CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN TOÁN LỚP 12 CÁC CHUYÊN ĐỀ :  HÀM SỐ  PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT  CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN  SỐ PHỨC  PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU-PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN Chủ đề tự chọn 12 Tổ: Toán - Tin Kỹ Năng Cơ Bản Giải Đề Thi TNTHPT Câu I 1. Khảo sát hàm số: Yêu cầu đủ đúng các bước trong bài toán KSHS. a. Tập xác định. b. Sự biến thiên  Giới hạn; đường tiệm cận(nếu có)  Tính y’; xét dấu y’  Kết luận về sự đồng biến và nghịch biến; cực trị của hàm số (* Chú ý)  Lập bảng biến thiên. c. Đồ thị  Dựa vào bảng biến thiên xác định đơn vị và vẽ hệ trục tọa độ cho hợp lí.  Khi vẽ đồ thị phải vẽ hết mặt phẳng tọa độ 2. Bài toán liên quan 2.1 Tiếp tuyến: Biết tọa độ tiếp điểm( hoặc tìm được tọa độ tiếp điểm). Biết hoặc tìm được hệ số góc. 2.2: Tương giao giữa hai đồ thị: Biến đổi phương trình làm xuất hiện hàm số vừa khảo sát. 2.3 Bài toán về sự đồng biến; nghịch biến: Lưu ý định lí mở rộng 2.4 Bài toán về cực trị: Sử dụng dấu hiệu 1 và 2 Dạng toán: Tìm cực trị; viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị; tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị. 2.5 Các điểm đặc biệt: Điểm có tọa độ nguyên. Điểm cách đều hai trục tọa độ; điiểm cách đều hai đường tiệm cận. Câu II: 1: Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit  Hàm số: Tính đồng biến; nghịch biến và dạng của đồ thị  Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit Học sinh cần giải các phương trình; bất phương trình đơn giản; có thể đưa về dạng cơ bản(Bằng các phép biến đổi đã học) 2. GTLN; GTNN của hàm số: Cần nắm vững qui trình tìm giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng; đoạn. 3. Nguyên hàm, tích phân: Lưu ý : Kĩ năng nhận dạng ⇒ chọn phương pháp hợp lí. Chú ý các dạng bài tập tích hợp nhiều phương pháp (Sau khi biến đổi ra hai tích phân độc lập và sử dụng hai phương pháp riêng biệt) Câu III:  Kĩ năng vẽ hình. Tính diện tích; khoảng cách; thể tích (viết công thức tính; thay các yếu tố đã biết)  Kĩ năng tính độ dài đoạn thẳng(ghép vào tam giác; chọn tam giác phù hợp) Câu IV: Rèn luyện: Kĩ năng tính tọa độ vectơ; điểm. Kĩ năng viết phương trình mặt cầu; ptđt; ptmp. Ghi nhớ chính xác công thức tính góc; khoảng cách; thể tích; diện tích. Câu V 1. Số phức: Ôn tập như trong SGK 2. Ứng dụng của tích phân: Ôn tập như trong SGK - 2 - Tổ: Toán – Tin Chủ đề tự chọn 12 Chủ đề I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM Vấn đề 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Tính đơn điệu của hàm số B1: Tìm tập xác định của hàm số B2: Tính đạo hàm của hàm số. Tìm các điểm x i (i = 1; 2;…;n) mà tại đó y’=0 hoặc không xác định. B3: Sắp xếp các điểm x i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. B4: dựa vào định lý sau để Nêu kết luận về các khoảng đồng biến; nghịch biến. Định Lý: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. • Nếu f '(x) > 0, x K ∀ ∈ thì y = f(x) đồng biến trên K. • Nếu f '(x) < 0, x K∀ ∈ thì y = f(x) nghịch biến trên K. *Chú ý: Nếu f ′ (x) = 0, x K ∀ ∈ thì f(x) không đổi trên K. Loại 1: Xét sự biến thiên của hàm số  Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số: a) y = x 3 – 3x 2 + 2 b) y = − x 4 + 4x 2 – 3 c) 1 2 + = − x y x d) 3 2 =y x e) y = x – e x Loại 2: Chứng minh hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng xác định.  Chứng minh hàm số 2 2= −y x x nghịch biến trên đoạn [1; 2] Chứng minh hàm số 2 9= −y x đồng biến trên nửa khoảng [3; + ∞ ). Dạng 2. Tìm giá trị của tham số để một hàm số cho trước đồng biến; nghịch biến trên khoảng xác định cho trước Phương pháp:  Sử dụng qui tắc xét tính đơn điêu của hàm số.  Sử dụng định lí dấu của tam thức bậc hai.  f(x) đồng biến trên K ⇔ f’(x) ≥ 0; ∀x ∈ K ( ⇔ x K min f'(x) 0 ∈ ≥ )  f(x) nghịch biến trên K ⇔ f’(x) ≤ 0; ∀x ∈ K ( ⇔ x K max f'(x) 0 ∈ ≤ ) Hàm số bậc 3  Tập xác định  Đạo hàm y / ( y’ = 0 ⇔ ax 2 + bx + c = 0)  Hàm số tăng trên  (từng khoảng xác định): y / ≥ 0; ∀x ∈  ⇔ 0 0 >   ∆ ≤  a . Giải Tìm m.  Hàm số giảm trên  (từng khoảng xác định): y / ≤ 0; ∀x ∈  ⇔ 0 0 <   ∆ ≤  a . Giải Tìm m. Chú ý: Nếu hệ số a của y / có tham số thì phải xét khi a = 0 Hàm số nhất biến : + = + ax b y cx d  Tập xác định  Đạo hàm y /  Hàm số tăng (giảm) trên từng khoảng xác định : y / > 0 ( y / < 0 ) ⇔ ad − bc (tử) > 0 (<0) Chú ý : Nếu hệ số c có chứa tham số ta xét thêm c = 0 Tổng quát: “Tìm m để hàm số y = f(x;m) đồng biến trên K”. B1. Tính đạo hàm f’(x;m). B2. Lý luận: Hàm số đồng biến trên K ⇔ f’(x;m) ≥ 0; ∀x ∈ K ⇔ m ≥ g(x); ∀x∈K (m ≤ g(x)) B3. Lập BBT của hàm số g(x) trên K. Từ đó suy ra giá trị cần tìm của tham số m.  Tìm giá trị của tham số a để hàm số 3 2 1 ( ) ax 4 3 3 = + + +f x x x đồng biến trên . - 3 - Chủ đề tự chọn 12 Tổ: Toán - Tin  Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 1 2 2 2 2 5 3 −   = − − + − +  ÷   m y x m x m x a. Định m để hàm số luôn luôn đồng biến; b. Định m để hàm số luôn luôn nghịch biến  Định m để hàm số 2 2 2 3 2 − + = − x mx m y x m đồng biến trong từng khoảng xác định .  Tìm m để hàm số ( ) ( ) 3 2 1 1 3 2 3 3 = − − + − + mx y m x m x luôn đồng biến trên   Định m để hàm số: 2 1 = + + − m y x x đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. Dạng 3. Sử dụng chiều biến thiên để chứng minh BĐT (nâng cao)  Đưa BĐT về dạng f(x)>0 (hay f(x)≥ 0);∀x∈(a;b)  Tính f’(x); xét dấu f’(x) suy ra f(x) đồng biến (hay nghịch biến trên (a;b)  Áp dụng định nghĩa: f(x) đồng biến ⇔ x 1 < x 2 ⇒ f(x 1 ) < f(x 2 ); f(x) nghịch biến ⇔ x 1 < x 2 ⇒ f(x 1 ) > f(x 2 )  Kết luận BĐT cần phải chứng minh. ( f(x) đồng biến / [a; b] thì f(a) ≤ f(x) ≤ f(b); f(x) nghịch biến /[a; b] thì f(a) ≥ f(x) ≥ f(b)) 1) Chứng minh: sinx + tanx > 2x với mọi x ∈ K = 0; 2    ÷   π Giải: Xét f(x) = sinx + tanx – 2x liên tục /K ta có 2 1 f'(x) = cos 2 cos + −x x . ∀x ∈ K ta có 0< cosx <1 ⇒ cosx > cos 2 x nên f’(x) > cos 2 x + 2 1 cos x − 2 = 2 2 2 (cos 1) cos −x x >0 ⇒ f đồng biến/ 0; 2    ÷   π ⇒ f(x) > f(0) ∀x 0; 2   ∈  ÷   π ⇒ ĐPCM 2) CMR: a) f(x) = 2sinx + tanx −3x tăng trên 0; 2   ÷    π . b) 2sin tan 3 , 0; 2   + > ∀ ∈  ÷   x x x x π . a) Hàm số liên tục trên 0; 2   ÷    π và f’(x) = ( ) ( ) 2 2 1 cos 2cos 1 0, 0; 2cos x x x x π − +   > ∀ ∈  ÷   ⇒ Kết quả. b) Từ câu a) suy ra f(x) > f(0) = 0; 0; 2   ∀ ∈  ÷   x π 2sin tan 3 , 0; 2   ⇔ + > ∀ ∈  ÷   x x x x π (đpcm). 3) CMR: a) f(x) = tanx − x đồng biến trên 0; 2   ÷    π . b) 3 tan , 0; 3 2   > + ∀ ∈  ÷   x x x x π . Vấn đề 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Dạng 1. Tìm cực trị của hàm số Phương pháp: Dựa vào 2 qui tắc để tìm cực trị của hàm số y = f(x) Qui tắc I B1: Tìm tập xác định. B2: Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định. B3. Lập bảng biến thiên. B4: Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị Qui tắc II B1: Tìm tập xác định. B2: Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 và kí hiệu là x i là các nghiệm của nó. B3: Tính f ”(x i ) B4: Dựa vào dấu của f ” (x i ) suy ra cực trị  f ”(x i ) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại x i ;  f ”(x i ) < 0 thì hàm số có cực đại tại x i - 4 - Tổ: Toán – Tin Chủ đề tự chọn 12 Chú ý: Qui tắc 2 thường dùng với hàm số lượng giác hoặc việc giải phương trình f’(x) = 0 phức tạp. Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số 3 2 2 3 36 10= + − −y x x x Qui tắc I D =  2 2 ' 6 6 36 2 ' 0 6 6 36 0 3 = + − =  = ⇔ + − = ⇔  = −  y x x x y x x x Vậy x = −3 là điểm cực đại và y cđ =71 x= 2 là điểm cực tiểu và y ct = − 54 Qui tắc II D =  2 2 ' 6 6 36 2 ' 0 6 6 36 0 3 = + − =  = ⇔ + − = ⇔  = −  y x x x y x x x y”= 12x + 6 y’’(2) = 30 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và y ct = − 54 y’’(−3) = −30 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = −3 và y cđ =71 Tìm cực trị của các hàm số sau:  2 3 4 3 3 2 4 2 3 2 3 . y = 10 + 15x + 6x b. y = x 8 432 . y = x 3 24 7 d. y = x 5x + 4 e. y = 5x + 3x 4x + 5 f. y = x 5x − − + − − + − − − − − a x x c x x  2 2 2 2 2 x+1 x 5 (x - 4) x 3 3 . y = b. y = c. y = . y = 1 1x 8 2 5 + − − + + −+ − + x x a d x xx x  2 2 2 2 x+1 5 - 3x x . y = x 4 - x b. y = c. y = . y = e. y = x 3 - x x 1 1 - x 10 - x+ a d * . sin 2 +2 . 3 2cos cos2 . 2sin cos 2 ( [0; ])= − = − − = + ∈a y x x b y x x c y x x x π Dạng 2. Xác lập hàm số khi biết cực trị I) điều kiện sao cho hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x = a B1: Tính y’ = f’(x) B2: '( ) 0 ''( ) 0 f a f a =   ≠  tìm được giá trị của m B3: Thử lại giá trị a có thoả mãn điều kiện đã nêu không ( vì hàm số đạt cực trị tại a thì f’(a) = 0 không kể CĐ hay CT) II) điều kiện sao cho hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x = a '( ) 0 ''( ) 0 f a f a =    p tìm được giá trị của m III) điều kiện sao cho hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x = a '( ) 0 ''( ) 0 f a f a =    f tìm được giá trị của m IV) Điều kiện để hàm bậc 3 có cực trị (có cực đại, cực tiểu) y’=0 có 2 nghiệm phân biệt 0 0a ∆  ⇒  ≠  f V) Điều kiện để hàm bậc 4 có 3 cực trị Y’=0 có 3 nghiệm phân biệt Ví dụ 1. Tìm m để hàm số y = x 3 – 3mx 2 + ( m − 1)x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2 Ta có 2 ' 3 6 1= − + −y x mx m . Hàm số đạt cực trị tại x = 2 thì y’(2) = 0 2 3.(2) 6 .2 1 0 1⇔ − + − = ⇔ =m m m - 5 - +∞ − ∞ − 54 71 + + − 0 0 2 − 3 + ∞ −∞ y y' x Chủ đề tự chọn 12 Tổ: Toán - Tin Với m = 1 ta được hàm số: y = x 3 – 3x 2 + 2 có : 2 0 ' 3 6 ' 0 2 =  = − ⇒ = ⇔  =  x y x x y x tại x = 2 hàm số đạt giá trị cực tiểu . Vậy m = 1 là giá trị cần tìm  Xác định m để hàm số y = mx 3 + 3x 2 + 5x + 2 đạt cực đại tại x = 2.  Tìm m để hàm số 3 2 2 ( ) 5 3 = − + − +y x mx m x có cực trị tại x =1. Đó là CĐ hay CT  Tìm m để hàm số 2 1+ + = + x mx y x m đạt cực đại tại x = 2.  Tìm m để hàm số y = x 3 – 2mx 2 + m 2 x – 2 đạt cực tiểu tại x = 1.  Tìm các hệ số a; b; c sao cho hàm số f(x) = x 3 + ax 2 + bx + c đạt cực tiểu tại điểm x = 1; f(1) = −3 và đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2. Dạng 3. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp Hàm sô y = f(x) có y’ = 0 ⇔ ax 2 + bx + c=0 có 2 nghiệm phân biệt.  hàm số có 2 cực trị ' 0 0 ≠   ⇔  ∆ >   y a .  hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục Ox khi y CĐ .y CT < 0.  hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục Oy khi x CĐ .x CT < 0.  hai cực trị nằm phía trên trục Ox khi 0 . 0 + >   >  CĐ CT CĐ CT y y y y .  hai cực trị nằm phía dưới trục Ox khi 0 . 0 + <   <  CĐ CT CĐ CT y y y y .  đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành khi y CĐ .y CT = 0 1. Tìm m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu a) y = (m + 2)x 3 + 3x 2 + mx + m (−3 < m < 1 và m ≠ 2); b) y = 2 2 2 2 1 + + + x m x m x (−1<m<1) 2. Tìm m để các hàm số sau không có cực trị a) y = (m − 3)x 3 − 2mx 2 + 3. b) y = 2 + + + mx x m x m (m=0) 3*. Cho ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 1 2 7 2 2 2= − + + + + − +y x m x m m x m m . Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại; cực tiểu . HD  : ( ) ( ) 2 2 ' 3 6 1 2 7 2= − + + + +y x m x m m ( ) ( ) 2 2 ' 0 3 6 1 2 7 2 0= ⇔ − + + + + =y x m x m m …….KQ: 4 17 4 17< − ∨ > +m m Vấn đề 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT −GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Cách 1 : Tìm GTLN và GTNN trên khoảng (a ;b) B1: Tính đạo hàm của hàm số y’ = f’(x) B2: Xét dấu đạo hàm f’(x); lập bảng biến thiên, Trong đó tại x 0 thì f’(x 0 ) bằng 0 hoặc không xác định Cách 2: Để tìm GTLN; GTNN của hàm số y = f(x) trên [a; b] B1: Tìm y’,y’=0 tìm [ ] ; i x a b∈ B2: Tính f(a); f(x 1 ); f(x 2 ); …; f(x n ); f(b). B3: GTLN = Max{ f(a); f(x 1 ); f(x 2 ); …; f(x n ); f(b)} GTNN = Min{ f(a); f(x 1 ); f(x 2 ); …; f(x n ); f(b)} - 6 - Tổ: Toán – Tin Chủ đề tự chọn 12 Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 1 = +y x x trên khoảng (0; )+∞ Hướng dẫn: hàm số xác định nên liên tục trên (0; )+∞ 2 2 2 1 1 1 ' 1 , ' 0 1 (0; ) =  − = − = = ⇔  = − ∉ +∞  x x y y x x x . Lập BBT KL: (0; ) min ( ) +∞ f x = 2 khi x = 1 và hàm số không có giá trị lớn nhất. Ví dụ 2. Tính GTLN; GTNN của hàm số 3 2 2 3 4 3 = + + − x y x x trên đoạn [−4; 0] Hướng dẫn Hàm số xác định nên liên tục trên [−4; 0]. f’(x) = x 2 + 4x +3; f’(x)=0 ⇔ 1 3 = −   = −  x x . 16 16 ( 4) , ( 3) 4, ( 1) , (0) 4 3 3 − − − = − = − − = = −f f f f Vậy: [-4;0] Max ∈x f(x) = f(−3) = f(0) = − 4; [-4;0] Min ∈x f(x) = f(−4) = f(−1) = 16 3 − VD3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số 3 2 2y x x x= − − + trên đoạn: a) [–1; 2] b) [–1; 0] c) [0; 2] d) [2; 3] 2 3 2 1y x x' = − − ; 1 0 3 1 x y x '  = −  = ⇔  =  1 59 3 27 y   − =  ÷   ; 1 1y( ) = a) y(–1) = 1; y(2) = 4 ⇒ [ ] 1 2 1 1 1y y y ; min ( ) ( ) − = − = = [ ] 1 2 2 4max y y ; ( ) − = = b) y(–1) = 1; y(0) = 2 ⇒ [ ] 1 0 1 1y y ; min ( ) − = − = [ ] 1 0 1 59 3 27 max y y ;−   = − =  ÷   c) y(0) = 2; y(2) = 4 ⇒ [ ] 0 2 1 1y y ; min ( )= = [ ] ( ) 0 2 2 4max y y ; = = d) y(2) = 4; y(3) = 17 ⇒ [ ] 2 3 2 4y y ; min ( )= = [ ] ( ) 2 3 3 17max y y ; = = 1. Tính GTLN, GTNN của hàm số: a) 3 2 3 9 35y x x x= − − + trên các đoạn [–4; 4], [0; 5]. b) 4 2 3 2y x x= − + trên các đoạn [0; 3], [2; 5] c) 2 1 x y x − = − trên các đoạn [2; 4], [–3; –2]. d) 5 4y x= − trên [–1; 1]. Giải a) [ ] [ ] 4 4 4 4 0 5 0 5 41 40 8 40 y y y y [ ; ] ; [ ; ] ; min ; max min ; max − − = − = = = b) [ ] [ ] 0 3 0 3 2 5 2 5 1 56 4 6 552 y y y y [ ; ] ; [ ; ] ; min ; max min ; max = − = = = c) [ ] [ ] 2 4 2 4 11 11 2 0 3 1 3 y y y y [ ; ] ; [ ; ] ; min ; max min ; max − − = = = = d) 11 11 1 3y y [ ; ] [ ; ] min ; max − − = = 2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: a) 2 4 1 y x = + b) 3 4 4 3y x x= − c) y x= d) 4 0y x x x ( )= + > Giải - 7 - Chủ đề tự chọn 12 Tổ: Toán - Tin a) 4 R ymax = ; không có GTNN b) 1 R ymax = ; không có GTNN c) 0 R ymin = ; không có GTLN d) 0 4y ( ; ) min +∞ = ;không có GTLN Luyện tập. Tìm GTLN; GTNN của hàm số (nếu có):  a) y = x 3 + 3x 2 – 9x + 1 trên [−4; 4]; b) y = x 3 + 5x – 4 trên [−3; 1] c) y = x 4 – 8x 2 + 16 trên [−1; 3]; d) y = x 3 + 3x 2 – 9x – 7 trên [−4; 3]  a) y = x x + 2 trên (−2; 4]; b) y = x + 2 + 1 x 1− trên (1; +∞); c) y= 1 cosx trên 3 ; 2 2    ÷   π π ; d) y = x 2 1 x− ; e) y = x 2 .e x trên [−1;1]; f) y = 2 ln x x trên [e;e 3 ]. g) y= ln(x 2 +x−2) trên [ 3; 6]  a. 3 4 f(x)=2sin sin 3 −x x trên [ ] 0; π ( 3 2 3 ( ) ( ) ;m (0) ( ) 0 4 4 3 = = = = = =M f f f f π π π ) b. f(x)= 2 cos2 4sin+x x trên 0; 2       π ( ( ) 2 2; m (0) 2 4 = = = =M f f π ) c. f(x) = x 2 ln(1−2 x) trên đoạn [−2;0] ( 1 1 ( 2) 4 ln 5; m ( ) ln 2 2 4 = − = − = − = −M f f ) d.f(x) = sin 3 x − cos2x + sinx + 2 (. M = 5;m = 23 27 ) e. f(x) = cos 3 x − 6cos 2 x + 9cosx + 5 ( M = 9;m = −11) Vấn Đề 4: Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số I. ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG 1. Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn. Đường thẳng y = y 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn: 0 x f x ylim ( ) →+∞ = , 0 x f x ylim ( ) →−∞ = Chú ý: Nếu 0 x x f x f x ylim ( ) lim ( ) →+∞ →−∞ = = thì ta viết chung là 0 x f x ylim ( ) →±∞ = 2. Cách tìm tiệm cận ngang Nếu tính được 0 x f x ylim ( ) →+∞ = hoặc 0 x f x ylim ( ) →−∞ = thì đường thẳng y = y 0 là TCN của đồ thị hàm số y = f(x). VD1: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số: a) 2 1 1 x y x − = + b) 2 1 1 x y x − = + c) 2 2 3 2 1 x x y x x − + = + + d) 1 7 y x = + VD2: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số: a) 2 1 3 x y x x − = − b) 3 2 1 x y x + = − c) 2 2 3 2 3 5 x x y x x − + = − + d) 7 x y x = + II. ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG 1. Định nghĩa Đường thẳng x = x 0 đgl tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn: - 8 - Tổ: Toán – Tin Chủ đề tự chọn 12 0 x x f xlim ( ) + → = +∞ ; 0 x x f xlim ( ) + → = −∞ ; 0 x x f xlim ( ) − → = +∞ ; 0 x x f xlim ( ) − → = −∞ 2. Cách tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số Nếu tìm được 0 x x f xlim ( ) + → = +∞ hoặc 0 x x f xlim ( ) + → = −∞ , hoặc 0 x x f xlim ( ) − → = +∞ , hoặc 0 x x f xlim ( ) − → = −∞ thì đường thẳng x = x 0 là TCĐ của đồ thị hàm số y = f(x). VD1: Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số: a) 2 1 3 x y x + = − b) 2 1 1 x x y x − + = − c) 2 1 3 x y x x − = − d) 1 7 y x = + VD2: Tìm TCĐ và TCN của đồ thị hàm số: a) 2 1 3 2 x y x x − = − + b) 2 3 2 x y x x − = + − c) 3 2 1 x y x + = − d) 2 2 3 2 x x y x x + − = + + 1. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số: a) 2 x y x = − b) 7 1 x y x − + = + c) 2 5 5 2 x y x − = − d) 7 1y x = − 2. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số: a) 2 2 9 x y x − = − b) 2 2 1 3 2 5 x x y x x + + = − − c) 2 3 2 1 x x y x − + = + d) 1 1 x y x + = − 3. Tìm m để đồ thị hàm số có đúng hai TCĐ: a) 2 3 2 2 1 y x mx m = + + − b) 2 2 2 3 2( 1) 4 x y x m x + = + + + c) 2 3 2 x y x x m + = + + − Vấn đề 4. Khảo sát hàm số  Tìm tập xác định của hàm số .  Tính đạo hàm y’; tìm nghiệm của phương trình y’= 0.hoặc y’ không xác định  Tìm các giới hạn tại vô cực; các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có).  Lập bảng biến thiên. Ghi các kết quả của hàm số: đồng biến,nghịch biến, điểm cực đại,điểm cực tiểu (nếu có)  Tìm điểm đặc biệt và tính đối xứng của đồ thị. Vẽ đồ thị.  Hàm số bậc ba: y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) − Xét y’ = 0 : ∆ ≤ 0 luôn đồng biến ( a > 0) hoặc nghịch biến (a < 0) trên  ∆ > 0 có 2 điểm cực trị. - 9 - Chủ đề tự chọn 12 Tổ: Toán - Tin − Đồ thị có tâm đối xứng là điểm uốn I(x o ; y o ) với x o là nghiệm của phương trình 0 ′′ =y  Hàm số trùng phương: y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0) − Có 1 cực trị ( a.b ≥ 0) hoặc có 3 cực trị (a. b < 0) − Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.  Hàm nhất biến: y = + + ax b cx d (c ≠ 0; ad – bc ≠ 0) − Luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên (−∞; − d c ) và (− d c ; +∞). − Tiệm cận đứng: x = − d c ; tiệm cận ngang y = a c . − Đồ thị nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng. Vấn đề 5. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ Dạng 1: Sự tương giao giữa 2 đồ thị: a) Bài toán 1: Tìm số giao điểm của hai đường ( ) 1 C : ( ) =y f x và ( ) 2 C : ( ) =y g x  Lập phương trình hoành độ giao điểm của ( ) 1 C và ( ) 2 C : ( ) ( ) =f x g x .  Số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm chính là số giao điểm của hai đường. b) Bài toán 2: Dùng đồ thị (C) biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình  Biến đổi phương trình đã cho về phương trình hoành độ giao điểm (một vế là phương trình của hàm số đã có đồ thị (C); một vế là phần còn lại  Lập luận: Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của (C) và (d).  Dựa vào đồ thị; ta tìm các giá trị m ảnh hưởng đến số giao điểm của (C) và (d) Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại điểm ( ) 0 0 0 M x f x; ( ) ∈ (C). → 0 0 0 y y f x x x'( ).( )− = − (y 0 = f(x 0 )) Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x), biết tiếp tuyến có hệ số góc k. → Gọi M (x 0 ; y 0 ) là toạ độ của tiếp điểm. ⇒ f ′ (x 0 ) = k(*) Giải pt (*), tìm được x 0 . Từ đó viết pttt. Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x), biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x 1 ; y 1 ). VD2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số sau tại các giao điểm của (C) với trục hoành: 3 2 3y x x= + − Phương trình có dạng: y – y o = k (x – x o ) ( hệ số góc tiếp tuyến k = f’(x o ) ) a) Tại M o (x o ; y o ): tìm hệ số góc tiếp tuyến k = f’(x o ). b) Biết hệ số góc k của tiếp tuyến: sử dụng 0 ( ) ′ =k f x tìm x 0 ; tìm y 0 .  Tiếp tuyến ∆ // d: y = ax + b có hệ số góc tiếp tuyến k = a ⇔ f’(x 0 ) = a; giải phương trình tìm x 0 ; thế x 0 vừa tìm được vào (C) tìm y 0 .  Tiếp tuyến ∆ ⊥ d: y = ax + b có hệ số góc tiếp tuyến k = 1 − a ⇔ f’(x 0 ) = 1 − a ; giải phương trình tìm x 0 ; thế x 0 vừa tìm được vào (C) tìm y 0 . Bài 1: 1/Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số y = 2x 3 – 3x 2 - 10 - [...]... phẳng giới hạn bởi các đường y 2 = 2x +1 và y = x −1 (2002 – 20 03) 1.Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số y = - 23 - x3 + 3x 2 + 3x − 1 ; x2 + 2x + 1 biết F(1) = 1 3 Chủ đề tự chọn 12 Tổ: Toán - Tin 2 x 2 − 10 x − 12 và trục x+2 2 x 2 − 10 x − 12 HD: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = x+2 2 2 2 x − 10 x − 12 2 x − 10 x − 12 và y = 0 là = 0 ⇔ x = –1; x = 6 vì ≤ 0 ∀x∈ [ −1; 6] x+2 x+2... 1 − i 2 2 1 i 2 Chủ đề tự chọn 12 Tổ: Toán - Tin (2010 Cơ bản ) Cho hai số phức: z 1 = 1 + 2i ; z 2 = 2 – 3i Xác định phần thực và phần ảo của số phức z1 −2z2 Đáp số : Phần thực : −3 ; Phần ảo : 8 (2010 NC) Cho hai số phức: z1 = 2 + 5i ; z2 = 3 – 4i Xác định phần thực và phần ảo của số phức z1.z2 Đáp số : Phần thực : 26 ; Phần ảo : 7 - 30 - Tổ: Toán – Tin Chủ đề tự chọn 12 CHỦ ĐỀ 6 & 7: KHỐI ĐA... x) + g ( x) log a b + h( x) log a c = log a d a) 2x − 2 = 3 b) 3x + 1 = 5x – 2 c) 3x – 3 = 5x −7 x +12 x −1 d) 2 x − 2 = 5 x −5 x + 6 e) 5x.8 x = 500 f) 52x + 1− 7x + 1 = 52x + 7x Dạng 4 sử dụng tính đơn điệu a) 3x + 4 x = 5x b) 3x – 12x = 4x c) 1 + 3x/2 = 2x 2 2 - 16 - Tổ: Toán – Tin Chủ đề tự chọn 12 Vấn đề 2: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT  Hàm số: y = logax có tập xác định D = (0 ; +∞);... số các giao điểm đó có hai điểm nằm trong khoảng (3 ;3) và có 2 điểm nằm ngoài (-3 ;3) Bài 35 cho hàm số y = 2 x 3 − 3(2m + 1) x 2 + 6m(m + 1) x + 1 (đề 41) a) khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho khi m=1 b)chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn đạt cực trị tại x1 ; x2 với x2 − x1 không phụ thuộc vào m - 14 - Tổ: Toán – Tin Chủ đề tự chọn 12 Chủ đề II HÀM SỐ; PHƯƠNG TRÌNH; BPT MŨ ; LÔGARIT... 1 + i 2 2 - 28 - Tổ: Toán – Tin Chủ đề tự chọn 12 2 2 z  3 1  = − i÷  2 2 ÷   = 3 1 2 3 1 3 + i − i= − i 4 4 2 2 2 2 ⇒ (z ) = 2  3 1  3 1 2 3 1 3   2 + 2i÷ = 4 + 4 i + 2 i = 2 + 2 i ÷    ( z )3 =( z )2 z  1 + z + z2 = 1+ = 1 3  3 1  3 1 3 3  +  2 2 i ÷ 2 + 2 i ÷ = 4 + 2 i + 4 i − 4 = i ÷ ÷    3 1 1 3 3 + 3 1+ 3 − i+ − i= − i 2 2 2 2 2 2 Trong bài toán này, để tính ( z) 3... − 3 x +1 1  ÷ 3 =3; 3) 2 x +1 + 2 x − 2 = 36 ; 4) 5 x.22 x −1 = 50 1) pt ⇔ 2 x + 3 x − 2 = 2−2 ⇔ x2 + 3x – 2 = −2 ⇔ x2 + 3x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = − 3 2 - 15 - Chủ đề tự chọn 12 Tổ: Toán - Tin 2) pt ⇔ 3− ( x −3 x +1) = 31 ⇔ …⇔ x2 – 3x + 2 = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = 2 2 2x 8.2 x + 2 x = 36 ⇔ = 36 ⇔ 9.2 x = 36.4 ⇔ 2 x = 2 4 ⇔ x = 4 4 4 4x = 50 ⇔ 5 x = 50 ⇔ 20 x = 100 ⇔ x = log 20 100 2 3) pt ⇔ 2.2 x + 4) 5x.22... = 2πRl + 2πR2 ;  V = Sđáy Cao = πR2h Khối cầu:  Smặt cầu = 4πR2;  Vcầu = 4π R 3 3 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CƠ BẢN Dạng 1: Tính thể tích của khối chóp  Xác định đỉnh khối chóp cho phù hợp nếu là khối chóp tam giác  Xác định chân đường cao nằm ở vị trí nào trên mặt đáy - 31 - Chủ đề tự chọn 12 Tổ: Toán - Tin Nếu hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao nằm trên đường tròn ngoại tiếp đa... xung quanh của hình nón 2/ Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình nón 3/ Xác định tâm và bán kính của mặt cầu nội tiếp hình nón ĐS : 1/ V = π R 3 24 3 ; Sxq = π R2 2 2/ R 3 3 3/ R 3 6 Bài 8 : Một hình nón có diện tích xq là 20π (cm2) và diện tích toàn phần là 36π(cm2) Tính thể tích khối nón ĐS : V =36π (cm3 ) - 33 - Chủ đề tự chọn 12 Tổ: Toán - Tin Chủ đề 8: Chủ đề 5: PHƯƠNG PHÁP TỌA... phương trình tiếp tuyến của (C) tại mỗi giao điểm ĐS : y = 1 x +1 ; 2 y = 2x Bài 20 : Cho Hàm số y = 2x +1 (TN2009) x−2 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho - 12 - Tổ: Toán – Tin Chủ đề tự chọn 12 b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc k = -5 1 4 3 2 Bài 21 : Cho hàm số y = x 3 − x 2 + 5 (TN2010) c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)... bc)i - 27 - liên hợp của a + bi, ta được: Chủ đề tự chọn 12 Tổ: Toán - Tin 1 1 [ (ac + bd ) + (ad − bc)i ] a2 + b2 c + di Chú ý: Trong thực hành, để tính thương , ta nhân cả tử và mẫu với số phức liên a + bi hợp của a + bi – Nhân cả 2 vế với a2 + b2 z= : VD2: Thực hiện các phép chia sau: a) 3 + 2i 2 + 3i b) Giải: 1+ i 2 − 3i c) 3 + 2i (3 + 2i)(2 − 3i) 12 5 = = − i 2 + 3i (2 + 3i)(2 − 3i) 13 13 6 + 3i . ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN Chủ đề tự chọn 12 Tổ: Toán - Tin Kỹ Năng Cơ Bản Giải Đề Thi TNTHPT Câu I 1. Khảo sát hàm số: Yêu cầu đủ đúng các bước trong bài toán KSHS. a. Tập xác định. b. Sự biến. xuất hiện hàm số vừa khảo sát. 2.3 Bài toán về sự đồng biến; nghịch biến: Lưu ý định lí mở rộng 2.4 Bài toán về cực trị: Sử dụng dấu hiệu 1 và 2 Dạng toán: Tìm cực trị; viết phương trình đường. 1 2 x y x + = − (TN2009) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho - 12 - Tổ: Toán – Tin Chủ đề tự chọn 12 b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc