Một số bài toán hình học giải bằng phương pháp đại số

66 922 3
Một số bài toán hình học giải bằng phương pháp đại số

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài khóa luận Đối với một bài toán hình có rất nhiều phương pháp giải. Tùy thuộc vào đặc điểm bài toán mà chúng ta lựa chọn phương pháp giải cho phù hợp. Đối với học sinh Trung học Phổ thông thì phương pháp phổ biến và chủ yếu là phương pháp tọa độ, phương pháp vectơ, phương pháp sử dụng biến hình,…. Tuy nhiên, có những loại bài tập mà các phương pháp kể trên không thể đưa đến những kết quả đẹp cũng như những lời giải hay. Trong chương trình Toán Phổ thông, Hình học – Đại số có mối liên hệ chặt chẽ với nhau. Vì vậy ta có thể sử dụng phương pháp đại số để giải một số bài tập hình học. Phương pháp đại số là một phương tiện Toán học trong việc giải phương trình tuyến tính. Nói đến phương pháp đại số là ta đang đề cập đến phương pháp giải quyết một phương trình hai hay nhiều biến khi một trong các biến được biểu diễn như là một hàm thông qua các biến khác. Hai phương pháp đại số thường được sử dụng là phương pháp thế và phương pháp khử. Phương pháp đại số áp dụng vào giải quyết những bài tập hình khó, rèn luyện cho học sinh những kĩ năng toán học như tính toán, vẽ hình, kĩ năng đo đạc, ước lượng đồng thời giúp học sinh hình thành và phát triển những phương pháp, phương thức tư duy và hoạt động như toán học hóa tình huống thực tế, phát hiện và xây dựng thuật giải, vận dụng toán học vào thực tiễn. Sử dụng phương pháp đại số trong hình học có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ như: phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa và rèn luyện những đức tính như: tính cẩn thận, chính xác, tính kỉ luật, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ cho học sinh. Chẳng hạn trong hình học sơ cấp, tính chất của các hình hình học, hình dáng, vị trí cũng như quan hệ giữa các yếu tố trong mỗi hình được biểu thị bằng các biểu thức đại số, biểu thức lượng giác, bằng đẳng thức, bất đẳng thức, phương trình, bất phương trình. Chính nhờ dạng biểu diễn này người ta có thể áp dụng các phép biến đổi thuần túy đại số để xác lập các tính chất mới 2 giữa các yếu tố hình học, để khẳng định sự tồn tại hay thiết lập các điều kiện tồn tại của một hình nào đó. Các yếu tố hình học ta thường gặp trong chương trình là cạnh, góc, đoạn thẳng, chu vi, diện tích, thể tích, v.v…và các quan hệ giữa chúng được cho bằng các công thức cơ bản. Trên cơ sở các công thức này và các giả thiết được cho trong mỗi bài Toán, ta lập các biểu thức mới và sau đó ta sử dụng chủ yếu các phép biến đổi đại số để rút ra các kết luận cần thiết. Sử dụng các tính chất đại số trong biến đổi các biểu thức cho phép chúng ta gắn quá trình lập luận với một hình vẽ cụ thể, và kết quả sau cùng của phép biến đổi gợi lên cho ta một kết luận tổng quát hơn, đó là một tính chất của một lớp các hình hình học. Với những lí do trên mà em mạnh dạn chọn vấn đề: “ Một số bài Toán hình học giải bằng phương pháp đại số” làm vấn đề nghiên cứu của mình. 2. Mục tiêu khóa luận Giới thiệu thêm một phương pháp khác để giải bài tập hình đó là phương pháp đại số và nghiên cứu về việc sử dụng chúng trong hình học từ đó vận dụng chúng vào việc giải một số bài toán trong hình học. Phân loại, nhận dạng bài tập hình giải được bằng phương pháp đại số. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu ∗ Nghiên cứu một số phép biến đổi đại số sử dụng trong hình học. ∗ Nghiên cứu và phân loại bài toán hình học vào 3 dạng: tính toán, chứng minh và dựng hình. ∗ Nghiên cứu về nội dung và hệ thống bài tập về hình học có thể giải được bằng phương pháp đại số. 4. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu chủ yếu được sử dụng trong khóa luận này là phương pháp phân loại hệ thống hoá bài tập: phương pháp này sử dụng chủ yếu để phân dạng bài tập cũng như đưa ra các cách giải đặc trưng cho từng phương pháp. 3 Bên cạnh đó em còn sử dụng phương pháp tổng kết kinh nghiệm: qua việc nghiên cứu tham khảo tài liệu, giáo trình từ đó rút ra kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên cứu và các phương pháp toán học khác. Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp hướng dẫn, các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung và hình thức của khóa luận. 5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 5.1 Đối tượng nghiên cứu Bài toán hình học giải được bằng phương pháp đại số. 5.2 Phạm vi nghiên cứu Áp dụng để giải một số bài toán hình học Trung học Cơ sở và Trung học Phổ thông. 6. Ý nghĩa khoa học Khóa luận đã hệ thống được một số bài tập nâng cao có thể sử dụng phương pháp đại số để giải vào các dạng. Từ đó giúp bạn đọc có thể nhận dạng và dễ dàng giải được các bài toán đó, tăng tính tư duy hình học và linh hoạt trong vận dụng. Khóa luận là tài liệu giúp bạn đọc tham khảo, làm tài liệu để nghiên cứu những bài tập nâng cao Trung học Cơ sở hoặc Trung học Phổ thông. 7. Bố cục của khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận được chia thành 2 chương. Chương 1: Một số bài toán hình học phẳng giải bằng phương pháp đại số Chương 2: Một số bài toán hình học không gian giải bằng phương pháp đại số 4 CHƯƠNG 1 MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ Trong chương này, em xin đề cập tới một số bài toán tính toán, chứng minh, dựng hình giải bằng phương pháp đại số. 1.1 Bài toán tính toán 1.1.1. Một số kiến thức về giải tam giác Trong tam giác ABC với a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, AC, AB; A, B, C là các góc; r, R là bán kính các đường tròn nội, ngoại tiếp, 2 a b c p + + = và S là diện tích, a h - đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC. • Định lí hàm số sin 2 sin sin sin a b c R A B C = = = • Định lí hàm số cos .cos .cos .cos .cos .cos .cos a b C c B b c A a C c a B b A = + = + = + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 .cos 2 .cos 2 .cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C = + − = + − = + − a c b H O B C A a c b HB C A 5 • Đị nh lí hàm s ố tan và cot 2 2 2 tan 2 tan 2 cot 4 A B a b A B a b b c a A S − − = + + + − = • Công th ứ c di ệ n tích ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 . . .sin .sin .sin 2 2 2 2 . . 4 a S a h a c B bc A ab C abc S p p a p b p c p r R = = = = = − − − = = • Công th ứ c đườ ng trung tuy ế n. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 4 a b c b c a m a c b m a b c m + − = + − = + − = a c b H B C A a c b M A C B 6 • Công th ứ c phân giác 2 .cos 2 2 .cos 2 2 .cos 2 a b c A bc l b c B ac l a c C ab l a b = + = + = + • Bán kính đườ ng tròn n ộ i ti ế p (1), đườ ng tròn ngo ạ i ti ế p (2), đườ ng tròn bàng ti ế p (3). ( ) ( ) ( ) ( ) 1 tan 2 tan 2 tan 2 A r p a B p b C p c = − = − = − ( ) 2 4 abc R S = a c b l a D A C B r P A C I M N B 7 ( ) 3 .tan 2 .tan 2 .tan 2 a b c A r p B r p C r p = = = • M ộ t s ố công th ứ c khác ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin 2 cos 2 tan 2 p b p c A bc p p a A bc p b p c A p p a − − = − = − − = − 1.1.2 Ví dụ minh họa Ví dụ 1.1.2.1: Cho a, b, c là độ dài của một tam giác. Tìm tỉ số a b biết r ằng hai trung tuyến thuộc hai cạnh này vuông góc với nhau. Lời giải Đặt AC=b, BC=a, AB=c. Các trung tuy ến BE, AF cắt nhau ở I và có AF BE ⊥ . Đặt IE=x, IF=y thì BI=2x, AI=2y. Tam giác AIE vuông t ại I, theo Pi – ta – go ta có: I E F B C A 8 2 2 2 2 2 2 (1.1) 4 4 16 4 b x y x y b+ = ⇔ + = T ương tự, tam giác vuông BIF có ( ) 2 2 2 1.2 16 4x y a+ = T ừ (1.1) và (1.2), suy ra: ( ) 2 2 2 2 20 x y a b + = + . Tam giác vuông ABI có: ( ) 2 2 2 4 c x y = + . Do đó 2 2 2 5 c a b = + . Vì a, b, c là các c ạnh của một tam giác nên ( ) 2 2 2 2 2 5 a b a b c a b c − + − < ⇔ < = (1.3) B ất đẳng thức (1.3) tương đương với 2 2 2 2 5 0 a b ab + − < hay 2 5 1 0 2 a a b b             − + < . Đặ t a t b = thì 2 5 1 0 2 t t − + < (1.4). Gi ả i ph ươ ng trình (4) cho ta nghi ệ m 1 2 2 a t b < = < . V ậ y t ỉ s ố a b là 1 2 2 a b < < . Ví dụ 1.1.2.2: Các góc nh ọ n A, B c ủ a m ộ t tam giác vuông th ỏ a mãn đẳ ng th ứ c . cot cot 6 2 2 A B = . Tìm bi ể u th ứ c liên h ệ gi ữ a bán kính c ủ a đườ ng tròn ngo ạ i ti ế p và bán kính đườ ng tròn n ộ i ti ế p. Lời giải Kí hi ệ u hai góc nh ọ n c ủ a tam giác vuông là α và β . Ta có 2 AB R = (1.5) và ( ) 1.6 cot cot cot cot 2 2 2 2 AB r r r       = + = + α β α β trong đ ó R và r l ầ n l ượ t là bán kính đườ ng tròn ngo ạ i ti ế p và n ộ i ti ế p tam giác ABC. T ừ (1.5) và (1.6) suy ra 2 cot cot 2 2 R r α β = + . C B A 9 Theo gi ả thi ế t cot .cot 6 2 2 α β = , nên cot ,cot 2 2 α β là hai nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình b ậ c hai 2 2 6 0 R x x r − + = . Ph ươ ng trình này có nghi ệ m nên 2 6 0 R r       ′ ∆ = − ≥ hay 6 R r ≥ . V ậ y 6 R r ≥ là bi ể u th ứ c liên h ệ gi ữ a bán kính đườ ng tròn ngo ạ i ti ế p và đườ ng tròn n ộ i ti ế p c ầ n tìm. Ví dụ 1.1.2.3: Trong tam giác ABC, m ộ t đườ ng th ẳ ng đố i x ứ ng v ớ i đườ ng trung tuy ế n qua đườ ng phân giác chia c ạ nh đố i di ệ n thành hai đ o ạ n th ẳ ng. Tìm t ỉ s ố gi ữ a hai đ o ạ n th ẳ ng này so v ớ i hai c ạ nh còn l ạ i. Lời giải G ọ i AN là đườ ng th ẳ ng đố i x ứ ng v ớ i trung tuy ế n AM qua đườ ng phân giác AD. G ọ i BN=x, NC=y, đươ ng cao a AH h = . Di ệ n tích c ủ a hai tam giác ABN, ACM: 1 1 . . .sin 2 2 1 1 . . .sin 2 2 2 ABN ACM a a S h x c AN x y S h b AM = = + = = α β M ặ t khác, do α β = nên . 2 . x x y c AN b AM + = (1.7) T ươ ng t ự đố i v ớ i hai tam giác ABM và ACN ta có di ệ n tích c ủ a chúng ( ) ( ) 1 1 . sin 2 2 2 1 1 . . .sin 2 2 a a ABM ACN x y S h c AM A S y h b AN A β α + = = − = = − Do đ ó, ta c ũ ng có 2 . . x y y c AM b AN + = (1.8) c b N D M B C A 10 T ừ (1.7) và (1.8) ta có . 2 . x c AN x y b AM = + và 2 . . x y c AM y b AN + = . Suy ra 2 2 x c y b = Ví dụ 1.1.2.4: Các ti ế p đ i ể m c ủ a m ộ t đườ ng tròn n ộ i ti ế p trong m ộ t tam giác là ba đỉ nh c ủ a m ộ t tam giác m ớ i. Bi ể u di ễ n t ỉ s ố di ệ n tích c ủ a hai tam giác này qua các góc c ủ a tam giác ban đầ u. Để t ỉ s ố này l ớ n nh ấ t thì tam giác ban đầ u ph ả i là tam giác gì? Lời giải G ọ i r và R là bán kính đườ ng tròn n ộ i ti ế p, ngo ạ i ti ế p tam giác ABC. G ọ i S là di ệ n tích tam giác ABC. ( ) ( ) (1.9) 1 2 sin sin sin S r AB BC CA rR A B C = + + = + + G ọ i 1 S là di ệ n tích tam giác 1 1 1 A B C . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1.10 1 sin sin sin 2 1 sin sin sin 2 S r A B C r A B C     = − + − + − = + + π π π T ừ (1.9) và (1.10) suy ra 1 2 S r S R = (1.11) M ặ t khác 1 1 cot , cot 2 2 AB B C A C r r = = Suy ra: 1 1 2 sin cot cot 2 2 sin cos 2 2 2 sin sin sin sin sin 2 2 2 2 AB B C AC R B A C r r r A C B b R B A C A C r r + = = = + + = = = = A C B O B 1 C 1 A 1 [...]... bất đẳng thức trên vào giải và sáng tạo ra các bài toán bất đẳng thức hình học hoặc tìm cực trị hình học Để giải bài toán cực trị hình học chúng ta có nhiều cách giải khác nhau, một trong các cách được dùng nhiều là dùng các bất đẳng thức đại số Ngoài ra, trong phạm vi khóa luận này em xin giới thiệu một số cách dùng bất đẳng thức đại số để tìm cực trị hình học a Sử dụng bất đẳng thức về lũy thừa bậc... trong hình học thường có dạng như sau: 17 Trong tất cả các hình có cùng một tính chất Tìm hình sao cho một đại lượng nào đó (độ dài đoạn thẳng, số đo góc, số đo diện tích ) có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất Một trong các phương pháp giải toán cực trị hình học là sử dụng các bất đẳng thức, trong đó có bất đẳng thức Cô – si Ở cấp Trung học Cơ sở, các bạn đã được làm quen với bất đẳng thức Cô –... dạng khác đòi hỏi x và y là các số dương 1.2.2 Ví dụ minh họa Dưới đây là một số bài tập tìm cực trị hình học có sử dụng bất đẳng thức đại số Ví dụ 1.2.2.1: Cho tam giác ABC Qua một điểm M bất kì thuộc cạnh AC, kẻ các đường song song với hai cạnh kia, chúng tạo với hai cạnh đấy một hình bình hành Tìm vị trí của M để hình bình hành ấy có diện tích lớn nhất 18 Lời giải Gọi hình bình tạo hành thành là BEMF... Như vậy S nhỏ nhất khi và chỉ khi sin α = cosα ⇔ α =45° Bài toán có hai nghiệm hình Cách giải khác Không đặt biến số là góc α mà đặt HB=x, KC=y rồi áp dụng định lý Py-ta-go và bất đẳng thức 0 ≤ y . phương pháp đại số Chương 2: Một số bài toán hình học không gian giải bằng phương pháp đại số 4 CHƯƠNG 1 MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ Trong chương. Toán Phổ thông, Hình học – Đại số có mối liên hệ chặt chẽ với nhau. Vì vậy ta có thể sử dụng phương pháp đại số để giải một số bài tập hình học. Phương pháp đại số là một phương tiện Toán học. thêm một phương pháp khác để giải bài tập hình đó là phương pháp đại số và nghiên cứu về việc sử dụng chúng trong hình học từ đó vận dụng chúng vào việc giải một số bài toán trong hình học.

Ngày đăng: 20/12/2014, 21:22

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan