đại học quốc gia hà nội tr-ờng đại học khoa học tự nhiên BI HUY BCH TP HT LI I VI MT LP PHNG TRèNH PARABOLIC SUY BIN Luận văn thạc sĩ khoa học Hà nội - 2011 đại học quốc gia hà nội tr-ờng đại học khoa học tự nhiên BI HUY BCH TP HT LI I VI MT LP PHNG TRèNH PARABOLIC SUY BIN Luận văn thạc sĩ khoa học Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s: 60.46.01 Ngi hng dn khoa hc: TS. NGUYN èNH BèNH Hà nội - 2011 Mục lục Danh mục các kí hiệu, chữ viết tắt 3 Lời cảm ơn 4 Lời mở đầu 5 1 Không gian hàm và các định nghĩa 9 1.1 Không gian hàm và toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Tập hút lùi (Pullback attractors). . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Một số bổ đề, định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.1 Bổ đề Gronwall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.2 Bổ đề Gronwall đều. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Sự tồn tại nghiệm yếu 17 2.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.1 Các giả thiết của bài toán . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.2 Định nghĩa nghiệm yếu của bài toán . . . . . . . . . 18 2.2 Sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán . . . . . . . . . . . . . . 19 3 Sự tồn tại của D− tập hút lùi trong H µ (Ω)  L p (Ω) 28 3.1 Các bổ đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2 Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Kết luận chung 39 1 Tài liệu tham khảo 40 2 Danh mục các kí hiệu, chữ viết tắt Trong khóa luận này, để cho ngắn gọn, ta dùng kí hiệu: |.| 2 , (.,.), u µ , ((., .)) µ , làm chuẩn và tích vô hướng trong L 2 (Ω) và H µ (Ω); tương tự, ta dùng |.| p làm chuẩn trong L p (Ω). Ta cũng thường sử dụng ký hiệu sau: Ω M = Ω(u(t) ≥ M) = {x ∈ Ω : u(x, t) ≥ M} . 3 Lời mở đầu Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của các hệ động lực là một trong các vấn đề quan trọng nhất của vật lý toán hiện đại. Một cách tiếp cận bài toán này đối với một hệ động lực tán xạ là phân tích sự tồn tại và cấu trúc của tập hút toàn cục (global attractor) của nó. Đó là một tập đóng, bị chặn, bất biến và hút tất cả các tập bị chặn. Tập hút toàn cục chứa đựng nhiều thông tin về dáng điệu tiệm cận của hệ động lực đang xét. Tuy nhiên, tập hút toàn cục chỉ áp dụng được cho các trường hợp ôtônôm, trong khi rất nhiều quá trình có ngoại lực phụ thuộc vào thời gian. Do đó, cần phải mở rộng khái niệm tập hút cho các hệ động lực không ôtônôm. Việc mở rộng nghiên cứu về tập hút đã dẫn đến khái niệm tập hút đều (uniform attractor) cho trường hợp quỹ đạo nghiệm bị chặn khi thời gian t tiến ra vô hạn, và sau đó là khái niệm tập hút lùi (pullback attractor) cho trường hợp quỹ đạo nghiệm bất kỳ khi thời gian t tiến ra vô hạn. Trong luận văn này, tác giả nghiên cứu sự tồn tại tập hút lùi đối với một lớp phương trình parabolic suy biến:            u t − ∆u − µ |x| 2 u + f (u, t) = g(t, x), x ∈ Ω, t > τ, u| ∂Ω = 0, t > τ, u(x, τ ) = u τ (x), x ∈ Ω, (0.1) với Ω là một miền bị chặn trong R N (N ≥ 3) có chứa gốc tọa độ, u τ ∈ L 2 (Ω) là hàm cho trước, 0 < µ ≤ µ ∗ là tham số, µ ∗ = ( N−2 2 ) 2 là hằng số lớn nhất 5 thỏa mãn bất đẳng thức Hardy: µ ∗  Ω |u| 2 |x| 2 dx ≤  Ω |∇u| 2 dx, ∀u ∈ C ∞ 0 (Ω). (0.2) Trong trường hợp g ≡ 0 và hàm f có một số dạng đặc biệt, bài toán (0.1) đã được nghiên cứu trong các bài báo [2,3,5,6,12], hay trong trường hợp hàm ngoại lực là g(t, x) phụ thuộc vào thời gian t và hàm phi tuyến f = f(u): u t − ∆u − µ |x| 2 u + f (u) = g(t, x), bài toán (0.1) đã được nghiên cứu trong bài báo [1]. Trong đó, các tác giả đã nghiên cứu về sự tồn tại toàn cục và sự phụ thuộc của dáng điệu nghiệm của các phương trình vào tham số µ. Trong luận văn này, tác giả tiếp tục nghiên cứu bài toán (0.1) trong trường hợp hàm ngoại lực là g(t, x) và hàm phi tuyến f = f (u, t). Hàm phi tuyến f và ngoại lực g thỏa mãn các điều kiện sau: (F) Hàm f ∈ C 1 (R × [τ, ∞]) và thỏa mãn: C 1 |u| p − k 1 (t) ≤ f(u, t)u ≤ C 2 |u| p + k 2 (t), p ≥ 2, k 1 (t) , k 2 (t) ∈ L ∞ (R) , k 1 (t) > 0, ∀t ∈ R, k 2 (t) > 0, ∀t ∈ R, ∂f(u, t) ∂u ≥ −l, ∀u ∈ R, C(|u| p p − 1) ≤  Ω F (u) ≤ C(|u| p p + 1), F (u) =  u 0 f(r)dr, (trong trường hợp f(r, t) = f(r)), C, C 1 , C 2 , l là các hằng số dương. 6 (G) g ∈ W 1,2 loc (R; L 2 (Ω)) thỏa mãn 0  −∞ e  1,µ s (|g(s)| 2 2 + |g  (s)| 2 2 )ds < +∞, ở đây  1,µ là giá trị riêng thứ nhất của toán tử A µ = −∆ − µ |x| 2 trong Ω với điều kiện thuần nhất Dirichlet. Để nghiên cứu bài toán (0.1), ta sẽ sử dụng không gian H µ (Ω), 0 ≤ µ ≤ µ ∗ , được định nghĩa như là bao đóng của C ∞ 0 (Ω) với chuẩn u µ = (  Ω (|∇u| 2 − µ |u| 2 |x| 2 )dx) 1/2 . Mục đích của khóa luận này là chứng minh rằng luôn có sự tồn tại phụ thuộc vào tham số µ của một D- tập hút lùi trong không gian H µ (Ω)  L p (Ω) cho quá trình được mô tả trong bài toán (0.1). Phương pháp được sử dụng ở khóa luận này được mô tả như sau: Trước tiên ta sử dụng phương pháp compact hóa [9] để chứng minh sự tồn tại toàn cục của một nghiệm yếu và sử dụng đánh giá tiên nghiệm để chỉ ra sự tồn tại của một họ các D- tập hấp thụ lùi  B = {B(t) : t ∈ R} trong H µ (Ω)  L p (Ω) cho quá trình nói trên. Do tính compact của phép nhúng H µ (Ω) → L 2 (Ω), quá trình nói trên là D- tiệm cận compact lùi trong L 2 (Ω). Điều này kéo theo sự tồn tại của một D- tập hút lùi trong L 2 (Ω). Trong quá trình chứng minh sự tồn tại của D- tập hút lùi trong L p (Ω) và trong H µ (Ω)  L p (Ω), để khắc phục các khó khăn do thiếu các kết quả về phép nhúng, ta sử dụng phương pháp tiệm cận đánh giá tiên nghiệm đã được khởi đầu trong [11] cho các phương trình ôtônôm. Cấu trúc của khóa luận gồm ba chương: - Chương 1: Trình bày các kiến thức cơ sở về khái niệm cũng như các kết quả về không gian và tập hút lùi đối với phương trình parabolic phi tuyến 7 tính. - Chương 2: Chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu của bài toán (0.1). - Chương 3: Chứng minh sự tồn tại của D− tập hút lùi trong H µ (Ω)  L p (Ω) (trong trường hợp f (u, t) không phụ thuộc vào t). Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn chắc chắn vẫn còn nhiều thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn. Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2011 8 Chương 1 Không gian hàm và các định nghĩa 1.1 Không gian hàm và toán tử Với mỗi 0 ≤ µ ≤ µ ∗ , ta định nghĩa không gian H µ (Ω) như là một bao đóng của C ∞ 0 (Ω) với chuẩn: u µ = (  Ω (|∇u| 2 − µ |u| 2 |x| 2 )dx) 1/2 . Khi đó H µ (Ω) là một không gian Hilbert với tích vô hướng < u, v > µ :=  Ω (∇u∇v − µ uv |x| 2 )dx, ∀u, v ∈ H µ (Ω). Ta đã biết (xem [12]) rằng nếu 0 ≤ µ ≤ µ ∗ ,thì H µ (Ω) ≡ H 1 0 (Ω). Khi µ = µ ∗ , ta có bất đẳng thức Hardy-Poincare trong [12]  Ω (|∇u| 2 − µ ∗ |u| 2 |x| 2 )dx ≥ C(q, Ω) u 2 W 1,q (Ω) , 1 ≤ q < 2, (1.1) và với 0 ≤ s < 1, 1 ≤ r < r ∗ = 2N N−2(1−s) ,  Ω (|∇u| 2 − µ ∗ |u| 2 |x| 2 )dx ≥ C(s, r, Ω) u 2 W s,r (Ω) , (1.2) 9 [...]... nghĩa 1.2.9 Một họ A = {A(t) : t ∈ R} ⊂ B(X) được gọi là D− tập hút lùi của quá trình {U (t, τ )} nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: 1 A(t) compact với mọi t ∈ R; ˆ 2 A bất biến, tức là U (t, τ )A(τ ) = A(t) với mọi t ≥ τ ; ˆ 3 A là D− hút lùi, tức là lim dist(U (t, τ )D(τ ), A(t)) = 0 τ →−∞ ˆ với mọi D ∈ D và với mọi t ∈ R; 4 Nếu {C(t) : t ∈ R} là một họ các tập hút đóng thì A(t) ⊂ C(t) với mọi t ∈... : t ∈ R} ⊂ B(X) Định nghĩa 1.2.5 Một quá trình {U (t, τ )} được gọi là D− tiệm cận comˆ pact lùi nếu với mọi t ∈ R, với mọi D ∈ D và với mọi τn → −∞, với mọi dãy xn ∈ D(τn ), dãy {U (t, τn )xn } là compact tương đối trong X Định nghĩa 1.2.6 Một quá trình {U (t, τ )} được gọi là ω − D− giới hạn compact lùi nếu với mọi ˆ > 0, với mọi t ∈ R, với mọi D ∈ D luôn tồn tại một τ0 (D, , t) ≤ t, sao cho α( U... α(B) là cận dưới đúng của tập hợp các số δ dương mà thỏa mãn: B có một phủ mở hữu hạn gồm các hình cầu có đường kính nhỏ hơn δ Bổ đề 1.2.7 [7] Một quá trình {U (t, τ )} là D− tiệm cận compact lùi nếu và chỉ nếu nó là ω − D− giới hạn compact lùi 12 ˆ Định nghĩa 1.2.8 Một họ các tập hợp bị chặn B ∈ D được gọi là D− tập ˆ hấp thụ lùi của quá trình {U (t, τ )} nếu với mọi t ∈ R, với mọi D ∈ D, tồn ˆ tại... Giả sử {U (t, τ )} là một quá trình liên tục norm-toweak sao cho {U (t, τ )} là D− tiệm cận compact lùi Nếu tồn tại một họ ˆ các D− tập hấp thụ lùi B = {B(t) : t ∈ R} ∈ D thì {U (t, τ )} có duy nhất ˆ một D− tập hút lùi A = {A(t) : t ∈ R} và A(t) = U (t, τ )B(τ ) s≤t τ ≤s 13 1.3 1.3.1 Một số bổ đề, định lý Bổ đề Gronwall Định lý 1.3.1 (Bổ đề Gronwall) Giả sử I là kí hiệu cho một khoảng trên đường thẳng... eλ1,µ s |g(s)|2 ds) 2 −∞ Ω (3.10) Kết hợp với (3.4), ta thu được (3.1) 30 Từ bổ đề trên, do tính compact của phép nhúng Hµ (Ω) → L2 (Ω), quá trình nói trên là D- tiệm cận compact lùi trong L2 (Ω) Điều này kéo theo sự tồn tại của một D- tập hút lùi trong L2 (Ω) Mặt khác, từ bổ đề trên ta thấy quá trình Uµ (t, τ ) ánh xạ một tập compact trong Hµ (Ω) vào một tập bị chặn trong Hµ (Ω) Lp (Ω) Lp (Ω) và do... T ] ; L2 (Ω) Suy ra dãy {un } hội tụ trong C [τ, T ] ; L2 (Ω) tới một hàm v ∈ C [τ, T ] ; L2 (Ω) Vì un (t) → u (t) ∈ L2 (Ω) với hầu hết t ∈ [τ, T ], ta suy ra u = v với hầu hết t ∈ [τ, T ] Sau khi định nghĩa lại trên một tập con có độ đo không, ta thu được u ∈ C [τ, T ] ; L2 (Ω) 19 Từ bổ đề suy ra điều kiện ban đầu của bài toán (0.1) là có nghĩa Định lý 2.2.2 Với giả thiết (F)-(G), với mọi τ ∈ R,... ánh i : X → Y liên tục và ánh xạ đối ngẫu i∗ : Y ∗ → X ∗ là trù mật, {U (t, τ )} là quá trình liên tục hoặc liên tục yếu trên Y Khi đó {U (t, τ )} là liên tục norm-to-weak trên X nếu và chỉ nếu cho t ≥ τ, τ ∈ R, U (t, τ ) ánh xạ một tập compact của X vào một tập bị chặn của X Giả sử B(X) là họ tất cả các tập con khác rỗng, bị chặn của X, và D ˆ là một lớp khác rỗng của tập hợp được tham số hóa D = {D(t)... khi j → +∞ Cuối cùng ta nhận xét rằng với mọi u ∈ Hµ (Ω), ta có: u 1.2 2 µ ≥ λ1,µ |u|2 2 (1.7) Tập hút lùi (Pullback attractors) Định nghĩa 1.2.1 Giả sử (X,d) là một không gian metric Với A, B ⊂ X, ta định nghĩa nửa khoảng cách Hausdorff giữa A và B bởi dist(A, B) = sup inf d(x, y) x∈A y∈B Định nghĩa 1.2.2 Tập hợp {U (t, τ ) : t ≥ τ, τ ∈ R} được gọi là một quá trình trong X nếu ánh xạ U (t, τ ) : X... (Ω) Lp (Ω) và do đó, theo bổ đề 1.2.4, quá Lp (Ω) Vì Uµ (t, τ ) có trình Uµ (t, τ ) là liên tục norm-to-weak trong Hµ (Ω) một họ các D− tập hấp thụ lùi trong Hµ (Ω) Lp (Ω), nên để chứng minh sự tồn tại của D− tập hút lùi, ta chỉ cần chứng minh rằng Uµ (t, τ ) là D− tiệm cận compact lùi Để chứng minh Uµ (t, τ ) là D− tiệm cận compact lùi trong Lp (Ω) ta cần sử dụng bổ đề sau: Bổ đề 3.1.2 [8] Giả sử U... cho một số hàm r(t) ∈ R, ở đây B(r(t)) là hình cầu đóng trong L2 (Ω) với bán kính r(t) Bổ đề 3.1.1 Giả sử rằng các điều kiện (F) - (G) thỏa mãn và u(t) là một 28 nghiệm yếu của bài toán (0.1) Khi đó, ta có với mọi t > τ, t u 2 µ + |u|p ≤ C(e−λ1,µ (t−τ ) |uτ |2 + 1 + e−λ1,µ t p 2 eλ1,µ s |g(s)|2 ds), 2 (3.1) −∞ ở đây C là một hằng số dương Do đó tồn tại một họ các D− tập hấp thụ Lp (Ω) cho quá trình . niệm tập hút lùi (pullback attractor) cho trường hợp quỹ đạo nghiệm bất kỳ khi thời gian t tiến ra vô hạn. Trong luận văn này, tác giả nghiên cứu sự tồn tại tập hút lùi đối với một lớp phương trình. và tập hút lùi đối với phương trình parabolic phi tuyến 7 tính. - Chương 2: Chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu của bài toán (0.1). - Chương 3: Chứng minh sự tồn tại của D− tập hút lùi. L 2 (Ω), quá trình nói trên là D- tiệm cận compact lùi trong L 2 (Ω). Điều này kéo theo sự tồn tại của một D- tập hút lùi trong L 2 (Ω). Trong quá trình chứng minh sự tồn tại của D- tập hút lùi trong