NGUYỄN CHÁNH TÚ Khoa Toán, Đại Học Sư Phạm Huế Giáo trình điện tử LÍ THUYẾT MỞ RỘNG TRƯỜNG VÀ GALOIS Huế 12-2006 D ¯ A ˘ ˙ C TÍNH KY ˜ THUA ˆ ˙ T • Có the ˆ ’ tra cu ´ ’ u d ¯ e ˆ ´ n tu ` ’ ng pha ˆ ` n cu ’ a giáo trình ba ˘ ` ng cách click vào Bookmarks bên le ˆ ` trái cu ’ a Acrobat Reader. • Có siêu kiên ke ˆ ´ t tham kha ’ o chéo và tham chie ˆ ´ u d ¯ e ˆ ´ n các tài lie ˆ ˙ u tham kha ’ o (305). • Có siêu liên ke ˆ ´ t d ¯ e ˆ ’ tra cu ´ ’ u các thua ˆ ˙ t ngu ˜ ’ hoa ˘ ˙ c no ˆ ˙ i dung cu ˙ the ˆ ’ ba ˘ ` ng Chı ’ mu ˙ c (307) o ’ ’ cuo ˆ ´ i giáo trình. • Có the ˆ ’ liên ke ˆ ´ t vo ´ ’ i trang web chı ’ ra. • Có siêu liên ke ˆ ´ t d ¯ e ˆ ’ tham kha ’ o nhanh hu ’ o ´ ’ ng da ˆ ˜ n gia ’ i cu ’ a tu ` ’ ng bài ta ˆ ˙ p (250). • Có the ˆ ’ d ¯ o ˙ c trên ma ˙ ng, download hoa ˘ ˙ c nhanh chóng in thành giáo trình d ¯ o ˙ c. • Có the ˆ ’ dùng d ¯ e ˆ ’ trình chie ˆ ´ u vo ´ ’ i chu ´ ’ c na ˘ ng View|Full Screen. ii MU ˙ C LU ˙ C LO ` ’ I NÓI D ¯ A ˆ ` U ix HU ’ O ´ ’ NG DA ˆ ˜ N SU ’ ’ DU ˙ NG xiii VÀI NÉT VE ˆ ` LI ˙ CH SU ’ ’ 1 a) Li ˙ ch su ’ ’ gia ’ i phu ’ o ’ ng trình d ¯ a thu ´ ’ c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 b) Cuo ˆ ˙ c d ¯ o ` ’ i cu ’ a Evariste Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Chu ’ o ’ ng 0 KIE ˆ ´ N THU ´ ’ C CHUA ˆ ’ N BI ˙ 21 0.1 Tru ’ o ` ’ ng. D ¯ a ˘ ˙ c so ˆ ´ cu ’ a tru ’ o ` ’ ng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0.2 Vành d ¯ a thu ´ ’ c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 iii 0.3 Mo ˆ ˙ t so ˆ ´ nhóm hu ˜ ’ u ha ˙ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 0.4 Hàm Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Bài ta ˆ ˙ p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Chu ’ o ’ ng 1 MO ’ ’ RO ˆ ˙ NG TRU ’ O ` ’ NG 45 §1 Mo ’ ’ ro ˆ ˙ ng tru ’ o ` ’ ng. Ba ˆ ˙ c cu ’ a mo ’ ’ ro ˆ ˙ ng tru ’ o ` ’ ng . . . . . . . . . . . . . 45 1.1 Mo ’ ’ ro ˆ ˙ ng tru ’ o ` ’ ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.2 Ba ˆ ˙ c cu ’ a mo ’ ’ ro ˆ ˙ ng tru ’ o ` ’ ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Bài ta ˆ ˙ p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 §2 Mo ’ ’ ro ˆ ˙ ng d ¯ o ’ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.1 Vành con và tru ’ o ` ’ ng con sinh ra bo ’ ’ i mo ˆ ˙ t ta ˆ ˙ p . . . . . . . . . 53 2.2 Ca ˆ ´ u trúc cu ’ a mo ’ ’ ro ˆ ˙ ng d ¯ o ’ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Bài ta ˆ ˙ p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 §3 Mo ’ ’ ro ˆ ˙ ng hu ˜ ’ u ha ˙ n và mo ’ ’ ro ˆ ˙ ng d ¯ a ˙ i so ˆ ´ . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.1 Tính cha ˆ ´ t cu ’ a mo ’ ’ ro ˆ ˙ ng hu ˜ ’ u ha ˙ n và mo ’ ’ ro ˆ ˙ ng d ¯ a ˙ i so ˆ ´ . . . . . 69 iv 3.2 Tru ’ o ` ’ ng con các pha ˆ ` n tu ’ ’ d ¯ a ˙ i so ˆ ´ . Tru ’ o ` ’ ng d ¯ óng d ¯ a ˙ i so ˆ ´ . Bao d ¯ óng d ¯ a ˙ i so ˆ ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Bài ta ˆ ˙ p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 §4 Du ˙ ’ ng hình ba ˘ ` ng thu ’ o ´ ’ c ke ’ và compa . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.1 Ba bài toán du ˙ ’ ng hình co ˆ ’ d ¯ ie ˆ ’ n . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.2 D ¯ ie ˆ ` u kie ˆ ˙ n ca ˆ ` n d ¯ e ˆ ’ d ¯ a giác d ¯ e ˆ ` u p ca ˙ nh du ˙ ’ ng d ¯ u ’ o ˙ ’ c ba ˘ ` ng thu ’ o ´ ’ c ke ’ và compa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Bài ta ˆ ˙ p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 §5 Tru ’ o ` ’ ng phân rã cu ’ a mo ˆ ˙ t d ¯ a thu ´ ’ c. D ¯ a thu ´ ’ c tách d ¯ u ’ o ˙ ’ c . . . . . . . 91 5.1 Tru ’ o ` ’ ng phân rã cu ’ a mo ˆ ˙ t d ¯ a thu ´ ’ c . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.2 D ¯ a thu ´ ’ c tách d ¯ u ’ o ˙ ’ c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Bài ta ˆ ˙ p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Chu ’ o ’ ng 2 LÍ THUYE ˆ ´ T GALOIS 109 §6 Tu ˙ ’ d ¯ a ˘ ’ ng ca ˆ ´ u và tru ’ o ` ’ ng trung gian cu ’ a mo ’ ’ ro ˆ ˙ ng tru ’ o ` ’ ng . . . . . . 109 6.1 Nhóm các tu ˙ ’ d ¯ a ˘ ’ ng ca ˆ ´ u cu ’ a mo ’ ’ ro ˆ ˙ ng tru ’ o ` ’ ng . . . . . . . . . 110 v 6.2 Tru ’ o ` ’ ng trung gian cu ’ a mo ’ ’ ro ˆ ˙ ng tru ’ o ` ’ ng . . . . . . . . . . . 114 Bài ta ˆ ˙ p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 §7 Mo ’ ’ ro ˆ ˙ ng tách d ¯ u ’ o ˙ ’ c, chua ˆ ’ n ta ˘ ´ c và Galois . . . . . . . . . . . . . . 124 7.1 Mo ’ ’ ro ˆ ˙ ng tách d ¯ u ’ o ˙ ’ c và d ¯ i ˙ nh lí pha ˆ ` n tu ’ ’ nguyên thu ’ y . . . . . 124 7.2 Tiêu chua ˆ ’ n cu ’ a mo ’ ’ ro ˆ ˙ ng Galois và chua ˆ ’ n ta ˘ ´ c . . . . . . . . 127 Bài ta ˆ ˙ p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 §8 D ¯ i ˙ nh lí co ’ ba ’ n cu ’ a Lí thuye ˆ ´ t Galois . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Bài ta ˆ ˙ p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 §9 Mo ˆ ˙ t so ˆ ´ u ´ ’ ng du ˙ ng cu ’ a Lí thuye ˆ ´ t Galois . . . . . . . . . . . . . . . 156 9.1 Tru ’ o ` ’ ng hu ˜ ’ u ha ˙ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 9.2 Tru ’ o ` ’ ng và d ¯ a thu ´ ’ c chia d ¯ u ’ o ` ’ ng tròn . . . . . . . . . . . . . . 160 9.3 D ¯ a giác d ¯ e ˆ ` u du ˙ ’ ng d ¯ u ’ o ˙ ’ c ba ˘ ` ng thu ’ o ´ ’ c ke ’ và compa . . . . . . . 169 9.4 D ¯ i ˙ nh lí co ’ ba ’ n cu ’ a d ¯ a ˙ i so ˆ ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Bài ta ˆ ˙ p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 §10 Nhóm Galois cu ’ a d ¯ a thu ´ ’ c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 10.1 Bie ˆ ˙ t thu ´ ’ c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 vi 10.2 Nhóm Galois cu ’ a d ¯ a thu ´ ’ c ba ˆ ˙ c 3 . . . . . . . . . . . . . . . . 181 10.3 D ¯ a thu ´ ’ c ba ˆ ˙ c 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 10.4 D ¯ a thu ´ ’ c to ˆ ’ ng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Bài ta ˆ ˙ p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 §11 Tiêu chua ˆ ’ n gia ’ i d ¯ u ’ o ˙ ’ c ba ˘ ` ng ca ˘ n thu ´ ’ c cu ’ a d ¯ a thu ´ ’ c . . . . . . . . . 201 11.1 Mo ’ ’ ro ˆ ˙ ng ca ˘ n và tiêu chua ˆ ’ n gia ’ i d ¯ u ’ o ˙ ’ c . . . . . . . . . . . . . 201 11.2 Tính không gia ’ i d ¯ u ’ o ˙ ’ c cu ’ a d ¯ a thu ´ ’ c có ba ˆ ˙ c lo ´ ’ n ho ’ n bo ˆ ´ n . . . . 211 11.3 Nghie ˆ ˙ m ca ˘ n thu ´ ’ c cu ’ a các d ¯ a thu ´ ’ c to ˆ ’ ng quát có ba ˆ ˙ c không quá 4213 Bài ta ˆ ˙ p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 PHU ˙ LU ˙ C 223 A Nhóm gia ’ i d ¯ u ’ o ˙ ’ c và nhóm d ¯ o ’ n . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 B D ¯ i ˙ nh lí Sylow và D ¯ i ˙ nh lí Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . 239 C Bao d ¯ óng d ¯ a ˙ i so ˆ ´ cu ’ a mo ˆ ˙ t tru ’ o ` ’ ng . . . . . . . . . . . . . . . 242 D So ’ lu ’ o ˙ ’ c ve ˆ ` Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 HU ’ O ´ ’ NG DA ˆ ˜ N GIA ’ I BÀI TA ˆ ˙ P 250 vii BA ’ NG KÍ HIE ˆ ˙ U VÀ QUY U ’ O ´ ’ C 302 TÀI LIE ˆ ˙ U THAM KHA ’ O 305 CHI ’ MU ˙ C 307 viii LO ` ’ I NÓI D ¯ A ˆ ` U Lí thuye ˆ ´ t Galois là mo ˆ ˙ t trong nhu ˜ ’ ng lí thuye ˆ ´ t d ¯ e ˙ p d ¯ e ˜ nha ˆ ´ t cu ’ a d ¯ a ˙ i so ˆ ´ , ta ˆ ˙ p ho ˙ ’ p nhie ˆ ` u kie ˆ ´ n thu ´ ’ c và phu ’ o ’ ng pháp cu ’ a các lı ˜ nh vu ˙ ’ c toán ho ˙ c khác nhau, nha ˘ ` m gia ’ i quye ˆ ´ t các bài toán co ˆ ’ d ¯ ie ˆ ’ n và nhu ˜ ’ ng va ˆ ´ n d ¯ e ˆ ` quan tro ˙ ng khác cu ’ a d ¯ a ˙ i so ˆ ´ hie ˆ ˙ n d ¯ a ˙ i. Mo ˆ ˙ t trong nhu ˜ ’ ng u ´ ’ ng du ˙ ng chu ’ ye ˆ ´ u cu ’ a Lí thuye ˆ ´ t Galois là gia ’ i quye ˆ ´ t bài toán tìm nghie ˆ ˙ m ca ˘ n thu ´ ’ c cu ’ a phu ’ o ’ ng trình d ¯ a thu ´ ’ c, d ¯ a ˘ ˙ c bie ˆ ˙ t chı ’ ra ra ˘ ` ng phu ’ o ’ ng trình ba ˆ ˙ c lo ´ ’ n ho ’ n bo ˆ ´ n không the ˆ ’ gia ’ i d ¯ u ’ o ˙ ’ c ba ˘ ` ng ca ˘ n thu ´ ’ c. Ma ˘ ˙ t khác, Lí thuye ˆ ´ t Galois cho phép xác d ¯ i ˙ nh d ¯ a giác d ¯ e ˆ ` u n ca ˙ nh du ˙ ’ ng d ¯ u ’ o ˙ ’ c ba ˘ ` ng thu ’ o ´ ’ c ke ’ và compa. Bên ca ˙ nh d ¯ ó, chúng ta nha ˆ ˙ n d ¯ u ’ o ˙ ’ c tu ` ’ Lí thuye ˆ ´ t Galois lo ` ’ i gia ’ i cho ba bài toán du ˙ ’ ng hình co ˆ ’ d ¯ ie ˆ ’ n, d ¯ ó là không the ˆ ’ (ba ˘ ` ng thu ’ o ´ ’ c ke ’ và compa) chia ba mo ˆ ˙ t góc, ga ˆ ´ p d ¯ ôi hình la ˆ ˙ p phu ’ o ’ ng hoa ˘ ˙ c ca ˆ ` u phu ’ o ’ ng d ¯ u ’ o ` ’ ng tròn. Do ta ˆ ` m quan tro ˙ ng cu ’ a Lí thuye ˆ ´ t Tru ’ o ` ’ ng và Galois mà tu ` ’ na ˘ m 1986, môn ho ˙ c này d ¯ ã d ¯ u ’ o ˙ ’ c Bo ˆ ˙ Giáo du ˙ c và d ¯ ào ta ˙ o d ¯ u ’ a vào trong chu ’ o ’ ng trình chính thu ´ ’ c cu ’ a khoa Toán các tru ’ o ` ’ ng D ¯ a ˙ i ho ˙ c và Cao d ¯ a ˘ ’ ng, d ¯ a ˘ ˙ c bie ˆ ˙ t là cho khoa Toán các Tru ’ o ` ’ ng Su ’ pha ˙ m. Ho ’ n the ˆ ´ , Lí thuye ˆ ´ t Galois cu ˜ ng d ¯ u ’ o ˙ ’ c gia ’ ng da ˙ y cho các lo ´ ’ p Cao Ho ˙ c, xem nhu ’ kie ˆ ´ n thu ´ ’ c co ’ ba ’ n d ¯ e ˆ ’ tu ` ’ d ¯ ó mo ’ ’ ro ˆ ˙ ng cho nhu ˜ ’ ng nghiên cu ´ ’ u lí thuye ˆ ´ t và u ´ ’ ng du ˙ ng sâu sa ˘ ´ c ho ’ n. ix Giáo trình này ra d ¯ o ` ’ i trên co ’ so ’ ’ bài gia ’ ng cu ’ a tác gia ’ cho sinh viên Khoa Toán, Tru ’ o ` ’ ng D ¯ a ˙ i ho ˙ c su ’ pha ˙ m Hue ˆ ´ suo ˆ ´ t ho ’ n 10 na ˘ m tru ˙ ’ c tie ˆ ´ p gia ’ ng da ˙ y môn ho ˙ c này. Trong quá trình d ¯ ó, ba ’ n tha ’ o d ¯ u ’ o ˙ ’ c chı ’ nh su ’ ’ a và bo ˆ ’ sung sao cho vu ` ’ a phù ho ˙ ’ p vo ´ ’ i chu ’ o ’ ng trình cu ’ a Bo ˆ ˙ Giáo du ˙ c và D ¯ ào ta ˙ o, vu ` ’ a d ¯ áp u ´ ’ ng nhu ca ˆ ` u su ’ ’ du ˙ ng các công cu ˙ mo ´ ’ i cu ’ a d ¯ a ˙ i so ˆ ´ tính toán, vu ` ’ a bo ˆ ’ sung nhu ˜ ’ ng kie ˆ ´ n thu ´ ’ c liên quan khó có the ˆ ’ tìm d ¯ u ’ trong mo ˆ ˙ t vài quye ˆ ’ n sách tham kha ’ o. Vì the ˆ ´ , giáo trình ra d ¯ o ` ’ i, tru ’ o ´ ’ c he ˆ ´ t, nha ˘ ` m d ¯ áp u ´ ’ ng nhu ca ˆ ` u su ’ ’ du ˙ ng cu ’ a sinh viên d ¯ a ˙ i ho ˙ c, cao d ¯ a ˘ ’ ng và ho ˙ c viên cao ho ˙ c ngành toán. Bên ca ˙ nh d ¯ ó, giáo trình có the ˆ ’ là mo ˆ ˙ t tài lie ˆ ˙ u tham kha ’ o bo ˆ ’ ích cho giáo viên pho ˆ ’ thông trung ho ˙ c và ho ˙ c sinh gio ’ i. Ho ˙ có the ˆ ’ tìm tha ˆ ´ y trong giáo trình này co ’ so ’ ’ toán ho ˙ c cha ˘ ˙ t che ˜ cho vie ˆ ˙ c tìm nghie ˆ ˙ m ca ˘ n thu ´ ’ c cu ’ a phu ’ o ’ ng trình d ¯ a thu ´ ’ c, cu ’ a các bài toán du ˙ ’ ng hình ba ˘ ` ng thu ’ o ´ ’ c ke ’ và compa, nhu ˜ ’ ng kie ˆ ´ n thu ´ ’ c ve ˆ ` li ˙ ch su ’ ’ toán ho ˙ c liên quan. Ngoài ra, giáo trình so ’ lu ’ o ˙ ’ c gio ´ ’ i thie ˆ ˙ u ve ˆ ` Maple, mo ˆ ˙ t trong nhu ˜ ’ ng he ˆ ˙ tho ˆ ´ ng tính toán d ¯ a ˙ i so ˆ ´ ma ˙ nh me ˜ và pho ˆ ’ bie ˆ ´ n nha ˆ ´ t hie ˆ ˙ n nay. Thông qua nhu ˜ ’ ng ví du ˙ minh ho ˙ a, giáo trình chı ’ ra kha ’ na ˘ ng tính toán ma ˙ nh me ˜ cu ’ a Maple cu ˜ ng nhu ’ vie ˆ ˙ c ho ˆ ˜ tro ˙ ’ d ¯ a ˘ ´ c lu ˙ ’ c cu ’ a pha ˆ ` n me ˆ ` m này cho các giáo viên pho ˆ ’ thông, cho sinh viên và ho ˙ c sinh trong hoa ˙ t d ¯ o ˆ ˙ ng gia ’ ng da ˙ y, nghiên cu ´ ’ u và ho ˙ c ta ˆ ˙ p toán. x [...]... ¯o Sau khi d c xong phan lí thuyet cua tiet, d ˆ c gia can tu’ mình giai quyet các bài ˙ ˙ ˙ ’ ´ i tiet và tra lo’i bài tap trac nghiem (có the tham khao phan hu’o’ng dan, neu ´ ´ ` ´ ˜ ’ ` ’ ˆ ˆ ˆ ˘ ˆ ˆ ˆ ´ ˆ ˆ tap cuo ˆ ˙ ˙ ˙ ` ´ ´ ˜ ˆ ˆ ˆ ¯u ˘ ˆ ` ˆ ¯e ˆ ¯òi can) Các bài tap d ’o’c sap xep tu’ de d´ n khó ; nhu’ng bài tap (*) d ho’i su’ tu’ duy ˜ ˙ ˙ ˙ ˙ ´ ` ’ ’ ˆ ˆ ¯ã ¯ie ¯o cao ho’n Nhu’ d trình... ˙ ˙ ˙ ´ ´ ¯a ` ` ´ ˜ ˆ ˆ ˆ ˆ ´ ˆ ˆ ` ˆ ¯e ˘ ˘ cung cap mot he thong phong phú các bài tap tu’ de d´ n khó, bat d ˆ u tu’ bài trac ˙ ˙ ˙ ´ ` ´ ´ ’ ´ ˆ ˆ ˘ ˘ ˆ ˘ ˘ ˆ ¯o nghiem lí thuyet nham giúp d ˆ c gia nam mot cách chac chan nhu’ng khái niem và ˜ ˙ ˙ ˙ ˙ ` ` ´ ` ` ˜ ’ ’ ´ ’ ¯a ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ´ ˆ ¯e ket qua chu yeu Gan 150 bài tap trong giáo trình d ˆ u có phan hu’o’ng dan giai d ˆ y ˙ ´ ’ ` ˜ ’ trong no... gio’ d ’o’c tìm thay nu’a Khoang tho’i gian này, Galois ’ ` ¯u ˆ ` trình cu ˜ ˙ ´ ` ´ ´ ’ ’ ˆ ˘ ˆ ˆ ˆ ¯u biet rang mot bài báo cua nhà toán hoc quá co Abel d ’o’c xuat ban trên Bulletin ˙ ˙ ˙ ` ´ ’ ´ ’ ’ ˆ ˆ ˆ ˆ ¯o de Férussac có mot phan ket qua giong cua mình Sau khi tìm d c các bài báo cua ˙ ˙ ` ´ ˆ ¯ã Abel và Jacobi (1804-1851, ¯ u’c), Galois d hoàn thành các nghiên cu’u ve các hàm D´ ¯ã ¯a elliptic... han cuoi cùng 8 ngày, Tatarlia ˙ ˙ ’ ´ ˆ’ ˆ ’ ˆ ´ ¯ã ¯u d tìm d ’o’c phu’o’ng pháp tong quát giai tat ca phu’o’ng trình bac ba Tru’o’c công ˙ ˙ ’ ’ ` ` ˆ ¯u ¯u chúng, Tartaglia d ’a ra lo’i giai cua 30 bài toán trong vòng 2 gio’ và d ’o’c công nhan ˙ ˙ ´ ´ ` ´ ’ ` ˘ ˆ ˆ ˆ là ngu’o’i thang cuoc Tuy nhiên, ông không công bo lo’i giai chi tiet ˙ ´ ´ ’ ˆ ˘ ˆ ˆ ˆ ¯e Chien thang cua Tartaglia lan d´ n Milan,... bac bon d d ’o’c ˜ ˙ ˙ ˙ ´ ´ ´ ’ ’ ˆ ˆ ˆ ˆ’ ˆ’ ´ ˆ ˆ xuat hien chi tiet trong quyen sách “Ars Magna” noi tieng cua Cardano, xuat ban ˙ ´ ’ ˘ ´ ˆ ˆ ˆ ’ nam 1545 Tartaglia vô cùng tu’c gian và trong mot bài báo cua mình xuat ban sau ˙ ˙ ’ ’ ’ ˘ ˆ ’ ¯ó, ¯i d Tartaglia khang d nh lai công lao cua mình và lên án su’ phan boi cua Cardano ˙ ˙ ˙ ˙ ´ ´ ` ´ ´ ˆ ¯a ´ ` ˆ ˆ ˆ ˆ ¯a Trong “Ars Magna”, cuon sách tieng... m không chính xác Van d ˆ chı d ’o’c giai quyet ˙ ` ` ’ ˆ ¯o ` tron ven bo’i than d ˆ ng toán hoc ngu’o’i Na Uy, Niels Henrik Abel (1802-1829) vào ˙ ˙ ˙ ´ ’ ˆ ˘ ˆ ˆ’ nam 1824 Abel chu’a kip giai quyet bài toán tong quát ho’n là “khi nào mot phu’o’ng ˙ ˙ ` ˆ ˆ ’ ¯u ˘ ˘ ´ ¯a ´ ¯o trình d thu’c bac n có the’ giai d ’o’c bang can thu’c” thì ông qua d `’i lúc chu’a tròn ˙ ˙ ´ ’ ’ ¯u ’ ˆ’ ˆ ˆ ¯ó, ˘ 27 tuoi... cho the gio’i ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ´ ¯e ¯e ´ ˜ ˆ ˆ ˆ ˆ ’ ¯a ´ ˆ ` ¯ó ˆ toán hoc nhan ra mot trong nhu’ng lí thuyet d p d ˜ nhat cua d i so, mà tu’ d de ˜ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ’ ` ’ ¯o ¯e ˆ’ ˆ ˘ ` ˆ dàng có câu tra lo’i cho bài toán tong quát trên Phai d ’i d´ n nam 1843, mu’o’i mot ˙ ˙ ˜ ˆ  Nguyen Chánh Tú ` ’’ ˆ Vài nét ve lich su ˙ 9 ˆ’ Hình 4: Chân dung Galois lúc 15 tuoi ´ ’ ˘ ˆ ¯o nam sau ngày ông qua d `’i, nhu’ng... ` ˆ ¯u ¯ã viec công bo rang tôi d phát hien d ’o’c trong các công trình cua Evariste ˙ ˙ ˙ ˜ ˆ  Nguyen Chánh Tú 10 ` ’’ ˆ Vài nét ve lich su ˙ ´ ´ ’ ’ ` ˘ ˆ ˆ Galois lo’i giai hoàn hao và sâu sac cho bài toán no’i tieng: khi nào thì ` ’ ¯u ˘ ˘ ´ ¯a ´ phu’o’ng trình d thu’c giai d ’o’c bang can thu’c ˙ ´ ´ ` ` ´ ˆ ˆ ˆ ´ ˆ ¯ie ˆ ˆ ¯o Abel và Galois, hai so phan bat hanh vo’i nhieu d ˆ’ m tu’o’ng d ˆ... giáo duc d ’o’c cai thien rõ ´ ’ ˆ ˆ ˆ ¯o ¯u viec day-hoc có nhu’ng thay d ˆ ˜ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ´ ´ ´ ´ ’ ˘ ’ ˆ ´ ˆ ˘ ˆ ´ ˆ ˆ ret Cùng vo’i viec nam vu’ng kien thu’c lí thuyet, có kha nang giai quyet các bài ˜ ˙ ˙ ` ´ ’ ` ` ˜ ´ ` ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ¯ích toán u’ng dung, ngu’o’i hoc can biet su’ dung các phan mem ho tro’ cho các muc d ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ xi ` ´ ’ ˆ’ ˆ ˆ ´ ´ ¯ây tính toán cu the Có nhieu tính toán rat khó và... tru’o’ng École Normal, GS M Guigniault, ˙ ´ ´ ˆ ` ˆ ¯u ` ¯e nhot hoc sinh trong tru’o’ng d ˆ’ tránh không cho hoc sinh tham gia xuong d ’o’ng ˙ ˙ ´ ` ˆ ˆ ¯a Trèo tu’o’ng ra ngoài không thành, Galois viet mot bài báo d ˘ ng trên Gazette des ˙ ´ ’ ¯o ’ ’ ’ ˆ ˆ ˆ ` ˆ ¯e Écoles d ˆ’ phan d´ i viec khóa cu’a nhot hoc sinh trong tru’o’ng cua hieu tru’o’ng ˙ ˙ ˙ ’ ˆ ¯uo ¯o Galois bi d ˆ’ i hoc và tham gia vào pháo . NGUYỄN CHÁNH TÚ Khoa Toán, Đại Học Sư Phạm Huế Giáo trình điện tử LÍ THUYẾT MỞ RỘNG TRƯỜNG VÀ GALOIS Huế 12-2006 D ¯ A ˘ ˙ C TÍNH KY ˜ THUA ˆ ˙ T • Có the ˆ ’ tra cu ´ ’ u. quye ˆ ´ t các bài ta ˆ ˙ p cuo ˆ ´ i tie ˆ ´ t và tra ’ lo ` ’ i bài ta ˆ ˙ p tra ˘ ´ c nghie ˆ ˙ m (có the ˆ ’ tham kha ’ o pha ˆ ` n hu ’ o ´ ’ ng da ˆ ˜ n, ne ˆ ´ u ca ˆ ` n). Các bài ta ˆ ˙ p. . . 127 Bài ta ˆ ˙ p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 §8 D ¯ i ˙ nh lí co ’ ba ’ n cu ’ a Lí thuye ˆ ´ t Galois . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Bài ta ˆ ˙ p