www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng _________________________________________________________________ Trần Văn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An Hướng dẫn giải bài tập Bài 1: Câu a: +txđ: 2 560xx−+> 1 0 2 x − > 12x ⇔ <<; x > 3 x – 3 0≠ + (1) 2 3333 (1) 3 1 log ( 5 6) log log 3 log 22 xx x xx x −− − ⇔−+= +−= ⇔ 2( 2)( 3) ( 1) 3xx xx⇔− −=−− (2) + nếu 1 <x <2: (2) 5 2(2)(3)(1)(3) 3 xx xx x⇔ − −=−− −⇔= + nếu x >3: (2) 2( 2)( 3) 9 1)( 3) 3xx xx x⇔− −=−−⇔= loại + Kết luận pt có nghiệm 5 3 x = Câu b: + điều kiện 1 23 x o + −> (*) + pt tương đương: ( ) 11 222 2 log 4 4 log 2 log (2 3) log 2 (2 3) xxx xx++ + =+ −= − 42240 2 0 xx x t⇔− −=⇔=> thì: 2 240tt − −= t =-1 loại; t =4 Vậy 24 2 x x=⇔= thoả mãn (*) Câu c: pt tương đương với: ( ) ( ) 2222 22 log 2 2 4 log 2 x xmm xmxm−+ − = + − ⇔ 2222 224 2 x xmmxmxm−+ − = + − (1) 22 20xmxm+− > (2) + (1) 22 (1)22 0xmxmm⇔−−+ − = (3) có 2 nghiệm: 1, 2 1xm=− + và 2m 22 2 2 12 1( 1)4 1xx m m⇒+ >⇔−++ >⇔ 0m < (*) 2 5 m > + từ (3) 22 2(1)2 x mmxm⇔− =+ − nên (2) trở thành ( 1)2 0(2 1)2 0mx m x m m x m++− >⇔ +− > (4) với 2 1(2 1)( 1)2 0 2 10xm m m m mm=−+⇒ + −+− >⇒− − +> -1<m< 1 2 (*)(*) Khi x=2m ⇒ thay vào (4): 2 (2 1)2 2 0 4 0 0mmm m m + −>⇔ >⇒≠ Kết hợp với (*) và (*)(*) ta có -1 <m < 0; 21 52 m < < thì yêu cầu của bài toán được thoả mãn. Bài 2: câu a www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _________________________________________________________________ Trn Vn Thỏi - Tr ng PTTH Chu Vn An + bpt tng ng: 2 aaa 1 log ( log x) log (log x) log 2 2 aa + 2 aaa 1 log log x log x log 2 2 a 3 a 1 log log x log 2 a a (*) + nu 0 <a< 1 32 aa 1 (*) 0 log x 2 0<log x 2 a 1 4 x< < +nu a > 1 2 aa (*) log x 8 log x 2 x a + kt lun 0 <a < 1 bpt cú nghim 2 1ax < a >1 bpt cú nghim 2 x a Cõu b: +iu kin: 0x > 22 2 31 101xx x x+> + <<< + vi 0 <x <1 22 311311xx+<+= ( ) +<= 22 22 log x 3 1 log 1 0x v 22 log x<log 1=0 VT < 0 nghim ca bpt 0 <x <1 Bài 27: Một số phơng pháp giải phơng trình bất phơng trình lôgarít (tiếp theo) 3. Phơng pháp đặt ẩn phụ a. Ví dụ 1: Giải các phơng trình sau . x lgx = 2xlg3xlg2 2 10 + . Log 2 x x2 14log 16x x 3 + 40log 4x x = 0 . Tìm m để phơng trình: 3xlogxlog 2 2 1 2 2 + = m(log 4 x 2 3) có nghiệm x [32,+ ). Giải: Câu : Đổi sang cơ số 2. + 0 xlog2 xlog 2 1 .40 xlog4 xlog3.14 1xlog xlog2 2 2 2 2 2 2 = + + + www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _________________________________________________________________ Trn Vn Thỏi - Tr ng PTTH Chu Vn An + Đặt log 2 x = t Phơng trình: t 2 t20 t 4 t42 1 t t2 + + + = 0 Điều kiện: t 1; -2 ; -4 -10t (2t 2 3t 2) = 0 t = 0; t = - 2 1 ; t = 2 thoả mãn điều kiện trên. + t = 0 x =1; t = - 2 1 x = 2 1 ; t = 2 x = 4 Kết quả: x = 2 1 ; 1;4 Câu : đk: x > 0; lg hoá 2 vế ta có lg 2 x = 2lg 2 x 3lgx + 2 lg 2 x 3lgx + 2 = 0 + Đặt lgx = t t 2 3t + 2 = 0 t = 1; t = 2 == = = 100x2xlg 10x1xlg Câu y: Đổi sang cơ số 2 ta có ( ) 3xlog2xlog 2 2 2 = m(log 2 x-3) đặt log 2 x = t 3t2t 2 = m(t-3) theo điều kiện x 32 t 5. () ( ) ()() = 23tm3t2t 103tm 2 22 + Vì t 5 t 3 > 0 từ (1) m 0 + (2) (t+1)(t-3) = m 2 (t-3) 2 t+1 = m 2 (t-3) t = 1 m 1m3 2 2 + theo yêu cầu bài toán t 5 1 m 1m3 2 2 + 5 1 m m26 2 2 0 1 < m 2 3 và do m 0. 1 < m 3 thì phơng trình đã cho có nghiệm x [32;+) b. Ví dụ 2: Giải các bất phơng trình sau: www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _________________________________________________________________ Trn Vn Thỏi - Tr ng PTTH Chu Vn An . Log x 2log 2x 2.log 2 4x > 1 . Log 3 (x+2) > log x2 9 . Tìm a để bất phơng trình sau nghiệm x. 3x2x 2logalogx 2 a 2 2 2 + + < 1 Giải Câu : TXĐ : x > 0; x 1; x 2 1 đổi sang cơ số 2. + Ta có: xlog1 1 . xlog 1 22 + > 1 đặt log 2 x = t - () t1t t2 + + > 1 () 0 1tt t2 2 > + - 2 < t < -1; 0 < t< 2 vậy - 2 < log 2 x < -1 2 2 < x < 2 -1 . Và 0 < log 2 x < 2 1 < x < 2 2 . Kết luận nghiệm của phơng trình << << 2 2 1 2x1 2 1 x2 Câu : đk: > 1x 2x ; đổi ra cơ số 3 ta có. log 3 (x+2) > () 2xlog 2 3 + đặt log 3 (x+2) = t. Bất phơng trình trở thành: t > t 2 t 2t 2 >0 - 2 < t < 0; t > 2 + >> <<<< 2 2 10x2lg 1x100xlg2 là nghiệm của bất phơng trình Câu : + Điều kiện a > 0; a 1. www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _________________________________________________________________ Trn Vn Thỏi - Tr ng PTTH Chu Vn An + Nhận thấy x 2 + 2x -3 < 0 với x vì a = -1; = 1-3 < 0 + Vậy bất phơng trình tơng đơng: x 2 log 2 a 2 + log a 2 > -x 2 + 2x 3 x 2 (2log 2 a + 1) = 0 log 2 a = - 2 1 a = 2 2 1 = 2 1 Thì (1) trở thành : - 2x + alog 1 2 + 3 > 0 -2x + 1 > 0 x < 2 1 không nghiệm với x không thoả mãn + Để (1) thoả mãn với x ()() <++= >+ 032log1alog21' 01alog2 a2 2 - Giải: 2log 2 a + 1 > 0 log 2 a > - 2 1 a > 2 2 1 = 2 2 - giải: 1 (2log 2 a + 1) (log a 2 + 3) < 0 đặt log 2 a = t 1 (2 t + 1) + 3 t 1 < 0 1 2 6t - t 1 - 3 < 0 6t + 4 + t 1 > 0 t 1t4t6 2 ++ >0 t 0 log 2 a > 0 a > 1 Kết hợp 2 kết quả: a> 1 vậy a > 1 thì bất phơng trình đúng x. 4. Chú ý: a. Ta có dạng phơng trình: log g(x) [f(x)] = a ( ) () () () [] = > a xgxf 1xg 0xg Ví dụng giải phơng trình: log x+1 (x 2 -x+1) 2 = 2. () () +=+ + >+ 2 2 2 1x1xx 11x 01x ()( ) =+ > 0x2x2x 0x 1x 2 2 2 x = 2. www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _________________________________________________________________ Trn Vn Thỏi - Tr ng PTTH Chu Vn An b. Với bất phơng trình ta có dạng: log a (f(x)) log a (g(x)) ()()()() [] () () >> > 0xg;0xf 1a;0a 0xgxf1a Đã đợc nêu nên ở ví dụng trong bài ôn tập đầu tiên (vấn đề tập xác định của hàm số) Ví dụ: giải bất phơng trình: log 2 xx3 (3-x) > 1 = log 2 xx3 (3x-x 2 ) ()( ) > >+ > 0x3 0xx3x31xx3 1xx3 0xx3 22 2 2 ()( ) < >++ < < 3x 01x3x3x4x 2 53 x 3x0 22 2 53 < x < 1 ; 2 53 + < x < 3 ; 5. Phơng pháp tham số: Coi một bộ phận của ẩn là tham số: a. Ví dụ 1 giải phơng trình sau. (x+2)log 3 2 (x+1) + 4(x+1) log 3 (x+1) 16 = 0 Giải: ĐK x + 1 > 0 x + 2 > 0 vậy Đặt log 3 (x+1) = t phơng trình trở thành: (x+2)t 2 + 4(x+1)t 16 = 0 = 4(x+1) 2 + 16(x+2) = 4(x+3) 2 t 12 = ()() 2x 3x21x2 + ++ = -4; 2x 4 + + t = -4 log 3 (x+1) = -4 x = - 81 80 > -1 thoả mãn + t = 2x 4 + log 3 (x+1) = 2x 4 + có x = 2 là nghiệm và log 3 (x+1) là hàm đồng biến; 2x 4 + là hàm nghịch biến nên phơng trình chỉ có 1 nghiệm duy nhất x = 2. www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _________________________________________________________________ Trn Vn Thỏi - Tr ng PTTH Chu Vn An + Kết luận: Phơng trình trên có 2 nghiệm x = - 81 80 và x = 2 b. Ví dụ 2: Giải bất phơng trình sau: (x+1) xlog 2 2 1 + (2x+5) 2 1 log x + 6 0 Giải: + ĐK x > 0 2 1 log x = -log 2 x vậy bất phơng trình trở thành (x+1)log 2 2 x (2x+5)log 2 x + 6 0 đặt log 2 x = t (x+1)t 2 (2x+5)t + 6 0 đặt log 2 x = t (x+1)t 2 (2x+5)t + 6 0 do x > 0 x + 1 > 0 Tam thức vế trái của bất phơng trình có: = (2x+5) 2 24(x+1) = (2x-1) 2 t 12 = () () 1x2 1x25x2 + + = 2; 1x 3 + + Bất phơng trình trở thành: (x+1) (t-2) (t- 1x 3 + ) 0. (log 2 x-2)[(x+1)log 2 x-3] 0 (*) + Mà log 2 x 2 0 x 4 dấu cảu log 2 x 2 nh dấu của x 4 thay log 2 x- 2 bằng x 4 + y = (x+1)log 2 x-3 có y = log 2 x + (x+1)log 2 x 3 cùng dấu với x 2 bpt (*) tơng đơng với bất phơng trình (x-4)(x-2) 0 4x 2x kết hợp với điều kiện x > 0 + Kết luận nghiệm của bpt là < 4x 2x0 6. Phơng pháp chọn: Cách làm giống nh phơng pháp chọn với phơng trình bất phơng trình mũ a. Ví dụ giải phơng trình: ĐK x > 5 lg(x 2 6x + 5) = lg(x-1)+6-x Giải: lg(x-1)(x-5) = lg(x-1) + 6-x www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _________________________________________________________________ Trn Vn Thỏi - Tr ng PTTH Chu Vn An lg(x-5) = 6-x nhận thấy x = 6 là nghiệm và là nghiệm duy nhất vì hàm y = lg(x-5) đồng biến khi x > 5 (cơ số 10>1) và hàm y = 6-x là nghịch biến vì a = -1 < 0 2 đồ thị chỉ cắt nhau đúng 1 lần. 7. Bài tập: Giải các phơng trình bất phơng trình sau: 1. log 2 x + 2log 7 x = 2+log 2 x.log 7 x 2. log 4 (x- 1x 2 ). log 5 (x+ 1x 2 ) = log 20 (x- 1x 2 ) 3. x log 2 x+4 32 4. log 3 2 (x+1) + (x-5)log 3 (x+1) 2x + 6 = 0 5. 3 xlog 2 + x 3log 2 = 6 6.2log 3 (cõtg) = log 2 cosx 7. xlogxlog 6 2 6 x6 + 12 8. log 5 x = log 7 (x+2) . Phơng trình trên có 2 nghiệm x = - 81 80 và x = 2 b. Ví dụ 2: Giải bất phơng trình sau: (x+1) xlog 2 2 1 + (2x+5) 2 1 log x + 6 0 Giải: + ĐK x > 0 2 1 log x = -log 2 x vậy bất phơng trình. b. Với bất phơng trình ta có dạng: log a (f(x)) log a (g(x)) ()()()() [] () () >> > 0xg;0xf 1a;0a 0xgxf1a Đã đợc nêu nên ở ví dụng trong bài ôn tập đầu tiên (vấn đề tập xác. log 3 (x+2) = t. Bất phơng trình trở thành: t > t 2 t 2t 2 >0 - 2 < t < 0; t > 2 + >> <<<< 2 2 10x2lg 1x100xlg2 là nghiệm của bất phơng trình Câu