Bài tập Giải tích 3 – Tổ bộ môn Toán – Lý , Khoa Vật Lý, trường ðHSP TPHCM BÀI TẬP TÍCH PHÂN ðƯỜNG LOẠI 2 TÓM TẮT LÝ THUYẾT: Tích phân ñường loại 2 (theo tọa ñộ) có dạng: ( , ) ( , ) L P x y dx Q x y dy + ∫ Nếu ñổi hướng lấy tích phân thì tích phân ñường ñổi dấu ( , ) ( , ) AB P x y dx Q x y dy + ∫ = ( , ) ( , ) BA P x y dx Q x y dy − + ∫ Nếu ñường cong L chia thành 2 ñường cong L 1 ,L 2 không trùng lấp nhau thì: 1 2 L L L Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy + = + + + ∫ ∫ ∫ Nếu L là ñường cong kín, (là biên của miền D) ñược ñịnh hướng dương thì chiều lấy tích phân là chiều mà 1 ñiểm chuyển ñộng trên biên sao cho miền D luôn nằm bên trái Cách tính: 1. Chuyển về tích phân 1 biến: (AB) có pttq: y = f(x) thì : [ ] ( , ) ( , ) ( , ( )) ( , ( )). '( ) B A x AB x P x y dx Q x y dy P x f x Q x f x f x dx + = + ∫ ∫ (AB) có pttq: x = g(y) thì : [ ] ( , ) ( , ) ( ( ), ). '( ) ( ( ), ) B A y AB y P x y dx Q x y dy P g y y g y Q g y y dy + = + ∫ ∫ (AB) có phương trình tham số: x = x(t), y = y(t). Tại A, ứng với t A và tại B, ứng với t B thì: [ ] ( , ) ( , ) ( ( ), ( )). '( ) ( ( ), ( )). '( ) B A t AB t P x y dx Q x y dy P x t y t x t Q x t y t y t dt + = + ∫ ∫ 2. Sử dụng công thức Green: Nếu L là ñường cong kín lấy theo hướng dương (có thể bổ sung thành ñường cong kín) là biên của miền D. Các hàm P(x,y) và Q(x,y) và các hàm ñạo hàm riêng cấp 1 liên tục ∀ ∀∀ ∀(x, y) ∈ ∈∈ ∈ D. Khi ñó, ta có: Bài tập Giải tích 3 – Tổ bộ môn Toán – Lý , Khoa Vật Lý, trường ðHSP TPHCM L D Q P Pdx Qdy dxdy x y   ∂ ∂ + = −   ∂ ∂   ∫ ∫∫  Tích phân ñường không phụ thuộc ñường lấy tích phân (ðịnh lý 4 mệnh ñề tương ñương): Các hàm P(x,y), Q(x,y) và các hàm ñạo hàm riêng cấp 1 của chúng liên tục trên 1 miền D nào ñó. Khi ñó ta có các mệnh ñề sau tương ñương: 1. , ( , ) Q P x y D x y ∂ ∂ = ∀ ∈ ∂ ∂ 2. Pdx + Qdy là vi phân toàn phần của hàm số: 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) y x x y U x y P x y dx Q x y dy = + ∫ ∫ , với (x 0 ; y 0 ) bất kỳ thuộc D. 3. 0 L Pdx Qdy + = ∫  , với mọi ñường cong kín L trong D 4. AB Pdx Qdy + ∫ , (AB) là 1 cung nằm trong D, không phụ thuộc ñường ñi mà chỉ phụ thuộc ñiểm ñầu, ñiểm cuối. BÀI TẬP 1. Cho 2 2 L J y dx x dy = − + ∫ . a. Tính J khi L là ñoạn thẳng từ A(0; 1) ñến B(1; 2) ð/S: -2 b. Tính J khi L gồm 1/8 cung tròn x 2 + y 2 = 2 ñi từ A ( 2 ; 0) ñến B(1; 1) và cung parabol 2y 2 = x + 1 ñi từ B ñến C(-1; 0) ð/S: 8 20 2 15 + 2. Tính 2 2 ( ) ( ) C x y dx x y dy x y + − − + ∫  , lấy dọc ñường tròn x 2 + y 2 = a 2 , ngược chiều kim ñồng hồ. 3. Tính tích phân: 2 (1 ) xy AB J e y dx xy dy xdy   = + + +   ∫ trong ñó AB là nửa cung tròn 2 2 x y y = − từ A(0; 0) ñến B(0; 2) ð/S: 2 2 π + Bài tập Giải tích 3 – Tổ bộ môn Toán – Lý , Khoa Vật Lý, trường ðHSP TPHCM 4. Tính tích phân: 3 2 2 2 2 2 3 2 2 y L xy x y x y I dx xe dy −     = − + −         ∫  , với L là chu vi của ∆OAB O(0; 0), A(1; 1), B(-1; 1) ð/S: 2 3 11 2 30 e − 5. Cho ( ) ( ) 2 4 x L J xe y dx x y dy − = − + + + ∫ a. Tính J nếu L là ñoạn thẳng OA nối O (0; 0) với A(2; 2) b. Tính J nếu L là cung OBA trong ñó OB là ñoạn thẳng nối O(0; 0) với B(0; 2). Còn BA là nửa trên của ñường tròn có phương trình x 2 + y 2 + 4 = 2x + 4y ñi từ B ñến A(2; 2) ð/S: 2 13 2 2 2ln(1 2) 3 e π − + + + + − 6. Cho 2 ln 2 4 L y y I xdy dx x = − ∫ a. Tính I, nếu L là ñoạn thẳng từA(1; 1) ñến B (2;2) ð/s: ln2 – 3/4 b. Tính I, nếu L là chu vi của miền giới hạn bởi các ñường x 2 + y 2 = 4x, x 2 + y 2 = 8x, y = x, y = 3 x , theo chiều dương ð/s: ¾ 7. Tính ( ) 2 2 1 2 3 2 1 x L I xe y y dx x dy y   = − − + +   +   ∫ c. L là ñoạn thẳng nối O (0;0) ñến A(2; 2) ð/s: e 2 – 7 + arctg 2 d. L: x 2 + y 2 = 2x, theo hướng dương ð/s: 4π 8. Tính ( ) 3 3 2 2 2 1 ln 1 1 3 3 1 L y arctgx x I y y dx dy x y       = + + − + +     + +     ∫ , L là ½ ñường tròn x 2 + y 2 = 2x từ A(2;0) ñến 0(0;0) 9. (2,1) 2 (1,2) ydx xdy y − ∫ , theo ñường cong không cắt trục Ox. 10. 2 2 AB xdx ydy x y + + ∫ , AB là cung parabol y=2(x-1) 2 nối A(1; 0) và B(2; 2) 11. 2 2 2 . cos( 2 ) 2 2cos( ) y x y OA x e x y e dx x y x e dy − −     + + − + + −     ∫ , OA là cung y = x 3 /2, O(0,0), A(2,4) . x 2 + y 2 = 2x từ A (2; 0) ñến 0(0;0) 9. (2, 1) 2 (1 ,2) ydx xdy y − ∫ , theo ñường cong không cắt trục Ox. 10. 2 2 AB xdx ydy x y + + ∫ , AB là cung parabol y =2( x-1) 2 nối A(1; 0) và B (2; 2) . O(0; 0) với B(0; 2) . Còn BA là nửa trên của ñường tròn có phương trình x 2 + y 2 + 4 = 2x + 4y ñi từ B ñến A (2; 2) ð/S: 2 13 2 2 2ln(1 2) 3 e π − + + + + − 6. Cho 2 ln 2 4 L y y I xdy. Tính J khi L gồm 1/8 cung tròn x 2 + y 2 = 2 ñi từ A ( 2 ; 0) ñến B(1; 1) và cung parabol 2y 2 = x + 1 ñi từ B ñến C (-1 ; 0) ð/S: 8 20 2 15 + 2. Tính 2 2 ( ) ( ) C x y dx x y dy x y + −