MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ  Kĩ thuật nhân liên hợp (Hệ số bất định, gọi số hạng vắng).  Quy tắc L'Hospitale (Lôpitan).  Quy tắc ngắt bỏ Vô cùng lớn bậc thấp.  Tính chất dãy Vô cùng bé. Định nghĩa: *Quy tắc Lôpitan: Nếu khi mà có dạng hoặc thì: Ví dụ: Tính giới hạn Dạng vô định . Áp dụng quy tắc Lôpitan: Ví dụ: Tính giới hạn: *Quy tắc ngắt bỏ Vô cùng lớn bậc thấp (VCL): -Định nghĩa VCL: hàm số F(x) gọi là một vô cùng lớn trong một quá trình nếu . Ví dụ: Tính giới hạn . Rõ ràng khi x tiến tới vô cực thì F(x) và G(x) đều tiến tới vô cực , nên đó là 2 VCL. Theo quy tắc ngắt bỏ VCL bậc thấp thì ta chỉ giữ lại số hạng có số mũ cao nhất ở tử và mẫu. Tức là: Ví dụ: Tính giới hạn: Ví dụ: Tính giới hạn: 0 xx → )( )( xg xf 0 0 ∞ ∞ )(" )(" lim )(' )(' lim )( )( lim 000 === →→→ xg xf xg xf xg xf xxxxxx 4 3 0 1413 834 lim +−+ +−+ → xx xx x 0 0 2 1 1 2 3 4 1 2 1 )14( 1 132 3 )83( 1 42 1 lim 1413 8342 lim 4 3 3 2 0 4 3 0 = − − = + − + + − + = +−+ +−+ →→ x x x x xx xx xx 1cossin 324317 lim 5 0 −++ −++ → xxx xx x ( ) ( ) ( ) 405 211 1sincos 1 243175 17 lim 1sincos 124317.17. 5 1 lim 1cossin 324317 lim 1cossin 324317 lim 5 4 0 5 4 0 5 1 0 5 0 = +− + + = +− ++ = −++ −++ = −++ −++ → − → →→ xx x xx x xxx xx xxx xx xx xx ∞= ∞→ )(lim xF x 77 17 lim 6 6 + +− ∞→ x xx x )( )( lim 77 17 lim 6 6 xG xF x xx xx ∞→∞→ = + +− 7 7 lim 77 17 lim 6 6 6 6 == + +− ∞→∞→ x x x xx xx 2 1 4 2 lim 14 2 lim 3 3 3 53 == −+ +− ∞→∞→ x x xx xxx xx 3 11 lim 3 3 43 + ++−+ +∞→ xx xxx x 0 1 limlimlim 3 11 lim 3 3 3 3 43 3 3 43 === + = + ++−+ +∞→+∞→+∞→+∞→ x xx x xx xx xx xxx xxxx *Dãy Vô cùng bé: khi thì ta có các tính chất sau: Ví dụ: Tính giới hạn: Vì x tiến tới 0 nên: Ví dụ: Tính giới hạn: Theo tính chất dãy VCB thì: (Bài này có thể dùng Lôpitan). Ví dụ: Tính giới hạn: Tương tự: Do đó: 0 0 →x ( ) xx xe xx x xx xx x α α +≈+ +≈ −≈−≈ ≈ ≈ 11 1 2 1 2 sin21cos tan sin 2 2 xx xx x cossin1 cossin1 lim 0 −− −+ → 1 2/1 2/1 lim 2 2 lim 2 11 2 11 lim cossin1 cossin1 lim 0 2 2 0 2 2 00 −= +− + = +− + =         −−−         −−+ = −− −+ →→→→ x x x x x x x x x x xx xx xxxx 114sin 211 lim 4 36 0 −++ −+++ → xx xx x ( ) ( ) xxx xxx . 3 1 111 . 6 1 111 3 1 3 6 1 6 +=+=+ +=+=+ ( ) xxxx xx +=+≈+=+ ≈ 14. 4 1 14114 sin 4 1 4 4 1 11 2 3 1 1 6 1 1 lim 114sin 211 lim 0 4 36 0 = −++ −+++ = −++ −+++ →→ xx xx xx xx xx x xxx x 416.82.1 lim 4 3 0 −+++ →       +≈+=+       +≈       +=+=+ +≈+ 64 12 16 1216 12 12 4 121 4 282 2 11 4 4 3 1 3 3 xx x xxx x x x 12 31 48 31 64 5 384 4 lim 4 16 12. 12 12. 2 1 lim 416.82.1 lim 23 0 0 4 3 0 =         ++ = −       +       +       + = −+++ → →→ x xxx x xxx x xxx x xx