Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  LÊ THỊ THU HÀ QUY TẮC NHÂN TỬ LAGRANGE CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU VECTƠ KHẢ VI Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 Thái nguyên – 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  LÊ THỊ THU HÀ QUY TẮC NHÂN TỬ LAGRANGE CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU VECTƠ KHẢ VI Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 Giáo viên hướng dẫn: PGS.TS Đỗ Văn Lưu Thái nguyên – 2014 MỞ ĐẦU Lý thuyết các điều kiện tối ưu là một bộ phận quan trọng của lý thuyết tối ưu hóa và có nhiều ứng dụng trong kinh tế, kỹ thuật. Cho đến nay lý thuyết các điều kiện tối ưu đã thu được nhiều kết quả phong phú và đẹp đẽ. Để dẫn các điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu vectơ trước hết ta có thể sử dụng định lý Ljusternik của giải tích hàm để chứng minh các điều kiện cần dạng hệ bất đẳng thức không tương thích. Từ đó sử dụng định lý tách của giải tích lồi ta sẽ dẫn được các điều kiện cần Fritz John và Kuhn - Tucker. Điều kiện cần Kuhn - Tucker ấy sẽ trở thành điều kiện đủ tối ưu khi giả thiết thêm một điều kiện về tính lồi suy rộng của các hàm dữ liệu. Các điều kiện tối ưu là đề tài đã và đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu. Chính vì vậy tôi đã chọn đề tài "Quy tắc nhân tử Lagrange cho bài toán tối ưu vectơ khả vi" Luận văn trình bày lý thuyết các điều kiện Fritz John và Kuhn - Tucker và các điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu vectơ khả vi. Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận, và danh mục các tài liệu tham khảo. Chương 1: Nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu Trình bày các khái niệm cực tiểu, cực đại, cực tiểu yếu, cực đại yếu của một tập hợp và nghiệm hữu hiệu (hay cực tiểu), nghiệm hữu hiệu yếu (hay cực tiểu yếu) của bài toán cực tiểu vectơ cùng với một số kết quả bổ trợ để dẫn điều kiện tối ưu. Chương 2. Điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu yếu. Trình bày các điều kiện cần dạng hệ bất đẳng thức không tương thích, 1 điều kiện cần Fritz John và điều kiện cần Kuhn - Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán tối ưu vectơ . Chương 3. Điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu và nghiệm hữu hiệu yếu. Trình bày các tính chất của hàm tựa lồi và các điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán tối ưu vectơ với giả thiết về tính lồi suy rộng của các hàm mục tiêu và ràng buộc. Nhân dịp này em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Đỗ Văn Lưu, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em hoàn thành bản luận văn này. Em xin chân thành cảm ơn Phòng đào tạo sau đại học, Ban Giám Hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên cùng các thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy khóa học. Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp và các thành viên trong lớp cao học toán K6D đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn. Thái Nguyên, tháng 04 năm 2014 Tác giả Lê Thị Thu Hà 2 Chương 1 NGHIỆM HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU Chương 1 trình bày các khái niệm cực tiểu, cực đại, cực tiểu yếu, cực đại yếu của một tập trong không gian tuyến tính có thứ tự bộ phận và các khái niệm nghiệm hữu hiệu (hay cực tiểu), nghiệm hữu hiệu yếu (hay cực tiểu yếu) của bài toán cực tiểu vectơ cùng với một số kết quả bổ trợ để dẫn điều kiện tối ưu. Các kết quả trình bày trong chương này được tham khảo trong [2]. 1.1. Nghiệm hữu hiệu và nghiệm hữu hiệu yếu của một tập và bài toán tối ưu đa mục tiêu Trong phần này ta sẽ dẫn quy tắc nhân tử Lagrange cho bài toán tối ưu đa mục tiêu với các hàm khả vi Fréchet. Ta đưa vào các giả thiết sau:                                    Giả sử (X,  ·  X ) và (Z 2 ,  ·  Z 2 ) là các không gian Banach thực; (Y,  ·  Y ) và (Z 1 ,  ·  Z 1 ) là các không gian định chuẩn có thứ tự bộ phận trong Y. Giả sử C Y và C Z 1 là các nón thứ tự bộ phận trong Y và trong Z 1 có phần trong khác rỗng; ˆ S là tập con lồi khác rỗng của X có phần trong khác rỗng; Giả sử f : X −→ Y ; g : X −→ Z (1.1) Xét tập ràng buộc sau đây: S := { x ∈ ˆ S | g(x) ∈ −C Z 1 và h(x) = 0 z 2 } Giả sử tập S khác rỗng. Ta xét bài toán tối ưu trừu tượng sau: min x∈S f(x) (1.2) 3 Ánh xạ f được gọi là ánh xạ mục tiêu. Trước hết ta định nghĩa nghiệm của bài toán (1.2). Ta nhắc lại các khái niệm cực tiểu, cực đại, cực tiểu yếu và cực đại yếu của một tập. Định nghĩa 1.1.1 Giả sử S là tập con khác rỗng của không gian tuyến tính có thứ tự bộ phận X với nón thứ tự C. (i) Phần tử ¯x ∈ S được gọi là cực tiểu (minimal element) của tập S nếu:  {¯x} − C  ∩S ⊂ {¯x} + C (1.3) (ii) Phần tử ¯x ∈ S được gọi là cực đại (maximal element) của tập S nếu:  {¯x} + C  ∩S ⊂ {¯x} − C (1.4) Nếu nón thứ tự C nhọn thì các bao hàm thức (1.3) và (1.4)có thể thay bằng các đẳng thức sau:  {¯x} − C  ∩S = {¯x} (hoặc x ≤ C ¯x, x ∈ S ⇒ x = ¯x), và  {¯x} + C  ∩S = {¯x} (hoặc ¯x ≤ C x, x ∈ S ⇒ x = ¯x). Nhắc lại: Phần trong đại số của của S = ∅ trong không gian tuyến tính thực X là tập cor(S) =  ¯x ∈ S | ∀x ∈ X, ∃ ¯ λ > 0 : ¯x + λx ∈ S, ∀λ ∈ [0, ¯ λ]  Định nghĩa 1.1.2 Giả sử S là tập con khác rỗng của không gian tuyến tính có thứ tự bộ phận X với nón thứ tự C có phần trong đại số khác rỗng: (i) Phần tử ¯x ∈ S được gọi là cực tiểu yếu (weakly minimal element) của tập S nếu:  {¯x} − cor(C)  ∩S = ∅; 4 (ii) Phần tử ¯x ∈ S được gọi là cực đại yếu (weakly maximal element) của tập S nếu:  {¯x} + cor(C)  ∩S = ∅. Chú ý rằng các khái niệm cực tiểu và cực tiểu yếu liên quan chặt chẽ với nhau. Lấy một phần tử ¯x ∈ S là cực tiểu yếu của tập S tức là ta có:  {¯x} − cor(C)  ∩S = ∅. Khi đó, ¯ X cũng là cực tiểu yếu của tập S đối với thứ tự bộ phận sinh ra bởi ˆ C = cor(C) ∪ {0 X }. Bổ đề 1.1.1[2] Giả sử S là tập con khác rỗng của không gian tuyến tính có bộ phận Xvới nón thứ tự C có phần trong đại số khác rỗng. (i) Mọi cực tiểu yếu ¯x ∈ S của tập S + C cũng là cực tiểu yếu của tập S. (ii) Mọi cực tiểu yếu ¯x ∈ S của tập S cũng là cực tiểu yếu của tập S + C. Mệnh đề 1.1.2 Giả sử S là tập con khác rỗng của không gian tuyến tính có thứ tự bộ phậnX Với nón thứ tự C mà C = X và cor(C) = ∅. Khi đó, mọi phần tử cực tiểu của tập S cũng là cực tiểu yếu của S. Chứng minh Giả thiết C = X kéo theo  −cor(C)  ∩C = ∅. Do đó, với một phần tử cực tiểu ¯x của S, ta có ∅ =  {¯x} − cor(C)  ∩({¯x} + C) =  {¯x} − cor(C)  ∩({¯x} − C) ∩ S =  {¯x} − cor(C)  ∩S. Điều đó có nghĩa là ¯x cũng là cực tiểu của S. ✷ Bây giờ ta định nghĩa khái niệm nghiệm hữu hiệu và nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán tối ưu (1.2) Định nghĩa 1.1.3 5 Giả sử bài toán tối ưu (1.2) thỏa mãn các giả thiết (1.1). (i) Một phần tử ¯x ∈ S được gọi là cực tiểu (nghiệm hữu hiệu) của bài toán (1.2) nếu f(¯x) là cực tiểu của tập ảnh f(S). (ii) Một phần tử ¯x ∈ S được gọi là cực tiểu (nghiệm hữu hiệu yếu) của bài toán (1.2) nếu f(¯x) là cực tiểu yếu của tập ảnh f(S). 1.2. Một số kết quả bổ trợ để dẫn điều kiện tối ưu Để nhận được điều kiện cần cho cực tiểu yếu (nghiệm hữu hiệu yếu) của bài toán tối ưu (1.2) ta cần một kết quả về nón tiếp liên. Cho S là tập con của không gian định chuẩn X, nón tiếp liên của tập S tại điểm ¯x ∈ S được định nghĩa như sau: T (S; ¯x) = {v ∈ X : ∃v n −→ v, ∃t n −→ 0 + sao cho ¯x + t n v n ∈ S, ∀n}. Để dẫn điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (1.2) ta trình bày mệnh đề sau đề về nón tiếp liên. Mệnh đề 1.2.1 Giả sử (X,  ·  X )là không gian định chuẩn thực và(Y,  ·  Y ) là không gian định chuẩn có thứ tự bộ phận với nón thứ tự C Y có phần trong khác rỗng. Hơn nữa, giả sử S là tập con khác rỗng của X và ánh xạ r : X → Y. Nếu ánh xạ r là khả vi Fréchet tại ¯x ∈ S nào đó, với r(¯x) ∈ −C Y thì  h ∈ T (S, ¯x) | r(¯x) + r  (¯x)(h) ∈ −int(C Y )  ⊂ T  {x ∈ S | r(x) ∈ −int(C Y )}, ¯x  , trong đó T (., .) ký hiệu nón tiếp liên. Chứng minh: Chọn phần tử h ∈ T (S : ¯x), với tính chất r(¯x) + r  (¯x)(h) ∈ −int(C Y ). Với h = 0 X , khẳng định là tầm thường. Do đó, ta giả sử h = 0 X . Khi đó, 6 tồn tại dãy (x n ) n∈N các phần tử x n ∈ S và dãy (λ n ) n ∈ N gồm các số thực dương λ n sao cho ¯x = lim x→0 x n và h = lim n→∞ λ n (x n − ¯x). Nếu ta đặt h n := λ n (x n − ¯x), ∀n ∈ N, thì ta nhận được r(x n ) = 1 λ n [λ n (r(x n ) − r(¯x) − r  (¯x)(x n − ¯x)) + r  (¯x)(h n − h) + r(¯x) + r  (¯x)(h)] + (1 − 1 λ n )r(¯x), ∀n ∈ N, (1.5) và lim n→∞ λ n (r(x n ) − r(¯x) − r  (¯x)(x n − ¯x)) + r  (¯x)(h n − h) = 0 Y . (1.6) Theo giả thiết ta có r(¯x) + r  (¯x)(h) ∈ −int(C y ), và do đó từ (1.6) ta suy ra y n : = λ n (r(x n ) − r(¯x) − r  (¯x)(x n − ¯x)) + r  (¯x)(h n − h) + r(¯x) + r  (¯x)(h) ∈ −int(C Y ) với n ∈ N đủ lớn, và 1 λ n y n ∈ −int(C Y ) với n ∈ N đủ lớn. Bởi vì  1 − 1 λ n  r(¯x) ∈ −C Y với n ∈ N đủ lớn, 7 Từ (1.5) ta suy ra r(x n ) = 1 λ n y n + (1 − 1 λ n )r(¯x) ∈ −int(C Y ) − C Y = −int(C Y ) với n ∈ N đủ lớn, bởi vì với int(C Y ) = 0 thì int(C Y ) = cor(C Y ). Nhưng điều này lại dẫn tới: h ∈ T  {x ∈ S | r(x) ∈ −int(C Y )}, ¯x  . ✷ Mệnh đề 1.2.2[2] Giả sử C X là nón lồi trong không gian tuyến tính thực X. (a) Nếu X là không gian lồi địa phương và C X đóng thì C X = {x ∈ X | x ∗ (x) ≥ 0 ∀x ∗ ∈ C X ∗ }. (b) Nếu cor(C Y ) = ∅ thì cor(C X ) =  x ∈ X | x  (x) > 0 ∀x  ∈ C X  \ {0 X  }  (c) Nếu X là không gian tôpô tuyến tính thực và int(C X ) = ∅ thì int(C X ) =  x ∈ X | x ∗ (x) > 0 ∀x ∗ ∈ C X ∗ \ {0 X ∗ }  , trong đó X ∗ là không gian ngẫu tôpô của X, X  là không gian ngẫu đại số của X. 8 [...]... λ] x x x ¯ và chứng minh của tính (−C)-tựa lồi của f tại x là đầy đủ ¯ 2 3.2 Điều kiện đủ tối ưu Ta xét quy tắc nhân tử Lagrange trình bày trong chương 2 Ta chứng minh rằng quy tăc nhân tử Lagrange này là điều kiện tối ưu cho bài toán nếu ta đưa vào các giả thiết về tính lồi suy rộng Chúng ta sẽ xét bài toán tối ưu đa mục tiêu và giả thiết sau đây được đưa vào ˆ • Giả sử S là tập con khác rỗng của không... yếu của bài toán ¯ (1.2) 10 2 Định lý được chứng minh 2.2 Các điều kiện cần Fritz John và Kuhn - Tucker Bây giờ ta trình bày quy tắc nhân tử Lagrange Điều kiện cần tối ưu này được chứng minh dựa trên định lý 2.1.1 và định lý tách Định lý 2.2.1 Giả sử bài toán tối ưu (1.2) thỏa mãn giả thiết (1.1) và x ∈ S là nghiệm ¯ hữu hiệu yếu của bài toán (1.2) Hơn nữa, f và g khả vi Fréchet tại x , h ¯ khả vi liên... h) C- tựa lồi khả vi tại x ¯ 2 Trong định lý trên ta đã chỉ ra sự tương đương của tính tựa lồi với điều ˆ kiện đủ của quy tắc nhân tử Lagrange cho bài toán mà S thay bởi S Tập cone{g(¯)} − cone{g(¯)} bằng không gian con một chiều của Z1 sinh bởi x x g(¯) x Với bài toán gốc hệ quả sau đúng: Hệ quả 3.2.1 Giả sử các giả thiết của định lý 3.2.1 đúng, và ánh xạ (f, g, h) khả vi C- tựa lồi khả vi tại x ∈ S... sao cho (2.12) thỏa mãn 2 Bây giờ ta quay lại quy tắc nhân tử trong định lý 2.2.1 và chúng ta đặc biệt hóa kết quả này cho bài toán tối ưu đa mục tiêu (1.2) Định lý 2.2.4 Giả sử f : Rn → Rm , g : Rn → Rk và h : Rn → Rp là các hàm véc tơ và tập ràng buộc S được cho bởi S := {x ∈ Rn |gi (x) ≤ 0, với mọi i ∈ {1, , k}và hi (x) = 0, với mọi i ∈ {1, , p}} Giả sử x ∈ S là nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán tối. .. khác rỗng, và f : S → Y Giả sử x ∈ S là cực tiểu yếu địa phương của bài toán (3.6) Khi đó, ¯ x là cực tiểu yếu toàn cục của bài toán (3.6) nếu và chỉ nếu ánh xạ f là ¯ (cor(CY ) -tựa lồi tại x ¯ Với quy tắc nhân tử Lagrange ta giả sử rằng các ánh xạ là khả vi theo một nghĩa nào đó Do đó, có thể đưa vào cách tiếp cận thích hợp cho tính khả vi Định nghĩa dưới đây sẽ sử dụng khái niệm biến phân theo phương... đẳng thức không tương thích Từ bổ đề trên và định lý Lyusternik ta trình bày điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (1.2) Định lý 2.1.1 Giả sử bài toán tối ưu (1.2) thỏa mãn giả thiết (1.1) và x ∈ S là nghiệm ¯ hứu hiệu yếu của bài toán (1.2) Hơn nữa, giả sử f và g khả vi Fréchet tại x và h khả vi liên tục Fréchet tại x, trong đó h (¯) là ánh xạ lên Khi đó, ¯ ¯ x ˆ không tồn tại x ∈ int(S)... cần tối ưu trong định lý 2.2.1 tổng quát hóa quy tắc nhân tử Lagrange đã biết Giả thiết thêm trong phần hai của định lý trên đảm bảo 13 t = 0Y ∗ được gọi là giả thiết chính quy Nếu t = 0Y ∗ thì điều kiện cần tối ưu cũng được gọi là điều kiện Karush Kuhn - Tucker ˆ Nếu tập S bằng toàn bộ không gian X thì bất đẳng thức (2.1) trở thành đẳng thức t ◦ f (¯) + u ◦ g (¯) + v ◦ h (¯) = 0X ∗ x x x Quy tắc nhân. ..Chương 2 ĐIỀU KIỆN CẦN CHO NGHIỆM HỮU HIỆU YẾU Chương 2 trình bày các điều kiện cần tối ưu dạng hệ bất đẳng thức không tương thích, điều kiện cần Fritz John cho nghiệm hữu hiệu yếu và điều kiện Kuhn - Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán tối ưu vectơ Các kết quả trong chương này được tham khảo từ các tài liệu [1], [2], [3], [5] 2.1 Điều kiện cần dạng hệ... đại số khác rỗng, ˆ ˆ ˆ CZ2 là nón nhọn Cho các ánh xạ f : S → Y, g : S → Z1 , h : S → Z2 ˆ và tập ràng buộc S := {x ∈ S | g(x) ∈ −CZ1 và h(x) = 0Z2 } khác rỗng (3.11) 28 Với giả thiết này ta xét bài toán tối ưu: min f (x) x∈S (3.12) Định lý 3.2.1 Bài toán tối ưu (3.12) thỏa mãn giả thiết (3.11) và giả sử với x ∈ S tồn ¯ tại các tập khác rỗng G0 , G1 và G2 sao cho - cor(CY ) ⊂ G0 ⊂ Y, −CZ1 + cone({g(¯)})... đó, ta có ui = 0 Vì vậy, x x đẳng thức (2.13) có thể vi t như sau: p m ti i=1 fi (¯) + x ui gi (¯) + x vi hi (¯) = 0Rn x i=1 i∈I(¯) x 2 Định lý được chứng minh 20 Chương 3 ĐIỀU KIỆN ĐỦ CHO NGHIỆM HỮU HIỆU VÀ NGHIỆM HỮU HIỆU YẾU Chương 3 trình bày các tính chất của hàm tựa lồi và các điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu và hữu hiệu yếu của bài toán tối ưu vectơ khi các hàm dữ liệu thỏa mãn giả thiết về tính . " ;Quy tắc nhân tử Lagrange cho bài toán tối ưu vectơ khả vi& quot; Luận văn trình bày lý thuyết các điều kiện Fritz John và Kuhn - Tucker và các điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối. HÀ QUY TẮC NHÂN TỬ LAGRANGE CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU VECTƠ KHẢ VI Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 Giáo vi n hướng dẫn: PGS.TS Đỗ Văn Lưu . nghiệm hữu hiệu yếu của một tập và bài toán tối ưu đa mục tiêu Trong phần này ta sẽ dẫn quy tắc nhân tử Lagrange cho bài toán tối ưu đa mục tiêu với các hàm khả vi Fréchet. Ta đưa vào các giả thiết