MỞ ĐẦU Trong môn Toán ở trường THPT, bất đẳng thức ngày càng được quan tâm đúng mức và tỏ ra có sức hấp dẫn mạnh mẽ nhờ vẽ đẹp và tính độc đáo của phương pháp và kỹ thuật giải chúng cũng như yêu cầu cao về tư duy cho người giải. Các bài toán bất đẳng thức không những rèn luyện tư duy sáng tạo, trí thông minh mà còn đem lại say mê và yêu thích môn Toán của người học. Có nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức: phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp phản chứng, phương pháp quy nạp…Một điều quan trọng là sử dụng các kỹ thuật biến đổi linh hoạt, phù hợp để chứng minh bài toán trong từng phương pháp nhằm có hiệu quả tốt nhất. Trong quá trình giảng dạy khi đứng trước một bài toán bất đẳng thức tác giả thường đặt ra các câu hỏi: - Vai trò các biến trong bất đẳng thức như thế nào? - Dấu bằng xảy ra khi nào? - Bất đẳng thức có đồng bậc không? - Biểu thức nào “lớn”, ‘bé’ trong bất đẳng thức? - Công thức, đẳng thức nào liên quan đến bất đẳng thức? - … Việc trả lời các câu hỏi này giúp chúng ta định hướng cách giải, đánh giá các biểu thức, sử dụng công thức, bất đẳng thức quen thuộc, thay đổi hình thức của bất đẳng thức…để giải quyết bài toán. Trong bài viết này, tác giả đưa ra một số kỹ thuật, phương pháp chứng minh bất đẳng thức (bao gồm các ý tưởng, các ví dụ và bài tập). Lý thuyết bất đẳng thức (các khái niệm, tính chất… ) không được trình bày. NỘI DUNG 1. Kỹ thuật thêm bớt Sử dụng: A A A B B B B = + − = × để tạo ra các bộ phận mới ở hai vế của bất đẳng thức mà có thể đánh giá được các bộ phận với nhau Các ví dụ: Bài 1: Chứng minh rằng với mọi a,b,c>0, ta có: 2 2 2 2 a b c a b c b c c a a b + + + + ≥ + + + Phân tích: - BĐT đồng bậc nhất - Vai trò a,b,c giống nhau - Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c - Biểu thức thêm vào là bậc nhất Hướng dẫn: 2 2 4 a b c a b c + + ≥ + Bài 2: Chứng minh rằng với mọi a,b,c>0, ta có: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 a b c a b c b c c a a b + + + + ≥ + + + Phân tích: - BĐT đồng bậc hai - Vai trò a,b,c giống nhau - Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c - Biểu thức thêm vào là bậc hai Hướng dẫn: 3 2 2 2 2 ( 2 ) 2 2 9 3 a a b c a b c ab bc ca a b c + + ≥ + + + ≤ + + Bài 3: Chứng minh rằng với mọi a,b,c>0, ta có: 3 3 3 2 2 2 (1 )(1 )(1 ) (1 )(1 )(1 )a b c ab bc ca+ + + ≥ + + + Phân tích: - Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c Hướng dẫn: ( ) ( ) 3 3 33 3 3 3 3 3 2 (1 )(1 )(1 ) 1 1a b b a b c ab+ + + ≥ + = + Bài tập: Cho a,b,c>0. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1) 5 5 5 3 3 3 2 2 2 a b c a b c b c a + + ≥ + + 2) 3 3 3 2 2 2 4 ( ) ( ) ( ) a b c a b c b c c a a b + + + + ≥ + + + 3) 3 3 3 ( ) ( ) ( ) 2 a b c a b c b c a c a b a b c + + + + ≥ + + + 4) 4 4 4 2 2 2 a b c a b c bc ca ab + + ≥ + + 5) 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 a b c a b c a ab b b bc c c ca a + + + + ≥ + + + + + + Cho a,b,c>0 và a+b+c=1. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 6) 5 5 5 4 4 4 1 a b c b c a + + ≥ 7) 3 3 2 a b c b c c a a b + + ≥ + + + Chứng minh rằng trong tam giác nhọn ABC, ta có: 8) 1 1 1 6 osA osB osBc c c + + ≥ 9) 1 1 1 6 2 os2A 2 os2B 2 os2B 5c c c + + ≥ + + − 10) 1 1 1 27 osA+cosB+cosC osAcosB osBcosC osCcosA 2 c c c c + + + ≥ 2. Kỹ thuật “san sẽ” Xác định: Đại lượng “lớn”, đại lượng “bé” và chọn cách san sẽ phù hợp Các ví dụ: Bài 1: Chứng minh rằng với mọi x,y>0 và x+y=1, ta có: 2 2 1 1 4 7xy xy x y + + ≥ + Phân tích: - Vai trò x,y giống nhau - Dự đoán dấu bằng xảy ra khi x=y= 1 2 - Đại lượng “lớn”: 1 xy ; Đại lượng “bé”: 2 2 1 ;4xy x y+ Hướng dẫn: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 4 4 2 4 4 (1 1) 1 1 2 .4 7 4 2 ( ) xy xy xy xy xy xy x y x y xy xy x y xy x y + + = + + + + + + + ≥ + + = + + + Bài 2: Chứng minh rằng trong tam giác nhọn ABC, ta có: 1 1 1 15 osA+cosB+cosC osA osB osB 2 c c c c + + + ≥ Phân tích: - Vai trò A,B,C giống nhau - Dự đoán dấu bằng xảy ra khi A=B=C=60 0 - Đại lượng “lớn”: 1 1 1 osA osB osCc c c + + ; Đại lượng “bé”: osA+cosB+cosCc Hướng dẫn: 1 1 1 osA+cosB+cosC osA osB osC 1 1 1 4 osA +4cosB 4cosC osA osB osC 9 15 -3( osA cosB cosC) 4 4 4 2 2 c c c c c c c c c + + + = + + + + + + ≥ + + − = Bài tập: Cho a,b,c>0. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1) 3 3 3 3 2 2 2 2( ) 9( ) 33 a b c a b c abc a b c + + + + + ≥ + + 2) 4 4 4 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 a b c a b b c c a a b b c c a ab bc ca+ + + + + ≥ + + + + + 3) Cho x,y>0 và x+y=1. Tìm GTNN của biểu thức: 2 2 2 2 3 2 1 1 4 ;P xy Q xy xy x y x y = + + = + + + 3. Kỹ thuật nhóm đối xứng Bất đẳng thức ở dạng đối xứng (vai trò của các biến là như nhau). Khi đó chúng ta có thể đánh giá một bộ phận của vế này với bộ phận tương ứng của vế kia. Tương tự, suy ra các kết quả đối với các bộ phận còn lại và thu được bất đẳng thức cần chứng minh. Các ví dụ: Bài 1: Chứng minh rằng với mọi a,b,c>0, ta có: bc ca ab a b c a b c + + ≥ + + Phân tích: - BĐT đồng bậc nhất - Vai trò a,b,c - Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c Hướng dẫn: 2 . 2 bc ca bc ca b a b a b + ≥ = Bài 2: Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có: A B C sin sin sin os os os 2 2 2 A B C c c c+ + ≤ + + Phân tích: - Vai trò A,B,C giống nhau - Dự đoán dấu bằng xảy ra khi A=B=C=60 0 Hướng dẫn: sin sin 2(sin sin ) C 4sin 2 os 2 2 A B A B A B c + ≤ + + ≤ = Bài 3: Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có: 3 3 3 sin sin sin sin sin sin 4 4 4 A B B C C A A B C + + + ≤ Hướng dẫn: 3 3 4 4 3 1 1 3 sin sin sin sin sin 4 2 2 4 4 1 .4. sin sin sin sin 4 A B A B B A B A B A B + +   ≥ + ≥ +  ÷   ≥ = Bài tập: Cho a,b,c>0. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1) 2 2 2 2 2 2 a b c a b c c a b b c a + + ≥ + + 2) 2 ab bc ca a b c a b b c c a + + + + ≤ + + + Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có: 3) sin 2 sin 2 sin 2 sin sin sinA B C A B C+ + ≤ + + 4) cos cos os sin sin sin 2 2 2 A B C A Bc C ≤ 5) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 sin sin sin os os os 2 2 2 A B C A A A c c c + + ≥ + + 6) A B C sin sin sin os os os 2 2 2 n n n n n n A B C c c c+ + ≤ + + 4. Kỹ thuật đ ồng bậc hoá Sử dụng giả thiết để biến đổi BĐT về dạng đồng bậc để chứng minh. Các ví dụ: Bài 1: Chứng minh rằng với mọi a,b>0 và a+b=1, ta có: 2 2 1 ( ) 8 ab a b+ ≤ Phân tích: - BĐT không đồng bậc - Vai trò a,b giống nhau - Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b - Sử dụng giải thiết để đồng bậc hoá Hướng dẫn: 2 2 4 4 2 2 4 1 ( ) ( ) 8 ( ) 8 ( ) 0 ( ) 0 ab a b a b a b ab a b a b + ≤ + ⇔ + − + ≥ ⇔ − ≥ Bài 2: với mọi a,b,c>0 và a+b+c=1. Chứng minh rằng : 2 2 2 2 3 1a b c abc+ + + ≤ Phân tích: - BĐT không đồng bậc - Vai trò a,b giống nhau - Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c= 1 3 - Sử dụng giải thiết để đồng bậc hoá Hướng dẫn: 2 2 2 2 2 2 3 ( ) ( ) 3 ( ) ( ) 3 ( ) ( ) a b c abc a b c a b c abc a b c ab bc ca abc a b c ab bc ca + + + + + ≤ + + ⇔ + + ≤ + + ⇔ + + ≤ + + Bài tập: 1) Cho a,b,c>0, thoả điều kiện: 2 2 2 3 3 3 3a a a+ + = Chứng minh rằng : 2 2 2 2 2 2 3 3 3 a b c a b c+ + ≥ + + 2) Cho a,b>0, thoả điều kiện: 2a b+ = Chứng minh rằng : 2 2 3 3 4 4 2 a b a b a b≤ + ≤ + ≤ + 3) Chứng minh rằng với mọi a,b,c: a+b+c=0, ta có: 16 16 16 2 2 2 a b c a b c + + ≥ + + 5. Kỹ thuật chuẩn hoá Sử dụng tính chất đồng bậc của BĐT để chuẩn hoá. Việc chọn đối tượng để chuẩn hoá là rất quan trọng. Các ví dụ: Bài 1: Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 6 5 ( ) ( ) ( ) a b c b c a c a b b c a c a b a b c + + + + + ≤ + + + + + + Phân tích: - BĐT đồng bậc - Vai trò a,b,c giống nhau - Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c - Chuẩn hoá: a + b + c = 1 Hướng dẫn: 2 2 2 (1 ) (1 ) (1 ) 1 2 2 1 2 2 1 2 2 a a b b c c a a b b c c − − − + + − + − + − + Theo Côsi: 2a(1-a) ≤ 2 2 1 2 a a+ −    ÷   = ( ) 2 1 4 a + => 1- 2a + 2a 2 = 1 - 2a (1- a) ≥ 1- ( ) 2 1 4 a + = ( ) ( ) 1 3 4 a a− + > 0 => 2 (1 ) 4 (1 ) 3 4 4 1 (1 )( 3) 3 3 1 2 2 a a a a a a a a a a a − −   ≤ = = −  ÷ − + + + − +   => VT ≤ 4 3 3 3 (1 ) (1 ) (1 ) 3 3 3a b c   − + − + −   + + +   = 4 1 1 1 6 3 3( 3 3 3 5a b c   − + + ≤   + + +   Bài 2: Cho a, b, c>0. Chứng minh rằng: 6(a + b + c) (a 2 + b 2 + c 2 ) ≤ 27abc + 10 (a 2 +b 2 +c 2 ) 3/2 (1) Phân tích: - BĐT đồng bậc - Vai trò a,b,c giống nhau - Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c - Chuẩn hoá: a 2 + b 2 + c 2 =9 Hướng dẫn: (1) <=> 2(a + b + c) - abc ≤ 10 VT = 2(a+b+c) - abc = 2a - abc + 2(b+c) = a(2-bc) + 2(b+c) VT 2 ≤ [a 2 + (b+c) 2 ] [(2- bc) 2 + 4] G/s: a b c ≥ ≥ do a 2 + b 2 + c 2 = 9 => a 2 ≥ 3 Đặt t = bc do 2 2 2 9 3 2 2 b c a bc + − ≤ = ≤ Nên VT 2 ≤ (9+2bc) [(2-bc) 2 + 4] = (9 + 2t) [(2-t) 2 + 4] = f(t) với -3 ≤ t ≤ 3 Khảo sát f(t) => f(t) ≤ max f(t) = 100 => VT ≤ 10 đpcm 1) (a+b) (b+c) (c+a) + abc ≤ 1 3 (a + b + c) 3 ; a, b, c > 0 2) 2 2 2 a b c ab bc ca + + + + + 8 2 ( )( )( ) abc a b b c c a ≥ + + + ; a, b, c > 0 3) a, b, c > 0: 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 ( ) 1 2 a b c a b c a b c abc ab bc ca a b c   + + + + + + − −  ÷ + + + +   ≤ 2 4) a, b, c > 0: (a + b + c) ( 1 1 1 a b b c c a + + + + + )+ 4 5 ( )( )( ) abc a b b c c a ≤ + + + 6. Kỹ thuật lượng giác hoá Kỹ thuật lượng giác hoá với mục đích thay đổi hình thức của bài toán chứng minh một BĐT đại số thành việc chứng minh BĐT lượng giác. Kỹ thuật này được xác định thông qua miền giá trị của các biến, các công thức lượng giác và các đẳng thức lượng giác liên quan. Các ví dụ: Bài 1: Chứng minh rằng: 2 2 2 2 1 1 3( (1 )(1 ) 2a b b a ab a b− + − + − − − ≤ Phân tích: - ĐK: 1 , 1a b− ≤ ≤ - Công thức lượng giác liên quan 2 2 sin os 1c α α + = - Lượng giác hoá Hướng dẫn: Đặt: sin sin a b α β =   =  ; [ ] , 0; α β π ∈ VT= 2 sin( ) 2 3 π α β + − ≤ Bài 2: Cho x,y,z>0; zy+yz+zx=1. Chứng minh rằng: (1 )(1 )(1 ) 1abc a b c+ − − − < Phân tích: - Đẳng thức lượng giác liên quan 1 2 2 2 2 2 2 A B B C C A tg tg tg tg tg tg+ + = - Lượng giác hoá Hướng dẫn: Đặt: t ; t ; t 2 2 2 A B C a g b g c g= = = ; ABC l à tam giác nhọn ( ) 1 3 3 2 2 VT tgA tgB tgC= + + ≥ Bài 3: Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn: 1 1 1 6 2 3a b c + + = Chứng minh rằng: 1 36 9 4 27 a b c a bc b ca c ab ≤ + + + Hướng dẫn: 1 1 1 36 9 4 1 1 1 VT bc ca ab a b c = + + + Đặt 2 36 , 2 bc A cotg a = 2 9 2 ca B cotg b = , 0 ,A B π < < Từ giả thiết ta có: 6 3 2 6 3 2 bc ca ab bc ca ab a b c a b c = + + Suy ra, 2 2 2 2 2 1 2 2 A B cotg cotg ab A B C tg cotg A B c cotg cotg + +   = = =  ÷   − với A,B,C là ba góc của một tam giác Vậy 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 VT A B C cotg cotg cotg = + + + 2 2 2 2 2 3 1 A-B A+B sin sin sin os os sin 2 2 2 4 2 2 2 1 A-B 1 C os sin sin 1 sin sin 4 2 2 2 4 2 2 C C C 1 sin 1 sin 2sin 1 C C 1 1 2 2 2 1 sin 1 sin 2sin 8 2 2 2 8 3 27 A B C C c c C C C c C   = = −  ÷       = − ≤ −  ÷  ÷             − + − +  ÷  ÷  ÷  ÷           ÷ = − − ≤ =  ÷ ÷  ÷     ÷   [...]... 0 . thức, bất đẳng thức quen thuộc, thay đổi hình thức của bất đẳng thức để giải quyết bài toán. Trong bài viết này, tác giả đưa ra một số kỹ thuật, phương pháp chứng minh bất đẳng thức (bao gồm. trong bất đẳng thức? - Công thức, đẳng thức nào liên quan đến bất đẳng thức? - … Việc trả lời các câu hỏi này giúp chúng ta định hướng cách giải, đánh giá các biểu thức, sử dụng công thức, bất đẳng. toán bất đẳng thức không những rèn luyện tư duy sáng tạo, trí thông minh mà còn đem lại say mê và yêu thích môn Toán của người học. Có nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức: phương pháp