hàm test là hàm chỉ tiêu trên nửa đường thẳng thì độ chính xác được xác định bởi khoảng cách Kolmogorov: K z h H d (P,Q): sup hdP hdQ sup P Q ( ;z] ( ,z] ∈ ∈ = − = − −∞ −∞ ∫ ∫ ¡ ở đó { } ( ,z] H 1 : z R −∞ = ∈ . Nếu hàm test là hàm Lipschitz đều với cận trên là hằng số 1 thì độ chính xác được xác định bởi khoảng cách Wassserstein W h H d (P,Q): sup hdP hdQ ∈ = − ∫ ∫ ở đó { } H h : R R, h 1 = → ≤ với g ký hiệu x sup g(x) ∈ ¡ . Nếu hàm test là hàm bị chặn đều và Lipschitz đều thì độ chính xác được xác định bởi khoảng cách Wassserstein ( ) BW k h H d (P,Q): sup hdP hdQ ∈ = − ∫ ∫ 3 ở đó { } H h : R R, h 1, h k ′ = → ≤ ≤ . Phương pháp Stein áp dụng cho tất cả các khoảng cách trên. Với xấp xỉ chuẩn trên R, Stein bắt đầu với việc nhận thấy với mọi hàm bị chặn f có đạo hàm bị chặn và Z là biến ngẫu nhiên chuẩn tắc thì { } E f (Z) zf(Z) 0 ′ − = (1.1) Thật vậy,ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 + + + x x x - - - ' 2 2 2 - - - 1 1 1 f x e dx= f x e + xf x e dx 2π 2π 2π ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞         ∫ ∫ ( ) 2 x 2 1 xf x e dx 2 +∞ − −∞ = π ∫ Tuy nhiên, bằng cách giải phương trình vi phân 2 x 2 f (x) xf (x) g(x), lim f (x)e 0 x − ′ − = = ↓−∞ (1.2) với g là một hàm bị chặn ta có ( ) ( ) ( ) { } 2 2 y y x x 2 2 g x e dx f ' x xf x e dx − − −∞ −∞ = − ∫ ∫ = ( ) 2 y x 2 d f x e dx dx − −∞           ∫ = ( ) 2 y 2 f y e − và do đó ( ) ( ) 2 2 y y x 2 2 f y e g x e dx − −∞ = ∫ Chó ý rằng f thực sự thỏa mãn ( ) y lim f y 0 ↓−∞ = vì Khi 4 ( ) 2 2 y x y 2 2 1 1 y e dx ~ e 2 y 2 − − −∞ Φ = π π ∫ thì −∞↓ y . Vậy f bị chặn khi và chỉ khi 2 x 2 g(x)e dx 0 +∞ − −∞ = ∫ hoặc tương đương Eg(Z) = 0. Vậy, với hàm bị chặn h, hàm f h định nghĩa bởi { } 2 2 x t 2 2 h f (x) e h(t) Eh(Z) e dt +∞ − −∞ = − ∫ (1.3) thỏa mãn (1.2) với g(x) = h(x) – Eh(Z). Thay thế x bởi biến ngẫu nhiên W trong (1.2) và lấy kỳ vọng ta được { } h h E f (W) Wf (W) Eh(W) Eh(Z) ′ − = − (1.4) Vậy đặc trưng (1.1) của phân phối chuẩn tắc đã đưa ra một cận trên cho xấp xỉ chuẩn đối với một trong các khoảng cách định nghĩa như trên: Với mọi líp H các hàm test h { } h h h H h H sup Eh(W)- Eh(Z) = sup E f (W)- Wf (W) ∈ ∈ ′ (1.5) 1.2. Đặc trưng Cho Z là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc, C bd là tập các hàm f : R R → liên tục và có đạo hàm liên tục trên từng đoạn thỏa mãn ( ) ' E f Z < ∞ . Phương pháp Stein dùa trên đặc trưng quan trọng sau: Bổ đề 1.1: Cho W là một biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực. Khi đó, W có phân phối chuẩn tắc khi và chỉ khi với mọi hàm bd f C ∈ ta có: { } ' (W) W (W) = Ef E f (1.6) Chứng minh: Điều kiện cần: Nếu W có phân phối chuẩn tắc thì với f C bd ∈ ta có: 5 ( ) ( ) 2 2 1 ' ' Ef W f .e d 2 ω − +∞ −∞ = ω ω π ∫ ( ) ( ) ( ) 2 2 0 x x 2 2 0 1 1 ' ' f . x .e dx d f x.e dx d 2 2 ω +∞ ∞ − − −∞ −∞ ω      ÷  ÷  ÷  ÷     = ω − ω + ω ω π π ∫ ∫ ∫ ∫ Theo định lý Fubini, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 x x x 2 2 x 0 0 x 1 1 ' ' ' Ef W f d .e dx f d .x.e dx 2 2 +∞ − − −∞    −  ÷  ÷     = ω ω + ω ω π π ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 x 2 1 f x f 0 x.e dx E W.f W . 2 +∞ − −∞     = − = π ∫ Điều kiện đủ: Với z R ∈ cố định, đặt ( ) ( ) z f : f ω = ω là nghiệm của phương trình: ( ) ( ) ( ( ) ( ) ;z ' f f 1 z −∞   ω − ω ω = ω − Φ . (1.7) Nhân cả hai vế (2.2) với 2 2 e ω − − ta được: ( ) ( ( ) ( ) 2 2 2 2 ;z ' e f e 1 z ω ω − − −∞   ω = − ω − Φ             suy ra ( ) ( ] ( ) ( ) 2 2 z 2 x 2 ;z f e 1 x z e dx ω ω − −∞ −∞     ω = −Φ ∫ ( ] ( ) ( ) 2 2 2 x 2 ;z e 1 x z e dx ω − +∞ −∞ ω = −   − Φ   ∫ 6 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 .e 1 z z (1.8) 2 .e z 1 z ω ω π Φ ω − Φ ω ≤ = π Φ − Φ ω ω ≥                Bằng Bổ đề 2.2 dưới đây, f z là hàm liên tục bị chặn và khả vi liên tục trên từng đoạn. Giả sử (1.6) đúng với mọi bd f C∈ . Từ đó áp dông cho hàm f z thì từ (1.7) ta có: ( ) ( ) ( ] ( ) ( ) ( ) ( ) ' z z ;z 0 E f W Wf W E 1 Z P W z z               −∞ = − = ω −Φ = ≤ −Φ Nh vậy W có phân phối chuẩn. Phương trình (1.7) là một trường hợp đặc biệt của phương trình Stein tổng quát ( ) ( ) ( ) ( ) ' f f h Eh Z ω − ω ω = ω − (1.9) mà nã sẽ được giải cho f với mét hàm h đo được nhận giá trị thực cho trước thỏa mãn ( ) E h Z < ∞ . Tương tù (1.8), nghiệm h f = f được cho bởi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 x 2 2 2 2 2 x 2 2 f e h x Eh Z e dx h e h x Eh Z e dx − ∞ ω −ω ω −∞ ω − ω = −  ∫   = − −  ∫   (1.10) 1.3. TÝnh chất của nghiệm Chóng ta trình bày mét vài tính chất cơ bản của nghiệm các phương trình (1.8) và (1.10) liên quan tới phương trình Stein (1.7) và (1.9). Bổ đề 1.2: Giả sử f z là hàm được định nghĩa bởi (1.8). Khi đó, )(f Z ωω là một hàm tăng của ω . (1.11) Hơn nữa, với mọi sè thùc ω , u và v ta có: 7 ( ) ( ) ( ) 1; 1 ≤ − ≤ z z z f f uf u ω ω ω ω (1.12) ( ) ( ) ( ) ' ' ' 1; 1 ≤ − ≤ z z z f f f v ω ω (1.13) ( ) 2 1 0 min ; 4   < ≤  ÷  ÷   z f z π ω (1.14) và: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4    ÷  ÷   + + − + + ≤ + + z z u f u v f v u v π ω ω ω ω ω (1.15) Chứng minh: Vì z z f ( ) f ( ) − ω = −ω nên ta chỉ cần xét trường hợp z 0 ≥ . Với 0 ω > thì 2 2 2 x x 2 2 2 x e e dx e dx ω − ∞ ∞ − − ω ω ≤ = ω ω ∫ ∫ và từ đó 2 2 x 2 2 2 (1 ) e dx e ω ∞ − − ω + ω ≥ ω ∫ Bằng cách so sánh đạo hàm hai hàm có : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 e e 1 1 2 2 ω ω − − ω ≤ − Φ ω ≤ + ω π ω π (1.16) suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 z 2 2 2 1 z 1 e z 2 f 2 z 1 e 1 z 2 ω ω    ω π −Φ + ω Φ ω + ω≤   ÷  ÷ π    ′ ω ω =     ω πΦ + ω − Φ ω − ω >  ÷   ÷ π    suy ra ( ) ( ) ' z f 0 ω ω ≥ ( ta chứng minh được (1.11) ) 8 Ta có ( ) ( ) z x lim f z 1 →−∞ ω ω = Φ − và ( ) ( ) z x lim f z →∞ ω ω = Φ (1.17) Kết hợp với (1.11) ta có (1.12) . T ừ (1.7) ta có: ( ) ( ) { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ' z z z z z 1 2 2 f f I z f 1 z khi z f z khi z 2 e 1 1 z khi z (1.18) 2 e 1 1 z khi z ω≤ ω ω ω =ω ω + −Φ ω ω + −Φ ω< =  ω ω −Φ ω>     πω Φ ω + −Φ ω<   ÷    =     πω −Φ ω − Φ ω>  ÷   ÷    Từ ( ) z f ω ω là một hàm tăng đối với ω kết hợp (1.16) và (1.17) ta có: ( ) ( ) ( ) ' z z 0 f zf z 1 z 1 < ω ≤ + − Φ < với z ω < (1.19) và ( ) ( ) ( ) ' z z 1 zf z z f 0 − < −Φ ≤ ω < khi z ω > (1.20) Do đó với bất kỳ ω và v ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' z z z z f f v max 1,zf z 1 z zf z z 1ω − ≤ + − Φ − − Φ = điều này suy ra (1.13) Để ý rằng ,từ (1.19) và (1.20) , z f đạt giá trị lớn nhất tại z.Thật vậy ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 z 2 z z 0 f f z 2 e z 1 z < ω ≤ = π Φ − Φ (1.21) Từ (1.16), ( ) z 1 f z z ≤ . Để hoàn thành chứng minh (1.14), đặt ( ) ( ) ( ) ( ) 2 z 2 1 g z z 1 z e 4 − = Φ − Φ − và ( ) ( ) 1 2 z 1 z g z 4 2 2 Φ = + − π π 9 Để ý rằng ( ) ( ) 2 1 z ' 2 1 g z e g z − = và : ở đó 1 2 0 4 z 2ln     =  ÷  ÷ π     . Như vậy , ( ) 1 g z là hàm giảm trên [ ) 0 0;z và tăng trên ( ) 0; z ∞ . Từ ( ) 1 g 0 0 = và ( ) 1 g ∞ = ∞ thì tồn tại 1 z >0 sao cho ( ) 1 g z 0 < với 1 0 z z< < và ( ) 1 g z 0 > với 1 z z > . Hơn nữa, g(z) cũng đạt maximum tại z=0 hoặc z = ∞ suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) g z max g 0 ,g 0≤ ∞ = tương đương ( ) z 2 f z 4 π ≤ Điều này hoàn thành chứng minh của (1.14). Bằng cách viết : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z z z z z z u f u v f v f u f v uf u vf v ω+ ω+ − ω+ ω+ = = ω ω+ − ω + + ω + − ω+ Kết hợp với (1.13), (1.14) và sử dụng biểu diễn Taylor ta chứng được (1.15). Chóng ta thường xuyên sử dông (1.13) và (1.14) cho các xấp xỉ của chúng ta. Nếu không quá quan tâm về các hằng sè, bằng cách sử dụng bất đẳng thức 2 2 1 1 1 ( ) min , e , 0 2 2 ω −   − Φ ω ≤ ω >  ÷ ω π   ta dễ dàng chứng minh được 10 ( ) 2 0 ' z 1 0 0 0 0 z z 1 1 g z e 0 z z 4 0 z z − < ≤ <   = − = =  π  > >  [...]... lý được chứng minh 2.3 Cặp biến ngẫu nhiên thay đổi được Cho W là mét biến ngẫu nhiên ( không nhất thiết là tổng của các biến ngẫu nhiên độc lập) Giả sử W là xấp xỉ chuẩn, và chúng ta sẽ tìm hiểu mức độ chính xác của xấp xỉ Mét phương pháp cơ sở khác của Stein là đưa vào một biến ngẫu nhiên W’ khác xác định trên cùng không gian xác suất sao cho ( W, W’) là mét cặp biến ngẫu nhiên thay đổi được, nghĩa... dạng k X = ∑ X i 2 k −i i =1 Đặt S = X1 + X k là số các số trong các khai triển nhị phân của X n=2k, S là phân phối nhị thức cho k phép thử với xác xuất Khi 1 và do đó ta có 2 thể xấp xỉ bởi một phân phối chuẩn Chúng ta sẽ chỉ ra rằng xấp xỉ chuẩn tốt khi n lớn SĐịnh lý 3.3: Cho k thoả mãn 2k −1 < n ≤ 2k Đặt W= sup P (W ≤ z)-Φ (z) ≤ 6, 2k −1/2 z k 2 khi đó k 4 ( 3.13) Chứng minh: Giả sử I là một biến... cho z vào phương trình đầu của (3.5) và vào (3.3) cho ta: 3 2π n P(W ≤ z)-Φ ( z ) ≤ Φ(z+2δo ) − Φ (z) + (1 + ) ∑ E ξi 2 4 i=1 ≤ 3 2δ0 3 2π + (1 + )δ0 ≤ 3,3δ0 4 2π 2 (3.6) Tương tự , với z-2 δ0 thay cho z vào phương trình thứ hai của (3.5) và (3.3) ta chứng minh được định lý Vấn đề mấu chốt của chứng minh trên là viết E { Wf(W)} dưới dạng hàm của f’.Cụng thức hóa điều này chúng ta có: Định lý 3.2: Cho. .. (1.33) và (1.35) luôn đúng với mọi hàm f bị chặn liên tục tuyệt đối CHƯƠNG 2: XẤP XỈ CHUẨN VỚI HÀM TRƠN Trong phần này, chúng ta sẽ đưa ra các ước lượng Eh(W) - Eh(Z) cho rất nhiều líp các biến ngẫu nhiên W và h là một hàm trơn thoả mãn: h′ := sup h′(x) < ∞ (2.1) x Trước hết ta có kết quả sau: Định lý 2.1: Giả sử tồn tại sè δ sao cho với mọi hàm Lipschiz đều h ta có: Eh(W)- Eh(Z) ≤ δ h ' (2.2) Khi đó d...f z' (ω) ≤ 2 và 0 < f z (ω) ≤ π 2 Tiếp theo, chóng ta sẽ xét nghiệm fh của phương trình Stein (1.9) được cho bởi (1.10) với h là hàm liên tục tuyệt đối bị chặn Bổ đề 1.3.: Cho h:R → R là hàm liên tục tuyệt đối Nghiệm f h được cho bởi công thức (1.10) thoả mãn: f f  π '  ≤ min  h (.) − Eh( Z ) , 2 h ÷  2  h ' h ( ≤ min 2 h(.) − Eh( Z ) , 4 h f ′′... (t) ≥ 0 với mọi số thực t và +∞ ∫ −∞ K ( t ) dt = i Eξ 2 i +∞ ; ∫ −∞ 3 1 t K ( t ) dt = E ξ i 2 i (1.32) Cho h là một hàm đo được với E h ( Z ) < ∞ Đặt f=fh là nghiệm tương ứng của phương trình Stein (1.9) Mục đích của chúng ta là ước lượng 15 ( ' Eh ( W ) − Eh ( Z ) = E f ( W ) − Wf ( W ) ) Phương pháp dưới đây là cơ sở để có được ước lượng trên Vì ξ và W ( i ) độc lập với mỗi 1 ≤ i ≤ n và E ξ =0 nên... có: { }   ( i)   E  f ' ( W ) − f '  W + t ÷ K i ( t ) dt ∫ i=1 −∞    n ∞ E f ' ( W ) − Wf ( W ) = ∑ (1.35) Phương trình (1.33) và (1.35) đóng vai trò quan trọng trong việc chứng minh xấp xỉ chuẩn Để ý rằng trong trường hợp đặc biệt, (1.35) là một đẳng thức thay thế các cận cho η và η dẫn tới : 2 1 16 sup Eh ( W ) − Eh ( Z ) ≤ C n − 1 2 H h∈H 3  1  1+ E X   1  2  '' (với H là một lớp... nghiệm phương trình Stein (1.6) Giả sử rằng tồn tại các biến ngẫu nhiên R1 , R2 ; M (t ) ≥ 0 và các hằng số δ o , δ1 , δ 2 , không phụ thuộc vào z sao cho: ∫ M (t ) dt=1 (3.7) t ≤δ 0 R1 ≤ δ1 ; E(R 2 ) ≤ δ 2 (3.8) và     E { W f z (W)} = E  ∫ f z' (W+R 1 + t ) M (t )dt  + E ( R2 )  t ≤δ 0    (3.9) Khi đó sup P(W ≤ z)-Φ (z) ≤ 2,1( δ o + δ1 ) + δ 2 z (3.10) Chứng minh: Vì f z thoả mãn phương. .. (3.7), (3.8), (3.9) thoả mãn với δ1 = δ0 và δ 2 = 0 và do đó (3.10) thoả mãn với cận 4.2δ0 Trong phần tiếp theo, sử dụng phương pháp cặp thay đổi, chúng ta minh hoạ cách sử dụng Định lý 3.2 để nhận được cận Berry – Esseer cho khai triển nhị phân mở rộng của số nguyên ngẫu nhiên 33 Cho n ≥ 2 là số tự nhiên và X là một biến ngẫu nhiên có phân phối đều trên tập { 0,1,2, n − 1} Với k thoả mãn 2k −1 < n...  2 ω2 2 ω   −   e 2 ÷ + c1  ω + 2π ( 1 + ω2 ) e Φ ( ω ) ÷ −ω ( 1 − Φ ( ω ) ) +  ÷ 2π ÷   ÷   2 ω2 2 = h ' ( ω ) + c1 ≤ 2c1 (1.29) 1.4 Xây dựng các đẳng thức Stein Trong phần này, chúng ta trở lại phương pháp cơ sở mà Stein sử dông Giả sử ξ1 , ξ 2 , ξ3 ξ n là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối thoả mãn E ξi =0, ( 1 ≤ i ≤ n ) và n ∑Eξ 2 i i =1 =1 Đặt n W = ∑ξi và W ( i ) = W −ξi . nghiên cứu mở rộng các kết quả về xấp xỉ chuẩn của Stein và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Bản luận văn đã chọn đề tài : Phương pháp Stein cho xấp xỉ chuẩn làm đề tài nghiên cứu của. chương: Chương I: Giới thiệu phương pháp cơ bản của Stein, đưa ra các tính chất nghiệm của phương trình Stein vào xây dựng các đẳng thức Stein. Chương II: Trình bày bài toán xấp xỉ chuẩn với hàm trơn. Wassserstein ( ) BW k h H d (P,Q): sup hdP hdQ ∈ = − ∫ ∫ 3 ở đó { } H h : R R, h 1, h k ′ = → ≤ ≤ . Phương pháp Stein áp dụng cho tất cả các khoảng cách trên. Với xấp xỉ chuẩn trên R, Stein bắt