TRNG THPT LNG TM GV SON: PHM MINH EN Chuyờn 1: TIP TUYN A. Cỏc dng c bn: Dng 1: Bit tip im ( ) ( ) Cyx 00 ; PP: p dng phng trỡnh tip tuyn vi (C) ti M l: ))(()( 000 xxxfxfy == Dng 2: Tip tuyn cú h s gúc k cho trc. PP: Cỏch gii 1: - Gii phng trỡnh f (x) = k tỡm tip im 0 x , sau ú tớnh f( 0 x ). - Th 0 x vo cụng thc ca dng 1. Cỏch gii 2: - Tip tuyn cú phng trỡnh dng y = kx + b (T) - Da vo iu kin (T) tip xỳc vi (C) tỡm b. Chỳ ý Tip tuyn song song vi ng thng cho trc: Bc u tỡm h s gúc ca ng thng cho trc, t ú suy ra h s gúc ca tip tuyn l h s gúc ca ng thng cho trc. Tip tuyn vuụng gúc vi ng thng cho trc: Bc u tỡm h s gúc ca ng thng cho trc, ri ỏp dng cụng thc hai ng thng vuụng gúc thỡ 1. 21 =kk tỡm h s gúc ca tip tuyn. Dng 3: Tip tuyn xut phỏt t 1 im M ( ) ; cho trc PP: Cỏch gii 1: - Gi phng trỡnh tip tuyn cú phng trỡnh dng )( = xky (T) - Da vo iu kin (T) tip xỳc (C) tỡm k. Cỏch gii 2: - Gi phng trỡnh tip tuyn cú phng trỡnh dng )( 00 xxkyy = (T) - (T) i qua im M ( ) ; nờn )( 00 xky = (*) - Gii phng trỡnh (*) tỡm 0 x (S nghim ca (*) l s tip tuyn cn tỡm). B. Bi tp: B i 1: Cho hàm số 1 2 2 xy x += , có đồ thị (C). Lập PTTT với (C) tại điểm có hoành độ bằng 1. B i 2: Cho hàm số 1 1 3 2 3 2 y x x= + , có đồ thị (C). Lập PTTT với (C) tại điểm ( ) 5 1; 6 B C ữ . B i 3: Cho hàm số 3 2 2 3 12 1y x x x= + - - , có đồ thị (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại đó đi qua gốc toạ độ. (ĐH Công Đoàn 01) B i 4: Cho hàm số = + 3 2 1y x mx m . Viết PTTT tại các điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi giá trị của m. (ĐH AN A00) B i 5: Cho hàm số = + 3 3 3 2y x mx m , có đồ thị (C ) m . CMR tiếp tuyến với (C ) m tại điểm uốn luôn đi qua một điểm cố định. B i 6: Cho hàm số = + + 3 2 3 3 1y x x x , có đồ thị (C). Tìm trên (C) những điểm mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc lớn nhất. B i 7: Cho hàm số 1 3 1 3 y x x= + , có đồ thị (C). Trong tất cả các tiếp tuyến với đồ thị (C), hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. B i 8: Cho 2 3 2 x y x - = - , có đồ thị (C). Tìm các điểm có toạ độ nguyên của (C) và viết PTTT tại các điểm đó. (ĐH CSNDII 01) B i 9: Cho hàm số = + + 4 2 ( 1)y x mx m , có đồ thị (C ) m . TI LIU ễN THI I HC 2009 2010 Trang 1 TRNG THPT LNG TM GV SON: PHM MINH EN a. Tìm các điểm cố định của (C ) m khi m thay đổi. b. Gọi A là điểm cố định có hoành độ dơng của (C ) m . Tìm giá trị của m để tiếp tuyến với (C ) m tại A song song với đờng thẳng y=2x. (ĐH SP Vinh-G99) B i 10: Cho hàm số 2 2 x y x = + , có đồ thị (C). Lập PTTT với (C) biết nó song song với phân giác của góc phần t thứ nhất tạo bởi các trục toạ độ. B i 11: (ĐH CĐ-D2002) Cho hàm số 2 (2 1) (C) 1 m x m y x - - = - . Tìm m để đồ thị hàm số (C) tiếp xúc với đờng thẳng y=x B i 12: (ĐH Thái Nguyên-D2000) Cho hàm số 3 2 m 3 3 3 4 (C )y x x mx m= + + + . Với giá trị nào của m thì đ- ờng cong (C m ) tiếp xúc với Ox B i 13: Cho hàm số = + 3 2 3 2y x x , có đồ thị (C). Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đờng thẳng 5y-3x+4=0. (ĐH Nông NghiệpI-B99) B i 14: Cho hàm số = + + 4 2 2 2 1y x mx m , có đồ thị (C ) m . a. CMR (C ) m luôn đi qua hai điểm cố định A, B. b. Tìm m để tiếp tuyến tại hai điểm A, B vuông góc với nhau. (ĐH Huế 98) B i 15: Cho hm s ( ) m C : 3 x 1y mx m= + . Vit phng trỡnh tip tuyn ca th ( ) m C ti giao im ca ( ) m C vi Oy. Tỡm m tip tuyn núi trờn chn hai trc ta tam giỏc cú din tớch bng 8. B i 16: Cho ( ) m C : 3 2 x 3 1y x mx= + + + . a) Tỡm m ( ) m C ct ng thng y = 1 ti 3 im phõn bit C(0;1), D, E. b) Tỡm m cỏc tip tuyn vi ( ) m C ti D v E vuụng gúc nhau. B i 17: Cho hàm số + + = + 2 2 2 1 x x y x , có đồ thị (C). CMR có hai tiếp tuyến của (C) đi qua A(1;0) và vuông góc với nhau. (Dợc HN 99) B i 18: Cho hàm số 2 2 2 1 x x y x + + = + , có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C). CMR không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua I. B i 19: Cho 2 1 1 x x y x + + = + , có đồ thị (C). Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm M(-1;0) và tiếp xúc với (C). B i 20: Cho hàm số + = 2 1 x mx m y x , có đồ thị (C ) m . Tìm tất cả các giá trị của m sao cho hai tiếp tuyến với đồ thị (C ) m kẻ từ O(0;0) vuông góc với nhau. (ĐH DL Hùng Vơng B00) B i 21: Cho hàm số 2 x mx m y x - + = , có đồ thị (C ) m . Tìm các giá trị của m sao cho từ điểm M(2;-1) có thể kẻ đến (C ) m hai tiếp tuyến khác nhau. (CĐ Cộng Đồng Vĩnh Long-A,B05) Chuyờn 2: CC TR CA HM S I CC TR CA HM S BC BA V CC BI TON LIấN QUAN: 1 Tỡm iu kin hm s cú cc tr: Phng phỏp: Cho hm s 3 2 axy bx cx d= + + + thc hin cỏc yờu cu v iu kin cú cc tr ca hm s ta thc hin theo cỏc bc: Bc 1: Ta cú: - TX: D = R o hm : 2 2 ' '( ) 3 2 , ' 0 3 2 0y f x ax bx c y ax bx c= = + + = + + = (*) Bc 2: Vi cỏc yờu cu. a) Hm s khụng cú cc tr TI LIU ễN THI I HC 2009 2010 Trang 2 TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÂM GV SOẠN: PHẠM MINH ĐEN Trường hợp 1: Nếu a = 0, ta có y ′ = 2bx + c Hàm số không có cực trị y ′ ⇔ không đổi dấu 0 0 b c =  ⇔  ≠  Trường hợp 2: Nếu 0a ≠ Hàm số không có cực trị y ′ ⇔ không đổi dấu 0 ′ ⇔ ∆ ≤ b) Hàm số có cực trị: Trường hợp 1:Nếu a = 0, ta có y ′ = 2bx + c Hàm số có cực trị 0b⇔ ≠ Trường hợp 2: Nếu 0a ≠ Hàm số có cực trị ⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt 0 0 a ≠  ⇔  ′ ∆ >  c) Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt 0 0 a ≠  ⇔  ′ ∆ >  d) Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ thỏa mãn điều kiện K. Ta thực hiện các bước sau:  Bước 1: Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt 0 0 a ≠  ⇔  ′ ∆ >  Khi đó, (*) có hai nghiệm 1 2 ,x x thỏa mãn hệ thức Viét: 1 2 1 2 . b x x a c x x a  + = −     =    Bước 2: Kiểm tra điều kiện K. e) Hàm số có cực đại, cực tiểu và CĐ CT x x< ⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt và a > 0 0 0 a >  ⇔  ′ ∆ >  f) Hàm số có cực đại, cực tiểu và CĐ CT x x> ⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt và a < 0 0 0 a <  ⇔  ′ ∆ >  g) Hàm số có cực tiểu tại 0 x 0 0 ( ) 0 ( ) 0 y x y x ′ =  ⇔  ′′ >  h) Hàm số có cực đại tại 0 x 0 0 ( ) 0 ( ) 0 y x y x ′ =  ⇔  ′′ <  Ví dụ 1: Cho hàm số ( ) 3 2 1 1 mx 1 3( 2) 3 3 y m x m x= − − + − + . Tìm m để: a) Hàm số có cực đại, cực tiểu 1 2 ,x x thỏa mãn 1 2 2 1x x+ = b) Hàm số có cực đại, cực tiểu có hoành độ dương c) Hàm số có cực đại, cực tiểu và CĐ CT x x< d) Hàm số đạt cực đại tại x = 0. Ví dụ 2: Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 2x 3 2 6( 2) 1 m y m x m x C= + − + − − , m là tham số. Với giá trị nào của m thì ( ) m C có cực đại, cực tiểu thỏa mãn: 2 CĐ CT x x+ = 2 – Đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số: Bài toán: Cho hàm số 3 2 axy bx cx d= + + + . Hãy xác định phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số. Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước sau:  Bước 1: Ta có: - TXĐ: D = R TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC 2009 – 2010 Trang 3 TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÂM GV SOẠN: PHẠM MINH ĐEN Đạo hàm : 2 2 ' '( ) 3 2 , ' 0 3 2 0y f x ax bx c y ax bx c= = + + = ⇔ + + = (*)  Bước 2: Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt 0 0 a ≠  ⇔  ′ ∆ >  (**)  Bước 3: Khi đó, tọa độ điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số thỏa mãn hệ: 2 2 0 3 2 0 Ax ( ) ( ) (3 2 ). ( ) Ax y ax bx c y B y f x y f x ax bx c g x B ′  = + + =   ⇔ ⇒ = +   = = = + + + +    (***) Tức là, tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu cùng thỏa mãn phương trình (***) (Chú ý: g(x) là thương của phép chia f(x) cho ( )f x ′ , còn Ax + B là số dư)  Bước 4: Vậy, phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu hàm số có dạng y = Ax + B, với điều kiện (**). Ví dụ 1: Cho hàm số 3 2 x 3 9y x x= − − . Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số. Ví dụ 2: Cho hàm số 3 2 3x 3 2y x x= − − + . Lập phương trình đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số. Ví dụ 3: Cho hàm số 3 2 2x 3( 1) 6( 2) 1y m x m x= + − + − − . Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu và lập phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số. 3) Xác định các thuộc tính của điểm cực trị: Bài toán: Cho hàm số 3 2 axy bx cx d= + + + . Xác định m để điểm cực trị của đồ thị hàm số thỏa mãn điều kiện K. Phương pháp: ta thực hiện theo các bước sau:  Bước 1: Ta có: - TXĐ: D = R Đạo hàm : 2 2 ' '( ) 3 2 , ' 0 3 2 0y f x ax bx c y ax bx c= = + + = ⇔ + + = (*)  Bước 2:Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt 0 0 a ≠  ⇔  ′ ∆ >  (**) Khi đó, (*) có hai nghiệm 1 2 ,x x thỏa mãn hệ thức Viét: 1 2 1 2 2 3 . 3 b x x a c x x a −  + =     =    Bước 3: Ta thực hiện phép chia đa thức y cho y ′ ta được: 1 1 1 2 2 2 . ( ) ( ) ( ) ( ); ( ) ( )y y g x h x y y x h x y y x h x ′ = + ⇒ = = = = Vậy, tọa độ các điểm cực trị là 1 1 2 2 ( , ) à ( , )A x y v B x y  Bước 4: Kiểm tra A, B thỏa mãn điều kiện K ⇒ m (Kết hợp với (**) ) Ví dụ 1: Cho hàm số ( ) 3 2 3 2 m y x mx m C= − + . Xác định m để điểm cực đại, cực tiểu của (C m ) ở về hai phía đường thẳng y = x. Ví dụ 2: Cho hàm số 3 2 3 3 4y x mx m= − + . Xác định m để điểm cực đại, cực tiểu của (C m ) ở về hai phía đường thẳng y = x. Ví dụ 3: Cho hàm số 3 2 1 1 3 y x mx x m= − − + + . CMR: với mọi m hàm số đã cho luôn có cực đại và cực tiểu. Hãy xác định m sao cho khoảng cách giữa các điểm cực đại và cực tiểu nhỏ nhất. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tìm m để hàm số 3 2 3 ( 1) 2y x mx m x= − + − + đạt cực tiểu tại x = 2. Bài 2: Tìm điều kiện để tham số m để các hàm số sau có cực trị: a) 3 2 1 ( 2) 1 3 y x mx m x= − + + − TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC 2009 – 2010 Trang 4 TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÂM GV SOẠN: PHẠM MINH ĐEN b) 3 2 1y x mx= − + c) 3 2 ( 2) 3 5y m x x mx= + + + − Bài 3: Tìm các giá trị của m để đồ thị của các hàm số sau có cực đại và cực tiểu. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số. a) 3 2 2 3( 1) 2( 7 2) 2 ( 2)y x m x m m x m m= − + + + + − + b) 3 2 3 3( 3) 11 3y x m x m= + − + − c) 3 2 2 3( 1) (2 3 1) ( 1)y x m x m m x m m= − + + − + − − d) 3 2 7 3y x mx x= + + + e) 3 2 2 2 3(3 1) 12( ) 1y x m x m m x= − + + + + Bài 4: Cho hàm số 3 2 1 ( 2) 2( 2) 1 3 y x m x m x= − − + − + . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại các điểm 1 2 ,x x thỏa mãn: 1 2 2 1x x+ = . Bài 5: Cho hàm số 3 2 2 3(2 1) 6 ( 1) 1y x m x m m x= − + + + + . Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có hai điểm cực trị đối xứng qua đường thẳng y = x + 2. Bài 6: Tìm m để: a) 253 23 +++= xxmxy đạt cực trị tại x = 2. b) 132 23 −+−= xxmxy đạt cực trị tại x = -1 c) 232 22 +−−= mmxxmy có giá trị cực đại bằng – 3 d) xxmy 3sin 3 1 sin += có giá trị cực trị tại 3 π =x . e) ( ) 121 3 +−−= mxxmy không có cực trị. Bài 7: Cho hàm số 132 23 −+−= xxaxy . Tìm a, b, c để hàm số đạt cực trị tại A(-2;16) và B(2;-16). Bài 8: Cho hàm số )1()232()1(3 223 −−+−+−−= mmxmmxmxy (m là tham số). a) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu. b) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị. c) Tìm m để đường thẳng nối 2 điểm cực trị song song với đường thẳng: xy 3 2 −= Bài 9: Cho hàm số 1)2(6)1(32 23 −−+−−= xmxmxy . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị. Bài 10: Tìm m để hàm số 3 2 2 2 1 ( 2) (3 1) 5 3 y x m m x m x m= + − + + + + − đạ cực tiểu tại x = - 2 Bài 11: Tìm m để 3 2 2 3( 1) 6(1 2 )y x m x m x= + − + − có CĐ, CT nằm trên đường thẳng (d): y = - 4x Bài 12: Tìm m để 3 2 7 3y x mx x= + + + có đường thẳng đi qua CĐ, CT vuông góc với đường thẳng y 3x 7= − . Bài 13: Tìm m để hàm số 3 2 2 3y x x m x m= − + + có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua (d): 1 5 y x - 2 2 = Bài 14: Cho hàm số 3 2 2 2 ( 1) ( 4 3) 3 y x m x m m x= + + + + + . Gọi các cực trị là 1 2 ,x x , tìm Max của ( ) 1 2 1 2 y . 2x x x xΑ = − + . Bài 15: Tìm m để hàm số 3 2 1 1 3 y x mx mx= − + − đạt cực trị tại 1 2 ,x x thỏa mãn điều kiện 1 2 8x x− ≥ . Bài 16: Tìm m để hàm số 3 2 1 1 3 y x mx x m= − − + + có khoảng cách giữa các điểm CĐ, CT là nhỏ nhất. II – CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẬC BỐN VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN: 1 – Tìm điều kiện để hàm số có cực trị: Phương pháp: Cho hàm số 4 2 ax= + +y bx c TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC 2009 – 2010 Trang 5 TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÂM GV SOẠN: PHẠM MINH ĐEN Để thực hiện các yêu cầu về điều kiện có cực trị của hàm số ta thực hiện theo các bước:  Bước 1: Ta có: - TXĐ: D = R Đạo hàm : ( ) 3 3 2 ' '( ) 4 2 , ' 0 4 2 0 2 2 0= = + = ⇔ + = ⇔ + =y f x ax bx y ax bx x ax c (*)  Bước 2: Với các yêu cầu. a) Hàm số không có cực trị y ′ ⇔ không đổi dấu 0 0 =  ⇔  =  a c b) Hàm số có cực đại, cực tiểu (hoặc có 3 cực trị) 0 ⇔ < ac c) Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ thỏa mãn điều kiện K. Ta thực hiện các bước sau:  Bước 1: Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ (*) có ba nghiệm phân biệt Khi đó, (*) có hai nghiệm 1 2 3 , ,x x x thỏa mãn hệ thức Viét  Bước 2: Kiểm tra điều kiện K. d) Hàm số 1 cực đại và 2 cực tiểu ⇔ (*) có 3 nghiệm phân biệt và a > 0 e) Hàm số 2 cực đại và 1 cực tiểu ⇔ (*) có 3 nghiệm phân biệt và a < 0 f) Hàm số chỉ có một cực trị Nếu (*) . ( ) 0⇔ =x g x thì hàm số chỉ có 1 cực trị 0 ⇔ > ac g) Hàm số chỉ có cực đại mà không có cực tiểu Ta thực hiện theo các bước sau:  Bước 1: Biến đổi (*) về dạng . ( ) 0=x g x  Bước 2: Hàm số chỉ có cực đại mà không có cực tiểu 0 0 <  ⇔  ≤  a c h) Hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại Ta thực hiện theo các bước sau:  Bước 1: Biến đổi (*) về dạng ( ) 0 . ( ) 0x x g x− =  Bước 2: Hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại 0 0 >  ⇔  ≥  a c i) Hàm số có cực tiểu tại 0 x 0 0 ( ) 0 ( ) 0 y x y x ′ =  ⇔  ′′ >  j) Hàm số có cực đại tại 0 x 0 0 ( ) 0 ( ) 0 y x y x ′ =  ⇔  ′′ <  Ví dụ 1: Cho hàm số 4 2 x ( 1) 1 2y m m x m= + − + − . Xác định m hàm số chỉ có một cực trị. 2 – Đường cong đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số: Bài toán: Cho hàm số 4 3 2 ( , ) axy f x m bx cx dx e= = + + + + ( 0a ≠ ). Hãy xác định phương trình đường cong đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số. Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước sau:  Bước 1: - TXĐ: D = R Đạo hàm : 3 2 3 2 ' '( ) 4 3 2 , ' 0 4 3 2 0y f x ax bx cx d y ax bx cx d= = + + + = ⇔ + + + = (*)  Bước 2: Hàm số có 3 cực trị ⇔ (*) có 3 nghiệm phân biệt (**)  Bước 3: Khi đó, tọa độ điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số thỏa mãnhệ: 3 2 2 3 2 2 0 4 3 2 0 Ax ( ) ( ) (4 3 2 ). ( ) Ax y ax bx cx d y Bx C y f x y f x ax bx cx d g x Bx C ′  = + + + =   ⇔ ⇒ = + +   = = = + + + + + +    (***) Tức là, tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu cùng thỏa mãn phương trình (***) (Chú ý: g(x) là thương của phép chia f(x) cho ( )f x ′ , còn 2 Ax Bx C+ + số dư) TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC 2009 – 2010 Trang 6 TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÂM GV SOẠN: PHẠM MINH ĐEN  Bước 4: Vậy, phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu hàm số có dạng 2 Axy Bx C= + + , với điều kiện (**). Ví dụ 1: Cho hàm số 4 2 x ( 1) 1y m x= + + + . a) Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu. b) Xác định phương trình đường cong đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số. 3 – Xác định các thuộc tính của điểm cực trị: Bài toán: Cho hàm số 4 3 2 ( , ) axy f x m bx cx dx e= = + + + + ( 0a ≠ ). Hãy xác định m để các cực điểm cực trị của đồ thị hàm số thỏa mãn điều kiện K. Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước sau:  Bước 1: - TXĐ: D = R Đạo hàm : 3 2 3 2 ' '( ) 4 3 2 , ' 0 4 3 2 0y f x ax bx cx d y ax bx cx d= = + + + = ⇔ + + + = (*)  Bước 2: Hàm số có 3 cực trị ⇔ (*) có 3 nghiệm phân biệt Khi đó, (*) có hai nghiệm 1 2 3 , ,x x x thỏa mãn hệ thức Viét 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 3 . . 4 2 . . . 4 . . 4 b x x x a c x x x x x x a d x x x a  = −    + + =    = −   Lưu ý: Nếu y ′ phân tích được thành 2 0 ( ).(Ax )y x x Bx C ′ = − + + , ta có: 2 3 2 3 . B x x A C x x A  + = −     =    Bước 3: Thực hiện phép chia đa thức y cho y ′ ta được: y = y ′ .g(x) + h(x) Do đó 1 1 1 2 2 2 3 3 3 ( ) ( ); ( ) ( ) ; ( ) ( )y y x h x y y x h x y y x h x= = = = = = Vậy, tọa độ các điểm cực trị là 1 1 2 2 3 3 ( , ), ( , ) à ( , )A x y B x y v C x y  Bước 4: Kiểm tra A, B và C thỏa mãn điều kiện K ⇒ m (Kết hợp với (**) ) Ví dụ 1: Cho hàm số 4 2 4 x 2 2y mx m m= − + + . a) Khảo sát hàm số khi m = 1. b) Xác định m để hàm số có 3 điểm cực trị là đỉnh của một tam giác đều. Ví dụ 2: Cho hàm số 4 2 2 x 2 1y m x= − + . a) Khảo sát khi m = 1. b) Xác định m để hàm số có 3 điểm cực trị là đỉnh của một tam giác vuông cân. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tìm m để hàm số 4 2 x ( 1) 1y m x m= + − + − chỉ có một cực trị. Bài 2: Cho hàm số 4 2 x 2 3y mx= + + . a) Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu. b) Xác định phương trình đường cong đi qua các điểm cực đại cực tiểu. Bài 3: Cho hàm số 4 2 x 2y mx m= − + . Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn: a) Thành lập một tam giác đều. b) Lập thành tam giác vuông. c) Lập thành một tam giác có diện tích bằng 4. Bài 4: Cho hàm số 10)9( 224 +−+= xmmxy . Tìm m để hàm số có 3 cực trị. Bài 5: Tìm m để 4 2 4 2 2y x mx m m= − + + có CĐ, CT lập thành tam giác đều. III – CỰC TRỊ CỦA HÀM HỮU TỶ BẬC HAI TRÊN BẬC NHẤT: 1 – Tìm điều kiện để hàm số có cực trị: TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC 2009 – 2010 Trang 7 TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÂM GV SOẠN: PHẠM MINH ĐEN Phương pháp: Cho hàm số 2 ax ( , ) bx c y f x m dx e + + = = + Để thực hiện các yêu cầu về điều kiện có cực trị của hàm số, ta thực hiện:  Bước 1: - TXĐ: \ e D R d   = −     - Đạo hàm: ( ) 2 2 Ax Bx C y dx e + + ′ = + 2 0 ( ) Ax 0y g x Bx C ′ = ⇔ = + + = (1)  Bước 2: Với các yêu cầu. a) Hàm số không có cực trị: + Nếu A = 0, ta có ( ) 2 Bx C y dx e + ′ = + Hàm số không có cực trị y ′ ⇔ không đổi dấu 0 0 B C =  ⇔  ≠  + Nếu 0A ≠ Hàm số không có cực trị y ′ ⇔ không đổi dấu 0 g ⇔ ∆ ≤ b) Hàm số có cực trị + Nếu A = 0, ta có ( ) 2 Bx C y dx e + ′ = + Hàm số không có cực trị 0B⇔ ≠ + Nếu 0A ≠ Hàm số không có cực trị ⇔ (1) có 2 nghiệm phân biệt 0 0 g A ≠  ⇔  ∆ >  c) Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 0 0 g A e d e g d   ≠   − ⇔ ∆ >      − ≠  ÷     d) Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ thỏa mãn điều kiện K Ta thực hiện theo các bước sau:  Bước 1: Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 0 0 g A e d e g d   ≠   − ⇔ ∆ >      − ≠  ÷     Khi đó, (1) có hai nghiệm 1 2 ,x x thỏa mãn hệ thức Viét  Bước 2: Kiểm tra điều kiện K. e) Hàm số có cực đại, cực tiểu và CĐ CT x x< TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC 2009 – 2010 Trang 8 TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÂM GV SOẠN: PHẠM MINH ĐEN ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt khác e d − và A > 0 0 0 0 g A e g d   >   ⇔ ∆ >      − ≠  ÷     f) Hàm số có cực đại, cực tiểu và CĐ CT x x> ⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt khác e d − và A < 0 0 0 0 g A e g d   <   ⇔ ∆ >      − ≠  ÷     g) Hàm số có cực tiểu tại 0 x 0 0 0 ( ) 0 ( ) 0 x D y x y x ∈   ′ ⇔ =   ′′ >  h) Hàm số có cực đại tại 0 x 0 0 0 ( ) 0 ( ) 0 x D y x y x ∈   ′ ⇔ =   ′′ <  Ví dụ 1: Cho hàm số 2 x 2 1 mx y mx + − = − . Xác định m để: a) Hàm số có cực trị. b) Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ thỏa 1 2 1 2 4 .x x x x+ = c) Hàm số có cực đại, cực tiểu có hoành độ dương. Ví dụ 2: Cho hàm số 2 x 1mx y x m + + = + . Xác định m đ hàm số đạt cực đại tại x = 2. 2 – Đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số: Bài toán: Cho hàm số 2 ax bx c y dx e + + = + . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số. Phương pháp:  Bước 1: - TXĐ: \ e D R d   = −     - Đạo hàm: ( ) 2 2 Ax Bx C y dx e + + ′ = + 2 0 ( ) Ax 0y g x Bx C ′ = ⇔ = + + = (1)  Bước 2: Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 0 0 g A e d e g d   ≠   − ⇔ ∆ >      − ≠  ÷     (*)  Bước 3: Khi đó, tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số thỏa mãn hệ: TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC 2009 – 2010 Trang 9 TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÂM GV SOẠN: PHẠM MINH ĐEN 2 2 2 2 ax 2 0 0 ax ( ) ax bx c ax b Ax Bx C y dx e d bx c y f x bx c y y dx e dx e  + + +  + + = =  ′ =    + ⇔ ⇔    + + = + + =    = +   +  (**) Tức là, tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu cùng thỏa mãn phương trình (**).  Bước 4: Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số có dạng : 2ax b y d + = , với điều kiện (*). 3 – Xác định các thuộc tính của điểm cực trị: Bài toán: Cho hàm số 2 ax ( ) ( ) bx c u x y dx e v x + + = = + . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn tính chất K. Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước sau:  Bước 1: Tìm TXĐ  Bước 2: Tính đạo hàm y ′ = g(x), thiết lập phương trình y ′ = g(x) = 0 (1)  Bước 3: Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 0 0 g A e d e g d   ≠   − ⇔ ∆ >      − ≠  ÷     (*)  Bước 4: Khi đó, (1) có hai nghiệm 1 2 ,x x thỏa mãn hệ thức Viét  Bước 5: Tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu là: 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) , ; , ( ) ( ) u x u x A x B x v x v x     ′ ′  ÷  ÷ ′ ′      Bước 6: Kiểm tra A, B thỏa mãn tính chất K ⇒ m (kết hợp với (*)) Bài tập : Tìm a, b để hàm số abx abbxax y + ++ = 2 đạt cực trị tại x = 0 và y = 4. Chuyên đề 3: SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ 1 – Biện luận số giao điểm bằng đại số: Cho hai đồ thị : ( 1 C ) : y = f(x) và ( 2 C ) : y = g(x) .  Số giao điểm của ( 1 C ) và ( 2 C ) chính là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của ( 1 C ) và ( 2 C ) : f(x) = g(x) (1) . • (1) vô nghiệm ⇔ ( 1 C ) và ( 2 C ) không có điểm chung . • (1) có n nghiệm ⇔ ( 1 C ) và ( 2 C ) có n điểm chung . • (1) có nghiệm nghiệm đơn 0 x ⇔ ( 1 C ) và ( 2 C ) cắt nhau tại ),( 000 yxM . • (1) có nghiệm kép 0 x ⇔ ( 1 C ) tiếp xúc ( 2 C ) tại ),( 000 yxM . Chú ý: Sự tiếp xúc của hai đồ thị ( 1 C ) : y = f(x) và ( 2 C ) : y = g(x) . Cách 1 : ( 1 C ) tiếp xúc ( 2 C ) ⇔ phương trình f(x) = g(x) có nghiệm kép . Khi đó nghiệm kép của phương trình là hoành độ giao điểm . Cách 2 : ( 1 C ) tiếp xúc ( 2 C ) ⇔ hệ    ′ = ′ = )()( )()( xgxf xgxf có nghiệm . Khi đó nghiệm của hệ là hoành độ tiếp điểm T Ví dụ 1: Cho hàm số ( ) 2 2 1 2 x y x + − = + , có đồ thị (C). Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng (d): mx – y + 1 = 0. TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC 2009 – 2010 Trang 10 [...]... trình x 3 − 3x 2 + 2 = 1 3 2 Bài tập 2 : Cho hàm số y = 2 x − 3(m + 3) x + 18mx − 8 ( Cm ) 1) Khảo sát hàm số khi m = 1 2) Tìm m để hàm số có cực đại tại x= 1 3) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu 4) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu có hoành độ dương 5) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu tại x1 và x2 sao cho x1 + 2 x2 = 1 6)Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu nằm hai phía trục Ox... vng tại O Bài 17: (Tuyển sinh ĐH, CĐ 2007 – Khối B) Cho hàm số , m là tham số 1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1 2 Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều góc tọa độ O Bài 18: (Tuyển sinh ĐH, CĐ 2007 – Khối D) 2x Cho hàm số y = x +1 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho 2 Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C)... tích bằng 4 Bài 19: (Tuyển sinh ĐH, CĐ 2008 – Khối A) mx 2 + (3m 2 − 2) x − 2 Cho hàm số y = (1) , m là tham số x + 3m 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1 2 Tìm các giá trị của m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng 450 Bài 20: (Tuyển sinh ĐH, CĐ 2008 – Khối B) Cho hàm số y = 4 x 3 − 6 x 2 + 1 (1) 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) 2 Viết... đó suy ra đồ thị hàm số y = x4 − 2 x2 + 1 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 3 2 Bài 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x − 3 x − 6 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3 − 3x 2 − 6 = m 3 2 Bài 2: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x − 3 x + 2 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình ( ) x x 2 − 3x = m 3 2 Bài 3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x + 3 x + 1 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình... hợp trung điểm I của đoạn thẳng AB khi m thay đổi Câu 3: Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 3mx + 3m + 4 , đồ thị là (C m ) 1) Xác định m để hàm số có cực trị 2) Xác định m để (C m ) tương ứng tiếp xúc với trục hồnh Câu 4: Cho hàm số y = − x 4 + 2mx 2 + m + 1 , m là tham số 1) Khảo sát hàm số khi m = - 1 2) Khi m = 1, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0;2] Câu 5: Cho hàm số y = f ( x) =... thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho 2 Gọi d là đường thẳng đi qua A(3;20) và có hệ số góc m Tìm m để đường thẳng d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt Bài 16: (Tuyển sinh ĐH, CĐ 2007 – Khối A) x 2 + 2(m + 1) x + m 2 + 4m Cho hàm số y = (1) , m là tham số x+2 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = - 1 2 Tìm m để (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với... 2 + b , với a , b là các tham số 2 1) Tìm a và b để hàm số đạt cực trị bằng – 2 khi x = 1 2) Khảo sát hàm số khi a = 1, b = − Câu 6: Cho hàm số y = x−2 x +1 3 2 1) Khảo sát hàm số 2) M là một điểm có hồnh độ a ≠ −1 , thuộc đồ thị Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại M 3) Tính khoảng cách từ I(-1;1) đến tiếp tuyến đó Xác định a để khoảng cách này lớn nhất Câu 12: Cho hàm số y = x 3 − 3ax 2 +... x 2 có hai điểm khơng thuộc đồ thị của hàm số đã cho với bất kỳ giá trị nào của m Câu 14: Cho hàm số y = x 3 + 3 x 2 + mx + 1 , có đồ thị ( C m ) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3 2) Chứng minh rằng với mọi m đồ thị hàm số ( C m ) của hàm số đã cho ln cắt đồ thị hàm số y = x 3 + 2 x 2 + 7 tại hai điểm phân biệt A và B Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB 3) Xác định m để... Cho hàm số y = Tìm trên đồ thị những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận nhỏ x +1 nhất x2 + 2x − 2 Ví dụ 4: Cho hàm số y = Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ điểm đó x −1 đến đường thẳng (d) y = - 3x – 6 là nhỏ nhất x2 + 2x − 2 Ví dụ 5: Cho hàm số y = Tìm hai điểm A, B trên đồ thị hàm số sao cho độ dài AB là ngắn x −1 nhất BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm. .. ĐEN 7) Xác đònh m để hàm số có cực đại và cực tiểu Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trò 8) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu sao cho hai điểm cực đại và cực tiểu a) Nằm hai phía của Ox b) Nằm hai phía của Oy c) Nằm hai phía của đường thẳng y = x 9) Tìm các điểm trên Oy vẽ được a)ù ít nhất một tiếp tuyến đến (C) b) Đúng một tiếp tuyến c) Tìm trên Oy các điểm vẽ đến ( C ) . m để: a) Hàm số có cực đại, cực tiểu 1 2 ,x x thỏa mãn 1 2 2 1x x+ = b) Hàm số có cực đại, cực tiểu có hoành độ dương c) Hàm số có cực đại, cực tiểu và CĐ CT x x< d) Hàm số đạt cực đại. 0 e) Hàm số 2 cực đại và 1 cực tiểu ⇔ (*) có 3 nghiệm phân biệt và a < 0 f) Hàm số chỉ có một cực trị Nếu (*) . ( ) 0⇔ =x g x thì hàm số chỉ có 1 cực trị 0 ⇔ > ac g) Hàm số chỉ có cực. Với các yêu cầu. a) Hàm số không có cực trị y ′ ⇔ không đổi dấu 0 0 =  ⇔  =  a c b) Hàm số có cực đại, cực tiểu (hoặc có 3 cực trị) 0 ⇔ < ac c) Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành