Phương trình mặt phẳng trong không gian 83 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN I. VÉCTƠ ĐẶC TRƯNG CỦA MẶT PHẲNG: 1. Hai véctơ ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 , , ; ; ; u a a a v b b b = =   là một cặp véc tơ chỉ phương (VTCP) của mặt phẳng ( α ) ⇔ , 0 u v ≠    ; không cùng phương và các giá của chúng song song hoặc nằm trên mặt phẳng ( α ) 2. Véctơ ( ) ; ; n a b c =  là véc tơ pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng ( α ) ⇔ ( α ) ⊥ giá của n  3. Nhận xét : Mặt phẳng ( α ) có vô số cặp véctơ chỉ phương và vô số véctơ pháp tuyến đồng thời [ ] // , n u v    . Nếu ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 , , ; ; u a a a v b b b  =   =     là một cặp VTCP của mp( α ) thì VTPT là: [ ] 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 , ; ; a a a a a a n u v b b b b b b   = =        II. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG 1. Phương trình tham số: Phương trình mp( α ) đi qua M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) với cặp VTCP ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 , , ; ; u a a a v b b b  =   =     là: ( ) 0 1 1 1 2 0 2 1 2 2 1 2 0 3 1 3 2 , x x a t b t y y a t b t t t z z a t b t = + +    = + + ∈   = + +   » 2. Phương trình tổng quát: 2.1. Phương trình chính tắc: 0 Ax By Cz D + + + = với 2 2 2 0 A B C + + > . Nếu D = 0 thì 0 Ax By Cz + + = ⇔ ( α ) đi qua gốc tọa độ. Nếu A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 thì ( α ): 0 By Cz D + + = sẽ song song hoặc chứa với trục x ’O x . Nếu A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0 thì ( α ): 0 Ax Cz D + + = sẽ song song hoặc chứa với trục y ’O y . Nếu A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 thì ( α ): 0 Ax By D + + = sẽ song song hoặc chứa với trục z ’O z . www.VNMATH.com Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 84 2.2. Phương trình tổng quát của mp( α ) đi qua M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) với cặp VTCP ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 , , ; ; u a a a v b b b  =   =     hay VTPT [ ] 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 , ; ; a a a a a a n u v b b b b b b   = =        là: ( ) ( ) ( ) 2 3 3 1 1 2 0 0 0 2 3 3 1 1 2 0 a a a a a a x x y y z z b b b b b b − + − + − = 2.3. Phương trình tổng quát của mp( α ) đi qua 3 điểm ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 3 3 3 , , ; , , ; , , A x y z B x y z C x y z không thẳng hàng có VTPT là: 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 , , , y y z z z z x x x x y y n AB AC y y z z z z x x x x y y − − − − − −     = =     − − − − − −      nên phương trình là: ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 0 y y z z z z x x x x y y x x y y z z y y z z z z x x x x y y − − − − − − − + − + − = − − − − − − Đặc biệt: Phương trình mặt phẳng đi qua ( ) ( ) ( ) ; 0;0 , 0; ;0 , 0;0; A a B b C c là: ( ) 1 0 y x z abc a b c + + = ≠ 3. Phương trình chùm mặt phẳng: Cho 2 mặt phẳng cắt nhau ( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 : 0; : 0 a x b y c z d a x b y c z d α + + + = α + + + = với ( ) ( ) ( ) 1 2 ∆ = α α ∩ . Mặt phẳng ( α ) chứa ( ∆ ) là ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 0 p a x b y c z d q a x b y c z d + + + + + + + = với 2 2 0 p q + > III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 MẶT PHẲNG Cho 2 mặt phẳng ( α 1 ): 1 1 1 1 0 A x B y C z D + + + = có VTPT ( ) 1 1 1 1 , , n A B C =  và ( α 2 ): 2 2 2 2 0 A x B y C z D + + + = có VTPT ( ) 2 2 2 2 , , n A B C =  . Nếu 1 2 , n n   không cùng phương thì ( α 1 ) cắt ( α 2 ). Nếu 1 2 , n n   cùng phương và ( α 1 ), ( α 2 ) không có điểm chung thì ( α 1 ) // ( α 2 ) Nếu 1 2 , n n   cùng phương và ( α 1 ), ( α 2 ) có điểm chung thì ( α 1 ) ≡ ( α 2 ) www.VNMATH.com Phương trình mặt phẳng trong không gian 85 IV. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Góc giữa 2 mặt phẳng ( α 1 ): 1 1 1 1 0 A x B y C z D + + + = và ( α 2 ): 2 2 2 2 0 A x B y C z D + + + = là ϕ (0 ≤ ϕ ≤ 90 ° ) thỏa mãn: 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 . cos n n A A B B C C n n A B C A B C + + ϕ = = + + + +     với 1 2 , n n   là 2 VTPT của ( α 1 ), ( α 2 ). V. KHOẢNG CÁCH 1. Khoảng cách từ M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) đến mặt phẳng ( α ): 0 Ax By Cz D + + + = là: ( ) 0 0 0 2 2 2 , Ax By Cz D d M A B C + + + α = + + 2. Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song: ( ) ( ) ( ) ; ;d d M M α β = β ∀ ∈ α ( ) ( ) ( ) ; ;d d M M α β = α ∀ ∈ β VI. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA Bài 1. Lập phương trình tổng quát của mp( α ) đi qua A(2; 1; − 1) và vuông góc với đường thẳng xác định bởi 2 điểm B( − 1; 0; − 4), C(0; − 2; − 1).  Mp( α ) đi qua A nhận ( ) 1; 2; 3 BC = −  làm VTPT nên phương trình mp( α ) là: ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 3 1 0 x y z − − − + + = ⇔ 2 3 3 0 x y z − + + = Bài 2. Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của mp( α ) đi qua ( ) 2; 1;4 A − , ( ) 3; 2; 1 B − và vuông góc với ( ) : 2 3 0 x y z β + + − = HD: ( ) 1;3; 5 AB = −  , ( ) 1;1;2 n β =  . Do mp( α ) đi qua A, B và ( ) ( ) α ⊥ β nên ( α ) nhận , b AB n   làm cặp VTCP. Suy ra VTPT của ( α ) là: ( ) 3 5 5 1 1 3 ; ; 11; 7; 2 1 2 2 1 1 1 n − −   = = − −      . Mặt khác ( α ) đi qua ( ) 2; 1;4 A − nên phương trình mp( α ): ( ) ( ) ( ) 11 2 7 1 2 4 0 11 7 2 21 0 x y z x y z − − + − − = ⇔ − − − = . Bài 3. Lập phương trình mp( α ) đi qua A(1; 0; 5) và // mp( γ ): 2 17 0 x y z − + − = . Lập phương trình mp( β ) đi qua 3 điểm B(1; − 2; 1), C(1; 0; 0), D(0; 1; 0) và tính góc nhọn ϕ tạo bởi 2 mp( α ) và ( β ). HD: mp( α ) // ( γ ): 2 17 0 x y z − + − = có ( ) 2; 1;1 n = −  ⇒ ( α ): 2 0 x y z c − + + = ( α ) đi qua A(1; 0; 5) ⇒ 2 1 0 5 0 7 c c ⋅ − + + = ⇔ = − ⇒ PT ( α ): 2 7 0 x y z − + − = www.VNMATH.com Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 86  mp( β ) nhận 2 véc tơ ( ) ( ) 0; 2; 1 , 1;3; 1 BC BD = − = − −   làm cặp VTCP nên có VTPT là: ( ) 2 1 1 0 0 2 ; ; 1;1; 2 3 1 1 1 1 3 n β − −   = =   − − − −    . Vậy phương trình mp( β ): ( ) 1 2 0 2 1 0 x y z x y z + − + = ⇔ + + − =  ( ) 2 2 2 1 1 1 1 2 3 1 cos cos , 60 6 2 3 2 1 1 1 1 2 n n β ⋅ − ⋅ + ⋅ π ϕ = = = = ⇒ ϕ = = ° + + + +   Bài 4. Viết PT mặt phẳng chứa đường thẳng ( ∆ ): 2 0 3 2 3 0 x z x y z − =    − + − =   và vuông góc với mặt phẳng (P): 2 5 0 x y z − + + = HD: Phương trình chùm mặt phẳng chứa ( ∆ ) là: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 3 0 , ; 0 m x z n x y z m n m n − + − + − = ∈ + > » ⇔ ( ) ( ) 3 2 2 3 0 m n x ny n m z n + − + − − = ⇒ mp( α ) chứa ( ∆ ) có VTPT ( ) 3 ; 2 ; 2 u m n n n m = + − −  Mặt phẳng (P) có VPPT ( ) 1; 2;1 v = −  nên để ( α ) ⊥ (P) thì 0 u v ⋅ =   ( ) ( ) ( ) 1 3 2 2 1 2 0 m n n n m ⇔ ⋅ + − ⋅ − + ⋅ − = 8 0 n m ⇔ − = . Cho 1 n = suy ra 8 m = , khi đó phương trình mp( α ) là: 11 2 15 3 0 x y z − − − = Bài 5. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa O z và lập với mặt phẳng ( α ): 2 5 0 x y z + − = một góc 60 ° . HD: Mặt phẳng (P) chứa O z ⇒ (P) có dạng: 0 mx ny + = ( 2 2 0 m n + > ) ⇒ VTPT ( ) ; ; 0 u m n =  . Mặt phẳng ( α ) có VTPT ( ) 2;1; 5 v = −  suy ra ( ) 2 2 2 2 2. 1. 0. 5 1 cos , cos 60 2 2 1 5 m n u v m n + − = ° ⇔ = + + +   ( ) ( ) 2 2 2 2 2 10 m n m n ⇔ + = + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 4 4 10 2 3 8 3 0 m mn n m n m mn n ⇔ + + = + ⇔ + − = Cho 1 n = ⇒ 2 1 3 8 3 0 3 3 m m m m + − = ⇔ = − ∨ = . Vậy ( ) : 3 0 P x y − = hoặc ( ) : 3 0 P x y + = www.VNMATH.com Phương trình mặt phẳng trong không gian 87 Bài 6. Viết phương trình tổng quát của mp( α ) qua M(0; 0; 1), N(3; 0; 0) và tạo với (O xy ) một góc 60 ° . HD: ( α ): 0 Ax By Cz D + + + = qua M, N suy ra: 0;3 0 C D A D + = + = ⇒ 3 ; 3 C A D A = = − . Mặt phẳng (O xy ) có VTPT là ( ) 0;0;1 suy ra 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 cos 60 36 10 2 10 C A A A B A B C A B = ° ⇔ = ⇔ = + + + + 2 2 26 26 A B B A ⇔ = ⇔ = ± . Do 2 2 2 0 A B C + + ≠ ⇒ 0 A ≠ . Cho 1 A = suy ra mp( α ): 26 3 3 0 x y z − + − = hoặc 26 3 3 0 x y z + + − = Bài 7. Cho A( a ; 0; a ), B(0; b ; 0), C(0; 0; c ) với a , b , c là 3 số dương thay đổi luôn luôn thỏa mãn 2 2 2 3 a b c + + = . Xác định a , b , c sao cho khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) đạt Max. HD:  (ABC): 1 0 y x z a b c + + − = . Suy ra ( ) 2 2 2 1 1 1 1 ;d O ABC a b c = + + ⇒ 2 2 2 2 1 1 1 1 d a b c = + + ⇒ ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 9 3 3 3 a b c a b c   = + + + + ≥ ⋅ =     2 1 1 3 3 d d⇒ ≤ ⇒ ≤ . Với 1 a b c = = = thì 1 Max 3 d = Bài 8. Cho chùm mặt phẳng ( ) ( ) : 2 1 1 0 m P x y z m x y z + + + + + + + = . Chứng minh rằng: (P m ) luôn đi qua (d) cố định ∀ m Tính khoảng cách từ O đến (d). Tìm m để (P m ) ⊥ ( ) 0 : 2 1 0 P x y z + + + = HD:  Với mọi m , (P m ) luôn đi qua đường thẳng cố định (d): 2 1 0 1 0 x y z x y z + + + =    + + + =    Mặt phẳng 2 1 0 x y z + + + = có VTPT: ( ) 2;1;1 u =  và 1 0 x y z + + + = có VTPT ( ) 1;1;1 v =  suy ra (d) có VTCP là: [ ] ( ) ; 0; 1;1 a u v= = −    . Mặt khác (d) đi qua ( ) 0;0; 1 M − ⇒ ( ) ( ) [ ] 2 2 1 0 0 1 , 2 0 1 1 OM a d O d a ⋅ + + = = = + +     ( ) ( ) ( ) ( ) : 2 1 1 1 0 m P m x m y m z m + + + + + + + = có VTPT ( ) 1 2; 1; 1 n m m m = + + +  ; Trường hợp đặc biệt mặt phẳng ( ) 0 P có VTPT ( ) 2 2;1;1 n =  . Để (P m ) ⊥ (P 0 ) thì ( ) ( ) ( ) 1 2 3 0 2 2 1 1 1 1 0 4 6 0 2 n n m m m m m − ⋅ = ⇔ + + + + + = ⇔ + = ⇔ =   www.VNMATH.com Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 88 Bài 9. Cho 3 điểm A(0; 1; 2), B(2; 3; 1), C(2; 2; − 1). Viết phương trình mặt phẳng (ABC). CMR: O ∈ (ABC) và OABC là một hình chữ nhật. Cho S(9; 0; 0). Tính thể tích chóp S.OABC. Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và đi qua trung điểm OS. HD:  ( ) ( ) 2; 2; 1 , 2;1; 3 AB AC = − = −   ⇒ VTPT ( ) , 5; 4; 2 n AB AC   = = − −      Do (ABC) đi qua A(0; 1; 2) nên phương trình mặt phẳng (ABC) là: ( ) ( ) ( ) 5 0 4 1 2 2 0 5 4 2 0 x y z x y z − − + − − − = ⇔ − + =  O(0; 0; 0) và 5.0 4.0 2.0 0 − + = nên O ∈ (ABC). Ta có: ( ) 0;1; 2 OA =  , ( ) 2; 2; 1 OC = −  OC AB ⇒ =   0.2 1.2 2.1 0 OA OC ⋅ = + − =   suy ra OABC là hình chữ nhật.  Gọi H là hình chiều của S lên (OABC) suy ra 1 1 2 2. 3 3 OABC ABC SABC V S SH S SH V= ⋅ = ⋅ ⋅ = 1 2 , 6 AB AC AS   = ⋅ ⋅      Ta có: ( ) 9; 1; 2 AS = − −  và ( ) , 5; 4; 2 AB AC   = − −     ⇒ ( ) ( ) 1 1 9 5 1 4 2 2 45 15 3 3 V = − − ⋅ − − = − =  Trung điểm của OS là ( ) 9 ;0;0 2 M ⇒ ( ) 9 ; 1; 2 2 AM = − −  ⇒ Mặt phẳng chứa AB và đi qua M có VTPT là: [ ] ( ) 1 . 5; ; 11 2 n AB AM= = − − −    ⇒ Phương trình mặt phẳng: 10 22 45 0 x y z + + − = . Bài 10. Lập phương trình của mặt phẳng ( ) α thuộc chùm tạo bởi hai mặt phẳng ( ) ( ) : 3 7 36 0; :2 15 0 P x y z Q x y z − + + = + − − = nếu biết khoảng cách từ gốc tọa độ O đến α bằng 3. Giải Mặt phẳng ( ) α thuộc chùm tạo bởi (P) và (Q) nên có phương trình dạng: ( ) ( ) ( ) 2 2 3 7 36 2 15 0 0 m x y z n x y z m n − + + + + − − = + > ( ) ( ) ( ) 2 3 7 36 15 0 m n x n m y m n z m n ⇔ + + − + − + − = . Ta có www.VNMATH.com Phương trình mặt phẳng trong không gian 89 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 36 15 , 3 3 2 3 7 m n d O m n n m m n − α = ⇔ = + + − + − 2 2 2 2 12 5 59 16 6 19 104 85 0 m n m mn n n mn m ⇔ − = − + ⇔ − + = ( ) ( ) 19 85 0 19 85 n m n m n m n m ⇔ − − = ⇔ = ∨ = + Cho n = m = 1 thì nhận được ( ) 1 : 3 2 6 21 0 x y z α − + + = + Cho m = 19, n = 85 ta có ( ) 2 : 189 28 48 591 0 x y z α + + − = . Bài 11. Lập phương trình mặt phẳng ( ) α đi qua 2 điểm A(2; –1; 0), B(5; 1; 1) và khoảng cách từ điểm ( ) 1 0; 0; 2 M đến mặt phẳng ( ) α bằng 6 3 . Giải Gọi phương trình mặt phẳng ( ) α là: ( ) 2 2 2 0 0 Ax By Cz D A B C + + + = + + > Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 1 ; 5 0 2 A A B D B A B C D∈ α ⇒ − + = ∈ α ⇒ + + + = Mặt khác: ( ) ( ) 2 2 2 7 7 1 , 2 6 3 6 3 d M C D A B C α = ⇔ + = + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 27 2 49 3 C D A B C⇔ + = + + . Từ (1) và (2), ta có ( ) 3 2 , 2 4 C A B D B A= − − = − Thế (4) vào (3), ta được: ( ) 2 2 2 2 27.49 49 3 2A A B A B   = + + +   2 2 17 5 12 17 0 5 B AB A B A B A + − = ⇔ = ∨ = − + Chọn A = B = 1 ⇒ C = –5, D = –1 thì nhận được ( ) 1 : 5 1 0 x y z α + − − = + Chọn A = 5, B = 17 ⇒ C = 19, D = –27 thì ( ) 2 : 5 17 19 27 0 x y z α − + − = VII. CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO BẠN ĐỌC TỰ GIẢI Bài 1. Viết PT mp( α ) chứa gốc tọa độ O và vuông góc với ( ) : 7 0 P x y z − + − = , ( ) : 3 2 12 5 0 Q x y z + − + = Bài 2. Viết PT mp( α ) đi qua M(1; 2;1) và chứa giao tuyến của ( ) ( ) : 1 0, : 2 3 0 P x y z Q x y z + + − = − + = Bài 3. Viết phương trình mặt phẳng chứa ( ) 3 0 : 3 2 1 0 x y z x y z − + − =   ∆  + + − =   và vuông góc với mặt phẳng (P): 2 3 0 x y z + + − = www.VNMATH.com Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 90 Bài 4. Cho A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4). Viết PT mp(ABC). Tính khoảng cách từ gốc O đến (ABC). Viết PT mặt phẳng: a. Qua O, A và // BC; Qua C, A và ⊥ ( α ): 2 3 1 0 x y z − + + = . b. Qua O và ⊥ ( α ), (ABC); Qua I( − 1; 2; 3) và chứa giao tuyến của ( α ), (ABC) Bài 5. Xác định các tham số m , n để mặt phẳng 5 4 0 x ny z m + + + = thuộc chùm mặt phẳng có phương trình: ( ) ( ) 3 7 3 9 2 5 0 x y z x y z α − + − + β − − + = Bài 6. Cho 2 mặt phẳng ( ) : 2 3 1 0 x y z α − + + = , ( ) : 5 0 x y z β + − + = và điểm M(1; 0; 5). Tính khoảng cách từ M đến mp( α ). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến (d) của ( α ) và ( β ) đồng thời vuông góc với mặt phẳng (Q): 3 1 0 x y − + = . Bài 7. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(1; 1; 3), B( − 1; 3; 2), C( − 1; 2; 3). Tính khoảng cách từ gốc O đến (P). Tính diện tích tam giác ABC và thể tích tứ diện OABC. Bài 8. Cho A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 3). Các điểm M, N lần lượt là trung điểm của OA và BC; P, Q là 2 điểm trên OC và AB sao cho 2 3 OP OC = và 2 đường thẳng MN, PQ cắt nhau. Viết phương trình mp(MNPQ) và tìm tỉ số AQ AB . Bài 9. Cho A( a ; 0; 0), B(0; a ; 0), C( a ; a ; 0), D(0; 0; d ) với a , d > 0. Gọi A’, B’ là hình chiếu của O lên DA, DB. Viết phương trình mặt phẳng chứa 2 đường OA’, OB’. Chứng minh mặt phẳng đó vuông góc CD. Tính d theo a để số đo góc  45 A OB ′ ′ = ° . Bài 10. Tìm trên O y các điểm cách đều 2 mặt phẳng ( ) ( ) : 1 0, : 5 0 x y z x y z α + − + = β − + − = Bài 11. Tính góc giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q) cùng đi qua điểm I(2; 1; − 3) biết (P) chứa O y và (Q) chứa O z . Tìm tập hợp các điểm cách đều 2 mặt phẳng (P) và (Q). Bài 12. Cho ∆ OAB đều cạnh a nằm trong mặt phẳng (O xy ), đường thẳng AB // O y . Điểm A nằm trên phần tư thứ nhất trong mp(O xy ). Cho điểm ( ) 0;0; 3 a S . Xác định A, B và trung điểm E của OA. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa SE và song song với O x . Tính ( ) , d O P từ đó suy ra ( ) ; d Ox SE www.VNMATH.com . Phương trình mặt phẳng trong không gian 83 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN I. VÉCTƠ ĐẶC TRƯNG CỦA MẶT PHẲNG: 1. Hai véctơ ( ) ( ) 1 2 3 1. có điểm chung thì ( α 1 ) ≡ ( α 2 ) www.VNMATH.com Phương trình mặt phẳng trong không gian 85 IV. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Góc giữa 2 mặt phẳng ( α 1 ): 1 1 1 1 0 A x B y C z D + + + = và. − − Đặc biệt: Phương trình mặt phẳng đi qua ( ) ( ) ( ) ; 0;0 , 0; ;0 , 0;0; A a B b C c là: ( ) 1 0 y x z abc a b c + + = ≠ 3. Phương trình chùm mặt phẳng: Cho 2 mặt phẳng cắt nhau ( ) ( ) 1