Bài giảng Toán 1 cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải Bài số 1 Giới hạn và tính liên tục của hàm số 1.1. Hàm số một biến số 1. Định nghĩa hàm số Cho 2 tập hợp D và E là các tập con của R . Tương ứng : f D E → cho tương ứng mỗi phần tử x D ∈ với duy nhất một phần tử y E ∈ được gọi là hàm số một biến số thực. + Tập D được gọi là miền xác của f. + Tập f(X) được gọi là miền giá trị của f. + x D ∈ được gọi là biến số độc lập ( hay đối số ). + ( ), f x x D ∈ được gọi là biến số phụ thuộc ( hay hàm số ). 2. Đồ thị của hàm số: ( ) { } , ( ) | f G x f x x A = ∈ + Cách nhận biết đồ thị theo phương pháp kiểm tra đường thẳng đứng : Một đường cong trong mặt phẳng xy là đồ thị của một hàm của x nếu và chỉ nếu đường thẳng song song với Oy cắt đương cong đó tại nhiều nhất một điểm. Đồ thị hàm số Không là đồ thị hàm số 1.2 Giới hạn hàm số: 1. Ví dụ 1: Xét hàm số 2 ( ) 2 y f x x x = = − + . Ta lập bảng các giá trị của hàm số tại những điểm x gần 0 2 x = . Bài giảng Toán 1 cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải Nhận thấy khi x tiến gần đến 0 2 x = thì các giá trị các hàm số ( ) f x tiế n g ầ n đế n 4. Ta nói r ằ ng hàm s ố có gi ớ i h ạ n b ằ ng 4 khi 0 2 x x → = . 2. Định nghĩa giới hạn hàm số Định nghĩa 1 : Ta nói hàm s ố ( ) f x có gi ớ i h ạ n L (h ữ u h ạ n) khi 0 x x → và vi ế t 0 lim ( ) x x f x L → = n ế u v ớ i b ấ t k ỳ dãy { } n x mà 0 n x x → thì lim ( ) n n f x L →∞ = . Định nghĩa 2 : theo ngôn ng ữ δ − ε . 0 0 lim ( ) 0, 0 : ( ) x x f x L x x f x L ε δ δ ε → = ⇔ ∀ > ∃ > − < ⇒ − < Chú ý + N ế u hàm ( ) f x không tho ả mãn đị nh ngh ĩ a, ta nói r ằ ng ( ) f x không có gi ớ i h ạ n khi 0 x x → , ho ặ c 0 lim ( ) x x f x → không t ồ n t ạ i. + Khi tìm gi ớ i h ạ n, ta ch ỉ quan tâm đế n các giá tr ị “x d ầ n t ớ i 0 x ” ch ứ không ph ả i xét khi 0 x x = . Do đ ó hàm s ố ( ) f x có th ể không xác đị nh t ạ i 0 x x = nh ư ng ph ả i xác đị nh t ạ i các đ i ể m thu ộ c lân c ậ n c ủ a đ i ể m đ ó. Ví dụ 2 : Hàm s ố 2 1 ( ) 1 x f x x − = − không xác đị nh t ạ i 1 x = . Ta l ậ p b ả ng tính các giá tr ị c ủ a ( ) f x khi 1 x → . T ừ đ ó xem ( ) f x d ầ n đế n giá tr ị nào. Nh ậ n th ấ y khi x ti ế n g ầ n đế n 0 1 x = thì các giá tr ị các hàm s ố ( ) f x ti ế n g ầ n đế n 0,5. Ta nói r ằ ng hàm s ố có gi ớ i h ạ n b ằ ng 0,5 khi 0 1 x x → = . Bài giảng Toán 1 cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải Cách mô t ả này ch ủ y ế u cho ta dáng đ i ệ u c ủ a f(x) khi x g ầ n a, d ự đ oán giá tr ị c ủ a gi ớ i h ạ n, có l ợ i v ề tr ự c giác và phù h ợ p v ớ i m ụ c đ ích th ự c hành. Tuy nhiên không ch ặ t ch ẽ . Sử dụng định nghĩa , ch ỉ ra r ằ ng 2 1 1 1 lim 2 1 x x x → − = − . Th ậ t v ậ y, cho tr ướ c 0 ε > , ch ọ n δ = ε . Ta có: x 1 − < δ thì 2 1 1 1 1 2 1 1 x x x x x ε − − − = < − < + − ( v ớ i x trong lân c ậ n c ủ a 1). Ví d ụ 3: Tìm gi ớ i h ạ n 0 1 lim cos x x → Gi ả i: Đặ t 1 ( ) cos f x x = . + V ớ i 1 x 2n = π , n = 1, 2, 3…thì ( ) 1 f x = . + V ớ i 1 x 2n 2 = π + π , n = 1, 2, 3…thì ( ) 0 f x = . V ậ y 0 1 lim cos x x → không t ồ n t ạ i. 3. Giới hạn ở vô cực Đị nh ngh ĩ a: lim ( ) 0 x f x L ε →+∞ + = ⇔ ∀ > , 0 N ∃ > đủ l ớ n, sao cho ( )x N f x L ε ∀ > ⇒ − < . lim ( ) 0 x f x L ε →−∞ + = ⇔ ∀ > , 0 N ∃ > đủ l ớ n, sao cho ( )x N f x L ε ∀ < − ⇒ − < . Ví d ụ 4: Ch ứ ng minh r ằ ng 1 lim 0 x x →+∞ = . + T ừ 2 1 1 0 x x ε ε − < ⇔ > . + Ta có: 0 ε ∀ > , ch ọ n 2 1 N ε = . Khi đ ó ( ) 0x N f x ε ∀ > ⇒ − < . 4. Các tính chất của giới hạn Đị nh lí 1: Gi ả s ử c là h ằ ng s ố và lim ( ) , lim ( ) x a x a f x L g x M → → = = . Khi đ ó 1. [ ] lim ( ) ( ) x a f x g x L M → + = + 2. [ ] lim ( ) ( ) x a f x g x L M → − = − 3. lim . ( ) x a c f x cL → = 4. lim ( ). ( ) . x a f x g x L M → = 5. ( ) lim ( ) x a f x L g x M → = n ế u 0 M ≠ . Đị nh lý 2: ( v ề gi ớ i h ạ n k ẹ p) Gi ả s ử các hàm s ố ( ), ( ), ( ) f x g x h x tho ả mãn b ấ t đẳ ng th ứ c ( ) ( ) ( ) f x g x h x ≤ ≤ trong lân c ậ n c ủ a đ i ể m a. Khi đ ó n ế u lim ( ) lim ( ) x a x a f x h x L → → = = thì lim ( ) x a g x L → = . Bài giảng Toán 1 cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải Ví d ụ 5: Ch ứ ng minh r ằ ng sin lim 0 x x x →∞ = . Ta có: sin 1 0 x x x ≤ ≤ . Mà 1 lim 0 x x →∞ = nên sin lim 0 x x x →∞ = , hay ta có đ pcm. 5. Một số phương pháp khử dạng vô định: 0 , , , 1 . 0 ∞ ∞ ∞ − ∞ ∞ + Phân tích đ a th ứ c thành nhân t ử ho ặ c nhân bi ể u th ứ c liên h ợ p để kh ử d ạ ng vô đị nh. + S ử d ụ ng gi ớ i h ạ n k ẹ p + S ử d ụ ng m ộ t s ố gi ớ i h ạ n c ơ b ả n sau: 0 sin lim 1 x x x → = , 0 1 lim ln x x a a x → − = , 0 ln( 1) lim 1 x x x → + = , lim 1 x a x a e x →∞   + =     , ( ) lim 0, 0 1 x x a a →+∞ = < < , … Ví d ụ 6: Tìm 1 1 lim 1 m n x x x → − − . Gi ả i: + D ạ ng 0 0 . + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 lim lim lim 1 1 1 1 m m m m m n n n n n x x x x x x x x x m x n x x x x x − − − − − − − − → → → − + + + + + + − = = = − − + + + + + + . Ví d ụ 7: Tìm 3 2 1 2 3 lim 2 x x x x → − − − − + D ạ ng 0 0 + ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 2 2 2 1 1 2 3 1 1 1 2 3 1 1 2 3 lim lim lim lim 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x → → → → − − − − − − − − − − − − = = − − − − − + ( ) 0 3 0 2 1 1 lim 2 dang x x x → − − = − + ( ) 0 0 2 2 3 1 lim 2 dang x x x → − − = − . + V ậ y 3 2 1 2 3 1 4 lim 1 2 3 3 x x x x → − − − = + = − . Bài giảng Toán 1 cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải Ví d ụ 8: Tìm lim 1 x x x x →+∞ + + Gi ả i: D ạ ng ∞ ∞ . + lim 1 x x x x →+∞ + = + + KQ: 1. Ví d ụ 9: Tìm ( ) 2 lim x x x x →+∞ + − + D ạ ng ∞ − ∞ + ( ) 2 lim x x x x →+∞ + − = . + KQ: ∞ . Ví d ụ 10: Tìm 2 2 2 2 1 lim 1 x x x x x + →+∞   +   −   , + D ạ ng 1 ∞ + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 lim 2 2 1 2 2 1 2 lim lim 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x e e x x →+∞ +   − − + +       − →+∞ →+∞     +     = + = =       − −         . Ví d ụ 11: Tìm gi ớ i h ạ n sau 0 1 cos .cos 2 lim 1 cos x x x x → − − . + D ạ ng 0 0 . + 0 1 cos .cos 2 lim 1 cos x x x x → − = − = + KQ: 5. Ví d ụ 12: Tìm gi ớ i h ạ n sau ( ) 2 1 0 lim cos x x x → . + D ạ ng 1 ∞ + Ta có: ( ) 2 cos 1 1 cos 1 2sin 2 x x x = − − = − + ( ) 2 1 0 lim cos x x x → = Bài giảng Toán 1 cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải + KQ: 1 2 e − 6. Gi ớ i h ạ n m ộ t phía a. Đị nh ngh ĩ a: Gi ớ i h ạ n c ủ a f(x) khi , x a x a → < (ho ặ c , x a x a → > ) n ế u t ồ n t ạ i g ọ i là gi ớ i h ạ n trái ( ho ặ c gi ớ i h ạ n ph ả i ). Ký hi ệ u lim ( ) ( ), lim ( ) ( ) x a x a f x f a f x f a − + − + → → = = . Ký hi ệ u khác: 0 0 lim ( ) ( 0), lim ( ) ( 0) x a x a f x f a f x f a → − → + = − = + . b. Đị nh lý: T ồ n t ạ i lim ( ) x a f x L → = khi và ch ỉ khi lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) x a x a x a x a f x f x f x f x L − + − + → → → →  ∃   ∃   = =   Ví d ụ 13: Xét s ự t ồ n t ạ i c ủ a 0 lim x x x → . Ta có: 0 0 lim lim 1 x x x x x x + + → → = = , 0 0 lim lim 1 x x x x x x − − → → − = = − . V ậ y 0 lim x x x → không t ồ n t ạ i. Ví d ụ 14: N ế u 4, 4 ( ) 8 2 , 4 x x f x x x  − >  =  − <   , Xác đị nh s ự t ồ n t ạ i c ủ a ( ) 4 lim x f x → . GI Ả I: Vì ( ) 4 f x x = − v ớ i 4 x > , chúng ta có: ( ) 4 4 lim lim 4 4 4 0 x x f x x + + → → = − = − = Vì ( ) 8 2 f x x = − v ớ i 4 x < , chúng ta có : ( ) ( ) 4 4 lim lim 8 2 8 2.4 0 x x f x x − − → → = − = − = Gi ớ i h ạ n trái và gi ớ i h ạ n ph ả i b ằ ng nhau. Vì v ậ y, gi ớ i h ạ n t ồ n t ạ i và ( ) 4 lim 0 x f x → = . Đồ th ị c ủ a f đượ c ch ỉ ra trong Hình 3. Bài giảng Toán 1 cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải HÌNH 3 7. Vô cùng lớn, vô cùng bé Đị nh ngh ĩ a: Hàm s ố f(x) đượ c g ọ i là vô cùng bé, vi ế t t ắ t là VCB khi 0 x x → n ế u 0 lim ( ) 0 x x f x → = . Hàm s ố f(x) đượ c g ọ i là vô cùng l ớ n, vi ế t t ắ t là VCL khi 0 x x → n ế u 0 lim ( ) x x f x → = +∞ . Chú ý: + 0 x có th ể h ữ u h ạ n ho ặ c vô h ạ n. + 0 0 1 lim ( ) lim 0 ( ) x x x x f x f x → → = ∞ ⇔ = . 1 ( ) (1 ) x f x x = + ♦ N ế u 0 ( ) lim 1 ( ) x x f x g x → = ta nói r ằ ng f(x) t ươ ng đươ ng v ớ i g(x), kí hi ệ u ( ) ( ) f x g x ∼ . ♦ M ộ t s ố VCB cùng b ậ c khi 0 x → : sin , ln(1 ) , 1 x x x x x e x + − ∼ ∼ ∼ . ln(1+x) ∼ x khi x→ 0 v× 0 ln(1 ) lim 1 x x x → + = Định lý: N ế u f(x) ∼ f*(x), g(x) ∼ g*(x) khi x x → 0 . Khi đ ó : 0 0 * * ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) x x x x f x f x g x g x → → = . Ví d ụ 15 : Tính 2 0 1 lim ln(1 sin 3 ) x x e x → − + . Ta có: 1 2 − x e ∼ 2x khi x → 0; ln(1+sin3x) ∼ sin3x ∼ 3x khi x → 0 Do đ ó : 2 0 0 1 2 2 lim lim ln(1 sin 3 ) 3 3 x x x e x x x → → − = = + . 1.3. Tính liên tục của hàm số 1. Đị nh ngh ĩ a Định nghĩa 1 : Hàm s ố f(x) liên t ụ c t ạ i đ i ể m 0 x n ế u 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → = . Hàm s ố y = f(x) liên t ụ c trên mi ề n D n ế u nó liên t ụ c t ạ i m ọ i đ i ể m thu ộ c mi ề n D. Chú ý: T ừ đị nh ngh ĩ a 1, ta th ấ y để y = f(x) liên t ụ c t ạ i đ i ể m 0 x c ầ n đế n 3 đ i ề u ki ệ n: 1. 0 x thu ộ c t ậ p xác đị nh c ủ a hàm s ố . Bài giảng Toán 1 cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải 2. T ồ n t ạ i 0 lim ( ) x x f x → . 3. 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → = Nh ậ n xét: + Các đ a th ứ c, hàm phân th ứ c, hàm h ữ u t ỉ , hàm l ượ ng giác, hàm m ũ , hàm logarit là các hàm s ố liên t ụ c trên mi ề n xác đị nh c ủ a nó. + Hàm s ố y = f(x) liên t ụ c trên (a, b) thì đồ th ị c ủ a nó là m ộ t đườ ng cong tr ơ n trên kho ả ng này (t ứ c là không b ị gãy, không b ị đứ t đ o ạ n). Đị nh ngh ĩ a 2: Hàm s ố f (x) đượ c g ọ i là liên tục phải t ạ i 0 x n ế u ( ) ( ) 0 0 lim x x f x f x + → = . Hàm s ố f (x) đượ c g ọ i là liên tục trái t ạ i 0 x n ế u ( ) ( ) 0 0 lim x x f x f x − → = . Hàm s ố y = f (x) liên t ụ c t ạ i 0 x khi và ch ỉ khi nó v ừ a liên t ụ c trái, v ừ a liên t ụ c ph ả i t ạ i 0 x . Ví d ụ 16: Xét tính liên t ụ c c ủ a hàm s ố ( ) 2 2 2 2 1 2 x x x f x x x  − − ≠  = −   =  + Ta th ấ y hàm s ố liên t ụ c t ạ i m ọ i đ i ể m 2 x ≠ . + Xét t ạ i x = 2. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 lim lim lim lim 1 3, (2) 1 2 2 x x x x x x x x f x x f x x → → → → − + − − = = = + = = − − Nh ư ng ( ) ( ) 2 lim 2 x f x f → ≠ . Nên f không liên t ụ c t ạ i 2. Ví d ụ 17: Tìm a để hàm s ố sau liên t ụ c trên R 2 sin 2 0 ( ) 1 0 ax x x f x x ae x x  >  =   + − ≤  + Hàm s ố liên t ụ c v ớ i m ọ i 0 x ≠ , để hàm s ố liên t ụ c trên R thì nó ph ả i liên t ụ c t ạ i 0 x = . + T ạ i 0 x = ( ) 0 0 sin 2 lim lim 2 x x x f x x + + → → = = , ( ) ( ) 2 0 0 lim lim 1 1 (0) ax x x f x ae x a f − − → → = + − = − = Để hàm s ố liên t ụ c t ạ i x = 0 thì (0 ) (0 ) (0) 1 2 3 f f f a a + − = = ⇔ − = ⇔ = . Ví d ụ 18: Hàm s ố f(x) không xác đị nh t ạ i x = 0, hãy xác đị nh f(0) để hàm s ố f(x) liên t ụ c t ạ i x = 0 v ớ i : ( ) x f ( x ) x = + 1 1 2 Bài giảng Toán 1 cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải Gi ả i: Để hàm s ố liên t ụ c t ạ i x = 0 thì 1 2 0 0 (0) lim ( ) lim(1 2 ) x x x f f x x e → → = = + = . 2. Đ i ể m gián đ o ạ n c ủ a hàm s ố Đị nh ngh ĩ a: Hàm s ố f(x) đượ c g ọ i là gián đ o ạ n t ạ i x = a n ế u t ạ i x = a hàm s ố không liên t ụ c. N ế u t ồ n t ạ i ( ), ( ) f a f a + − và ( ) ( ) f a f a + − ≠ thì x = a đượ c g ọ i là đ i ể m gián đ o ạ n lo ạ i 1. Đ i ể m gián đ o ạ n khác (không ph ả i lo ạ i 1) g ọ i là gián đ o ạ n lo ạ i 2. Ví d ụ 19: Tìm và phân lo ạ i đ i ể m gián đ o ạ n c ủ a các hàm s ố sau: a. ( ) x f x x = b. 1 1 ( ) 1 x x f x e − = − Giải : a. Xét t ạ i x = 0 ( ) 0 lim x f x + → = ( ) 0 lim x f x − → = nên x = 0 là gián đ o ạ n lo ạ i 1. b. ♦ T ạ i x = 1. ( ) ( ) 1 1 lim lim x x f x f x + − → → = = nên x = 1 là gián đ o ạ n lo ạ i 1. ♦ T ạ i x = 0. ( ) ( ) 0 0 lim lim x x f x f x + − → → = = nên x = 0 là gián đ o ạ n lo ạ i 2. Ví d ụ 20: Kh ả o sát s ự liên t ụ c c ủ a hàm s ố và tính ch ấ t đ i ể m gián đ o ạ n x cos x f ( x) x x π    ≤   =    − >    1 2 1 1 ( Đ S: x = - 1 là đ i ể m gián đ o ạ n lo ạ i 1) Bài số 2 Đạo hàm của hàm số một biến 2.1 Định nghĩa về đạo hàm 1. Định nghĩa đạo hàm Cho hàm s ố ( ) y f x = , đạ o hàm '( ) f x c ủ a hàm s ố ( ) f x là m ộ t hàm m ớ i có giá tr ị t ạ i đ i ể m x đượ c xác đị nh b ở i gi ớ i h ạ n sau (khi gi ớ i h ạ n t ồ n t ạ i): Bài giảng Toán 1 cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải 0 ( ) ( ) '( ) lim x f x x f x f x x ∆ → + ∆ − = ∆ . + N ế u gi ớ i h ạ n t ồ n t ạ i v ớ i x = a, thì hàm s ố y = f(x) đượ c g ọ i là kh ả vi t ạ i a. + Hàm kh ả vi là hàm s ố kh ả vi t ạ i m ọ i đ i ể m trong t ậ p xác đị nh c ủ a nó. y = f(x) P ∆x x + x 0 ∆x 0 x y Q f(x + x) - f(x ) 0 0 ∆ ● Chú ý : + f’(x) là độ d ố c c ủ a ti ế p tuy ế n c ủ a đườ ng cong y = f(x) t ạ i P. + Có nhi ề u cách ký hi ệ u khác nhau c ủ a đạ o hàm hàm s ố ( ) y f x = : '( ) f x , y’ , dy dx , ( ) df x dx , ( ) d f x dx . + N ế u ( ) y f x = thì dy dx còn đượ c g ọ i là su ấ t bi ế n đổ i c ủ a y theo x . + N ế u ta mu ố n vi ế t giá tr ị s ố c ủ a đạ o hàm t ạ i m ộ t đ i ể m c ụ th ể x = 3, ta vi ế t : x dy dx =           3 ho ặ c 3x dx dy = , ho ặ c f’(3) . + 0 x x x ∆ = − nên 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x ∆ → → − + ∆ − = = ∆ − . 2. Quy tắc tìm đạo hàm tại một điểm theo định nghĩa: ● Bc 1 . Tìm s ố gia f(x + ∆ x) - f(x) và ti ế n hành rút g ọ n ● Bc 2 . Thi ế t l ậ p t ỷ s ố : x xfxxf ∆ −∆+ )()( 00 ● Bc 3. Tính gi ớ i h ạ n c ủ a t ỷ s ố trên khi ∆ x → 0. N ế u gi ớ i h ạ n đ ó t ồ n t ạ i thì đ ó chính là đạ o hàm c ủ a hàm s ố t ạ i đ i ể m c ầ n tìm : 0 ( ) ( ) '( ) lim x f x x f x f x x ∆ → + ∆ − = ∆ . Ví dụ 1. Tìm f’(x) n ế u f(x) = x 1 B ướ c 1: 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x f x x f x x x x x x x x x x − + ∆ −∆ + ∆ − = − = = + ∆ + ∆ + ∆ B ướ c 2. [...]... →0 x →0 x →0 x 1 i u này nghĩa là: lim ln y = lim lim(1 + ax)1/ x = lim y = lim eln y = ea x →0 x →0 x →0 Bài t p v nhà : Trang 133 ( bài 1 - 30), trang 362 ( bài 1 - 25), trang 367 (bài 1 - 44) Bài gi ng Toán 1 cho SV K54 Ths Lê Th Minh H i Bài s 4 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC I NGUYÊN HÀM (TÍCH PHÂN KHÔNG XÁC nh nghĩa: Cho hàm s 1 Hàm s NH NH) f ( x) xác nh trong kho ng (a, b) d F ( x) g i là nguyên... ơn t hàng i v i các h p có th tích ư c ch rõ V0 V i kích thư c nào thì di n tích toàn ph n c a m t cái h p như v y s t GTNN và s lư ng kim lo i c n n cho nhà máy là bao nhiêu? Gi i: + Gi s r là bán kính c a áy và h là chi u cao c a h p hình tr + Khi ó th tích là: V0 = π r 2 h và di n tích m t toàn ph n là: A = 2 π r 2 + 2 π r h + ưa A v hàm 1 bi n s r, ta có : A= (1) (2) Bài gi ng Toán 1 cho SV K54 Ths... (sec x) 1 1 = ∫ (sec6 x − sec4 x) d (sec x) = sec7 x − sec5 x + C 7 5 Tích phân d ng : I = ∫ cot m x csc n xdx Bài gi ng Toán 1 cho SV K54 Ths Lê Th Minh H i Công c cho các trư ng h p này là các công th c: d(cot x) = -csc2 x dx d(csc x) = -csc x cot x dx 1 + cot2 x = csc2 x b Tích phân các hàm phân th c h u t Ý tư ng cơ b n là phân tích hàm phân th c h u t phân th c ơn gi n hơn (g i là các phân th c... x 2 + 2x − 1 1 1 = + + 2 4 x +1 x −1 x + 1 x −1 2 x3 + x 2 + 2 x − 1 dx = ln |x + 1| + ln|x – 1| + tan-1 x + C 4 ∫ x −1 c Tích phân hàm s vô t + V y nên: Bài gi ng Toán 1 cho SV K54 Ths Lê Th Minh H i M t s phép th cơ b n : + N u tích phân ch a a2 − x2 , t x = a sin θ , + N u tích phân ch a a2 + x2 , t x = a tan θ , a 2 + x 2 = a sec θ + N u nó có ch a I =∫ Ví d 1 Tìm Gi i: +Ta x2 − a2 , t x = a... = ∫ udu u2 + a2 + + Ta ã có: + ∫ ∫ du 2 u +a xdx 2 = 2 = ln(u + u 2 + a 2 ) u2 + a2 + ln(u + u 2 + a 2 )= x 2 − 2 x + 5 + ln(x - 1 x − 2x + 5 2 + x − 2 x + 5 ) + C II TÍCH PHÂN XÁC NH 1 Di n tích hình thang cong Bài toán: Tìm di n tích c a m t mi n n m dư i th c a hàm s liên t c y = f ( x) v i a ≤ x ≤ b , n m gi a hai ư ng th ng th ng ng x = a và x = b, n m phía trên tr c hoành ... x cos x + n n 4 Nguyên hàm c a m t s hàm s cơ b n ∫ sin n x dx = - ∫ sin n-2 x dx a Tích phân các hàm s lư ng giác Xét tích phân d ng I = ∫ f (sin x, cos x)dx x 2 N u f (− sin x, cos x) = − f (sin x, cos x) t t = cos x N u f (sin x, − cos x) = − f (sin x, cos x) t t = sin x Phương pháp chung: t t = tan Xét các tích phân d ng I = ∫ sin m x cos n x dx (*) N u n l , m ch n: + Tách ra th a s cos xdx... thành hình tròn Cái dây s b c t như th nào sao cho t ng di n tích bao g m b i 2 o n dây: a) Là l n nh t b) Là nh nh t Gi i: + Gi s x là c nh c a hình vuông và r là bán kính c a hình tròn ( x > 0 ) , khi ó t ng di n tích c a hai hình ư c t o thành là: A= 2 + V y Amin L  L   π = ;  1 +  khi x = 4+π  4+π   4  Amax = L2 khi x = 0 4π Bài gi ng Toán 1 cho SV K54 Ths Lê Th Minh H i Ví d 5: M t ngư... ' dx) = y "(dx)2 = y " dx 2 d n y = d (d n −1 y ) = y ( n ) dx n Ví d 19: Cho hàm s Ta có: d 5 y = y (5) dx 5 = y = ln x Tìm d 5 y 4! 5 24 5 dx = 5 dx x5 x Bài gi ng Toán 1 cho SV K54 Ths Lê Th Minh H i Bài gi ng s 3 CÁC NG D NG C A 3.1 BÀI TOÁN GIÁ TR L N NH T, NH a) nh nghĩa: Hàm s y=f(x) xác O HÀM NH T nh trên o n [a,b], ta nói : i Hàm s  f ( x) ≤ M , ∀x ∈ [a,b] t GTLN n u :  ∃c ∈ [a,b]:... trên mi n ó Ví d 1: Tìm hai s dương mà t ng c a chúng b ng 16 và tích c a chúng tr l n nh t Gi i: + Gi s x và y là hai s dương mà t ng c a chúng b ng 16 + Vì v y: x + y = 16 + Tích c a chúng : P = xy + Ta có : y = 16 – x , khi ó : P = xy = x(16 - x) = 16x - x2 , v i 0 . Bài giảng Toán 1 cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải Bài số 1 Giới hạn và tính liên tục của hàm số 1.1. Hàm số một biến số 1. Định nghĩa hàm số Cho 2. 5 4! 24 d y y dx dx dx x x = = = . Bài giảng Toán 1 cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải Bài giảng số 3 CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM 3.1. BÀI TOÁN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT a) Định nghĩa:. với duy nhất một phần tử y E ∈ được gọi là hàm số một biến số thực. + Tập D được gọi là miền xác của f. + Tập f(X) được gọi là miền giá trị của f. + x D ∈ được gọi là biến số độc lập