Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Năm hoïc 2014 – 2015 Buổi 1: DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT I MỤC TIÊU KT: - Nắm quy luật dãy số - Tính tốn dãy số KN: - Học sinh hiểu,vận dung kiến thức để tính giá trị dãy số TĐ: Cẩn thận, sáng tạo II CHUẨN BỊ Gv: Nghiên cứu, soan giáo án, phấn màu, bảng phụ Hs: Dụng cụ học tập III TIẾN TRÌNH Ổn định: Kiểm tra: (Trong giờ) Bài mới: Bài 1: Tìm số hạng thứ n dãy số sau: a) 3, 8, 15, 24, 35, b) 3, 24, 63, 120, 195, c) 1, 3, 6, 10, 15, d) 2, 5, 10, 17, 26, e) 6, 14, 24, 36, 50, f) 4, 28, 70, 130, 208, g) 2, 5, 9, 14, 20, h) 3, 6, 10, 15, 21, i) 2, 8, 20, 40, 70, Hướng dẫn: a) n(n + 2) f) (3n – 2)(3n+1) b) (3n – 2)3n g) n(n + 3) c) n(n + 1) d) + n2 (n + 1)(n + 2) h) e) n(n + 5) i) n( n + 1)( n + 2) Bài 2: Tính: a, A = + + +… + (n – 1) + n b, A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100 Hướng dẫn: a) A = 1+2+3+…+(n – 1)+n A = n (n+1):2 b) 3A = 1.2.3 + 2.3(4 – 1) + 3.4.(5 – 2) + + 99.100.(101 – 98 ) 3A = 1.2.3+2.3.4 – 1.2.3+3.4.5 – 2.3.4 + + 99.100.101 – 98.99.100 3A = 99.100.101 A = 333300 Tổng quát: A = 1.2+2.3+3.4+.… + (n – 1) n A = (n – 1)n(n + 1): Bài 3: Tính: A = 1.3+2.4+3.5+ +99.101 Hướng dẫn: A = 1(2 + 1) + 2(3 + 1) + 3(4 + 1) + + 99(100 + 1) A = 1.2 + 1+ 2.3 + + 3.4 + + + 99.100 + 99 A = (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100) + (1+ + + + 99) A = 333300 + 4950 = 338250 Nguyễn Thành Chung Trường THCS Kỳ Ninh Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Năm học 2014 – 2015 Tổng quát: A = 1.3 + 2.4 + 3.5 + + (n – 1)n A= (n – 1)n(n+1):3 + n(n – 1):2 A= (n – 1)n(2n+1):6 Bài 4: Tính: A = 1.4 + 2.5 + 3.6 + + 99.102 Hướng dẫn: A = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+ + 99(100+2) A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+ +99.100+99.2 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+2(1+2+3+ +99) A = 333300 + 9900 A = 343200 Bài 5: Tính: A = 4+12+24+40+ +19404+19800 Hướng dẫn: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + + 98.99 + 99.100 A= 666600 Bài 6: Tính: A = 1+3+6+10+ +4851+4950 Hướng dẫn: 2A = 1.2+2.3+3.4+ +99.100 A= 333300:2 A= 166650 Bài 7: Tính: A = 6+16+30+48+ +19600+19998 Hướng dẫn: 2A = 1.3+2.4+3.5+ +99.101 A = 338250:2 A = 169125 Bài 8: Tính: A = 2+5+9+14+ +4949+5049 Hướng dẫn: 2A = 1.4+2.5+3.6+ +99.102 A = 343200:2 A = 171600 Bài 9: Tính: A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + 98.99.100 Hướng dẫn: 4A = 1.2.3.4 + 2.3.4(5 – 1) + 3.4.5.(6 – 2) + + 98.99.100.(101 – 97) 4A = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 1.2.3.4 + 3.4.5.6 – 2.3.4.5+ +98.99.100.101 – 97.98.99.100 4A = 98.99.100.101 A = 2449755 Tổng quát: A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + (n – 2)(n – 1)n A = (n – 2)(n – 1)n(n + 1):4 Nguyễn Thành Chung Trường THCS Kỳ Ninh Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Năm học 2014 – 2015 Bài 10: Tính: A = 12+22+32+ +992+1002 Hướng dẫn: A = 1+2(1+1)+3(2+1)+ +99(98+1)+100(99+1) A = 1+1.2+2+2.3+3+ +98.99+99+99.100+100 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+(1+2+3+ +99+100) A = 333300 + 5050 A = 338050 Tổng quát: A = 12+22+32+ +(n – 1)2 + n2 A = (n – 1) n (n+1):3 + n(n +1):2 A = n(n+1)(2n+1):6 Bài 11: Hướng dẫn: Tính: A = 22+42+62+ +982+1002 A = 22(12+22+32+ +492+502) A = 12+32+52+ +972+992 Bài 12: Tính: Hướng dẫn: A = (12+22+32+ +992+1002) – (22+42+62+ +982+1002) A = (12+22+32+ +992+1002) – 22(12+22+32+ +492+502) Bài 13: Tính: A = 12 – 22+32 – 42+ +992 – 1002 Hướng dẫn: A = (12+22+32+ +992+1002) – 2(22+42+62+ +982+1002) Bài 14: Tính: A = 1.22+2.32+3.42+ +98.992 Hướng dẫn: A = 1.2(3 – 1)+2.3(4 – 1)+3.4(5 – 1)+ +98.99(100 – 1) A = 1.2.3 – 1.2+2.3.4 – 2.3+3.4.5 – 3.4+ +98.99.100 – 98.99 A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100) – (1.2+2.3+3.4+ +98.99) Bài 15: Tính: A = 1.3+3.5+5.7+ +97.99+99.100 Hướng dẫn: A = 1(1+2)+3(3+2)+5(5+2)+ +97(97+2)+99(99+2) A = (12+32+52+ +972+992)+2(1+3+5+ +97+99) Bài 16: Tính: A = 2.4+4.6+6.8+ +98.100+100.102 Hướng dẫn: A = 2(2+2)+4(4+2)+6(6+2)+ +98(98+2)+100(100+2) A = (22+42+62+ +982+1002)+4(1+2+3+ +49+50) Bài 17: Tính: A = 13+23+33+ +993+1003 Hướng dẫn: A = 12(1+0)+22(1+1)+32(2+1)+ +992(98+1)+1002(99+1) A = (1.22+2.32+3.42+ +98.992+99.1002)+(12+22+32+ +992+1002) A = [1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+ +98.99(100-1)] +(12+22+32+ +992+1002) A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+ +98.99.100- 98.99+(12+22+32+ +992+1002) Nguyễn Thành Chung Trường THCS Kỳ Ninh Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Năm học 2014 – 2015 A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100) – (1.2+2.3+3.4+ +98.99) (12+22+32+ +992+1002) Bài 18: Tính: A = 23+43+63+ +983+1003 Hướng dẫn: Bài 19: Tính: A = 13+33+53+ +973+993 Hướng dẫn: Bài 20: Tính: A = 13-23+33-43+ +993-1003 Hướng dẫn: Chuyên đề: TỈ LỆ THỨC-TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU (2 buổi) Buổi 2: A CƠ SỞ LÍ THUYẾT I MỤC TIÊU KT: - Nắm tính chất tỉ lệ thức,tính chất dãy tỉ số - Tính tốn tìm biến chưa biết hệ thức KN: - Học sinh hiểu,vận dung kiến thức để tính giải tốn tìm biến chưa biết hệ thức TĐ: Cẩn thận, sáng tạo II CHUẨN BỊ Gv: Nghiên cứu, soan giáo án, phấn màu, bảng phụ Hs: Dụng cụ học tập III TIẾN TRÌNH Ổn định: Kiểm tra: (Trong giờ) Bài mới: I TỈ LỆ THỨC Định nghĩa: Tỉ lệ thức đẳng thức hai tỉ số a c = (hoặc a : b = c : d) b d Các số a, b, c, d gọi số hạng tỉ lệ thức; a d số hạng hay ngoại tỉ, b c số hạng hay trung tỉ Tính chất: a c = ad = bc b d Tính chất 2: Nếu ad = bc a, b, c, d ≠ ta có tỉ lệ thức sau: a c a b d c d b = , = , = = , b d c d b a c a Tính chất 1: Nếu Nhận xét: Từ năm đẳng thức ta suy đẳng thức cịn lại II TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU -Tính chất: Từ a c a c a+c a−c = suy ra: = = = b d b d b+d b−d -Tính chất cịn mở rộng cho dãy tỉ số nhau: Nguyễn Thành Chung Trường THCS Kỳ Ninh Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Năm học 2014 – 2015 a c e a c e a+b+c a−b+c = = suy ra: b = d = f = b + d + f = b − d + f = b d f (giả thiết tỉ số có nghĩa) * Chú ý: Khi có dãy tỉ số a b c = = ta nói số a, b, c tỉ lệ với số 2, 3, 5 Ta viết a : b : c = : : B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG I: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC Ví dụ 1: Tìm hai số x y biết x y = x + y = 20 Giải: Cách 1: (Đặt ẩn phụ) Đặt x y = =k , suy ra: x = 2k , y = 3k Theo giả thiết: x + y = 20 ⇒ 2k + 3k = 20 ⇒ 5k = 20 ⇒ k = Do đó: x = 2.4 = y = 3.4 = 12 KL: x = , y = 12 Cách 2: (sử dụng tính chất dãy tỉ số nhau): Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y x + y 20 = = = =4 2+3 x Do đó: = ⇒ x = y = ⇒ y = 12 KL: x = , y = 12 Cách 3: (phương pháp thế) x y 2y = ⇒x= 3 2y mà x + y = 20 ⇒ + y = 20 ⇒ y = 60 ⇒ y = 12 2.12 =8 Do đó: x = KL: x = , y = 12 x y y z Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết: = , = x − y + z = Từ giả thiết Giải: x y x y = ⇒ = (1) 12 y z y z = ⇒ = (2) 12 20 x y z Từ (1) (2) suy ra: = = (*) 12 20 x y z 2x 3y z 2x − 3y + z = =3 Ta có: = = = = = = 12 20 18 36 20 18 − 36 + 20 Từ giả thiết: Nguyễn Thành Chung Trường THCS Kỳ Ninh Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Năm học 2014 – 2015 x = ⇒ x = 27 y = ⇒ y = 36 12 z = ⇒ z = 60 20 KL: x = 27 , y = 36 , z = 60 Do đó: Cách 2: Sau làm đến (*) ta đặt x y z = = = k (sau giải cách VD1) 12 20 Cách 3: (phương pháp thế: ta tính x, y theo z) Từ giả thiết: y z 3z = ⇒y= 5 3z = 9z 20 ; x y 3y = ⇒x= = 4 9z 3z z mà x − y + z = ⇒ − + z = ⇒ = 60 ⇒ z = 60 20 10 3.60 9.60 = 36 , x = = 27 Suy ra: y = 20 KL: x = 27 , y = 36 , z = 60 x y Ví dụ 3: Tìm hai số x, y biết rằng: = x y = 40 Giải: Cách 1: (đặt ẩn phụ) x y = = k , suy x = 2k , y = 5k Theo giả thiết: x y = 40 ⇒ 2k 5k = 40 ⇒ 10k = 40 ⇒ k = ⇒ k = ±2 + Với k = ta có: x = 2.2 = y = 5.2 = 10 + Với k = −2 ta có: x = 2.( −2) = −4 y = 5.(−2) = −10 KL: x = , y = 10 x = − , y = −10 Đặt Cách 2: ( sử dụng tính chất dãy tỉ số nhau) Hiển nhiên x ≠ x y x xy 40 = = = = ⇒ x = 16 ⇒ x = ±4 với x ta được: 5 y = 10 + Với x = ta có = ⇒ y = −4 y − 4.5 = ⇒y= = −10 + Với x = −4 ta có KL: x = , y = 10 x = − , y = −10 Nhân hai vế Cách 3: (phương pháp thế) làm tương tự cách ví dụ BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Tìm số x, y, z biết rằng: a) x y z = = x + y − z = 28 10 21 Nguyễn Thành Chung b) x y y z = , = x + y − z = 124 Trường THCS Kỳ Ninh Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toaùn 2x 3y 4z = = x + y + z = 49 x y e) = x − y = Năm học 2014 – 2015 x y = xy = 54 x y z f) y + z + = z + x + = x + y − = x + y + z c) d) Bài 2: Tìm số x, y, z biết rằng: x y z = = x + y − z = 28 10 21 2x 3y 4z = = c) x + y + z = 49 x y e) = x − y = x y = , x y d) = x f) y + z + = a) b) Bài 3: Tìm số x, y, z biết rằng: a) 3x = y , y = z x − y + z = 32 xy = 54 y z = = x+ y+z z + x +1 x + y − x −1 y − z − = = x + y − z = 50 x y z d) = = xyz = 810 b) c) x = y = z x + y − z = 95 e) y z = x + y − z = 124 y + z +1 z + x + x + y − = = = x y z x+ y+z f) 10 x = y x − y = −28 Bài 4: Tìm số x, y, z biết rằng: x −1 y − z − = = x + y − z = 50 x y z d) = = xyz = 810 a) 3x = y , y = z x − y + z = 32 b) c) x = y = z x + y − z = 95 y + z +1 z + x + x + y − = = = f) 10 x = y x − y = −28 x y z x+ y+z 1+ 2y 1+ 4y 1+ 6y = = Bài 5: Tìm x, y biết rằng: 18 24 6x 1+ 2y 1+ 4y 1+ 6y = = Bài 6: Tìm x, y biết rằng: 18 24 6x a b c d = = = Bài 7: Cho a + b + c + d ≠ b+c+d a+c+d a+b+d a+b+c a+b b+c c+d d +a + + + Tìm giá trị của: A = c+d a+d a+b b+c e) Giải: a b c d a+ b+ c+ d = = = = = ( Vì a + b + c + d ≠ ) b + c + d a + c + d a + b + d a + b + c 3(a + b + c + d ) =>3a = b+c+d; 3b = a+c+d => 3a – 3b= b – a => 3(a- b) = -(a-b) =>4(a-b) = =>a=b Tương tự => a = b = c = d =>A = Bài 8: Tìm số x; y; z biết rằng: x a) y = 5x – 2y = 87; x y3 z3 = = b) x2 + y2 + z2 = 14 64 216 x y = 2x – y = 34; 19 21 2x + 3y − 2x + 3y − = = c) 6x b) Bài 9: Tìm số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c 3a + 5c – 7b = 30 Bài 10: Tìm số x, y, z biết : a) x : y : z = : : 5z2 – 3x2 – 2y2 = 594; Nguyễn Thành Chung Trường THCS Kỳ Ninh Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Năm học 2014 – 2015 b) x + y = x : y = 3.(x – y) Giải a) Đáp số: x = 9; y = 12; z = 15 x = - 9; y = - 12; z = - 15 b) Từ đề suy ra: 2y(2y – x) = 0, mà y khác nên 2y – x = 0, : x = 2y Từ tìm : x = 4/3; y = 2/3 Bài 11 Tìm hai số hữu tỉ a b biết hiệu a b thương a b hai lần tổng a b ? Giải Rút được: a = – 3b, từ suy : a = – 2,25; b = 0,75 Bài 12: Cho ba tỉ số nhau: a b c , , Biết a+b+c ≠ Tìm giá trị b +c c +a a +b tỉ số ? Bài 13 Số học sinh khối 6,7,8,9 trường THCS tỉ lệ với 9;10;11;8 Biết số học sinh khối nhiều số học sinh khối em Tính số học sinh trường đó? Bài 14: Chứng minh có số a, b, c, d thỏa mãn đẳng thức:  ab ( ab − 2cd ) + c 2d   ab ( ab − ) + 2(ab + 1)  = chúng lập thành tỉ lệ thức     2 Giải:  ab ( ab − 2cd ) + c d   ab ( ab − ) + 2(ab + 1)  =     => ab(ab-2cd)+c2d2=0 (Vì ab(ab-2)+2(ab+1)=a2b2+1>0 với a,b) =>a2b2-2abcd+ c2d2=0 =>(ab-cd)2=0 =>ab=cd =>đpcm Buổi 3: DẠNG II: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC I MỤC TIÊU KT: - Ơn tập tính chất tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số - Tính tốn tìm biến chưa biết hệ thức, chứng minh hệ thức KN: - Học sinh hiểu,vận dung kiến thức để tính giải tốn tìm biến chưa biết hệ thức; chứng minh hệ thức TĐ: Cẩn thận, sáng tạo II CHUẨN BỊ Gv: Nghiên cứu, soan giáo án, phấn màu, bảng phụ Hs: Dụng cụ học tập III TIẾN TRÌNH Ổn định: Kiểm tra: (Trong giờ) Bài mới: Để chứng minh tỉ lệ thức: A C = ta thường dùng số phương pháp sau: B D Phương pháp 1: Chứng tỏ A D = B.C Phương pháp 2: Chứng tỏ hai tỉ số A C có giá trị B D Phương pháp 3: Sử dụng tính chất tỉ lệ thức Một số kiến thức cần ý: a na +) = b nb n (n ≠ 0) a c a c +) = ⇒   =   b d b d  ; n Sau số ví dụ minh họa: ( giả thiết tỉ số có nghĩa) Nguyễn Thành Chung Trường THCS Kỳ Ninh Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức a+b c+d a c = Chứng minh rằng: = b d a−b c−d Giải: Cách 1: (PP1) Ta có: (a + b)(c − d ) = ac − ad + bc − bd (a − b)(c + d ) = ac + ad − bc − bd Từ giả thiết: Năm học 2014 – 2015 a c = ⇒ ad = bc b d (1) (2) (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: (a + b)(c − d ) = (a − b)(c + d ) ⇒ Cách 2: (PP2) a c Đặt = = k , suy a = bk , c = dk b d a+b c+d = a−b c−d (đpcm) a + b kb + b b(k + 1) k + = = = (1) a − b kb − b b(k − 1) k − c + d kd + d d (k + 1) k + = = = (2) c − d kd − d d (k − 1) k − a+b c+d = Từ (1) (2) suy ra: (đpcm) a−b c−d Ta có: Cách 3: (PP3) Từ giả thiết: a c a b = ⇒ = b d c d Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a+b c+ d a b a+b a−b ⇒ = = = = (đpcm) c d c+d c−d a−b c−d Hỏi: Đảo lại có khơng ? a c ab a − b = Chứng minh rằng: Ví dụ 2: Cho tỉ lệ thức = b d cd c − d a c Giải: Cách 1: Từ giả thiết: = ⇒ ad = bc (1) b d Ta có: ab( c − d ) = abc − abd = acbc − adbd (2) cd a − b = a cd − b cd = acad − bc.bd (3) ( ) Từ (1), (2), (3) suy ra: ( ) ( ) ab a − b ab c − d = cd a − b ⇒ = (đpcm) cd c − d a c = = k , suy a = bk , c = dk b d ab bk b kb b = = = Ta có: (1) cd dk d kd d a − b (bk ) − b b k − b b k − b = = = = c − d (dk ) − d d k − d d k − d Cách 2: Đặt ( ( ) ) (2) ab a − b Từ (1) (2) suy ra: = (đpcm) cd c − d Nguyeãn Thành Chung Trường THCS Kỳ Ninh Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Năm học 2014 – 2015 a c a b ab a b a − b ⇒ ab a − b = Cách 3: Từ giả thiết: = ⇒ = ⇒ = = = (đpcm) cd c − d b d c d cb c d c − d2 BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Cho tỉ lệ thức: a c = Chứng minh ta có tỉ lệ thức sau: (với giả thiết b d tỉ số có nghĩa) 3a + 5b 3c + 5d = 1) 3a − 5b 3c − 5d 2) a−b c−d = a+b c+d 2a + 5b 2c + 5d = 5) 3a − 4b 3c − 4d 3) 7) 4) 6) a c = a+b c+ d Bài 2: Cho tỉ lệ thức: 8) a2 + b2  a+b   = c + d2 c+d ab ( a − b ) = cd ( c − d ) 2005a − 2006b 2005c − 2006d = 2006c + 2007d 2006a + 2007b 7a + 5ac 7b + 5bd = 7a − 5ac 7b − 5bd a c = Chứng minh ta có tỉ lệ thức sau: (với giả thiết b d tỉ số có nghĩa) 3a + 5b 3c + 5d = a) 3a − 5b 3c − 5d a2 + b2 a+b b)   = c + d2 c+d 2a + 5b 2c + 5d = e) 3a − 4b 3c − 4d ab ( a − b ) = d) cd ( c − d ) a c 7a + 5ac = = g) h) a+b c+d 7a − 5ac a b c Bài 3: Cho = = Chứng minh rằng: b c d c) f) a−b c−d = a+b c+d 2008a − 2009b 2008c − 2009d = 2009c + 2010d 2009a + 2010b 7b + 5bd 7a + 3ab 7c + 3cd = i) 11a − 8b 11c − 8d 7b − 5bd a a+b+c   = d b+c+d  a b c a+b+c a = = Chứng minh rằng:  Bài 4: Cho   = b c d d b+c+d  a b c = = Bài 5: Cho Chứng minh rằng: 4(a − b)(b − c) = (c − a) 2003 2004 2005 a a1 a a = = = = 2008 Bài 6: Cho dãy tỉ số nhau: a2 a3 a4 a 2009 2008  a + a + a + + a 2008  = CMR: Ta có đẳng thức: ÷ a 2009  a + a + a + + a 2009  a a a1 a = = = = Bài 7: Cho a1 + a + + a9 ≠ a a3 a a1 Chứng minh rằng: a1 = a = = a9 a b c = = Bài 8: Cho Chứng minh rằng: 4(a − b)(b − c) = (c − a) 2003 2004 2005 a1 a b a2 + b2 a = = Bài 9: Chứng minh : b d b +d2 d Nguyễn Thành Chung 10 Trường THCS Kỳ Ninh Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Năm học 2014 – 2015 III TIẾN TRÌNH Ổn định: Kiểm tra: (Trong giờ) Bài mới: Tam giác TH C-C-C TH C-G-C TH G-C-G Tam giác vuông Cạnh huyền + Cạnh góc vng Hai cạnh góc vng Cạnh GV+ G.nhọn kề ; C.Huyền +G.nhọn TAM GIÁC VÀ MỘT SỐ TAM GIÁC ĐẶC BIỆT : Định nghĩa Quan hệ góc Tam giác ∆Cân A,B,C không ∆ABC: thẳng hàng AB = AC ˆ ˆ + C =180 B = C ˆ ˆ Â+ B ˆ ˆ C1 > A ˆ ˆ C1 > B ˆ ˆ 180 − A B= ˆ Â=180 −2 B Quan cạnh< Tổng hệ > Hiệu AB=AC cạnh 2cạnh lại ∆ vuông ∆ Đều ∆ABC : ∆ABC : ˆ AB=BC=AC A = 90 ˆ ˆ ˆ A = B = C = 60 ˆ ˆ B + C = 90 BC = AB + AC BC > AB BC > AC AB=BC=AC ∆vuông cân ˆ ∆ABC : A = 90 AB=AC ˆ ˆ B + C = 45 AB=AC= c BC= c µ µ Bài : Cho tam giác ABC có A = 80o , B = 60o Hai tia phân giác góc B C cắt I Vẽ tia phân giác đỉnh B cắt tia CI D Chứng minh góc · µ BDC = C ? µ µ µ HD: Tính góc C = 180o − (A + B) = 180o − (80o + 60o) = 40o · Tính BDC = 180o − (80o + 60o) = 40o A D B I A C B C x µ µ µ µ Bài : Cho tam giác ABC có A = 2B ; B = 3C a/ Tính góc A ;B ; C ? b/ Gọi E giao điểm đường thẳng AB với tia phân giác góc ngồi đỉnh C Tính góc AEC ? Nguyễn Thành Chung 32 Trường THCS Kỳ Ninh E Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Năm học 2014 – 2015 HD : ˆ a/Qui góc C => góc A+B+C =10 C => góc C = 18 ˆ => B = 54 độ ; Â = 108 độ b/ Kẻ tia phân giác CE góc ACx kề bù với góc ACB => góc ACx = 162 độ => ACE = 81 độ ) ) · CAE = B + C =54+18 =72 độ=>gócE =180–(81+72)= 27 độ Bài 8: Cho tam giác ABC có góc A ; B ; C tỷ lệ với ; ; Hỏi tam giác ABC tam giác ? HD : Ta có góc A:B:C=3:2:1 => góc A =90 độ => Tamgiác ABC vuông A Bài 9: Cho tam giác ABC có chu vi 21 cm Độ dài canh số lẻ liên tiếp AB < BC < CA Tim độ dài cạnh tam giác PQR Biết ∆ABC = ∆PQR HD : Gọi độ dài cạnh AB = 2n + ,BC= 2n +3 A CA = 2n +5 Ta có AB+BC+AC= 6n = 12 => n= =>AB= PQ= ;BC=QR=7,CA=RP=9 cm B C Bài 10: Cho tam giác ABC.Biết AB = cm , BC = cm CA = cm Gọi đường thẳng qua A song song với BC a Đường qua B song song với CA b đường thẳng qua C song song vơi AB c Gọi M,N,P theo thứ tự giao điểm đường thẳng b c ; a c ; a b Tìm độ dài cạnh tam giác MNP ? HD : Chứng minh ∆ABC = ∆CNA( gcg ); ∆ABC = ∆BAP = ∆MCB =>Các cạnh tam giác MNP dài gấp đôi cạnh tương ứng tam giác ABC => MN=2AB = 6cm ; NP = 2BC = 10 cm NP =2CA = 8cm A N P C B M Bài 11: Gọi M trung điểm cạnh BC tam giác ABC , kẻ BH ⊥ AM CK ⊥ AM Chứng minh : A a/ BH // CK b/ M trung điểm HK c/ HC // BK ? H HD: B C Nguyễn Thành Chung 33 M Trường THCS Kỳ Ninh Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Năm học 2014 – 2015 a/ BH // CK vng góc với AM b/ ∆BHM = ∆CKM => MH = MK · · c/ ∆HCM = ∆KBM => HCB = KBC ⇒ HC / /BK C Bài 12: Cho tam giác LMN có góc nhọn Người ta vẽ phía ngồi tam giác ba tam giác LMA ; MNB NLC Chứng minh : LB = MC = NA ? HD : ∆AMN = ∆LMB (cgc) => NA = BL ∆ALN = ∆MLC (cgc) => NA = CM L A N M => LB = MC = NA B A ˆ Bài 13: Cho tamgiác ABC có Â = 90 độ ; B = 60 độ Phân giác góc B;góc C cắt tai I AI cắt BC M a/ Chứng minh góc BMC góc tù ? b/ Tính góc BIC ? HD:a/ Góc I > góc A Góc ngồi tam giác BIM B Góc I > góc A góc ngồi tam giác CIM góc I > góc A = 90 độ = > góc BIC góc tù b/ => góc BIC = 180 – 45 = 135 độ I C M µ µ Bài 14 : Cho tam giác ABC có B − C = 20o Tia phân giác góc A cắt BC D Tính số đóc góc ADC ? góc ADB ? A ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ HD : => Ta có D1 = B + A1; D2 = C + A2 => D1 − D2 = B − C = 20 ˆ ˆ ˆ ˆ Mà D1 + D2 = 1800 => D1 = 100 , D2 = 80 B C D ˆ Bài 15 : Cho tam giác ABC có góc B = C Tia phân giác góc B cắt AC D Trên tia đối BD lấy điểm E cho BE = AC Trên tia đối CB lấy điểm K cho CK = AB A Chứng minh : AE = AK ? D HD : Chứng minh góc ABE = góc ACK => ∆ABE = ∆KCA(cgc) => AE = AK B C N E D K E M Bài 16 : Cho tam giác ABC Vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác vng A ∆ ADB ; ∆ACE có AB = AD ; AC = AE Kẻ EH vuông góc BC ; A vng góc DM AH EN vng góc AH Chứng minh Nguyễn Thành Chung 34 Trường THCS Kỳ Ninh B H C Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Năm học 2014 – 2015 a/ DM = AH b/ MN qua trung điểm DE HD : a/ => ∆ADM = ∆BAH => DM = AH b/ => tương tự câu a => EN=AH =>DM=EN Chứng minh DM//EN gọi O giao điểm MN DE => ∆DMO = ∆ENO( gcg ) => OD = OE Bài 17 : Cho tam giác ABC gọi D trung điẻm AB E trung điểm AC Vẽ điểm F cho E trung điểm DF Chứng minh : a/ DB = CF b/ ∆BDC = ∆FCD A BC HD: a/ => ∆AED = ∆CEF (cgc) => AD = CF => BD = CF b/ => ∆DBC = ∆FCD(cgc) 1 c/ => ∆BDC = ∆FCD => BC = DF => DE = DF => DE = BC 2 c/ DE // BC DE = E D F B C Bài 18 : Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm D ; E cho AD = BE Qua D E vẽ đường song song BC chúng cắt AC theo thứ tự M N Chứng minh DM + EN = BC ? A HD: Qua N vẽđường thẳng //AB cắt BC K Tacó EN//BK EB//NK nên chứng minh NK=EB;EN=BK AD= NK ( EB ) N E Chứng minh ∆ADM = ∆NKC (cgc) => DM = KC => B C F Bài 19 : Cho tam giác ABC có Â = 60 Các tia phân giác góc B, góc C cắt I cắt AC ; AB theo thứ tự D ; E Chứng minh : ID = IE ? ˆ ˆ A B + C 120 ˆ ˆ HD : => B1 + C1 = = = 60 2 ˆC = 120 => I = I = 60 ˆ ˆ ∆BIC :=> BI ˆC => I = I = 60 ˆ ˆ IK phân giác BI E ∆BIE = ∆BIK ( gcg ) => IE = IK D I C B ∆CDI = ∆CIK ( gcg ) => ID = IK => ID = IE ˆ ˆ Bài 20 : Cho hai đoạn thẳng AB CD cắt E Các tia phân giác ACE & DBE · · BAC + BDC · cắt K Chứng minh : BKC = ? K HD: Gọi K giao điểm CK&BE H giao điểm BK&DE ˆ ˆ ˆ ˆ Xét ∆KGB & ∆AGC => K + B1 = A + C1 (1) ˆ ˆ ˆ ˆ Xét ∆KHC & ∆DHB => K + C = D + B2 (2) ˆ ˆ ˆ Từ (1) &(2) => K = A + D => Nguyễn Thành Chung ˆ ˆ ˆ A+ D K= 35 D A H G E Trường THCS Kỳ Ninh C B Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Năm học 2014 – 2015 Bài 21 : Cho tam giác ABC với M trung điểm BC Trên nửa mặt phẳng không chứa C bờ AB vẽ Ax vng góc AB lấy D cho AD = AB Trên nửa mặt phẳng không chứa B bờ AC vẽ Ay vng góc AC lấy AE = AC Chứng minh : a/ AM = AD b/ AM ⊥ DE H HD :a/ Để chứng tỏ DE = 2AM tạo đoạn thẳng gấp đôi D AM cách tia đối MA lấy MK = MA chứng minh DE = AK Xét ∆ABK & ∆DAE : AD = AB( gt ); AE = BK (= AC ) · ˆ ˆ ˆ Và DAE + A = 1800 (vì A1 + A = 180 ) (1) · ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ B + B1 = B + C => ABK + A = B + C + A = 180 (vì bù A) (2) DE · · Vậy : ABK = DAE => ∆ABK = ∆DAE => AK = DE => AM = b/ Gọi H giao điểm AM&DE ; Ta có E A B M C · · · ˆ · BAK + DAH = 900 => D + DAH = 900 => ADH = 900 Buổi 13: TAM GIÁC VUÔNG I MỤC TIÊU KT: - Nắm KT tam giác vuông - Chứng minh Tam giác nhau, đoạn thẳng nhau, góc Tính số đo góc KN: - Kĩ suy luận theo sơ đồ suy ngược lùi Kĩ vẽ hình, khai thác hình TĐ: Cẩn thận, sáng tạo II CHUẨN BỊ Gv: Nghiên cứu, soan giáo án, phấn màu, bảng phụ Hs: Dụng cụ học tập III TIẾN TRÌNH Ổn định: Kiểm tra: (Trong giờ) Bài mới: A TAM GIÁC VUÔNG : 1/ Định nghĩa tam giác vuông ? tam giác vuông cân ? 2/ Tính chất : ˆ ˆ - Tam giác ABC : Â=90 độ B + C = 90 ˆ - Định lý PyTago: ∆ABC : A = 90 ⇔ BC = AB + AC - Bộ ba số Py ta go: (3;4;5); (5;12;15);(6;8;10);(8;15;17);(20;21;29) - Các hệ thức tam giác vuông: ˆ ∆ABC : A = 90 ; AH ⊥ BC => AH BC = AB AC AB = BH BC ; AC = CH BC - ; ˆ ∆ABC : A = 90 ; AB = MC AM = BC S AMB = S AMC Nguyễn Thành Chung 36 Trường THCS Kỳ Ninh Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Năm học 2014 – 2015 - Tam giác vng có góc nhọn 60 độ (30 độ) nửa tam giác ( cạnh cạnh huyền ) - Các trường hợp hai tam giác vng nhau: cgv-Chuyền Tốn nâng cao: Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A góc C = 45 độ Vẽ phân giác AD.Trên tia đối AD lấy AE = BC.Trên tia đối CA lấy CF = AB B Chứng minh : a/ BE = CF b/ BE = BF Hướng dẫn: D · · a/ Chứng minh: BAE = BCF = 1350 Ch/minh : ∆BAE = ∆FCB (cgc) ⇒ BE = CF C · A F ˆ ˆ b/ ∆ABF : A = 900 => ABF + F = 900 Mà: · ˆ ˆ ˆ F = B (cmt) => ABF + B = 90 · hay EBF = 900 => BE ⊥ BF E Bài 2: Cho tam giác ABC có BC = AB M trung điểm BC ; D trung điểm BM Chứng minh : AC = AD A Hướng dẫn: Trên tia đối AD lấy DE = DA · => ∆ADB = ∆EMD (cgc) => AB = ME ; ·ABD = EMD => AB = ME= BC => ME = MC (1) Mặt khác: · ¶ ¶ · ˆ · EMA = M1 + M ; CMA = B + BAM (góc ngồi) ¶ ¶ · Mà: M = B (cmt); M = ABM B D M C · · Vậy : AME = AMC (2) AM chung (3) Từ (1),(2) và(3) suy ∆MCME = ∆AMC => AE = AC => AC = 2AD E µ Bài 3: Cho tam giác ABC vuông A B = 60o Vẽ tia C x ⊥ BC lấy CE = CA ( CE CA phía với BC) Kéo dài CB lấy F cho BF = BA Chứng minh : a/ ∆ACE b/ E,A,F thẳng hàng ? E Hướng dẫn: a/ Ta có CA = CE (gt) => ∆CEA cân Chứng minh tiếp góc ACE = 60 độ A Suy : ∆CAE b/ Ta có : BA = BF (gt) => ∆BFAcan Suy : góc BA F = 30 độ; F ˆ ˆ ˆ C Vậy: FBA + BAC + CAE = 30 + 90 + 60 = 180 B Ta suy ba điểm F;A;E thẳng hàng EAF Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A Tia phân giác góc B C cắt O Qua O kẻ đường song song BC,cát AB D cắt AC E Chứng minh : A a/ Góc BOC khơng đổi b/ DE = DB + EC D O E Nguyeãn Thành Chung 37 B Trường THCS Kỳ Ninh C Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Năm học 2014 – 2015 HD: · ˆ ˆ a/ BOC = 1800 − (B2 + C2 ) = 180 − 450 = 1350 b/ ∆DBOcan => DB = DO ∆EOC can => EC = EO Vậy DB + EC = DO + OE = DE Bài : Cho tam giác ABC: Góc B = góc C Kẻ AH vng góc BC (H thuộc BC) Trên tia đối BA lấy BE = BH Đường thẳng EH cắt AD F Chứn minh : FH = FA = FC A ˆ ˆ Hướng dẫn: Ta có BH= BE => ∆ BEH cân => E = H ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Mà H = H => & B = H = B = H => H + C Vậy tam giác FHC cân =>HF = HC (1) F ˆ ˆ ˆ Mặt khác : Â = 90 −C & AHF = 90 − H Vậy tam giác FAH cân => FA = FH (2) B C Từ (1) (2) => HF = FA = FC H E Bài 6: Cho tam giác ABC :góc A = 90 độ.Ở miềm ngồi tam giác vẽ tam giác vuông cân ABD, AC F ( AB = BD AC = CF) a/ Chứng minh : D,A,F thẳng hàng ? b/ Từ A F kẻ đường D D ' , FF ' vng góc xuống BC A Chứng minh : DD ' + FF ' = BC E HD: a/ Â = 45+90+45 = 90 độ=>A,D,F thẳng hàng F ∆DBD ' = ∆BAH => DD ' = BH b/ Kẻ AH ⊥ BC => ∆CFF ' = ∆AHC => FF ' = HC B => DD ' + FF ' = BH + HC = BC C · Bài 7: Cho ∆ABC : BAC = 1200 Kẻ AD phân giác góc A Từ A hạ DE ⊥ AB;DF ⊥ AC a/ Tam giác DE F tam giác ? b/ Qua C vẽ đường thẳng // AD cắt AB M, tam giác ACM tam giác ? HD: A a/ Chứng minh DE = DF góc EDF = 60 độ => ∆ F b/Tam giác ACM E B C A D Bài 8: Tam giác ABC có AB > AC Từ trung điểm M BC kẻ đường thẳng vng góc với tia phân giác góc A cắt tia phân giác H cắt AB,AC E F Chứng minh rằng: a/ BE = CF c/ góc BME = b/ AE = · ˆ ACB − B AB + AC AB − AC ; BE = 2 E B HD: a/ Chứng minh góc F = góc E Nguyễn Thành Chung 38 M C Trường THCS Kỳ Ninh F Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Kẻ CD // AB =>BE = CD (1) Mà ∆ CDF cân => CF = CD (2) => BE = CF b/ Ta có AE = AB - BE Mà AE = A F = AC+CF =>2AE = AB+AC ; AE = AB − AC · · · µ ˆ ˆ CEF = ACB- F BME = E - B · ˆ ACB- B · · · ˆ 2BME = ACB- B => BME = Naêm hoïc 2014 – 2015 AB + AC Tương tự : 2BE = AB – AC => BE = c/ Ta có : Buổi 14: TAM GIÁC CÂN I MỤC TIÊU KT: - Nắm KT tam giác cân - Chứng minh Tam giác nhau, đoạn thẳng nhau, góc KN: - Kĩ suy luận theo sơ đồ suy ngược lùi Kĩ vẽ hình, khai thác hình Tính số đo góc TĐ: Cẩn thận, sáng tạo II CHUẨN BỊ Gv: Nghiên cứu, soan giáo án, phấn màu, bảng phụ Hs: Dụng cụ học tập III TIẾN TRÌNH Ổn định: Kiểm tra: (Trong giờ) Bài mới: BỔ SUNG KIẾN THỨC: Trong tam giác vng có góc nhọn 30 độ cạnh đối diện với góc nửa cạnh huyền Một tam giác vng có góc nhọn 30 độ (hay 60 độ) tam giác vng nửa tam giác đều.Cạnh đối diện góc vng cạnh tam giác cạnh đối diện góc nhọn 60 độ chiều cao tam gióc Trong tam giác vng có cạnh góc vng nửa cạnh huyền góc đối diện cạnh với cạnh góc vng 30 độ Trong tam giác cân: - Hai trung tuyến ứng với 2cạnh bên - Hai phân giác ứng với cạnh bên - Hai đường cao ứng với cạnh bên TOÁN CHO HS GIỎI: A Bài 9: Cho tam giác nhọn ABC có góc Â= 60 độ Đường cao BD Gọi M,N trung điểm AB ; AC a/ Xác định dạng tam giác BMD? Tam giác AMD? M b/ Trên tia AB lấy điểm E cho AE = AN Chứng minh CE vng góc AB ? E Nguyễn Thành Chung 39 N D Trường THCS Kỳ Ninh B C Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Năm học 2014 – 2015 HD: Xét tam giác vng ABD có DM trung tuyến ứng với cạnh huyềnAB nên: MD = MA = MB = AB:2 => Tam giác ABD tam giác AMD cân Mà Â=60 độ => tam giác AMD b/ Xét tam giác AEN có AE = AN => tam giác AEN cân + Â = 60 độ => tam giác AEN =>EN = NA = CN = AC : Vậy tam giác EAC có trung tuyến EN = AC:2 =>tam giác EAC vng E => CE vng góc AB Bài 10: Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh BC lấy điểm M,N cho BM = BA ; CN = CA Tính góc MÂN ? B HD : N ˆ ˆ = 180 − B Tam giác BAM cân B => M M ˆ 180 − C ˆ Tam giác CAN cân C=> N = · ˆ + N ) = 180 − 135 = 450 ˆ Vậy : MAN = 180 − (M1 C A Bài 11: Cho tam giác ABC đường cao AH trung tuyến AM chia góc A thành góc A a/ Chứng minh tam giác ABC vuông ? b/ Tam giấcBM tam giác ? HD: I a/ Vẽ MI vng góc AC Chứng minh ∆MAI = ∆MAH(C.h + g.n) => BH = MH = · ˆ => C = 300 & HAC = 60 1 BM = MC 2 B H M C Vậy BÂC= (60.3) : = 900 => Tam giác ABC vuông A b/ Ta có góc C = 300 ; góc B = 600 ; AM = BM = 1/2BC => tam giác ABM cân có góc 60 độ => tam giác ABM Bài 12: Cho tam giác ABC có góc B = 750 ,góc C = 600 Kéo dài BC đoạn CD cho CD = 1/2BC Tính góc ADB ? A HD: - Kẻ BH vng góc AC Xét tam gica vng BHC vng H góc C=60 độ ˆ => B1 = 300 => CH = BC => CH = CD H 1· ˆ => ∆CDH cân ⇒ D1 = ACB = 300 => ∆HDB cân => HB = HD (1) B - Xét tam giác HAB vng H có góc B2 =75-30=450 =>tam giác HAB vuông cân=>HA=HB(2) Từ (1) (2) => HD=HA=>Tam giác HAD cân Nguyễn Thành Chung 40 C Trường THCS Kỳ Ninh D Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Năm học 2014 – 2015 ˆ ˆ ˆ Ta suy D2 = H = 15 => ADB = 30 + 15 = 45 Buổi 15: ĐỊNH LÝ PY-TA-GO I MỤC TIÊU KT: - Nắm KT tam giác vuông, định lí Pytago - Chứng minh Tam giác nhau, đoạn thẳng nhau, góc Tính độ dài đoạn thẳng KN: - Kĩ suy luận Kĩ vẽ hình, khai thác hình TĐ: Cẩn thận, sáng tạo II CHUẨN BỊ Gv: Nghiên cứu, soan giáo án, phấn màu, bảng phụ Hs: Dụng cụ học tập III TIẾN TRÌNH Ổn định: Kiểm tra: (Trong giờ) Bài mới: KIẾN THỨC BỔ SUNG: Trong tam giác vng cân có cạnh bên băng a cạnh huyền a 2 Khoảng cách giải điểm mựt phẳng toạ độ: A( x1 ; y1 ); B ( x ; y ) => AB = ( x − x1 ) + ( y − y1 ) => AB = ( x − x1 ) + ( y − y1 ) Bài 13: Cho tam giác ABC có AB = 24 ; BC = 40 AC = 32 Trên cạnh AC lấy M cho AM =7 Chứng minh : A a/ Tam giác ABC vng ? M b/ góc AMB = 2góc C 24 HD: 32 a/ Tam giác ABC có: BC = 40.40 = 1600 AB + AC = 24.24 + 32.32 = 1600 C B Vậy AB2 + AC2 = BC = 1600 => ∆ABC vuông tai A 40 b/ Chứng minh ram giác MBC cân : BM= 242 − = 25 ⇒ AC − AM = 32 − = 25 Suy : góc MBC=góc C Mà góc AMB=góc MBC+góc C ( góc ngồi) Vậy góc AMB = góc C Bài 14: Cho tam giác ABC có AB = 25; AC = 26 Đường cao AH = 24 Tính BC? A A 25 24 26 24 25 26 B C C H H B (H1) (H.2) - Tính HB = ; HC = 10 - Nếu góc B nhọn =>H nằm BC => BC = BH + HC = 10 + = 17 (h1) - Nếu góc B tù => H nằm BC => BC = HC – HB = 10 – 7= (h2) Nguyễn Thành Chung 41 Trường THCS Kỳ Ninh Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Năm học 2014 – 2015 Bài 15: Độ dài hai cạnh góc vng tam giác vuông tỷ lệ 15 Cạnh huyền 51 cm Tính độ dài cạnh góc vng ? HD: Giả sử tam giác ABC vuông A => AB = 8k AC = 15k Ta có AB + AC = (8k ) + (15) = 512 => 289k = 2601 => k = Vậy AB = 8.3 = 24 m AC = 15.3 = 45 m A Bài 16: Cho tam giác ABC vng A Đường cao AH,trên lấy điểm D Trên tia đối HA lấy E cho HE=AD Đường vng góc AH D cắt AC F B Chứng minh EB vng góc E F ? HD: Vì AD = HE => AH = DE Áp dụng Định lý Py ta go vào tam giác vuông ABF ; ABH;ADF;BHE;DE F ta được: F D H C E BF = AB + A F = ( BH + AH ) + ( AD + DF ) BF = HB + DE + HE + DF = ( BH + HE ) + ( DE + DF ) = BE + E F Vậy theo định lý đảo Py ta go => tam giác BE F vuông E => EB vng góc EF Bài 17: Một tre cao m Bị gãy ngang thân Ngọn chạm đất cáh gốc 3m Hỏi điểm gãy cách gốc mét ? HD : Gọi AB chiều cao tre Điểm gãy C Ngọn cham đất cách gốc m điểm C CB = CD Tam giác vng ACD có : AC2 + AD2 = CD2 x + 32 = (9 − x) => x = 4m B C x? A D Bài 18: Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A(5;4); B(2;3) C(6;1) Tính góc tam giác ABC ? y HD A(5;4) Ta có : AB2 = (5 – 2)2 + (4 – 3)2 = 10 (1) B(2;3) AC2 = (5 – 6)2 + (4 – 1)2 = 10 (2) BC2 = (6 – 2)2 + (1 – 3)2 = 20 Từ (1) (2) => tam giác ABC cân AB2 + AC2 = BC2 =20 C(6;1) µ = 90o ; µ = C = 45o µ Vậy A B x O Buổi 16: CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC VUÔNG I MỤC TIÊU KT: - Nắm KT tam giác cân Nguyễn Thành Chung 42 Trường THCS Kỳ Ninh Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Năm học 2014 – 2015 - Chứng minh Tam giác nhau, đoạn thẳng nhau, góc KN: - Kĩ suy luận theo sơ đồ suy ngược lùi Kĩ vẽ hình, khai thác hình Tính số đo góc TĐ: Cẩn thận, sáng tạo II CHUẨN BỊ Gv: Nghiên cứu, soan giáo án, phấn màu, bảng phụ Hs: Dụng cụ học tập III TIẾN TRÌNH Ổn định: Kiểm tra: (Trong giờ) A Bài mới: Bài 19: Cho tam giác ABC Trung tuyến AM phân giác a/ Chứng minh tam giác ABC cân b/ Cho AB = 37; AM = 35 Tính BC ? HD: a/ Vẽ thêm MH vng góc AB & MK vng góc AC K H Chứng minh ∆HAM = ∆KAM(ch + gn) => MH = MKA B C ˆ ˆ ∆HMB = ∆KMC(ch + cgv) => B = C => ∆ABC cân A M b/ Tam giác ABC cân =>AH ⊥ BC A =>BM = AB − AM = 12 => BC = 24 Bài 20: Cho tam giác có ba đường cao a/ Chứng minh tam giác ? b/ Cho biết đường cao có độ dài a F E Tính độ dài cạnh tam giác đó? HD.(H.2) Tam giác ABC có ba đường cao B D là: AD = BE = C F ˆ ˆ ˆ ˆ a/ Ta chứng minh ∆FBC = ∆ECB(ch + cgv) => B = C ; => C = A => ∆ABCdeu b/ Gọi độ dài cạnh x.Xét tam giac ADC vuông D có AC = AD + CD => x = a C µ Bài 21: Cho tam giác ABC cân A A = 80o Gọi O điểm nằm tam giác · · cho OBC = 30o ;OCB = 10o Chứng minh ∆COA cân ? M M A A O B O (H.1) B C C ( H.2) µ µ µ HD ( Xem H.1) Tam giác ABC cân góc A = 80o ⇒ B = C = 100o : = 50o Vẽ thêm tam giác BCM9 M,A thuộc nửa mặt phẳng bờ BC) Nguyễn Thành Chung 43 Trường THCS Kỳ Ninh Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Năm học 2014 – 2015 góc MCA=60 – 50 =10 độ · · ∆AMB = ∆AMC(c.c.c) => AMB = AMC = 600 : = 300 ∆ OBC = ∆ AMC(g.c.g) => CO = CA => ∆ COA cân Buổi 17: BIỂU THỨC ĐẠI SỐ – GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ I MỤC TIÊU KT: - Nắm KT BTĐS - Biến đổi BTĐS, cộng, trừ đa thức KN: - Học sinh hiểu, vận dung kiến thức để tính tốn biểu thức, chứng minh hệ thức, biến đổi biểu thức TĐ: Cẩn thận, sáng tạo II CHUẨN BỊ Gv: Nghiên cứu, soan giáo án, phấn màu, bảng phụ Hs: Dụng cụ học tập III TIẾN TRÌNH 1.Ổn định: 2.Kiểm tra: (Trong giờ) 3.Bài mới: Bài 1: Tính giá trị biểu thức : A = x2 + 4xy – 3y3 với x = 5; y = 4x − 4y + Bài 2: Cho x – y = 9, tính giá trị biểu thức : B = x + y − y + x x ≠ - 3y ; y ≠ - 3x) Bài 3: Tính giá trị biểu thức sau : x ( x + y )( x − y )( x + y )( x + y ) a) A = với x = y = x 16 + y 16 b) B = 2m2 – 3m + với m = c) C = 2a2 – 3ab + b2 với a = b = Bài 4: Xác định giá trị biến để biểu thức sau có nghĩa : ax + by + c xy − y 6x + x − Bài 5: Tính giá trị biểu thức : N= 2x − a) x +1 x2 − b) x −1 x2 +1 c) Bài : Tìm giá trị biến để : a)A= (x + 1)(y2 – 6) có giá trị với x = b) B = x2 – 12x + có giá trị 5x + y x y Bài : Tính giá trị biểu thức sau : A = với = 2 10 x − y Bài 8: Cho x, y, z ≠ x – y – z = Tính giá trị biểu thức z  x  y  B = 1 − 1 − 1 +    x  y  z  Bài 9: a) Tìm GTNN biểu thức C = ( x+ 2)2 + ( y - ) – 10 b) Tìm GTLN biểu thức sau : D = Nguyễn Thành Chung ( x − 3) + 44 Trường THCS Kỳ Ninh Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Bài 10: Cho biểu thức E = Năm học 2014 – 2015 5− x Tìm giá trị nguyên x để : x−2 a) E có giá trị nguyên b) E có giá trị nhỏ Bài 11: Tìm GTNN biểu thức sau : a) (x – 3)2+ b) (2x + 1)4 – c) (x2 – 16)2 + y − - Bài 12: Tìm GTNN biểu thức :A = x − + x − 10 Bài 13: Tìm giá trị nguyên x ,để biểu thức sau nhận giá trị nguyên : A= 10 x + 15 5x + Bài 14: Cho f(x) = ax + b a, b ∈ Z Chứng minh khơng thể đồng thời có f(17) = 71 f(12) = 35 Bài 15: Cho f(x) = ax2 + bx + c Chứng minh khơng có số nguyên a, b, c làm cho f(x) = x = 1998 f(x) = x = 2000 Bài 16: Chứng minh biểu thức P = x8 – x5 + x2 – x + nhận giá trị dương với giá trị x Bài 17: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức : B = x − − x + với x ≤ 11 Bài 18: Chứng minh đẳng thức sau : a) x2 – y2 = (x+ y) (x- y) b) x3 + y3 = (x+ y) ( x2 – xy + y2) c) a(a – b) – b(b- a) = a2 – b2 d) a( b- c) – b(a + c) + c( a – b) = - 2bc e) a( 1- b) + a( a2 – 1) = a (a2- b) f) a(b – x) + x(a + b) = b( a + x) Bài 20: Rút gọcn biểu thức đại số sau : a) A = ( 15x + 2y) - [ ( x + 3) − ( x + y ) ] b) B = - (12x + 3y) + (5x – 2y) - [13 x + ( y − 5) ] Bài 21: Đặt thừa số chung để viết tổng sau thành tích : a) ab + bd – ac – cd b) ax + by – ay – bx 2 c) x – xy – xy + y d) x2+ 5x + Bài 22: Chứng tỏ : a) Biểu thức x2 + x + luôn có giá trị dương với giá trị x b) Biểu thức – 2x2 + 3x – không nhận giá trị dương với giá trị x Bài 23*: Tìm x, y số hữu tỷ biết rằng: x c) x + = y − x x a) x + = b) x + = d) (x-2) 25n + + y- 2= Bài 24: Tìm x, y số nguyên biết: a) y = x+2 x −1 b*) y = (n ∈ N) 2x − x +1 Buổi 18: ĐƠN THỨC, ĐƠN THỨC ĐỒNG DẠNG I MỤC TIÊU KT: - Nắm KT BTĐS - Biến đổi BTĐS, cộng, trừ đa thức Nguyễn Thành Chung 45 Trường THCS Kỳ Ninh Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Năm hoïc 2014 – 2015 KN: - Học sinh hiểu, vận dung kiến thức để tính tốn biểu thức, chứng minh hệ thức, biến đổi biểu thức TĐ: Cẩn thận, sáng tạo II CHUẨN BỊ Gv: Nghiên cứu, soan giáo án, phấn màu, bảng phụ Hs: Dụng cụ học tập III TIẾN TRÌNH Ổn định: Kiểm tra: (Trong giờ) Bài mới: Bài tập Bài 1: Cộng trừ đơn thức : a)3a2 b+ (- a2b) + 2a2b – (- 6a2b) b)(-7y2) + (-y2) – (- 8y2) c)(-4,2p2) + ( - 0,3p2) + 0,5p2 + 3p2 d) 5an + (- 2a)n + 6an Bài 2: Thực phép tính sau : a) x x 3x + + 2 b) 3ab ac – 2a.abc - a bc 2 2  c)  ac  c2 - a2.(c.c)2 + ac2.ac - a2c2 3  Bài 3: Cho đơn thức A = x2y B = xy2 Chứng tỏ x,y ∈ Z x + y chia hết cho 13 A + B chia hết cho 13 Bài 4: Cho biểu thức : P = 2a2n+1 – 3a2n + 5a2n+1 – 7a2n + 3a2n+1+ ( n ∈ N).Với giá trị a P > Bài 5: Cho biểu thức: Q = 5xk+2 + 3xk + 2xk+2 + 4xk + xk+2 + xk ( k ∈ N) Với giá trị x k Q < Bài 6: Tìm x biết : xn – 2xn+1 + 5xn – 4xn+1 = ( n ∈ N; n ≠ 0) Bài 7: Biết A = x2yz , B = xy2z ; C = xyz2 x+ x + z = Chứng tỏ A + B + C = xyz Bài 8: Tìm đơn thức đồng dạng với đơn thức sau: x y ;−3 x y;4 x ;5; ax5 y ; x y Bài 9: Tính tổng : 5 a) y z − y z + y z Bài 10: Rút gọn biểu thức sau : a) 10n+1- 66.10n c) 90.10k – 10k+2 + 10k+1 b) axy −bxy + xy 3 b) 2n+ + 2n +2 – 2n + + 2n d) 2,5.5n – 10 + 5n – 6.5n- Nâng cao Bài 1: Cho biểu thức M = 3a2x2 + 4b2x2- 2a2x2 – 3b2x2 + 19 ( a ≠ 0; b ≠ 0) Tìm GTNN M Nguyễn Thành Chung 46 Trường THCS Kyø Ninh ... sáng tạo II CHUẨN BỊ Gv: Nghiên cứu, soan giáo án, phấn màu, bảng phụ Hs: Dụng cụ học tập III TIẾN TRÌNH Ổn định: Nguyễn Thành Chung 27 Trường THCS Kỳ Ninh Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán. .. Trường THCS Kỳ Ninh Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 1 1 + + + + 97 99 a) A = 1 1 + + + + + 1.99 3. 97 5.95 97. 3 99.1 Năm học 2014 – 2015 1 1 + + + + 100 b) B = 99 98 97 + + + + 99 1+ Hướng... 29 Trường THCS Kỳ Ninh Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Năm học 2014 – 2015 Buổi 11: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ THẬP PHÂN- SỐ THỰC- CĂN BẬC HAI I MỤC TIÊU KT: - Nắm KT phép toán tập hợp SHT, khai CBH