LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 1 DẠNG 3. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐI QUA MỘT ĐIÊM CHO TRƯỚC Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C). Điểm A(x A ; y A ) không thuộc đồ thị. Viết viết các phương trình tiếp tuyến kẻ từ A đến đồ thị ta thực hiện như sau : + Gọi d là đường thẳng đi qua A và có hệ số góc k ( ) : → = − + A A d y k x x y + Đườ ng th ẳ ng d là ti ế p tuy ế n c ủ a đồ th ị (C) khi h ệ sau có nghi ệ m : ( ) ( ) ( ) ( ) , 1 ( ), 2  = − +   ′ =   A A f x k x x y k f x + Ta gi ả i h ệ ph ươ ng trình trên b ằ ng cách th ế (2) lên (1). Gi ả i (1) đượ c x r ồ i thay l ạ i vào (2) tìm k, t ừ đ ó ta đượ c ph ươ ng trình d ườ ng d chính là ti ế p tuy ế n c ầ n tìm. Ví dụ 1. Cho hàm s ố 3 6 = − − y x x Vi ế t ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n biêt tiêp tuy ế n a) ti ế p tuy ế n song song v ớ i đườ ng th ẳ ng d: 2x – y + 1 = 0 b) ti ế p tuy ế n vuông góc v ớ i đườ ng th ẳ ng d’: 4x – y + 2 = 0 c) bi ế t ti ế p tuy ế n đ i qua A(2; 0) đế n đồ th ị hàm s ố . // câu c khi gi ả ng th ầ y chép nh ầ m đề bài, đ ang lúc nhìn ví d ụ 1 thì có con gì bay vào m ắ t nên nhìn nh ầ m sang ví d ụ 2, các em thông c ả m cho th ầ y nhé. He he// Ví dụ 2. Cho hàm s ố 3 9 = − + y x x Vi ế t ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n biêt tiêp tuy ế n b) ti ế p tuy ế n vuông góc v ớ i đườ ng th ẳ ng d: 3x + 23y + 2 = 0 c) bi ế t ti ế p tuy ế n đ i qua A(3; 0) đế n đồ th ị hàm s ố . Ví dụ 3. Cho hàm s ố 3 9 = − + y x x Vi ế t ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n biêt tiêp tuy ế n k ẻ t ừ O(0; 0) đế n đồ th ị hàm s ố . Ví dụ 4. CMR không có ti ế p tuy ế n nào c ủ a đồ th ị hàm s ố 1 = + x y x đi qua giao điểm I của 2 đường tiệm cận. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến trong các trường hợp sau: a) Biết tiếp tuyến đi qua 2 ; 1 3   −     A đến đồ thị hàm số y = x 3 – 3x + 1 b) Kẻ từ A(0; 4) đến đồ thị hàm số ( ) 2 2 2 . = −y x Bài 2. Vi ế t ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n k ẻ t ừ đ i ể m ( ) 1; 2 − A đế n đồ th ị hàm s ố 2 . 2 1 + = − x y x Bài 3. Vi ế t ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n k ẻ t ừ đ i ể m ( ) 0; 1 − A đế n đồ th ị hàm s ố 3 2 2. = + − + y x x x Đ /s: 4 1 = − y x Tài liệu bài giảng: 01. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P5 Thầy Đặng Việt Hùng LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 2 Bài 4. Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm A(1; 4) đến đồ thị hàm số 3 2 2 3 1. = − + + y x x x Đ/s: 3 1 = + y x Bài 5. Vi ế t ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n k ẻ t ừ đ i ể m A(3; 4) đế n đồ th ị hàm s ố 3 2 5. = − + + y x x Đ /s: 7 0 + − = x y Bài 6. Vi ế t ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n k ẻ t ừ đ i ể m 1 ;4 2       A đế n đồ th ị hàm s ố 4 2 2 3. = + − y x x Đ /s: 8 8 = − y x Bài 7. Vi ế t ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n k ẻ t ừ đ i ể m ( ) 1; 6 − A đế n đồ th ị hàm s ố 1 . 2 + = + x y x Đ/s: 3 3 = − − y x Bài 8. Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm A(2; 2) đến đồ thị hàm số 2 3 . 2 − = − x y x Đ/s: 4 = − + y x Hướng dẫn giải: Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến trong các trường hợp sau: a) Biết tiếp tuyến đi qua   −     2 ; 1 3 A đến đồ thị hàm số y = x 3 – 3x + 1 Gọi d là đường thẳng qua 2 ; 1 3   −     A và có hệ số góc k 2 : 1. 3   → = − −     d y k x Để d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 3 – 3x + 1 thì hệ sau có nghiệm: ( ) ( ) 3 2 2 3 1 1, 1 3 3 3, 2    − + = − −        = −  x x k x k x Thế (2) lên (1) ta được ( ) 3 2 3 2 0 2 3 1 3 3 1 2 2 0 1 3 =    − + = − − − ⇔ − = ⇔    =    x x x x x x x x  Với 2 0 3 : 3 1 3 1 3   = ⇒ = − → = − − − ⇔ = − +     x k d y x y x  Với 1 0 : 1. = ⇒ = → = − x k d y b) Tiếp tuyến kẻ từ A(0; 4) đến đồ thị hàm số ( ) = − 2 2 2 . y x Gọi d là đường thẳng qua A(0; 4) và có hệ số góc k : 4. → = + d y kx Để d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( ) 2 2 4 2 2 4 4 = − = − + y x x x thì h ệ sau có nghi ệ m: ( ) ( ) 4 2 3 4 4 4, 1 4 8 , 2  − + = +   = −   x x kx k x x Ta có ( ) 4 2 3 0 1 4 4 =  ⇔ − = ⇔  = −  x x x kx k x x  V ớ i ( ) 0, 2 0 : 4 = ⇔ = → = x k d y  V ớ i 3 3 3 3 3 2 3 0 4 4 4 4 8 3 4 0 4 2 4 8 3 3 =   = −   = − → → − = − ⇔ − = ⇔   = ⇔ = ± = −     x k x x k x x x x x x x x x x k x x + N ế u x = 0 thì ta đượ c d : y = 4. + N ế u 2 8 8 16 16 : 4. 3 3 3 3 3 3 3 3 = ⇒ = − = − → = − + x k d y x + N ế u 2 8 8 16 16 : 4. 3 3 3 3 3 3 3 3 = − ⇒ = − + = → = + x k d y x Bài 2. Vi ế t ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n k ẻ t ừ đ i ể m ( ) − 1; 2 A đế n đồ th ị hàm s ố + = − 2 . 2 1 x y x G ọ i d là đườ ng th ẳ ng qua A(1; − 2) và có h ệ s ố góc k : ( 1) 2. → = − − d y k x LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 3 Để d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 2 1 + = − x y x thì hệ sau có nghiệm: ( ) ( ) ( ) 2 2 ( 1) 2, 1 2 1 5 , 2 2 1 +  = − −  −   −  =  −  x k x x k x Thay (2) lên (1) ta được ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 5 ( 1) 2 2 2 1 5 1 2 2 1 0 2 1 2 1 + − = − − ⇔ + − + − + − = − − x x x x x x x x 2 1 10 5 0 2 ⇔ − = ⇔ = ±x x  V ớ i ( ) ( ) 2 1 5 5 5 : 1 2 2 2 2 3 2 2 3 2 1 − = ⇒ = = → = − − − − − x k d y x  V ớ i ( ) ( ) 2 1 5 5 5 : 1 2 2 3 2 2 3 2 2 2 1 − − − = − ⇒ = = → = − − + + − − x k d y x Nh ậ n xét : Ngoài cách gi ả i trên, ta còn có th ể th ự c hi ệ n bi ế n đổ i h ệ (1), (2) m ộ t cách linh ho ạ t h ơ n nh ư sau : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 5 2 1 2 2 2 1 2 1 5 1 5 2 1 2 2 1 , 2 . 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 5 2 1  − +  = − − −  − − ⇔ → + = − − −  − − −  =  −  x k k x k x x x x k x 1 5 1 5 1 5 5 1 5 . . 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 10 − − ⇔ + = − − − ⇔ = − − ⇔ = − − − − k k k x x x x Khi đ ó ( ) 2 2 2 1 5 2 5. 5. 30 25 0 15 10 2 2 1 10 − −     ⇔ = − ⇔ = − ⇔ + + = ⇔ = − ±     −     k k k k k k x T ừ đó ta được các tiếp tuyến cần tìm là ( ) ( ) 15 10 2 1 2. = − ± − − y x . Hùng Chuyên đề HÀM SỐ Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 1 DẠNG 3. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐI QUA MỘT ĐIÊM CHO TRƯỚC Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) d y b) Tiếp tuyến kẻ từ A(0; 4) đến đồ thị hàm số ( ) = − 2 2 2 . y x Gọi d là đường thẳng qua A(0; 4) và có hệ số góc k : 4. → = + d y kx Để d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( ) 2 2. t ừ đ i ể m ( ) 0; 1 − A đế n đồ th ị hàm s ố 3 2 2. = + − + y x x x Đ /s: 4 1 = − y x Tài liệu bài giảng: 01. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P5 Thầy Đặng Việt Hùng LUYỆN THI