PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀ CÁC BÀI TẬP ỨNG DỤNG

17 1.2K 0
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ  VÀ CÁC BÀI TẬP ỨNG DỤNG

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

MỞ ĐẦU Môn toán là môn học rất phong phú và đa dạng, đó là niềm say mê của những người yêu thích toán học. Đối với học sinh để có một kiến thức vững chắc, đòi hỏi phải phấn đấu rèn luyện, học hỏi rất nhiều và bền bỉ. Đối với giáo viên: Làm thế nào để trang bị cho các em đầy đủ kiến thức?Đó là câu hỏi mà giáo viên nào cũng phải đặt ra cho bản thân. 1)Lí do chọn đề tài SKKN Chuyên đề Phân tích đa thức thành nhân tử được học khá kỹ ở chương trình lớp 8, nó có rất nhiều bài tập và cũng được ứng dụng rất nhiều để giải các bài tập trong chương trình đại số lớp 8 cũng như ở các lớp trên. Vì vậy yêu cầu học sinh nắm chắc và vận dụng nhuần nhuyễn các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là vấn đề rất quan trọng. Nắm được tinh thần này trong quá trình giảng dạy toán lớp 8 tôi đã dày công tìm tòi, nghiên cứu để tìm ra các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đa dạng và dễ hiểu. Góp phần rèn luyện trí thông minh và năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh. Trong SGK đã trình bày các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp nhóm các hạng tử, dùng hằng đẳng thức ... Trong chuyên đề này tôi giới thiệu thêm các phương pháp như: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách số hạng, phương pháp thêm bớt số hạng, phương pháp đặt ẩn phụ,phương pháp tìm nghiệm của đa thức ... Đồng thời vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để làm một số dạng bài tập. Khi học chuyên đề này học sinh tiếp thu rất thích thú. Các ví dụ đa dạng, có nhiều bài tập vận dụng tương tự nên giúp cho học sinh nắm vững chắc các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử tạo tiền đề cho các em học tập kiến thức mới và giải các bài toán khó. 2)Mục đích nghiên cứu: Chỉ ra những phương pháp dạy loại bài “ Phân tích đa thức thành nhân tử” Đổi mới phương pháp dạy học Nâng cao chất lượng dạy học,cụ thể là chất lượng mũi nhọn 3).Nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu: a) Nhiệm vụ Nhiệm vụ khái quát:Nêu các phương pháp dạy loại bài. “ Phân tích đa thức thành nhân tử” Nhiệm vụ cụ thể: Tìm hiểu thực trạng học sinh Những phương pháp đã thực hiện Những chuyển biến sau khi áp dụng Rút ra bài học kinh nghiệm b)Phương pháp nghiên cứu:

PHÒNG GIÁO DỤC THÀNH PHỐ THÁI NGUYÊN TRƯỜNG THCS NHA TRANG ********************** SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI “PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀ CÁC BÀI TẬP ỨNG DỤNG ” ******************************** Giáo viên: ĐÀO VĂN TIẾN Năm học 2010 – 2011 Thái nguyên, tháng 05 năm 2011 I– MỞ ĐẦU Mơn tốn mơn học phong phú đa dạng, niềm say mê người u thích tốn học Đối với học sinh để có kiến thức vững chắc, địi hỏi phải phấn đấu rèn luyện, học hỏi nhiều bền bỉ Đối với giáo viên: Làm để trang bị cho em đầy đủ kiến thức?Đó câu hỏi mà giáo viên phải đặt cho thân 1)Lí chọn đề tài SKKN Chuyên đề "Phân tích đa thức thành nhân tử" học kỹ chương trình lớp 8, có nhiều tập ứng dụng nhiều để giải tập chương trình đại số lớp lớp Vì yêu cầu học sinh nắm vận dụng nhuần nhuyễn phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vấn đề quan trọng Nắm tinh thần q trình giảng dạy tốn lớp tơi dày cơng tìm tịi, nghiên cứu để tìm phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đa dạng dễ hiểu Góp phần rèn luyện trí thông minh lực tư sáng tạo cho học sinh Trong SGK trình bày phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp nhóm hạng tử, dùng đẳng thức Trong chuyên đề giới thiệu thêm phương pháp như: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp tách số hạng, phương pháp thêm bớt số hạng, phương pháp đặt ẩn phụ,phương pháp tìm nghiệm đa thức Đồng thời vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để làm số dạng tập Khi học chuyên đề học sinh tiếp thu thích thú Các ví dụ đa dạng, có nhiều tập vận dụng tương tự nên giúp cho học sinh nắm vững phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử tạo tiền đề cho em học tập kiến thức giải tốn khó 2)Mục đích nghiên cứu: Chỉ phương pháp dạy loại “ Phân tích đa thức thành nhân tử” Đổi phương pháp dạy học Nâng cao chất lượng dạy học,cụ thể chất lượng mũi nhọn 3).Nhiệm vụ phương pháp nghiên cứu: a) Nhiệm vụ Nhiệm vụ khái quát:Nêu phương pháp dạy loại “ Phân tích đa thức thành nhân tử” Nhiệm vụ cụ thể: -Tìm hiểu thực trạng học sinh -Những phương pháp thực -Những chuyển biến sau áp dụng -Rút học kinh nghiệm b)Phương pháp nghiên cứu: -Phương pháp đọc sách tài liệu -Phương pháp nghiên cứu sản phẩm -Phương pháp tổng kết kinh nghiệm -Phương pháp thực nghiệm -Phương pháp đàm thoại nghiên cứu vấn đề 4).Giới hạn (phạm vi) nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu “Phân tích đa thức thành nhân tử tập vận dụng” Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp trường THCS II - NỘI DUNG ĐỀ TÀI: Trước hết giáo viên phải làm cho học sinh thấy rõ “Phân tích đa thức thành nhân tử ngồi giải tập phân tích đa thức thành nhân tử dạng tập vận dụng vận dụng ? -Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) biến đổi đa thức cho thành tích đa thức,đơn thức khác -Phân tích đa thức thành nhân tử toán nhiều tốn khác Ví dụ: + Bài tốn chứng minh chia hết + Rút gọn biểu thức +Giải phương trình bậc cao + Tìm giá trị lớn nhỏ A> Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: 1- Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cách nhóm, tách, thêm, bớt hạng tử Ví dụ 1: x4 + 5x3 +15x - Đa thức cho có số hạng khơng thể đặt nhân tử chung áp dụng đẳng thức, ta nghĩ tới cách nhóm số hạng thêm bớt số hạng Ta phân tích sau: Cách 1: x4 + 5x3 + 15x - = x4 - + 5x3 + 15x = (x2 - 3) (x2 + 3) + 5x (x2 + 3) = (x2 + 3) (x2 - + 5x) = (x2 + 3) (x2 + 5x - 3) Cách 2: x4 + 5x3 + 15x - = x4 + 5x3 - 3x2 + 3x2 + 15x - = x2 (x2 + 5x - 3) + (x2 + 5x - 3) = (x2 + 3) (x2 + 5x - 3) Bài cần lưu ý học sinh tập hợp số hữu tỉ đa thức x + 5x - khơng phân tích Ví dụ 2: x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 3xyz Giải: Đa thức cho có số hạng lại khơng đặt nhân tử chung mà có hạng tử 3xyz nên ta tách hạng tử 3xyz thành hạng tử để sử dụng phương pháp nhóm hạng tử x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 3xyz = x2y + x2z + xyz + xy2 + y2z + xyz + xz2 + yz2 + xyz = x (xy + xz + yz) + y (xy + yz + xz) + z (xz + yz + xy) = (xy + xz + yz) (x + y + z) Ví dụ 3: x2 + 6x + Với phương pháp biết đặt nhân tử chung, nhóm số hạng, dùng đẳng thức ta khơng thể phân tích đa thức Nếu tách số hạng thành hai số hạng để đa thức trở thành số hạng nhóm hạng tử để xuất nhân tử chung xuất đẳng thức Từ có nhiều khả biến đổi đa thức cho thành tích Cách 1: x2 + 6x + = x2 + 2x + 4x + = x (x+2) + (x+2) = (x+2) (x+4) Cách 2: x2 + 6x + - = (x+3)2 - = (x + - 1) (x+ +1) = (x+2) (x+4) Cách 3: x2 - + 6x + 12 = (x-2) (x+2) + (x+2) = (x+2) (x+4) Cách 4: x2 + 6x + = x2 - 16 + 6x + 24 = (x - 4) (x + 4) + (x + 4) = (x + 4) (x - + 6) = (x+2) (x+4) Ví dụ 4: x3 - 7x - Ta tách sau: Cách 1: x3 - 7x - = x3 - x - 6x - = x (x2 - 1) - (x + 1) = x (x - 1) (x + 1) - (x + 1) = (x + 1) (x2 - x - 6) = (x + 1) (x2 - 3x + 2x - 6) = (x +1) [ x (x - 3) + (x - 3)] = (x + 1) (x + 2) (x - 3) Cách 2: x3 - 7x - = x3 - 4x - 3x - = x (x2 - 4) - (x + 2) = x (x - 2) (x + 2) - (x + 2) = (x + 2) (x2 - 2x - 3) = (x + 2) (x2 - 3x + x - 3) = (x + 2) (x - 3) (x + 1) Cách 3: x3 - 7x - = x3 - 27 - 7x + 21 = (x - 3) (x2 + 3x + - 7) = (x - 3) (x2 + 3x + 2) = (x - 3) (x2 + x + 2x + 2) = (x - 3) (x + 2) (x + 1) Cách 4: x3 - 7x - = x3 + - 7x - = (x + 1) (x2 - x + 1) - (x + 1) = (x + 1) (x2 - x + - 7) = (x + 1) (x2 - x - 6) = (x + 1) (x2 - 3x + 2x - 6) = (x + 1) (x + 2) (x - 3) Cách 5: x3 - 7x - = x3 + - 7x - 14 = (x + 2) (x2 - 2x + - 7) = (x + 2) (x2- 2x - 3) = (x + 2) (x2 + x - 3x - 3) = (x + 2) (x + 1) (x - 3) Cách 6: x3 - 7x - = x3 - 9x + 2x - = x (x - 3) (x + 3) + (x - 3) = (x - 3) (x2 + 3x + 2) = (x - 3) (x + 1) (x + 2) Chú ý: Cần lưu ý học sinh phân tích đa thức phải triệt để, tức kết cuối khơng thể phân tích Tất nhiên u cầu có tính chất tương đối cịn phụ thuộc tập hợp số mà ta xét Nếu phân tích khơng triệt để học sinh gặp tình cách phân tích có kết khác Chẳng hạn tập cách 1, cách cho ta kết là: x3 - 7x - = (x + 1) (x2 - x - 6) Cách 2, cách cho kết là: x3 - 7x - = (x + 2) (x2 - 2x - 3) Cách 3, cách cho kết là: x3 - 7x - = (x - 3) (x2 + 3x + 2) Giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh ý sau: - Một đa thức dạng ax2 +bx + c phân tích thành nhân tử tập hợp Q đa thức có nghiệm hữu tỉ  ∆ (hoặc ∆ , )là số phương (trong ∆ = b2-4ac ( ∆ , = b,2 - ac) - Một đa thức dạng ax2 +bx + c tách làm xuất đẳng thức : ∆ (hoặc ∆ , ) số phương chứa hạng tử A2 +2AB +B2 A2 - 2AB +B2 Ví dụ 5: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) Đa thức ta dự đốn có nhân tử b + c c - a a + b Ta có cách phân tích sau: Cách 1: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) = bc (b + c) ac2 - a2c - a2b - ab2 = bc (b +c) + (ac2 - ab2) - (a2c + a2b) = bc (b +c) + a (c - b) (c + b) - a2 (c+ b) = (b + c) (bc + ac - ab - a2) = (b + c) [(bc - ab ) + (ac - a2) ] = (b + c) [b (c - a) +a (c - a)] = (b + c) (b + a) (c -a) Cách 2: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) = b2c bc2 + ac (c -a) - a2b - ab2 = ac (c - a) + b2 (c - a) + b (c2 - a2) = ac (c -a) + b2 (c - a) + b (c - a) (c + a) = (c - a) (ac + b2 + bc + ab) = (c - a) (a +b) (c+ b) Cách 3: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) = b2c + bc2 + ac2 - a2c - ab (a + b) = c (b2 - a2) + c2 (a + b) - ab (a + b) = c (b - a) (a + b) + c2 (a + b) - ab (a + b) = (a + b) (cb - ca + c2 - ab) = (a + b) [c (b + c) - a (c + b)] = (a + b) (b + c) (c - a) Cách 4: Nhận xét: c - a = (b + c) - (a + b) bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) = bc (b + c) + ac (b + c) - ac (a + b) - ab (a + b) = c (b + c) (b + a) - a (a + b) (c + b) = (b + c) (a + b) (c - a) Cách 5: Nhận xét: b + c = (c - a) + (a + b) Ta có: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a + b) = bc (c - a) + bc (a + b) + ac (c - a) - ab (a + b) = c (c - a) (b + a) + b (a + b) (c - a ) = (a + b) (c - a) (c + b) Cách 6: Nhận xét: a + b = (b + c) - (c - a) bc (b + c) + ac (c - a) - ab (b + c) + ab (c - a) = b (b + c) (c - a) + a (c - a) (c + b) = (c - a) (c + c) (b + a) Ví dụ 6: a5 + a + Số mũ a từ xuống nên a a cần có số hạng với số mũ trung gian để nhóm số hạng làm xuất nhân tử chung Cách 1: a5 + a + = a + a - a4 + a - a3 + a - a2 + a + = a5 + a4 + a3 - a4 - a3 - a2 + a2 + a +1 = a3 (a2 + a + 1) - a2 (a2 + a + 1) + a2 + a + = (a2 + a + 1) (a3 - a2 + 1) Cách 2: a5 + a + = a5 - a2 + a2 + a + = a2 (a - 1) (a2 + a + 1) + (a2 + a + 1) = (a2 + a + 1) (a3 - a2 +1) - Phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 1: (b - c)3 + (c - a)3 + (a - b)3 Đặt x = b - c; y = c - a; z = a - b Ta thấy: x + y + z = => z = - x - y (b - c)3 + (c - a)3 + (a - b)3 = x3 + y3 + z3 = x3 + y3 + (- x - y)3 = x3 + y3 - x3 - y3 - 3x2y - 3xy2 = - 3xy ( x + y) = 3xyz = (b - c) (c - a) (a - b) Ví dụ 2: (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) - 12 Thơng thường gặp tốn học sinh thường thực phép nhân đa thức với đa thức đa thức bậc với năm số hạng Phân tích đa thức bậc với năm số hạng thường khó dài dịng Nếu ý đến đặc điểm đề bài: Hai đa thức x + x + x2 + x + khác hạng tử tự do, ta đặt y = x + x + y = x + x biến đổi đa thức thành đa thức bậc hai đơn giản nhiều Đặt y = x2 + x + Ta có: (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) - 12 = y(y + 1) - 12 = y2 + y - 12 = y2 + 4y - 3x - 12 = (y +4 ) (y - 3) = (x2 + x + + 4) (x2 + x + - 3) = (x2 + x + 5) (x2 + x - 2) = (x2 + x + 5) (x2 + 2x - x - 2) = (x2 + x + 5) (x + 2) (x - 1) = (x - 1) (x +2) (x2 + x + 5) Ví dụ 3: (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) + 15 Nhận xét: Ta có: + = + ta nhân thừa số x + với x +7và x + với x + ta đa thức có phần biến giống (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) + 15 = (x2 + 7x + x + 7) (x2 + 5x + 3x + 15) + 15 = (x2 + 8x + 7) (x2 + 8x + 15) + 15 Đặt x2 + 8x + = y ta được: y (y + 8) + 15 = y2 + y + 15 = y2 + y + y + 15 = (y + 3) (y + 5) =(x2 + 8x + + 3) (x2 + 8x + + 5) = (x2 + 8x + 10) (x2 + 8x + 12) = (x2 + 6x + 2x + 12) (x2 + 8x + 10) = (x + 6) (x + 2) (x2 + 8x + 10) 3- Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp tìm nghiệm đa thức a) Cách tìm nghiệm đa thức -Phương pháp tìm nghiệm nguyên đa thức:Nghiệm nguyên (nếu có ) đa thức phảI ước hạng tử tự VD Tìm nghiệm nguyên đa thức sau: x3 + 3x2 - Giải: C1)Các ước : 1;2;4;-1;-2;-4 Thử giá trị ta thấy x = x = -2 nghiệm đa thức cho C2) Tổng hệ số đa thức nên đa thức cho có nghiệm x = - Phương pháp tìm nghiệm hữu tỉ đa thức: Trong đa thức với hệ số nguyên,nghiệm hữu tỉ (nếu có) phải có dạng p/q p ước hệ số tự do;q ước dương số hạng có bậc cao VD Tìm nghiệm đa thức sau: 2x3 + 5x2 + 5x + Giải: Các ước : 1;-1;3;-3 (p) Các ước dương : 1;2 (q) Xét số ±1; ±3;±1/2; ±3/2 ta thấy -3/2 nghiệm đa thức cho Chú ý: -Nếu đa thức có tổng hệ số đa thức có nghiệm Ví dụ: Đa thức a) 3x4 - 4x +1 có 3+ (-4) + = nên có nghiệm x = b) 4x3 +5x2 - 3x - có + + (-3) + (-6) = nên có nghiệm x = Nếu đa thức có tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ đa thức có nghiệm -1 Ví dụ: Đa thức a) 4x5 +5x4 + 7x3 + 11x2 + 2x - Tổng hệ số số hạng bậc chẵn : + 11 + (-3) = 13 Tổng hệ số số hạng bậc lẻ : + + = 13 Ta thấy tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ nên đa thức có nghiệm -1 b)x3 + 3x2 + 6x + Tổng hệ số số hạng bậc chẵn : + = Tổng hệ số số hạng bậc lẻ : + = Ta thấy tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ nên đa thức có nghiệm -1 b) Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp tìm nghiệm đa thức Nếu đa thức F(x) có nghiệm x=a chứa nhân tử x-a phân tích cần làm xuất nhân tử chung cho có nhân tử x-a VD: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x3 + 3x2 - b 2x3 + 5x2 + 5x + Giải : a)C1 Đa thức x3 + 3x2 - có nghiệm x= nên chứa nhân tử x-1 Ta có : x3 + 3x2 - = x3- x2 + 4x2 - 4x + 4x - = x2(x-1) + 4x(x-1) + 4(x-1) = (x-1)(x2 + 4x + 4) = (x-1) (x+2)2 C2 Đa thức x3 + 3x2 - có nghiệm x= -2 nên chứa nhân tử x + Ta có x3 + 3x2 - = x3 +2x2 +x2 + 2x - 2x -4 = x2(x+2) + x(x +2) - 2(x+2) = (x+2) (x2 +x -2) = (x+2) (x2 - x + 2x -2) = (x+2)[ x(x-1) +2(x-1)] = (x+2)(x-1)(x+2) = (x-1) (x+2)2 c) Đa thức 2x3 + 5x2 + 5x + có nghiệm x = -3/2 nên chứa nhân tử 2x+3 Ta có 2x3 + 5x2 + 5x + = 2x3 + 3x2 +2x2 + 3x +2x +3 = x2(2x +3) + x(2x+3) + (2x+3) = (2x+3) (x2 + x +1) B>Các dạng tập ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử Dạng 1: Rút gọn biểu thức Để giải toán rút gọn biểu thức đại số (dạng phân thức) ta phải phân tích tử thức ,mẫu thức thành nhân tử chia tử mẫu cho nhân tử chung chúng Ví dụ: Rút gọn biểu thức: A= x − x − 19 x + 106 x − 120 x + x − x − 67 x − 60 Giải : Ta có A= x − x − 19 x + 106 x − 120 x + x − x − 67 x − 60 Ta thấy tử thức phân thức có nghiệm 2; ; ; -5 Mẫu thức phân thức có nghiệm -1 ; ; -4;-5 Do x − x − 19 x + 106 x − 120 x + x − x − 67 x − 60 ( x − 2)( x − 3)( x − 4)( x + 5) A= ( x + 1)( x − 3)( x + 4)( x + 5) ( x − 2)( x − 4) A= ( x + 1)( x + 4) A= Ví dụ :Rút gọn biểu thức B= x + 3x − x+x−2 Giải: Ta thấy tử thức có nghiệm 1; mẫu thức có nghiệm ;nên ta có x + 3x − x − x + x − x + 4x − = x + x − x − x + 2x − 2x + 2x − x+x+4 = Ta thấy tử mẫu khơng phân tích x + 2x + B= Dạng : Chứng minh chia hết Để giải toán chứng minh đa thức A chia hết cho đa thức B có nhiều cách giải tơi trình bày phương pháp vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải Ví dụ 1: Chứng minh với số nguyên x ,ta có: [(x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15]  (x+6) Giải: Ta có (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15 = (x+1)(x+7) (x+3)(x+5)+15 = (x2 + 8x +7) (x2 + 8x +15) + 15 Đặt t = x2 + 8x +11  (t - 4)(t + 4) +15 = t2 - = (t + 1)(t - 1) Thay t = x2 + 8x +11 , ta có (x2 + 8x + 12) (x2 + 8x +10) (x2 + 8x +10)(x +2)(x + 6)  (x+6) Ví dụ 2: Chứng minh với số nguyên x ta có (4x + 3)2 - 25 chia hết cho Cách 1: Ta phân tích biểu thức (4x + 3)2 - 25 thừa số (4x + 3)2 -25 = (4x + 3)2 - 52 = (4x + + 5) (4x + - 5) = (4x + 8) (4x - 2) = (x + 2) (2x - 1) = (x + 2) (2x - 1) Do x số nguyên nên (x + 2) (2x - 1) số nguyên Do (x + 2) (2x - 1) chia hết cho Ta suy ĐPCM Cách 2: (4x + 3)2 - 25 = 16x2 + 24x + - 25 = 16x2 + 24x - 16 = (2x2 + 3x - 2) Vì x số nguyên nên 2x2 + 3x - số nguyên Do (2x2 + 3x - 3) chia hết cho 8.Ta suy ĐPCM Ví dụ 3: Chứng minh với số nguyên n biểu thức n n2 n3 A= + + số nguyên n n n 2n + 2n + Ta có: + + = 6 Muốn chứng minh biểu thức số nguyên cần chứng minh 2n + 3n + n3 chia hết cho với số nguyên n Ta có: 2n + 3n2 + n3 = n (2 + 3n + n2) = n (2 + 2n + n + n2) = n [ (1 + n) + n (1 + n)] = n (n + 1) (n + 2) Ta thấy n (n + 1) (n + 2) tích ba số ngun liên tiếp nên có thừa số chia hết cho thừa số chia hết cho Mà hai số nguyên tố nên tích chia hết cho n Vậy số nguyên n biểu thức A= + n2 n3 + số nguyên Ví dụ 4: Chứng minh đa thức: x50 + x49 + + x2 + x + chia hết cho đa thức x16 + x15 + + x2 + x + Ta thấy đa thức bị chia có 51 số hạng, đa thức chia có 17 số hạng, ta phân tích đa thức bị chia sau: x50 + x49 + + x2 + x + = (x50 + x49 + + x35 + x34) +(x33 + x32 + + x18 + x17) + x16 x2 + x + = (x34) (x16 + x15 + + x2 + x + 1) + x17 (x16 + x15 + + x2 + x + 1) + x16 +x2 + x + = (x16 + x15 + +x2 + x + 1) (x34 + x17 + 1) Rõ ràng: x50 + x49 + + x2 + x + chia hết cho x 16 + x15 + x + Kết phép chia : x34 + x17 + Ví dụ 5: Chứng minh đa thức a3 + b3 +c3 - 3abc chia hết cho đa thức a +b +c Đặt A = a3 + b3 + c3 - 3abc; B = a + b + c.Dự đoán đa thức A phân tích thành nhân tử có nhân tử a + b + c Ta có: A = a3 + b3 + c3 - 3abc = a3 + a2b + a2c + b2a + b3 + b2c + c2a + c2b + c3 - a2b - ab2 abc - a2c - acb - ac2 - acb - b2c - bc2 = a2(a+b+c) + c2 (a + b + c)-ab (a + b + c) -ac (a + b + c) -bc (a +b+c) = (a + b + c) (a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) = B (a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) Vậy đa thức A chia hết cho đa thức B 1 1 + + = a b c a+b+c 1 1 CMR: n + n + n = n với n lẻ a b c a + bn + cn 1 1 bc + ac + ab => = Ta có: + + = a b c a+b+c abc a+b+c ?Ví dụ 6: Cho => (cb + ac +ab) (a + b + c) = abc => abc + b2c + bc2 + a2c + abc + ac2 + a2b + ab2 + abc = abc => (abc + b2c) + (bc2 + ac2) + (a2c + abc) + (a2c + ab2) = => bc (a + b) + c2 (a + b) + ac (a + b) + ab (a + b) = => (a + b) (bc + c2 + ac + ab) = => (a + b) [ c (b +c) + a (b + c) ] = -> (a + b) (b + c) (a + c) =0 => a + b = => a = - b b + c = => b = - c Hoặc a + c = => a = - c Vì n lẻ nên a2 = -bn bn = - c2 an = - cn Thay vào ta suy điều phải chứng minh Dạng 3: Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải số dạng phương trình a) Giải phương trình nghiệm nguyên Ví dụ 1: Tìm nghiệm ngun dương phương trình 3x2 + 10xy + 8y2 = 96 Ta có: 3x2 + 10xy + 8y2= 3x2 + 4xy + 6xy + 8y2 = x (3x + 4y) + 2y (3a + 4y) = (3n + 4y) (x + 2y) = 96 Ta có: 96 - 1.96 = 2.48 = 3.32 = 4.24 = 8.12 = 6.16 Mà x, y > => 3x + 4y > 7; x + 2y > Ta có hệ phương trình sau: x + 2y = x + 2y = (II) (I) 3x + 4y = 24 3x + 4y = 16 x + 2y = x + 2y = 12 (III) 3x + 4y = 12 3x + 4y = Giải hệ (I) ta x = 16; y = - (Loại) Giải hệ (II) ta x = 4; y = (Loại) Giải hệ (III) ta x = 4; y = (Loại) Giải hệ (IV) ta x = - 16;y = 14 (Loại) Vậy nghiệm hệ x = 4; y = Vậy nghiệm phương trình: x= 4; y = Ví dụ 2: Tìm nghiệm ngun phương trình: 2x3 + xy - = => 2x3 + xy = => x (2x2 + y) = x=1 x=1 => 2x2 + y = => y=5 x=7 x=7 Hoặc => 2x2 + y =1 y = - 97 x=-1 x=-1 => Hoặc 2x2 + y =-7 y-9 x=-7 x=-7 => Hoặc 2x2 + y = - y = -99 Ví dụ 3: Tìm số ngun x > y > thỏa mãn x3 + y = y3 + 7x => x3 - y3 - 7x + 7y = => (x - y)3 (x2 + xy + y2) - (x - y) = => (x - y) (x2 + xy + y2 - 7) = Vì x > y > => x2 + xy + y2 - = => x2 - 2xy + y2 = - 3xy => (x - y)2 = - 3xy => - 3xy > => 3xy < => xy < x.y ≤ => x = 2; y = b) Giải phương trình bậc cao Ví dụ 1: Giải phương trình ( 3x - )2 -( x - )2 = (IV) Giải: Ta có: ( 3x - )2 -( x - )2 =  ( 3x - + x - )(3x - - x + 1) =  ( 4x - 6)(2x - 4) =  4x - =  x = 3/2 2x - =  x = Vậy nghiệm phương trình cho x =3/2 x = Ví dụ 2: Giải phương trình x3 + 3x2 + 4x + = Giải : Ta có x3 + 3x2 + 4x + =  x3 + x2 +2x2 +2x +2x + = x2(x +1) + 2x(x + 1) +2 (x + 1) = (x + 1)(x2 + 2x + 2) = (x + 1) = => x = -1 (x2 + 2x + 2) = khơng có giá trị x ∈ Q Vậy nghiệm phương trình cho x = -1 C - Bài tập: Phân tích đa thức thành nhân tử 1) x3 - 4x2 + 8x - 2) x2y + xy2 + x2z + xz2 + yz2 + 2xyz 3) x2 + 7x + 10 4) y2 + y - 5) n4 - 5n2 + 6) 15x3 + x2 - 2n 7) bc (b - c) ac (a - c) + ab (a - b) 8) ab (a - b) - ac (a + c) + bc (2a + c - b) 9) x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 10) x4 - 4x3 + 10x2 - 12x + 11) (x2 + x) (x2 + x + 1) - 12) (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) - 13) Tính nhanh số trị biểu thức sau với a) x = - P = (x+ 2)2 - (x + 2) (x - 8) + (x - 8)2 b) a = 5,75; b = 4,25 Q = a3 - a2b - ab2 + b3 14) CMR biểu thức (2n + 3)2 - chia hết cho với n nguyên n n n3 15) CM biểu thức + + số nguyên với số chẵn n 12 24 16) Chứng minh đa thức: x2 + x + x 79 + x78 + + x2 + x+ chia hết cho đa thức x 19 + x18 + + III - KẾT LUẬN: Trên đưa suy nghĩ mà giảng dạy "PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH MHÂN TỬ VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG" cho bồi dưỡng học sinh giỏi lớp Tôi tự nghiên cứu cho học sinh áp dụng bồi dưỡng học sinh giỏi đạt kết cao Hầu hết học sinh nắm kiến thức yêu thích học kiến thức Xin giới thiệu với cá bạn đồng nghiệp, em học sinh, bậc cha mẹ học sinh tham khảo, góp phần nhỏ vào lực giải tốn tri thức tốn học mình.Rất mong bạn đọc tham khảo góp ý cho tơi để nội dung phong phú hoàn thiện hơn./ Người thực hiện: Đào Văn Tiến KẾT QUẢ CHẤM ĐIỂM VÀ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG CHẤM SKKN CƠ SỞ Điểm : Xếp loại : Chủ tịch hội đồng chấm SKKN Hiệu trưởng KẾT QUẢ CHẤM ĐIỂM VÀ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG CHẤM SKKN PHềNG GD&ĐT THÀNH PHỐ Điểm : Xếp loại : Người chấm KẾT QUẢ CHẤM ĐIỂM VÀ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG CHẤM SKKN TPTN Điểm : Xếp loại : KẾT QUẢ CHẤM ĐIỂM VÀ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG CHẤM SKKN CẤP TỈNH Điểm : Xếp loại : ... nhân tử ngồi giải tập phân tích đa thức thành nhân tử dạng tập vận dụng vận dụng ? -Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) biến đổi đa thức cho thành tích đa thức, đơn thức khác -Phân tích đa thức. .. b) Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp tìm nghiệm đa thức Nếu đa thức F(x) có nghiệm x=a chứa nhân tử x-a phân tích cần làm xuất nhân tử chung cho có nhân tử x-a VD: Phân tích đa thức. .. dụng phân tích đa thức thành nhân tử Dạng 1: Rút gọn biểu thức Để giải toán rút gọn biểu thức đại số (dạng phân thức) ta phải phân tích tử thức ,mẫu thức thành nhân tử chia tử mẫu cho nhân tử

Ngày đăng: 02/01/2015, 20:18

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • N¨m häc 2006 - 2007

    • Dạng 1: Rút gọn biểu thức

      • Hoặc a + c = 0 => a = - c

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan