Một số tính chất cơ bản của nửa môđun trên nửa vành giao hoán có đơn vị

48 607 1
Một số tính chất cơ bản của nửa môđun trên nửa vành giao hoán có đơn vị

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài khóa luận Trong thế kỷ hai mươi, lý thuyết môđun đã đạt được nhiều thành tựu rực rỡ. Cấu trúc của nhiều lớp môđun đã được thiết lập và được áp dụng vào các lĩnh vực khác của toán học hiện đại. Do nhu cầu phát triển của nội bộ toán học, vào những năm giữa thế kỷ hai mươi, lý thuyết nửa vành và lý thuyết nửa môđun trên nửa vành ra đời và đã thu hút nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm nghiên cứu. Dựa trên những thành tựu đạt được về lý thuyết môđun, nhiều kết quả về môđun đã được chuyển sang nửa môđun với những sự thay đổi thích hợp và khá tinh tế. Hiện nay sinh viên chuyên ngành sư phạm toán trường Đại học Hùng Vương mới chỉ có điều kiện tiếp xúc với lý thuyết môđun, chưa có điều kiện tiếp xúc với lý thuyết nửa môđun. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về một số tính chất cơ bản của nửa môđun trên nửa vành giao hoán có đơn vị và nhằm cung cấp cho các bạn đọc một tài liệu về lý thuyết nửa môđun để các bạn có thể nghiên cứu sâu hơn, chúng tôi chọn đề tài “Một số tính chất cơ bản của nửa môđun trên nửa vành giao hoán có đơn vị” cho khóa luận tốt nghiệp đại học của mình. 2. Mục tiêu khóa luận Hệ thống, phân tích, làm rõ và mở rộng một số tính chất cơ bản của nửa môđun trên nửa vành giao hoán có đơn vị. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống kiến thức về cấu trúc và tính chất đại số của vành, từ đó hệ thống, nghiên cứu các tính chất đại số của nửa vành. Hệ thống và chứng minh một số tính chất cơ bản của nửa môđun trên nửa vành giao hoán có đơn vị. 2 4. Phương pháp nghiên cứu • Phương pháp nghiên cứu lý luận: Thu thập, đọc và nghiên cứu tài liệu, giáo trình, các bài báo khoa học có liên quan đến Lý thuyết nửa môđun rồi phân hóa, hệ thống hóa các kiến thức. • Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên tham khảo tài liệu, giáo trình từ đó rút ra kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên cứu. 5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Đối tượng: Nửa môđun trên nửa vành giao hoán có đơn vị. • Phạm vi: Một số tính chất cơ bản của nửa môđun trên nửa vành giao hoán có đơn vị. 6. Ý nghĩa khoa học Khóa luận sau khi hoàn thành có thể là tài liệu tham khảo cho nhu cầu tìm hiểu về lý thuyết nửa vành và nửa môđun. 7. Bố cục của khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận được chia thành các chương: Chương 1. Các đặc trưng của nửa vành 1.1. Nửa vành 1.2. Nửa vành con 1.3. Iđêan và nửa vành thương 1.4. Đồng cấu nửa vành Chương 2. Nửa môđun trên nửa vành giao hoán có đơn vị 2.1. Nửa môđun, nửa môđun con và nửa môđun thương 2.2. Tổng và giao của các nửa môđun con 2.3. Đồng cấu nửa môđun 2.4. Nửa môđun giản ước được 3 2.5. Nửa môđun tự do 2.6. Nửa môđun xạ ảnh 2.7. Nửa môđun nội xạ 4 CHƯƠNG 1. CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA NỬA VÀNH 1.1. Nửa vành Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi là nửa vành một tập hợp R cùng với hai phép toán hai ngôi trên R kí hiệu theo thứ tự bằng các dấu + và . và gọi là phép cộng và phép nhân sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn: i) + ( , ) R là một vị nhóm giao hoán với phần tử trung hòa 0. ii) ( ,.) R là một nửa nhóm. iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng: với các phần tử tùy ý ∈ , , x y z R ta có: + = + ( ) x y z xy xz , + = + ( ) z x y zx zy . iv) = = ∀ ∈ 0 0 0 , x x x R . R là nửa vành giao hoán có đơn vị nếu phép nhân giao hoán và có phần tử trung lập. Phần tử trung lập đó gọi là phần tử đơn vị của R và thường được kí hiệu là 1 . Ví dụ 1.1.2. 1) Tập hợp ℕ các số tự nhiên cùng với phép cộng và phép nhân thông thường là một nửa vành giao hoán có đơn vị. 2) Tập hợp các ma trận vuông cấp n , > 1 n với phần tử là các số tự nhiên cùng với phép cộng và nhân ma trận là một nửa vành có đơn vị, nửa vành này không giao hoán. 3) Tập hợp các số tự nhiên là bội của một số tự nhiên > 1 n cho trước là một nửa vành, nửa vành này giao hoán nhưng không có đơn vị. 4) Cho X là một vị nhóm giao hoán. Tập hợp các tự đồng cấu đi từ X đến X là một nửa vành có đơn vị. 5 5) Tích Đề các × ℕ ℕ cùng với hai phép toán xác định bởi: + = + + ( , ) ( , ) ( , ) a b c d a c b d và + = ( , ) ( , ) ( , ) a b c d ac bd là một nửa vành giao hoán có đơn vị. Định lý 1.1.3. Cho R là nửa vành giao hoán có đơn vị. Với mọi ∈ , , , , : a b c d e R i) + = + = 0 0 . a a a ii) = 1 . a a iii) ( ) ( )     + + = + +     . ae b c d db a ed cd Chứng minh. i), ii) Hiển nhiên. iii) Ta có: + + = + + = + + = + + = + + [( ) ] ( ) ( ) [( ) ] [ ( ) ]. ae b c d ae b d cd ae d bd cd bd ae d cd db a ed cd □ Định nghĩa 1.1.4. Một phần tử a của một nửa vành có đơn vị được gọi là có nghịch đảo cộng nếu tồn tại một phần tử b của R sao cho + = 0 a b . Mệnh đề 1.1.5. Nghịch đảo cộng của một phần tử của nửa vành có đơn vị R là duy nhất. Chứng minh. Trong nửa vành có đơn vị R , giả sử b là một nghịch đảo cộng của a . Nếu tồn tại ' b cũng là nghịch đảo cộng của a thì ta có: + = = + 0 ' a b a b . Khi đó = + = + + = + = 0 0 ' ' ' b b b a b b b . Vậy nghịch đảo cộng của một phần tử là duy nhất. □ 6 Kí hiệu nghịch đảo cộng của a (nếu có) là − a , tập tất cả các phần tử của R có nghịch đảo cộng là ( ) V R . Nhận xét 1.1.6. i) ≠ ∅ ( ) V R vì ∈ 0 ( ) V R với − = 0 0 . ii) ( ) V R là một vị nhóm con của vị nhóm cộng + ( , ) R . iii) R là một vành khi và chỉ khi = ( ) V R R . iv) R không có tổng không khi và chỉ khi = {0} ( ) . V R Định nghĩa 1.1.7. Một phần tử a của một nửa vành có đơn vị được gọi là giản ước được nếu + = + a b a c thì = b c . Kí hiệu tập tất cả các phần tử giản ước được của R là + ( ). K R Nhận xét 1.1.8. i) + ∈ 0 ( ). K R ii) + ≠ ∅ ( ) K R vì + ⊂ ( ) ( ) V R K R . iii) + ( ) K R là một vị nhóm con của vị nhóm cộng + ( , ) R . Nửa vành có đơn vị R được gọi là giản ước được nếu + = ( ) K R R . Ví dụ 1.1.9. 1) Nửa vành có đơn vị R mà không là một vành, là giản ước được. Vì vậy ta có thể có + = = {0} ( ) ( ) . R K R V R  2) Nếu X là một tập hợp có hơn một phần tử thì nửa vành có đơn vị ∪ ∩ ( ( ), , ) sub X không giản ước được. Định nghĩa 1.1.10. Một phần tử r của một nửa vành có đơn vị R được gọi là khả nghịch nếu tồn tại một phần tử ' r của R thỏa mãn = = 1 ' ' rr r r . Phần tử ' r được gọi là nghịch đảo của r trong R , kí hiệu: − 1 r . 7 Mệnh đề 1.1.11. Nghịch đảo của một phần tử (nếu có) là duy nhất. Chứng minh. Giả sử ' r là nghịch đảo của r . Nếu '' r cũng là nghịch đảo của r thì ta có: = = 1 ' '' rr rr . Khi đó: = = = = = 1 1 ' ' '( '') ( ' ) '' '' ''. r r r rr r r r r r Vậy nghịch đảo của một phần tử là duy nhất. □ Nhận xét 1.1.12. Nếu r và ' r là khả nghịch trong R thì − − = 1 1 ( ) r r và − − = 1 1 ( ') rr r r . Mệnh đề 1.1.13. Cho nửa vành ≠ {0} R . Kí hiệu ( ) U R là tập tất cả các phần tử khả nghịch của R . Khi đó: ≠ ∅ ) ( ) i U R . ≠ ) ( ) ii U R R . Chứng minh. i) = ⇒ ∈ ⇒ ≠ ∅ 1 1 1 1 . ( ) ( ) . U R U R ii) ∀ ∈ = ⇒ ∉ 0 0 0 : ( ). r R r U R □ Nhận xét 1.1.14. ( ) U R là một vị nhóm con của ( ,.) R . Nếu = {0} ( ) \ U R R thì R được gọi là một nửa vành chia có đơn vị. Mệnh đề 1.1.15. Một nửa vành chia có đơn vị hoặc là có tổng không hoặc là một vành chia. Chứng minh. Giả sử R không phải là nửa vành có tổng không. Khi đó tồn tại một phần tử khác không a của R có một nghịch đảo cộng là − a . 8 Nếu ≠ ∈ 0 c R thì − − − + − = + − = = 1 1 1 0 0 ( ) ( ( )) c ca a ca a a ca và vì vậy c cũng có một nghịch đảo cộng. Vậy + ( , ) R là một nhóm, nên R là một vành. □ 1.2. Nửa vành con Định nghĩa 1.2.1. Giả sử R là một nửa vành, A là một bộ phận của R ổn định đối với hai phép toán trong R , nghĩa là + ∈ x y A và ∈ xy A với mọi ∈ , x y A . A là một nửa vành con của R nếu A cùng với hai phép toán cảm sinh trên A là một nửa vành. Định lý 1.2.2. Giả sử A là một bộ phận khác rỗng của một nửa vành R . Các điều kiện sau đây là tương đương: i) A là một nửa vành con của R . ii) Với mọi ∈ , x y A , + ∈ x y A , ∈ xy A và = 0 0 a . Chứng minh. ⇒ ) ) i ii Vì A là một nửa vành con của R nên ta có ngay + ∈ x y A và ∈ xy A . Mặt khác A là một nửa vành con nên + ( , ) A là một vị nhóm với phần tử trung hòa 0 , suy ra = 0 0 a với mọi ∈ a A . ⇒ ) ) ii i Các phép toán cảm sinh trên A cũng có tính chất kết hợp và phân phối. Do đó A thỏa mãn 4 điều kiện của một nửa vành. Suy ra A là một nửa vành con của R . □ Ví dụ 1.2.3. 1) Bộ phận {0} chỉ gồm có phần tử không và bộ phận R là hai nửa vành con của R . 2) Bộ phận m ℕ gồm các số tự nhiên là bội của một số tự nhiên m cho trước là một nửa vành con của nửa vành các số tự nhiên ℕ . Định lý 1.2.4. 9 Giao của một họ bất kỳ những nửa vành con của một nửa vành R là một nửa vành con của R . Chứng minh. Xét một họ bất kỳ α α ∈ ( ) I A những nửa vành con của R và A là giao của chúng. Ta có ≠ ∅ A vì phần tử trung lập 0 của R thuộc α A với mọi α ∈ I , do đó ∈ 0 A . Với ∈ , , x y z A ta có α α ∈ ∀ ∈ , , , x y z A I . Vì các α A là những nửa vành con của R nên: i) + + = + + ( ) ( ) x y z x y z , + = 0 x x . ii) = ( ) ( ) xy z x yz . iii) + = + ( ) x y z xy xz , + = + ( ) z x y zx zy . iv) = = 0 0 0 x x . Suy ra A thỏa mãn các điều kiện của một nửa vành con. Vậy A là một nửa vành con. □ Giả sử U là một bộ phận của một nửa vành R . Thế thì U chứa trong ít nhất một vành con của R , cụ thể R . Theo định lý 1.2.4, giao của tất cả các nửa vành con của R chứa U là một nửa vành con của R chứa U , nửa vành con này được gọi là nửa vành con của R sinh ra bởi U . 1.3. Iđêan và nửa vành thương Định nghĩa 1.3.1. Một iđêan trái (iđêan phải) của một nửa vành R là một nửa vành con I của R thỏa mãn: nếu ∈ a I và ∈ r R thì ∈ ra I ( ∈ ar I ). Một nửa vành con I của một nửa vành R được gọi là iđêan của R nếu và chỉ nếu I vừa là iđêan trái vừa là iđêan phải của R . Từ định nghĩa ta có kết quả sau Định lý 1.3.2. 10 Một bộ phận I khác rỗng của một nửa vành là một iđêan của R nếu và chỉ nếu các điều kiện sau thỏa mãn: i) + ∈ ∀ ∈ , , x y I x y I . ii) ∈ xa I và ∈ ax I với mọi ∈ a I và mọi ∈ x X . Ví dụ 1.3.3. 1) Bộ phận {0} và bộ phận R là hai iđêan của nửa vành R . 2) Bộ phận m ℕ gồm các số tự nhiên là bội của một số tự nhiên m cho trước là một iđêan của nửa vành các số tự nhiên ℕ . Định nghĩa 1.3.4. Giả sử R là một nửa vành. Một tập hợp con I khác rỗng của R được gọi là một iđêan có tính trừ nếu I thỏa mãn các điều kiện sau: i) I là một iđêan. ii) Nếu ∈ + ∈ , a I a b I thì ∈ . b I Một iđêan I của R được gọi là thực sự nếu ≠ I R . Định lý 1.3.5. Giao của môt họ bất kỳ những iđêan của một nửa vành R là một iđêan của R . Chứng minh. Tương tự định lý 1.2.4. Giả sử U là một bộ phận của một nửa vành R . Thế thì U chứa trong ít nhất một iđêan của R , cụ thể R . Theo định lý 1.3.5, giao của tất cả các iđêan của R chứa U là một iđêan của R chứa U , iđêan này gọi là iđêan sinh bởi U ; nếu = 1 2 { } , , , n U a a a thì U gọi là iđêan sinh bởi các phần tử 1 2 , , , n a a a . Iđêan sinh bởi một phần tử gọi là iđêan chính. [...]... với đồng cấu vành ta có f là một đơn ánh nếu và chỉ nếu Kerf = {0} nhưng với đồng cấu nửa vành, tính chất này không còn đúng 16 CHƯƠNG 2 NỬA MÔĐUN TRÊN NỬA VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ 2.1 Nửa môđun, nửa môđun con và nửa môđun thương 2.1.1 Nửa môđun Định nghĩa 2.1.1 Cho R là một nửa vành có đơn vị và M là một vị nhóm giao hoán với phần tử trung lập 0M , cùng với một ánh xạ µ : R × M → M tạo nên một phép toán... bản thân M Để đơn giản ta kí hiệu môđun con không {0} là 0 2) Cho R – nửa môđun M và x là một phần tử của M Khi đó tập hợp Rx = {ax | a ∈ R} là một nửa môđun con của M , gọi là nửa môđun con sinh bởi x 3) Mọi iđêan của một nửa vành M giao hoán có đơn vị 1 ≠ 0 đều là một nửa môđun con của M , khi xem M như một nửa môđun trên chính nó 4) Nếu A là một tập con khác rỗng của một R – nửa môđun M và nếu... 2.1.2 Nửa môđun con Định nghĩa 2.1.7 Một tập con khác rỗng N của một R – nửa môđun M được gọi là một R – nửa môđun con của M , nếu bản thân N cùng với hai phép toán 18 trong M thu hẹp vào N , là một R – nửa môđun Khi N là một nửa môđun con của M , thì ta nói rằng M là một nửa môđun mở rộng của N Ví dụ 2.1.8 1) Mỗi R – nửa môđun M luôn chứa hai nửa môđun con tầm thường là môđun con không {0} và bản thân... của R Một đồng cấu mà là một đơn ánh, toàn ánh, song ánh thì tương ứng được gọi là một đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu Ví dụ 1.4.2 1) Giả sử A là nửa vành con của nửa vành R Khi đó đơn ánh chính tắc: f : A → R là một đồng cấu nửa vành r ֏r 2) Ánh xạ đồng nhất của một nửa vành R là một đồng cấu nửa vành 3) Giả sử I là một iđêan của một nửa vành R Ánh xạ: f : I → R / I r ֏r +I là một đồng cấu từ nửa vành. .. thành một R – nửa môđun, được gọi là nửa môđun các đồng cấu từ M đến N Chú ý rằng khi nửa vành R không giao hoán, Hom R (M , N ) chỉ là một vị nhóm giao hoán với phép cộng đồng cấu Định lý 2.3.6 Cho f : M → M ' là một đồng cấu các R – nửa môđun Khi đó ta có các khẳng định sau: i) Nếu N ' là một nửa môđun con của M ' thì f −1(N ') là một nửa môđun con của M , trường hợp riêng Kerf là một nửa môđun con của. .. giao hoán thì hai khái niệm nửa môđun trái và nửa môđun phải là như nhau Trong toàn bộ phần sau, ta chỉ xét các lớp nửa môđun trái, và để thuận tiện ta sẽ dùng từ nửa môđun thay cho nửa môđun trái Ví dụ 2.1.3 1) Cho R = ℕ là nửa vành các số tự nhiên, A là một vị nhóm giao hoán Khi đó ánh xạ ϕ : N × A → A thỏa mãn 5 tiên đề trên (n, a ) ֏ na 17 Do đó A là một nửa môđun trên N 2) Giả sử nửa vành R là một. .. sinh tùy ý đối với M chứa một tập sinh tối tiểu Một R – nửa môđun có một tập sinh hữu hạn được gọi là nửa môđun hữu hạn sinh Một phần tử tùy ý của nửa môđun con được sinh bởi một tập con A của nửa môđun M là một tổ hợp tuyến tính các phần tử của A Nhận xét 2.2.4 Nếu S là tập rỗng thì nửa môđun con sinh bởi S = ∅ chính là nửa môđun con không {0} , và đây cũng chính là nửa môđun con sinh bởi tập {0}... (N ) Vậy f (N ) là một nửa môđun con của M ' Nhớ lại rằng Im f = f (M ) nên theo kết quả vừa chỉ ra thì Im f cũng là một nửa môđun con của M ' iii) f là một đơn cấu R – nửa môđun nếu và chỉ nếu f là một đơn cấu giữa hai vị nhóm giao hoán cộng M và M ' , và ta biết rằng điều này tương đương với Kerf = 0 □ 2.4 Nửa môđun giản ước được Định nghĩa 2.4.1 Một phần tử m của một R – nửa môđun M là giản ước... một nửa môđun con của M và là α ∈I môđun con nhỏ nhất của M được chứa trong mỗi N i Nói riêng, nếu A là một tập con của R – nửa môđun M thì giao của tất cả các nửa môđun con của M chứa A là một nửa môđun con của M , được gọi là nửa môđun con sinh bởi A Nửa môđun con này chính là { } RA = r1a1 + + rnan | ri ∈ R, ai ∈ A Nếu A sinh ra toàn bộ nửa môđun M thì A được gọi là tập sinh của M Tập sinh tùy... ') Vậy gf là một đồng cấu □ Định lý 1.4.4 Giả sử f : R → S là một đồng cấu từ nửa vành R đến nửa vành S , A là một nửa vành con của R và B là một iđêan của S Khi đó: i) f (A) là một nửa vành con của S ii) f −1(B ) là một iđêan của R Chứng minh i) Với mọi f (x ), f (y ) ∈ f (A) ta có f (x ) + f (y ) = f (x + y ) ∈ f (A) và f (x )f (y ) = f (xy ) ∈ f (A) Do đó f (A) là một nửa vành con của S ii) Với . và tính chất đại số của vành, từ đó hệ thống, nghiên cứu các tính chất đại số của nửa vành. Hệ thống và chứng minh một số tính chất cơ bản của nửa môđun trên nửa vành giao hoán có đơn vị. . tượng: Nửa môđun trên nửa vành giao hoán có đơn vị. • Phạm vi: Một số tính chất cơ bản của nửa môđun trên nửa vành giao hoán có đơn vị. 6. Ý nghĩa khoa học Khóa luận sau khi hoàn thành có thể. 1.2. Nửa vành con 1.3. Iđêan và nửa vành thương 1.4. Đồng cấu nửa vành Chương 2. Nửa môđun trên nửa vành giao hoán có đơn vị 2.1. Nửa môđun, nửa môđun con và nửa môđun thương 2.2. Tổng và giao

Ngày đăng: 18/12/2014, 20:37

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan