ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Hồng Điệp VẤN ĐỀ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. HÀ TIẾN NGOẠN Thái Nguyên - 2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên của khóa luận này em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn PGS-TS Hà Tiến Ngoạn đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn em trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận này. Nhân dịp này em xin gửi lời cảm ơn của mình tới toàn bộ các thầy cô giáo trong khoa Toán- trường Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên cùng các thầy cô ở Viện Toán học đã giảng dạy và giúp đỡ chúng em trong suốt quá trình học tập tại khoa. Đồng thời, tôi xin cảm ơn các anh chị và các bạn trong lớp K5 đặc biệt là các bạn học ngành toán ứng dụng đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại lớp. Tôi xin cảm ơn các thầy cô, anh chị và các bạn đồng nghiệp công tác tại trường THPT Nguyễn Đức Cảnh - Kiến Thụy - Hải Phòng đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về thời gian và công tác để tôi hoàn thành khóa học. Xin chân trọng cảm ơn! Hải Phòng, tháng 05 năm 2013 Người viết luận văn Nguyễn Hồng Điệp Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 MỞ ĐẦU Phương trình đạo hàm riêng được nghiên cứu lần đầu tiên vào giữa thế kỉ 18 trong các công trình của những nhà toán học như Euler, D’Alambert, Lagrange và Laplace như là một công cụ quan trọng để mô tả các mô hình của vật lí và cơ học. Những bài toán có nội dung tương tự vẫn còn được nghiên cứu đến tận ngày nay và là một trong những nội dung cơ bản của lí thuyết đạo hàm riêng. Chỉ đến giữa thế kỉ 19 và đặc biệt là trong các công trình của Riemann, phương trình đạo hàm riêng mới trở thành công cụ mạnh dùng trong những lĩnh vực toán học khác. Cả hai hướng nói trên đã tác động trực tiếp đến sự phát triển của lí thuyết phương trình đạo hàm riêng và ngược lại, phương trình đạo hàm riêng đóng vai trò quan trọng trong các lĩnh vực khác của toán học lí thuyết và đặc biệt là trong các bài toán thực tiễn. Một bài toán phương trình vi phân đạo hàm riêng, nếu nó có ý nghĩa thực tiễn thì chắc chắn nó có nghiệm, chỉ có điều là nghiệm đó được hiểu theo nghĩa nào mà thôi. Nhiều phương trình vi phân đạo hàm riêng mà ta nghiên cứu nói chung là có nghiệm. Năm 1957 nhà toán học Hans Lewy [6] đã phát hiện ra ví dụ về một phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp một mà không có nghiệm(cho dù là nghiệm suy rộng) với một số hàm vế phải trơn cho trước. Do đó từ ví dụ trên đã xuất hiện một hướng nghiên cứu mới về tính giải được của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính. Một minh họa hình học và một mở rộng của ví dụ này được đưa ra năm 1960 bởi Lars H¨ormander Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 Luận văn được chia làm 2 chương: Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về công thức tích phân từng phần, toán tử đạo hàm riêng tuyến tính và toán tử liên hợp, trình bày một ví dụ về một phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp một mà không có nghiệm và một số định lí về không gian Hilbert. Chương 2: Trình bày về tính giải được của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, điều kiện cần và đủ để phương trình đạo hàm riêng tuyến tính có nghiệm yếu và tính giải được của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính với hệ số hằng. Nội dung chính của luận văn dựa trên chương 1 của tài liệu [5]. Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên trong quá trình viết luận văn cũng như trong xử lý văn bản chắc chắn không tránh khỏi những sai sót nhất định. Tác giả luận văn rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn. Thái Nguyên, tháng 05 năm 2013. Người thực hiện Nguyễn Hồng Điệp Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Một số kí hiệu Trong luận văn này ta dùng những kí hiệu với các ý nghĩa xác định trong bảng dưới đây: N tập hợp số tự nhiên R tập hợp số thực C tập hợp số phức +∞ dương vô cùng || · || chuẩn trong L 2 (Ω) z liên hợp của số phức z (·, ·) tích vô hướng trong L 2 (Ω) Rez phần thực của số phức z Imz phần ảo của số phức z Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Toán tử vi phân đạo hàm riêng tuyến tính Toán tử vi phân đạo hàm riêng tuyến tính cấp m có dạng A(x, D) =  |µ|≤m a µ (x)D µ , (1.1) trong đó µ = (µ 1 , µ 2 , . . . , µ n ) ∈ N n |µ| = µ 1 + µ 2 + . . . + µ n x = (x 1 , x 2 , . . . , x n ) ∈ R n , a µ (x) là các hàm trơn cho trước, nhận giá trị phức và D µ = (−i) |µ| ∂ |µ| ∂x µ 1 1 ∂x µ 2 2 . . . ∂x µ n n (1.2) là toán tử lấy đạo hàm riêng cấp |µ|. Ví dụ 1.1.1. Giả sử với m = 3 và µ = (µ 1 , µ 2 , µ 3 ), µ j ∈ N Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 với j = 1, 2, 3 thì với u là một hàm ba biến x 1 , x 2 , x 3 . Ta có  |µ|=3 D µ u = ∂ 3 u ∂x 3 1 + ∂ 3 u ∂x 2 1 ∂x 2 + ∂ 3 u ∂x 2 1 ∂x 3 + ∂ 3 u ∂x 1 ∂x 2 2 + ∂ 3 u ∂x 1 ∂x 2 3 + ∂ 3 u ∂x 3 2 + ∂ 3 u ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3 + ∂ 3 u ∂x 2 2 ∂x 3 + ∂ 3 u ∂x 2 ∂x 2 3 + ∂ 3 u ∂x 3 3 Toán tử A là tuyến tính bởi vì D µ là tuyến tính và ta có A(α 1 u 1 + α 2 u 2 ) = α 1 A(u 1 ) + α 2 A(u 2 ) trong đó α 1 , α 2 ∈ C và u 1 , u 2 là các hàm số. 1.2 Công thức tích phân từng phần. Toán tử liên hợp 1.2.1 Công thức tích phân từng phần Cho Ω là tập hợp mở, liên thông trong E n có biên ∂Ω trơn từng mẩu. Bao đóng của Ω là Ω = Ω ∪ ∂Ω. Giả sử Ω bị chặn, tức là Ω ⊂ Σ R với R đủ lớn, ở đây Σ R =  (x 1 , x 2 , . . . , x n ) ∈ E n |x 2 1 + x 2 2 + . . . + x 2 n < R 2  . Nếu f ∈ C 1 (Ω) thì ta có công thức tích phân từng phần sau đây  Ω ∂f ∂x k dx =  ∂Ω fγ k dσ, 1 ≤ k ≤ n, (1.3) trong đó dx = dx 1 dx 2 . . . dx n , γ k là cosin của góc tạo bởi trục x k với pháp tuyến ngoài của ∂Ω và dσ là phần tử diện tích của mặt cong ∂Ω. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 Trong trường hợp đặc biệt, nếu u và v là hai hàm khả vi liên tục trên Ω và thỏa mãn uv = 0 trên ∂Ω thì công thức (1.3) được viết lại thành  Ω v ∂u ∂x k dx = −  Ω u ∂v ∂x k dx, 1 ≤ k ≤ n. (1.4) Công thức (1.4) được gọi là công thức tích phân từng phần. 1.2.2 Toán tử liên hợp Từ công thức (1.4), đặt ¯w = v và D k = −i ∂ ∂x k , D = (D 1 , D 2 · · · , D n ) (1.5) ta có  Ω (D k u) ¯wdx = −  Ω uD k ¯wdx =  Ω uD k wdx. (1.6) Công thức (1.2) được viết lại như sau D µ = D µ 1 1 D µ 2 2 . . . D µ n n = (−i) |µ| ∂ |µ| ∂x µ 1 1 ∂x µ 2 2 . . . ∂x µ n n · (1.7) Cho A(x, D)u =  |µ|≤m a µ (x)D µ u là toán tử vi phân đạo hàm riêng tuyến tính cấp m. Giả sử ϕ ∈ C m 0 (Ω) là hàm thuộc C m (Ω) và triệt tiêu ở gần biên ∂Ω. Áp dụng liên tiếp công thức tích phân (1.4) ta có Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7  Ω A(u) ¯ϕdx =  Ω  |µ|≤m a µ (x)D µ (u) ¯ϕdx =  Ω  |µ|≤m (D µ u)(a µ (x)ϕ)dx =  Ω  |µ|≤m uD µ (a µ (x) ¯ϕ)dx. (1.8) Đặt A  (x, D)ϕ =  |µ|≤m D µ  a µ (x)ϕ  (1.9) thì A  được gọi là toán tử liên hợp của toán tử A. Khi đó ta có  Ω A(u) ¯ϕdx =  Ω uA  ϕdx, với mọi ϕ ∈ C m 0 (Ω). (1.10) Đặt b µ (x) = a µ (x) thì công thức (1.9) được viết lại là A  (x, D)ϕ =  |µ|≤m D µ (b µ (x)ϕ) (1.11) Dễ thấy A  cũng là một toán tử vi phân đạo hàm riêng tuyến tính cấp m. Đặc biệt khi A là toán tử với hệ số hằng và nhận giá trị thực thì A  trùng với A. Mệnh đề 1.2.1. Cho u là một hàm liên tục trên Ω và giả sử  Ω u ¯ϕdx = 0, với mọi ϕ ∈ C ∞ 0 (Ω) (1.12) trong đó ϕ là hàm tiêu hạn ở dải gần biên ∂Ω. Khi đó ta khẳng định u đồng nhất bằng 0 trong Ω. Chứng minh. Giả sử x 0 ∈ Ω sao cho u(x 0 ) = 0 và Re u(x 0 ) > 0, (1.13) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 trong đó Re u(x 0 ) là phần thực của u(x 0 ). Vì u là một hàm liên tục nên tồn tại một ε−lân cận của điểm x 0 sao cho Re u(x) > 0, với mọi x mà |x − x 0 | < ε, trong đó |x| 2 = x 2 1 + x 2 2 + . . . + x 2 n . Ta khẳng định có thể tìm được hàm ϕ ∈ C ∞ (Ω) sao cho ϕ(x) > 0 với |x − x 0 | < r, 0 < r < ε và ϕ(x) = 0 với |x − x 0 | ≥ r. Thật vậy, ta đặt j(x) =  exp  (|x| 2 − 1) −1  nếu |x| < 1 0 nếu |x| ≥ 1 (1.14) và chọn ϕ(x) = j  x − x 0 r  thì rõ ràng ϕ(x) ∈ C ∞ (Ω) và hàm uϕ(x) cũng có tính chất Re (uϕ(x)) > 0 với |x − x 0 | < r và Re (uϕ(x)) = 0 với |x − x 0 | ≥ r. Suy ra Re    Ω uϕdx   > 0. Điều này mâu thuẫn với (1.12) nên giả thiết (1.13) là sai. Chứng minh tương tự ta có Re (u(x 0 )) không thể nhỏ hơn 0. Vậy Re u = 0. Một cách tương tự, ta cũng chứng minh được Im (u(x)) = 0. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... Chương 2 TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠO HÀM RIÊNG TUYẾN TÍNH 2.1 Khái niệm nghiệm cổ điển Xét phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp m sau đây A(x, D)u = f (x), x ∈ Ω, (2.1) trong đó aµ (x)Dµ , A(x, D) = (2.2) |µ|≤m f (x) là hàm số cho trước trong Ω, aµ (x) là các hàm số trơn cũng được cho trước trong Ω và u(x) là ẩn hàm cần tìm Một cách tự nhiên là ta đòi hỏi nghiệm của phương trình vi... ví dụ về phương trình không có nghiệm Xét phương trình vi phân đạo hàm riêng ux + iuy + 2(ix − y)ut = f (x, y, t), (1.15) trong đó f = f1 + if2 u = u1 + iu2 ux = u1x + iu2x uy = u1y + iu2y ut = u1t + iu2t Phương trình này do Hans Lewy đưa ra năm (1957) Ta sẽ đi chứng minh phương trình này không có nghiệm với một số vế phải f (x, y, t) Ta thấy phương trình (1.15) tương đương với hệ phương trình sau... cần tìm Một cách tự nhiên là ta đòi hỏi nghiệm của phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp m là một hàm số u(x) khả vi liên tục m lần sao cho khi thay vào phương trình (2.1) ta được một đẳng thức đúng Những nghiệm có độ trơn như thế gọi là nghiệm cổ điển của phương trình (2.1) Mệnh đề 2.1.1 Giả sử u(x) là nghiệm cổ điển của phương trình (2.1) trong đó u(x) ∈ C m (Ω) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại... phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên L2 (Ω) và cũng áp dụng định lý FréchetRiez thì tồn tại u ∈ L2 (Ω) sao cho ||u|| = ||F || ≤ C và F w = (w, u), ∀w ∈ L2 (Ω) (2.10) ∞ Đặc biệt nếu ϕ ∈ C0 (Ω) thì A ϕ ∈ W và vì vậy phương trình (2.8) và (2.10) trở thành (u, A ϕ) = (f, ϕ) (2.11) ∞ Điều này đúng với mọi ϕ ∈ C0 (Ω) 2.3.3 Định lý về điều kiện cần và đủ cho tính giải được của phương trình vi phân đạo hàm riêng tuyến. .. hàm riêng tuyến tính Kết hợp các định lí 2.3.1 và định lí 2.3.2 ta có định lí sau Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 29 Định lý 2.3.3 Điều kiện cần và đủ để phương trình Au = f có nghiệm yếu u(x) ∈ L2 (Ω) là tồn tại C > 0 sao cho |(f, ϕ)| ≤ C||A ϕ||, 2.4 ∞ ϕ ∈ C0 (Ω) Phương trình vi phân đạo hàm riêng tuyến tính với hệ số hằng Kết quả chính của mục này là định... hợp của toán A và được xác định bởi công thức (1.9) Chứng minh Chứng minh được suy ra từ công thức (1.10)   Ω 2.2 uA ϕdx, A(u)ϕdx = ¯  m ∀ϕ ∈ C0 (Ω). Ω Khái niệm nghiệm yếu Từ Mệnh đề 2.1.1 ta đi tới định nghĩa sau đây về nghiệm yếu của phương trình (2.1) Định nghĩa 2.2.1 Cho f (x) ∈ L2 (Ω), A là toán tử vi phân được cho bởi công thức (2.2) Hàm u(x) ∈ L2 (Ω) được gọi là nghiệm yếu của phương ∞ trình. .. số hàm f ∈ C ∞ (Ω) thì phương trình (1.15) không có nghiệm trong C 1 (Ω) Thật vậy, lấy Ψ(σ, τ ) là hàm khả vi liên tục của hai biến phức σ và τ , triệt tiêu ở bên ngoài hình chữ nhật D = (σ, τ ) 0 < σ < a, |τ | < b Đặt ϕ(x, y, t) = Ψ(ρ, t), ρ = x2 + y 2 Chú ý rằng ϕ là hàm khả vi liên tục theo x, y, t trong Ω và triệt tiêu ở ngoài Ω Ta có ϕz (x, y, t) = z Ψρ (ρ, t) ¯ Giả sử u là nghiệm của phương trình. .. Mệnh đề 2.2.1 Nếu u(x) ∈ C m (Ω) ∩ L2 (Ω) là nghiệm yếu của phương trình (2.2), thì u(x) là nghiệm cổ điển Chứng minh Từ (2.4) và (1.10) ta có (f, ϕ) = (u, A ϕ) = (Au, ϕ) Vì vậy (f − Au)ϕdx = 0, ∞ ∀ϕ ∈ C0 Ω theo Mệnh đề 2.2.1 suy ra f − Au = 0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 26 hay Au = f Vậy u(x) là nghiệm cổ điển 2.3 2.3.1 Điều kiện cần và đủ để tồn tại nghiệm. .. không gian con của H ta định nghĩa S (bao đóng của S ) là tập hợp tất cả các phần tử f ∈ H , là giới hạn của phần tử trên S f ∈ S nếu tồn tại một dãy vk ⊆ S sao cho ||vk − f || −→ 0 Do đó f ∈ S nếu S là đóng Dễ dàng kiểm tra S là không gian con đóng của H và là không gian con nhỏ nhất chứa S Định lý 1.4.3 (Hahn-Banach) Cho S là một không gian con khác rỗng của H và F là một phiếm hàm tuyến tính bị chặn... vk | ≤ lim K0 ||vk || = K0 ||f || Vì vậy F có thể mở rộng là một phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên S Bây giờ ta lấy ∀w ∈ H, ∃w1 ∈ S sao cho (w − w1 , S) = 0 (định lí 1.4.1) Ta đặt Gw = F w1 Hiển nhiên G thỏa mãn điều kiện 1 của định nghĩa của một phiếm hàm tuyến tính bị chặn (xem hệ quả 1.4.1) Hàm này cũng thỏa mãn điều kiện 2 của hệ quả 1.4.1 Điều này là do ||w||2 = ||w1 ||2 + ||w − w1 ||2 Do vậy . có nghiệm và một số định lí về không gian Hilbert. Chương 2: Trình bày về tính giải được của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, điều kiện cần và đủ để phương trình đạo hàm riêng tuyến tính có. chương: Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về công thức tích phân từng phần, toán tử đạo hàm riêng tuyến tính và toán tử liên hợp, trình bày một ví dụ về một phương trình đạo hàm riêng tuyến tính. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Hồng Điệp VẤN ĐỀ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC