Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian ____________________________________________________________________________ Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai SÁNG KIN KINH NGHIM " PHNG PHÁP GII MT S BÀI TOÁN CC TR TRONG HÌNH HC GII TÍCH" I - Lý do chn đ tài Trong chng trình hình hc lp 12, bài toán vit phng trình đng thng, mt phng và tìm đim là nhng bài toán chim mt v trí quan trng. Trong các đ thi đi hc luôn có vn đ này, song bài toán liên quan đn vn đ cc tr li là vn đ khó vi hc sinh và đòi hi hc sinh phi có t duy sâu sc. i vi hc sinh gii có th làm tt phn này, tuy nhiên cách gii còn ri rc, làm bài nào bit bài đy và thng tn nhiu thi gian cho các bài tp khó. Trong sách giáo khoa loi bài tp này không xut hin, trong các tài liu tham kho thì các bài tp này cha mang tính h thng, cha phân loi và cha ch ra đc đng li gii cho loi bài toán này. Trong hè nm 2008 và 2009, tôi đã có dp trao đi mt s ni dung vi lp Bi dng giáo viên thì đây cng là vn đ khó đi vi c các thy cô giáo. Vi nhng lý do trên, tôi mun hoàn thin mt lp các bài toán này nhm giúp các em hc sinh có cái nhìn tng quát và mang tính h thng cho vn đ này. Qua đó giúp hc sinh không phi e s phn này và quan trng hn là khi đng trc mt bài toán, hc sinh có th bt ngay đc cách gii, đc đnh hng khi làm bài, t đó có cách gii ti u cho mt bài toán. V vn đ này gn đây trong mt tp chí Toán hc tui tr cng có đ cp đn, nhng tôi xin trình bày vn đ vi góc nhìn ca riêng tôi, mc dù vì điu kin thi gian, kinh nghim và kin thc còn hn ch, có vn đ vic phát trin là cha nhiu, tôi s còn tip tc hoàn thin vn đ này và có thêm nhng ý tng mi trong quá trình ging dy. Rt mong nhn đc s đóng góp ý kin chnh sa đ đ tài này đc hoàn thin hn. II - Ni dung nghiên cu Trong đ tài này tôi chia thành 3 ni dung chính: Phn 1 : Bài toán vit phng trình mt phng Phn 2: Bài toán vit phng trình đng thng Phn 3: Các bài toán v đim Vi mi ni dung đc trình bày theo mt h thng lô gic cht ch t các bài toán đn gin đn phc tp, phân tích vn đ, phát trin vn đ đn phát trin bài toán. III - Phm vi nghiên cu Các kin thc trong khuôn kh chng trình toán THPT IV - i tng áp dng: 1. Ôn tp kin thc c bn cho hc sinh 12 2. Ôn thi đi hc 3. Bi dng hc sinh V - Tài liu tham kho: 1. Sách giáo khoa. 2. Các đ thi đi hc. 3. Tp chí Toán hc và tui tr Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian ____________________________________________________________________________ Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai 4. Mt s tài liu hình gii tích ca Phan Huy Khi. VI-NI DUNG  TÀI Phn I : Vit phng trình mt phng C s lý thuyt:  vit phng trình mt phng cn xác đnh hai yu t là mt đim thuc mt phng và mt véc t pháp tuyn ây cng chính là c s đ xây dng các bài toán. Ta bt đu t mt bài toán rt đn gin Bài toán 1: Cho hai đim A, B. Xác đnh mt phng (P) đi qua A và cách B mt khong ln nht. Phân tích: Gi s mt phng (P) đã đc xác đnh. Bài toán hi đn khong cách t B đn mt phng, đng nhiên ta phi xác đnh khong cách t B đn mt phng (P).  xác đnh khong cách ln nht ta dùng bt đng thc đánh giá d(B, (P)) nh hn mt giá tr không đi và giá tr không đi đó là giá tr đã bit AB. B A Gii: Gi H là hình chiu ca B trên (P) d(B, (P)) = BH ⇒ Ta có BH AB không đi . Du " = " xy ra ≤ ⇔ H ≡ A ⊥ (P) ⇒ AB u uur là véc t pháp tuyn ca (P). Hay max BH = AB khi H A hay AB≡ n đây mt phng (P) hoàn toàn xác đnh là mt phng qua A và có véc t pháp tuyn AB u uur Bài toán này đn gin, ta có th cho vô s ví d. Tuy nhiên, ý tng đn gin đó s gn nh xuyên sut lp các bài toán v dng này. Mt câu hi đt ra là : vy mt phng qua A và cách B mt khong nh nht có tn ti hay không? bài toán đó có đc đt ra hay không? Ta bit khong cách gia hai đi tng bt kì là không âm, vì vy giá tr nh nht (nu có) luôn ln hn 0. Trong bài toán trên, d thy min d(B,(P))= 0 ⇔ B ∈ (P) hay (P) đi qua A và B. Do đó, có vô s mt phng tha mãn. Vì th bài toán này thng không đc đt ra, nu có thng phi đi kèm mt điu kin khác . Bài toán 2 Cho mt đng thng ; Mt đim A không thuc đng thng. Vit phng trình mt phng (P) qua và cách A mt khong ln nht. Δ Δ Phân tích: Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian ____________________________________________________________________________ Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai Xác đnh khong cách t A ti (P) và so sánh vi khong cách không đi. T đó liên h gia khong cách t A ti , đa ti li gii sau: Δ Li gii: Gi H là hình chiu ca A trên (P), K là hình chiu ca A trên ⇒ d(A,(P)) = AH. Ta có AH Δ ≤ AK ( không đi) Du "=" xy ra H ≡ K hay max AH = AK ⇔ F H K A ⇔ H K hay (P), tc là véc t pháp tuyn ca (P). ≡ AK uuur ⊥ AK uuur Do đó, mt phng (P) hoàn toàn đc xác đnh là mt phng qua mt đim bt kì ca Δ và có véc t pháp tuyn AK uuur  thi đi hc khi A nm 2008 đc cho t bài toán này. T bài toán gc này ta cng có th cho nhiu bài toán. Câu hi tng t nh bài toán trên là Vy mt phng qua Δ và cách A mt khong nh nht có tn ti không? Câu tr li là d thy chính là mt phng cha Δ và A và khong cách nh nht là 0. Do đó, thay cho cách hi vit phng trình mt phng qua Δ và A thì bài toán có th đc phát trin theo cách trên là " tìm mt phng cha và cách A mt khong nh nht" và cng có th xut hin di nhiu dng khác. Δ Ví d 1: Cho hai đng thng 12 x1t x1 1 z3 : và : y 2 2 t 122 z2t y =− − ⎧ ++− ⎪ Δ== Δ=+ ⎨ − ⎪ =− ⎩ 1 Vit phng trình mt phng (P) qua Δ và cách 2 Δ mt khong ln nht. Li gii: D thy , do vy, khong cách t 2 1 //ΔΔ 1 Δ ti (P) bng khong cách t mt đim bt kì ca ti (P). Ly A(-4; -1; 3) , bài toán tr v: " Xác đnh mt phng (P) qua 1 Δ 1 ∈Δ 2 Δ và cách A mt khong ln nht." Theo bài toán trên, ta xác đnh hình chiu H ca A trên 2 Δ , d có H(0; 0; 2). mt phng (P) có véc t pháp tuyn ⇒ AH u uur =( 4; 1; -1) uuu Vy (P) qua H và có vtpt có phng trình: 4x + y - z + 2 = 0 AH r Bài toán 3: Cho hai đng thng ct nhau ti A. Vit phng trình mt phng (P) cha 12 và ΔΔ 2 Δ và hp vi mt góc ln nht. 1 Δ Phân tích: Xác đnh góc gia và (P) và so sánh vi mt góc không đi, t đó đa đn liên h vi góc gia hai đng thng. 1 Δ Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian ____________________________________________________________________________ Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai Li gii: Gi s (P) đã đc xác đnh. Gi M là đim bt kì và H, K tng ng là hình chiu ca M trên (P) và . Khi đó ( 1 ∈Δ 2 Δ ฀ ฀ 112 ,(P)) MAH , ( ; ) = MAK α ϕ Δ= =ΔΔ = (là góc không đi) Ta có: MH MK sin , sin = và MK MH MK MA αϕ =≥ nên sin sin α ϕα ≤⇒≤ ϕ ( vì hàm sin đng bin trong 0; và 2 π ϕ ⎡⎤ ⎢⎥ ⎣⎦ không đi) M F 3 H A F 4 M Suy ra : max = khi H K α ϕ ≡ hay MK ⊥ (P) ⇒ MK u uuur là véc t pháp tuyn ca (P), hay ta có th thy mt phng véc t pháp tuyn ca (P) là 12 (; ) (P)ΔΔ ⊥ ⇒ 12 2 ;,nuuu r ⎡ ⎤ ⎡⎤ = ⎣⎦ ⎣ ⎦ ur uuruur 1 Vy (P) hoàn toàn đc xác đnh. Nhn xét: 1. ng thng khi đó là hình chiu ca 2 Δ Δ trên (P). Do đó bài toán có th đc phát trin di dng " Xác đnh mt phng (P) sao cho 2 Δ là hình chiu vuông góc ca 1 Δ trên (P). Tuy nhiên khi đó mt phng (P) d dàng xác đnh hn. 2. Vì ta bit góc gia ( ;(P)) = ( 1 Δ ' 1 Δ ;(P)) nu ' 11 // Δ Δ⇒ 2 2 bài toán có th thay gi thit chéo nhau. Khi đó, ta ly mt đim A thuc 1 , ΔΔ Δ , qua đó vit phng trình thì bài toán tr v bài toán trên. ' 1 //ΔΔ 1 12 1 2 // ∨Δ≡Δ 2 3. Nu ΔΔ : mt phng cha Δ hoc cha 1 Δ hoc song song 1 Δ thì góc gia và (P) luông bng 0. Do đó bài toán không đc đt ra cho hai v trí trên. 1 Δ 4. Nu ct : mt phng cha 1 Δ 2 Δ 1 Δ và hp vi 2 Δ mt góc nh nht chính là mt phng cha 2 đng thng . 12 ,ΔΔ 12 ,ΔΔ Nu chéo nhau: Mt phng cha 2 Δ và hp vi 1 Δ mt góc nh nht chính là mt phng qua và song song . 2 Δ 1 Δ Ví d 2: Cho hai đng thng 1 x+1 y+3 z-2 : = = 3-2- Δ 1 và 2 x- 2 y+1 z-1 : = = 23- Δ 5 Vit phng trình mt phng (P) qua 2 Δ và hp vi 1 Δ mt góc ln nht. Li gii D thy chéo nhau. Ta ly đim A(2; -1; 1) 12 ,ΔΔ 2 ∈ Δ , qua A dng đng thng có phng trình: '' 11 // ΔΔ⇒Δ 1 x- 2 y+1 z-1 == 32- 1 11 2 2 có vtcp (3; 2; 1), có vtcp (2;3; 5) uuΔ−−Δ −⇒ ur uur . Khi đó: và tr v bài toán trên. ' 12 AΔ∩Δ = mt phng ' 12 (, ) Δ Δ có véc t pháp tuyn là , chn . Áp dng kt qu bài toán trên ta có véc t pháp tuyên ca mt phng (P) là : . 112 [ ; ] (13;13;13)nuu== ur ur uur 1 (1;1;1)n = ur 12 [; ] (8;7;1)nnu==− ruruur Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian ____________________________________________________________________________ Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai Mt phng (P) qua A và có véc t pháp tuyn n r có phng trình: 8(x - 2) - 7(y + 1) - (z - 1) = 0 8x - 7y - z - 22 = 0 ⇔ Chú ý: 1. Vi li gii ví d này, khi ta áp dng kt qu bài toán trên thì không nht thit phi xác đnh song đ trình bày li gii c th mt bài toán khi xut hin đc lp ta phi ch ra đy đ c s nh bài toán trên thì phi vit phng trình ' 1 Δ ' 1 Δ . 2. Vi bài toán này, khi ging dy các thy cô giáo có th đt ra rt nhiu bài toán c th t hai đng thng ct nhau hoc chéo nhau. Bài toán 4: Cho đng thng và mt phng (P) ct nhau. Xác đnh mt phng (Q) cha và hp vi (P) mt góc nh nht. Δ Δ Phân tích: Vì theo mt giao tuyn. Vn theo ý tng đu tiên, ta xác đnh góc gia (P) và (Q) và so sánh vi góc không đi trong bài toán này là góc gia và (P). ( ) (Q) (P)PAΔ∩ = ⇒ ∩ Δ Li gii: Gi A ( ; M là đim bt kì trên P)=Δ∩ Δ . Gi s (Q) đã xác đnh đc . (Q) (P) = d⇒∩ Gi H, K tng ng là hình chiu ca M trên (P) và d F A M H K ⇒ d góc gia hai mt phng (P) và (Q) là và góc gia HK d ⇒⊥ ฀ MKH ϕ = Δ và (P) là ( không đi).Ta có: ฀ = MAH α MH MH , sin = MA MK αϕ =sin và MA ≥ MK sin sin α ϕ ⇒≥ . Vì hàm sin đng bin trên 0; 2 π ⎡ ⎢ ⎣⎦ ⎤ ⎥ nên α ϕ ≥ (không đi). min khi K A ϕ α ⇒= ≡ , hay d ⊥ Δ . Suy ra, mt phng (Q) ct (P) theo mt giao tuyn vuông góc vi Δ thì góc ϕ là góc nh nht. Gi véc t pháp tuyn ca (P) là n r và véc t ch phng ca Δ là u r thì (Q) có véc t pháp tuyn là uu u r r . Vy mt phng (Q) hoàn toàn xác đinh là mt phng qua mt đim ca [[u; n];u] Q n = r r Δ và có véc t pháp tuyn Q n uur Ví d: Cho đng thng x-3 y z-1 : = = 2-13 Δ và mt phng (P) : x + y + z = 0 Vit phng trình mt phng (Q) cha Δ và hp vi (P) mt góc nh nht. Li gii: Áp dng bài toán trên, ta gi vtcp ca là uΔ r (2; -1;3), véc t pháp tuyn ca (P) là P n u ur (1; 1;1) thì giao tuyên d ca (P) và (Q) có véc t ch phng là d u=[u;n] P u urruur = ( -4; 1; 3) Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian ____________________________________________________________________________ Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai Véc t pháp tuyn ca mt phng (Q) là Qd n=[u;u] u ur u urr = (6; 18; 2) chn véc t pháp tuyn là (3; 9; 1). Mt phng (Q) qua M(3; 0; 1) ⇒ 1 n ur ∈ Δ và có véc t pháp tuyn có phng trình là: 1 n uur 3(x - 3) + 9y +z -1 = 0 3x + 9y + z - 10 = 0 ⇔ Nhn xét: 1. Giao tuyn ca 2 mt phng là mt trong nhng bài toán vit phng trình đng thng rt c bn: đng thng qua giao đim, nm trong mt phng và vuông góc vi đng thng cho trc. Tuy nhiên khi đc nâng lên mt bc nh bài toán này đã đc tích hp nhiu kin thc hn, đòi hi hc sinh hiu sâu hn các vn đ đã bit. 2. Mt phng qua và hp vi (P) mt góc ln nht có tn ti hay không? D thy đó là bài toán quen thuc: " mt phng qua Δ Δ và vuông góc vi (P) " ( góc ln nht bng 90 o ). 3. Vi Δ nm trong mt phng (P) hay song song vi (P) thì mt phng (Q) cha Δ và hp vi (P) mt góc nh nht là 0 0 , và góc ln nht là 90 0 4. Vi bài toán gc trên, ta có th đa ra nhiu bài tp cùng ni dung cho hc sinh làm t mt đng thng và 1 mt phng ct nhau. Phn II: Bài toán vit phng trình đng thng Bài toán 5: Cho mt phng (P), đim A thuc (P) và đim B không thuc (P). Tìm đng thng Δ nm trong (P), Δ qua A và cách B mt khong ln nhât, nh nht. Phân tích: Vn ý tng t bài toán hi khong cách t B ti , ta xác đnh khong cách t B ti Δ Δ và so sánh vi khong cách không đi. Trong bài toán này có 2 khong cách không đi là d(B,(P)) và BA. Li gii: Gi H, K tng ng là hình chiu ca B trên (P) và Δ ⇒ d(B, (P)) = BH và d(B, ) = BK. Δ F H D A M Ta luôn có BK ≤AB không đi nên BK = AB khi K ≡ A, tc là khong cách t B ti đng thng ln nht khi qua A và vuông góc vi AB. Δ Δ Mt khác BK≥ BH không đi minBK = BH khi K⇒ ≡ H hay khong cách t B ti đng thng nh nht khi qua A. Δ Δ Nhn xét: 1. Nh vy, cách cho bài toán này khá đn gin: cho mt phng (P) bt kì, ly mt đim A thuc (P) và mt đim B không thuc (P). Vi câu hi trên ta đã co 1 bài toán. Tuy nhiên đ ta đ đim H không l, ta nên bt đu t vic ly H trong (P). Thông thng, ta ly H có ta đ nguyên, sau đó vit phng trình đng thng d qua H và vuông góc vi (P); trên d ta mi ly B có ta đ nguyên thi s đa đn mt kt qu đp hn. 2.  thi i hc khi B nm 2009 là mt dng ca bài toán này. Ta s xem xét mt vài ví d sau di dn khác nhau ca bài toán trên, t vic to ra mt phng (P) hoc thay th (P) bng các d kin tng đng, ta có th có cái nhìn đa chiu cho 1 bài toán. Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian ____________________________________________________________________________ Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai Ví D 1: ( đ thi tuyn sinh đi hc cao đng nm 2009 - khi B) Cho mt phng (P) : x - 2y + 2z - 5 = 0 và hai đim A(-3; 0; 1) và B(1; -1; 3). Trong các đng thng đi qua A và song song vi (P), vit phng trình đng thng d sao cho khong cách t B đn d là nh nht. Phân tích: Rõ ràng t ý tng ca bài toán trên cùng vi bài toán qua 1 đim tn ti duy nht mt mt phng song song vi mt phng cho trc, ta đã đa đn mt bài toán c th và ít tng minh hn. Li gii: Gi (Q) là mt phng song song vi mt phng (P) và qua A ⇒ (Q) có phng trình : x + 3 - 2y + 2(z-1) = 0 x - 2y + 2z + 1 = 0 ⇔ Áp dng kt qu bài toán trên, gi H là hình chiu ca B trên (P). D dàng tính toán đc H ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 9 7 ; 9 11 ; 9 1 ⇒ AH ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 9 2 ; 9 11 ; 9 26 Vy đng thng cn tìm có phng trình : 2 1z 11 y 26 3x − + − == Ví d 2: Cho đng thng và hai đim A(2; -1; 1), B(0; 1;2). ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ += −= = Δ tz ty tx 2 1 2 : Vit phng trình đng thng d qua A, vuông góc vi Δ và cách B mt khong ln nht, nh nht. Phân tích: Mt phng (P) chính là mt phng qua A và vuông góc vi Δ . Khi đó bài toán tr v bài toán 5. Áp dng bài toán trên, ta có li gii. Li gii. Gi (P) là mt phng qua A và vuông góc vi Δ ⇒ (P) có phng trình: ⇔ 2x - y + z -6 = 0. 2 (x -2) - (y + 1) + (z-1) = 0 Gi H, K ln lt là hình chiu ca B trên (P) và Δ , ta có d(B,d) = BK 1, BK ≤BA max BK = AB K⇒ ⇔ ≡ A hay d qua A và vuông góc vi AB Có AB (-2; 2; 1) và véc t pháp tuyn ca (P) là n (2; - 1; 1) ⇒ d có véc t ch phng ]n;AB[u = = ( 3; 4; -2) ng thng d cách B mt khong ln nht là đng thng qua A và có véc t ch phng u ( 3; 4; -2). d F B H A K Phng trinh d là : 2 1z 4 1y 3 2x − − = + = − 2, BK ≥ BH (không đi) ⇒minBK = BH khi K ≡ H hay d là đng thng qua A và H Gi Δ là đng thng qua B và vuông góc vi (P). 1 1 Δ có phng trình: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ += −= = tz ty tx 2 1 2 Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian ____________________________________________________________________________ Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai H = (P) nên ta đ H tha mãn h: 1 Δ ∩ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = = ⇔ =−+− += −= = 6/17 6/1 3/5 6/5 06zyx2 t2z t1y t2x z y x t ⇒ H ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 6 17 ; 6 1 ; 3 5 ⇒ AH ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −− 6 11 ; 6 7 ; 3 1 ⇒ chn véc t ch phng ca d là d u (2; -14; -11) ng thng d cách B mt khong nh nht có phng trình: 11 1z 14 1y 3 2x − − = − + = − Ví d 3: Cho A(1; 4; 2) , B(-1;2;4) và đng thng d có phng trình . ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = +−= −= tz ty tx 2 2 1 Trong các đng thng qua A và ct d, vit phng trình đng thng cách B mt khong ln nht, nh nht. Phân tích: Mt phng (P) trong ví d này là mt phng qua d và A. Nh vy ví d đc xây dng t bài toán trên và cách xác đnh mt phng qua 1 đim và 1 đng thng. Li gii: ng thng d qua M(1; -2; 0) và có véc t ch phng u (-1; 1; 2) ; MA (0; 6; 2) Gi (P) là mt phng qua A và d ⇒ (P) có véc t pháp tuyn ]MA;u[n = =(-10;2;-6) (5; -1; 3) , khi đó (P) có phng trình: Chn véc t pháp tuyn ca (P) là P n 5(x-1) - (y - 4) + 3 (z - 2) = 0 ⇔ 5x - y + 3z -7 = 0 ng thng qua A và ct d Δ Δ nm trong (P). Theo kt qu bài toán trên ta có: ⇒ 1, Δ cách B mt khong ln nht ⇔ Δ vuông góc vi AB BA (-2; -2; 2) ⇒ có véc t ch phng Δ Δ u = ]n;AB[ P = (-4; 16; 12) Chn 1 u (-1;4;3) là véc t ch phng ca Δ ( 1 u không cùng phng u ) ng thng ct d và tha mãn bài toán có phng trình : Δ 3 2z 4 4y 1 1x − = − = − − 2, ng thng cách B mt khong ln nht Δ ⇔ Δ qua A và H ⇒ Xác đnh H : Gi Δ là đng thng qua B và vuông góc vi (P). 1 1 Δ có phng trình: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ += −= +−= tz ty tx 34 2 51 H = (P) nên ta đ H tha mãn h: 1 Δ ∩ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =−+− += −= +−= 07z3yx5 t34z t2y t51x Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian ____________________________________________________________________________ Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai ⇒ H ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 35 146 ; 35 68 ; 7 5 ⇒ AH ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −− 35 76 ; 35 72 ; 35 60 Chn véc t ch phng ca là Δ 2 u (15; 18; -19) ( 2 u không cùng phng u ) ng thng ct d và tha mãn bài toán có phng trình : Δ 19 2z 18 4y 15 1x − − = − = − Bài toán 6: Cho mt phng (P), đim A thuc (P) và đng thng d ct (P). Xác đnh đng thng Δ nm trong (P), đi qua A và hp vi d mt góc ln nht, nh nht. Phân tích: T cách xác đnh góc gia hai đng thng trong không gian là góc gia hai đng thng cùng đi qua 1 đim ta xác đinh d' qua A và song song vi d. Khi đó (d, ) = (d', ). Vy phi xác đnh góc gia d' và Δ Δ Δ , sau đó liên h vi góc không đi là góc gia d' và (P). Li gii: Gi d' là đng thng qua A và song song vi d , ta có (d, ) = (d', ) và (d,(P)) = (d',(P)) Δ Δ F d' O d H A M Gi M là đim bt kì trên d', H và K tng ng là hình chiu ca M trên (P) và Δ ⇒ góc gia d' và Δ là = α ∠ MAK, góc gia d' và (P) là = ϕ ∠ MAH 1, Ta luôn có: sin MA MK = α , sin MA HM = ϕ và MK ≥MH ⇒ sin α ≥sin ϕ ⇒ α ≥ ϕ ⇒ min α = ϕ khi H K hay là đng thng qua A và H. Khi đó, véc t ch phng ca ≡ Δ Δ là: Δ u = ]n];n;u[[ PPd . Vy là đng thng hoàn toàn xác đnh qua A và có véc t ch phng Δ Δ u . 2, α ≤90 0 max⇒ α =90 0 khi Δ vuông góc vi d' ⇒Véc t ch phng ca Δ là: Δ u = ]n;u Pd [ . Vy là đng thng hoàn toàn xác đnh. Δ Ví d: Cho đng thng d : 3 2z 1 y 2 1x − + == − và mt phng (P) : 2x + y + z +1 = 0. im A(0;2;1) thuc (P). Vit phng trình đng thng Δ nm trong (P), đi qua A và hp vi d mt góc ln nht, nh nht. Li gii: d có véc t ch phng u (2;1;-3); (P) có véc t pháp tuyn n (2;1;1). Theo kt qu bài toán trên: 1, Δ hp vi d mt góc ln nht khi Δ vuông góc vi d véc t ch phng ca ⇒ Δ là: = Δ u ]n;u[ = (4; -8; 0). Chn 1 u =(1;-2;0 ) là véc t ch phng ca Δ . Ta có phng trình : Δ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = −= = 1 22 z ty tx 2, Δ hp vi d mt góc nh nht khi Δ song song vi hình chiu ca d trên (P) ⇒véc t ch phng ca là: Δ 2 u = ]n;u[ 1 = (2; -1; 5). Vy phng trình là: Δ Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian ____________________________________________________________________________ Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai 5 1z 1 2y 2 x − = − = − Chú ý: Nu d//(P) hoc d nm trong (P) thì đng thng nm trong (P), đi qua A và hp vi d mt góc ln nht là 90 0 , góc nh nht là 0 0 . Bài toán 7: Cho mt phng (P) và đim A thuc (P). ng thng d ct (P) ti mt đim khác A. Xác đnh đng thng nm trong (P), đi qua A sao cho khong cách gia và d là ln nht. Δ Δ Phân tích: T khong cách gia hai đng thng là khong cách gia đng thng và mt phng cha đng thng còn li và song song vi đng đng thng xác đnh đng thng d' qua A và d'//d mt phng cha và d' song song d ⇒ ⇒ Δ ⇒ d(d, Δ ) = d(d;(d'; )). Δ Vn t ý tng : bài toán hi khong cánh gia d và , ta xác đnh khong cánh đó và so sánh vi khong cách không đi. Δ d' d J M F C B Li gii: Gi d' là đng thng qua A và d'//d. Gi s đã xác đnh ⇒ d' và cùng nm trong mt mt phng (Q). Δ ⇒ Δ Gi H, K ln lt là hình chiu ca B trên (Q) và d' BH ≤ BK ⇒ max BH = BK ⇔ H ≡ K hay (Q) nhn B K làm véc t pháp tuyn. Hoc gi I là hình chiu ca A trên d AI // BK ⇒ ⇒ AI là véc t pháp tuyn ca mt phng (Q) (Q) hoàn toàn xác đnh là giao tuyn ca (Q) và (P) ⇒ ⇒ ⇒ Δ Δ hoàn toàn xác đnh. Ví d : Cho mt phng (P) : 2x + y - z +1 = 0 và đng thng d : 1 z 2 1y 3 3x = − + = − . im A(0;2;3) nm trong (P). Vit phng trình đng thng Δ đi qua A sao cho khong cách gia d và là ln nht. Δ Li gii: Theo kt qu bài toán trên: Gi B = d (P), d xác đnh đc B(-3; 3; -2) ∩ ≠ A ( hoc thay ta đ A và phng trình d A ∉d). ⇒ (P) có véc t pháp tuyn P n (2; 1;-1). Gi I là hình chiu ca A trên d ⇒ I ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 7 6 ; 7 5 ; 7 3 ⇒ IA ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 7 27 ; 7 9 ; 7 3 Chn véc t pháp tuyn ca (Q) là Q n (1; -3;9). Vì Δ là giao tuyn ca (Q) và (P) nên ⇒ véc t ch phng ca là: Δ u = ]n;[ Q P n =(-12; 19; 7) ⇒ Δ qua A và có véc t ch phng ca u có phng trình: 7 3z 19 2y 12 x − = − = − [...]... tr trong hình h c gi i tích, t ó có k n ng gi i thành th o các bài toán thu c ch này và h n th có th làm công c gi i m t s lo i bài toán khác nh b t ng th c, gi i ph ng trình… 2 Gi i quy t c t ng i tri t bài toán c c tr hình h c trong hình h c gi i tích 3 Thông qua vi c phân tích, tìm con ng t i u cho bài toán, m r ng bài toán t o cho các em kh n ng làm vi c c l p, sáng t o, phát huy t i a tính tích. .. ng pháp gi i m t s bài toán c c tr trong hình h c không gian Nh n xét: 1, T t c 7 bài toán trên có th gi i b ng ph ng pháp gi i tích, tìm giá tr l n nh t, nh nh t t công th c tính kho ng cách, góc Ph ng pháp thì r t rõ ràng nhung tính toán l i r t ph c t p Con ng s d ng y u t hình h c không gian nh trên làm cho bài toán tr nên d dàng và thú v h n 2 T các bài toán g c ó không nh ng ta có th cho các bài. .. theo b t ng th c véc t vào bài toán tìm giá tr l n nh t nh nh t trong gi i tích, gi i ph ng trình hay b t ph ng trình… L I K T: Trên ây là m t v n nh v n i dung bài toán c c tr hình h c mà tôi mu n c p n i u tôi mu n làm ây là m t s ph ng pháp tìm l i gi i cho bài toán, qua ó xây d ng các bài toán m i T ó giúp các em h c sinh hi u sâu, hi u rõ v n và th y r ng vi c gi i các bài toán nh trên nh nhàng h... tr v bài toán ta ã bi t tr ng h p 1.Nh ng vi c m r ng ý t ng ó A1 và B khác phía, cho nh ng bài toán khác trong không gian không ph i h c sinh nào c ng th c hi n c N u m r ng bài toán này sang không gian, thay ng th ng b i m t ph ng (P) thì bài toán t ng t , không h gây khó kh n ngay c v i h c sinh trung bình Nh ng n u m r ng trong không gian mà v n là ng th ng thì bài toán s tr nên khó kh n h n trong. .. là lý lu n chung cho các bài toán t ng t , v m t tính toán c ng khá nhi u (Tính to hai hình chi u c a A, B, tính dài các o n th ng AH, BI, tính to i m chia, khi hai hình chi u có to không nguyên thì tính toán khá n ng n so v i cách gi i tr c 2 Cách gi i tr c ng n g n h n, m r ng c sang nhi u bài toán nh bài toán tìm GTNN và bài toán gi i ph ng trình hay b t ph ng trình Nên trong quá trình gi i thi... c ó không nh ng ta có th cho các bài toán c th mà còn nhi u i u ta có th t p cho h c sinh có cái nhìn a chi u c a m t bài toán ho c sáng t o các bài toán khác t vi c thay th các gi thi t t ng ng Ph n III: Các bài toán v i m Ta ã biêt bài toán r t c b n sau trong m t ph ng: i m M sao cho MA+MB t giá tr "Cho ng th ng và hai i m A,B Tìm trên nh nh t." L i gi i bài toán c chia 2 tr ng h p: Ta d dàng ch... Nguy n Ng c Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai Ph ng pháp gi i m t s bài toán c c tr trong hình h c không gian Ta có | KA KB | | u | | v | 6t 1 6 t 2 2 1 t t 2 1 2 u v , d u “=” x y ra khi hai véc t 2 t=1 2 u ; v cùng h ng K(3;0;1) tho mãn bài toán Cách 2: (Ph n 3) Theo k t qu bài toán trên G i H và I t H(1;1;0) ; AH c ng xác nh ng ng là hình chi u c a A và B trên 2 ; BI 1 AH... c m giác s bài toán c c tr trong hình h c gi i tích, nhi u em còn sôi n i phát bi u, th o lu n và tìm ra nhi u i u m i m t tài này Các em có cái nhìn t ng quát và có h th ng nên v n d ng m t cách linh ho t trong t ng bài toán c th i u quan tr ng là các em nh h ng cách gi i ngay t u và u phát hi n ra l i gi i ng n g n và t i u cho m i bài toán Th ba: Khi áp d ng xong tài này, kh n ng v hình c a các... c c a h c sinh theo úng tinh th n i m i ph ng pháp c a B giáo d c và ào t o i u quan trong là t o cho các em ni m tin, kh c ph c c tâm lý s bài toán c c tr hình h c Qua th c t gi ng d y chuyên này tôi th y các em h c sinh không nh ng n m v ng v ph ng pháp, bi t cách v n d ng vào nh ng bài toán c th mà còn r t h ng thú khi h c chuyên này M ts xu t M i bài toán th ng có nhi u cách gi i, vi c h c sinh... khuy n khích Song trong nh ng cách gi i ó c n phân tích rõ u i m và h n ch t ó ch n c cách gi i t i u c bi t c n chú ý t i nh ng cách gi i bài b n, có ph ng pháp và có th áp d ng ph ng pháp ó cho nhi u bài toán khác V i tinh th n nh v y và theo h ng này các th y cô giáo và các em h c sinh có th tìm ra c nhi u kinh nghi m hay v i tài khác nhau Ch ng h n, các bài toán v ng d ng ph ng pháp tìm giá tr l . quyt đc tng đi trit đ bài toán cc tr hình hc trong hình hc gii tích. 3. Thông qua vic phân tích, tìm con đng ti u cho bài toán, m rng bài toán to cho các em kh nng làm. KINH NGHIM " PHNG PHÁP GII MT S BÀI TOÁN CC TR TRONG HÌNH HC GII TÍCH" I - Lý do chn đ tài Trong chng trình hình hc lp 12, bài toán vit phng trình đng. có h thng v bài toán cc tr trong hình hc gii tích, t đó có k nng gii thành tho các bài toán thuc ch đ này và hn th có th làm công c đ gii mt s loi bài toán khác nh bt