——————————————————————————————————————– Ôn thi Đại học - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ——————————————————————————————————————– HUỲNH ĐỨC KHÁNH Phương trình LƯỢNG GIÁC QUY NHƠN - 2012 Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh Mục lục Phần 1 : Các công thức cơ bản : trang 2 Phần 2 : Các công thức liên hệ : trang 3 → 4 Phần 3 : 5 Dạng phương trình lượng giác cơ bản : trang 5 → 9 Phần 4 : Một vài thủ thuật : trang 10 → 12 Phần 5 : Đề thi Đại học 2002 → 2012 : trang 13 → 27 Phần 6 : 100 Đề thi thử trên toàn quốc : trang 28 → 53 Huỳnh Đức Khánh - duckhanh0205@gmail.com - 0975.120.189 1 Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh Phần 1. Các công thức cơ bản 1. Hệ thức cơ bản giữa các hàm số lượng giác cos 2 x + sin 2 x = 1 tan x cot x = 1 tan x = sin x cos x 1 cos 2 x = 1 + tan 2 x cot x = cos x sin x 1 sin 2 x = 1 + cot 2 x 2. Hai cung đối nhau x và −x cos (−x) = cos x tan (−x) = −tan x sin (−x) = −sin x cot (−x) = −cot x 3. Hai cung bù nhau x và π − x sin (π −x) = sin x tan (π −x) = −tan x cos (π −x) = −cos x cot (π −x) = −cot x 4. Hai cung phụ nhau x và π 2 − x sin  π 2 − x  = cos x tan  π 2 − x  = cot x cos  π 2 − x  = sin x cot  π 2 − x  = tan x 5. Hai cung hơn kém nhau π sin (π + x) = −sin x tan (π + x) = tan x cos (π + x) = −cos x cot (π + x) = cot x 6. Hai cung hơn kém nhau π 2 sin  π 2 + x  = cos x tan  π 2 + x  = −cot x cos  π 2 + x  = −sin x cot  π 2 + x  = −tan x 2 Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh Phần 2. Các công thức liên hệ 1. Công thức cộng sin (a + b) = sin a cos b + sin b cos a tan (a ± b) = tan a ± tan b 1 ∓ tan a. tan b sin (a − b) = sin a cos b − sin b cos a cos (a + b) = cos a cos b − sin a sin b cot (a ± b) = cot a. cot b ∓ 1 cot a ± cot b cos (a − b) = cos a cos b + sin a sin b 2. Công thức nhân đôi sin 2a = 2 sin a cos a tan 2a = 2 tan a 1 − tan 2 a cos 2a = cos 2 a − sin 2 a = 2cos 2 a − 1 = 1 − 2sin 2 a cot 2a = cot 2 a − 1 2 cot a 3. Công thức nhân ba sin 3a = 3 sin a − 4sin 3 a tan 3a = 3 tan a − tan 3 a 1 − 3tan 2 a cos 3a = 4cos 3 a − 3 cos a cot 3a = cot 3 a − 3 cot a 3cot 2 a − 1 4. Công thức hạ bậc sin 2 a = 1 − cos 2a 2 tan 3a = 3 tan a − tan 3 a 1 − 3tan 2 a cos 2 a = 1 + cos 2a 2 cot 3a = cot 3 a − 3 cot a 3cot 2 a − 1 sin 3 a = 1 4 (3 sin a − sin 3a) cos 3 a = 1 4 (3 cos a + cos 3a) 3 Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh 5. Công thức chia đôi Nếu đặt t = tan a 2 (a = π + k2π). Khi đó ta có sin a = 2 sin a 2 cos a 2 = 2 tan a 2 1 cos 2 a 2 = 2 tan a 2 1 + tan 2 a 2 = 2t 1 + t 2 cos a = cos 2 a 2 − sin 2 a 2 = 1 − tan 2 a 2 1 cos 2 a 2 = 1 − tan 2 a 2 1 + tan 2 a 2 = 1 − t 2 1 + t 2 tan a = sin a cos a = 2t 1 − t 2 6. Công thức biến đổi tích thành tổng sin a sin b = − 1 2 [cos (a + b) − cos (a − b)] cos a cos b = 1 2 [cos (a + b) + cos (a − b)] sin a cos b = 1 2 [sin (a + b) + sin (a − b)] tan a tan b = tan a + tan b cot a + cot b 7. Công thức biến đổi tổng thành tích sin a + sin b = 2 sin a + b 2 cos a − b 2 tan a ± tan b = sin (a ± b) sin a sin b sin a − sin b = 2 cos a + b 2 sin a − b 2 cos a + cos b = 2 cos a + b 2 cos a − b 2 cot a ± cot b = sin (b ± a) sin a sin b cos a − cos b = −2 sin a + b 2 sin a − b 2 8. Công thức đặc biệt sin a + cos a = √ 2 sin  a + π 4  = √ 2 cos  a − π 4  sin a − cos a = √ 2 sin  a − π 4  = − √ 2 cos  a + π 4  4 Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh Phần 3. Phương trình lượng giác Dạng I - Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác 1. Phương trình bậc nhất đối với sin x a sin x + b = 0 (a = 0) Cách giải. Phương trình ⇔ a sin x = −b ⇔ sin x = − b a • Nếu − b a /∈ [−1; 1]. Kết luận phương trình vô nghiệm. • Nếu − b a ∈ [−1; 1]. Xét hai trường hợp sau i) − b a =  0; ± 1 2 ; ± √ 2 2 ; ± √ 3 2 ; ±1  . Khi đó phương trình trở thành sin x = − b a ⇔ sin x = sin α ⇔  x = α + k2π x = π −α + k2π , k ∈ Z. ii) − b a =  0; ± 1 2 ; ± √ 2 2 ; ± √ 3 2 ; ±1  . Khi đó phương trình trở thành sin x = − b a ⇔     x = arcsin  − b a  + k2π x = π −arcsin  − b a  + k2π , k ∈ Z. 2. Phương trình bậc nhất đối với cos x a cos x + b = 0 (a = 0) Cách giải. Phương trình ⇔ a cos x = −b ⇔ cos x = − b a • Nếu − b a /∈ [−1; 1]. Kết luận phương trình vô nghiệm. • Nếu − b a ∈ [−1; 1]. Xét hai trường hợp sau i) − b a =  0; ± 1 2 ; ± √ 2 2 ; ± √ 3 2 ; ±1  . Khi đó phương trình trở thành cos x = − b a ⇔ cos x = cos α ⇔  x = α + k2π x = −α + k2π , k ∈ Z. ii) − b a =  0; ± 1 2 ; ± √ 2 2 ; ± √ 3 2 ; ±1  . Khi đó phương trình trở thành cos x = − b a ⇔     x = arccos  − b a  + k2π x = −arccos  − b a  + k2π , k ∈ Z. 5 Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh 3. Phương trình bậc nhất đối với tan x a tan x + b = 0 (a = 0) Cách giải. Điều kiện : cos x = 0 ⇔ x = π 2 + kπ, k ∈ Z. Phương trình ⇔ a tan x = −b ⇔ tan x = − b a • Nếu − b a =  0; ± 1 √ 3 ; ±1; ± √ 3  . Khi đó phương trình trở thành tan x = − b a ⇔ tan x = tan αx = α + kπ, k ∈ Z. • Nếu − b a =  0; ± 1 √ 3 ; ±1; ± √ 3  . Khi đó phương trình trở thành tan x = − b a ⇔ x = arctan  − b a  + kπ, k ∈ Z. Công thức nghiệm đặc biệt sin x = 1 ⇔ x = π 2 + k2π cos x = 1 ⇔ x = k2π sin x = −1 ⇔ x = − π 2 + k2π cos x = −1 ⇔ x = π + k2π sin x = 0 ⇔ x = kπ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + kπ Bài tập rèn luyện Giải các phương trình lượng giác sau : 1) 2sin3x + √ 3 = 0 2) cos  x + 30 0  + 2cos 2 15 0 = 1 3) 2cos  3x + 3π 5  − √ 2 = 0 4) tan  x 2  + 2 = 0 5) 2sin  2x − π 3  + 3 = 0 6) tan  15 0 − 3x  + √ 3 = 0 6 Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh Dạng II - Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x a sin x + b cos x = c • Điều kiện để phương trình có nghiệm : c 2 ≤ a 2 + b 2 . • Chia hai vế phương trình cho √ a 2 + b 2 ta đựợc phương trình a √ a 2 + b 2 sin x + b √ a 2 + b 2 cos x = c √ a 2 + b 2 . • Do  a √ a 2 + b 2  2 +  b √ a 2 + b 2  2 = 1. Vì vậy ta đặt a √ a 2 + b 2 = cos α suy ra b √ a 2 + b 2 = sin α. • Khi đó phương trình trở thành cos α sin x + sin α cos x = c √ a 2 + b 2 ⇔ sin (x + α) = c √ a 2 + b 2 . Bài tập rèn luyện Giải các phương trình lượng giác sau : 1) √ 3 sin x + cos x = √ 2 2) √ 3 cos x − sin x = 1 3) 3sin x + 3 cos x = 2 4) 3sin x + 4 cos x = 5 5) 3sin x − 4 cos x = 3 6) 3sin x − 4 cos x = 4 7) 3sin x − 4 cos x = 0 8) 4cos x + 3 sin x = 0 9) √ 3 sin 3x + cos 3x = 2 cos 2x 10) √ 3 cos 3x − sin 3x = 2 sin 2x 11) √ 3 cos  x + π 2  + sin  x − π 2  = 2 sin 2x 12) cos 2x + √ 3 sin 2x = √ 3 cos x − sin x 13) cos2x + √ 3 sin 2x + √ 3 sin x − cos x = 0 14) cos 2x + √ 3 sin 2x + √ 3 sin x − cos x = 4 15) cos2x + √ 3 sin 2x + √ 3 sin x − cos x = 2 16) cos x − 2 sin x cos x 2cos 2 x + sin x − 1 = √ 3 17) √ 3 cos x + sin x + 6 √ 3 cos x + sin x + 1 = 4 18) 3 cos x − 4 sin x + 2 3 cos x − 4 sin x − 6 = 3 19) 2 √ 2 cos 2x = 1 sin x + 1 cos x 20) √ 3 sin x + cos x + 2 cos  x − π 3  = 2 7 Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh Dạng III - Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác 1. Phương trình bậc hai đối với sin x a sin 2 x + b sin x + c = 0 (a = 0) Cách giải. • Nếu a + b + c = 0. Kết luận phương trình ⇔  sin x = 1 sin x = c a . • Nếu a − b + c = 0. Kết luận phương trình ⇔  sin x = −1 sin x = − c a . • Nếu a ± b + c = 0. Ta đặt t = sin x, do −1 ≤ sin x ≤ 1 nên điều kiện −1 ≤ t ≤ 1. Khi đó ta được phương trình at 2 + bt + c = 0 giải phương trình bậc hai theo t và chọn t, thay t = sin x để tìm x. 2. Phương trình bậc hai đối với cos x a cos 2 x + b cos x + c = 0 (a = 0) Cách giải. • Nếu a + b + c = 0. Kết luận phương trình ⇔  cos x = 1 cos x = c a . • Nếu a − b + c = 0. Kết luận phương trình ⇔  cos x = −1 cos x = − c a . • Nếu a ± b + c = 0. Ta đặt t = cos x, do −1 ≤ cos x ≤ 1 nên điều kiện −1 ≤ t ≤ 1. Khi đó ta được phương trình at 2 + bt + c = 0 giải phương trình bậc hai theo t và chọn t, thay t = cos x để tìm x. 3. Phương trình bậc hai đối với tan x a tan 2 x + b tan x + c = 0 (a = 0) Cách giải. Giải như phương trình chứa sin x hoặc chứa cos x. Bài tập rèn luyện Giải các phương trình lượng giác sau : 1) 2sin 2  2x − π 6  − 7 sin  2x − π 6  + 3 = 0 2) 2cos 2  π 3 − x  − 3 √ 2 cos  π 3 − x  + 2 = 0 3) tan 2 x −  1 + √ 3  tan x + √ 3 = 0 4) 3tan 2  x 2 − π 3  − 4 √ 3 tan  x 2 − π 3  + 3 = 0 5) cos 4 x 2 + sin 4 x 2 + 2 sin x = 1 6) 4  sin 6 x + cos 6 x  − cos  π 2 − 2x  = 0 8 Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh Dạng IV - Phương trình bậc hai đối với sin x và cos x a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 • Kiểm tra cos x = 0 có là nghiệm của phương trình không ? • Khi cos x = 0, chia hai vế phương trình cho cos 2 x, ta thu được phương trình a tan 2 x + b tan x + c = 0. Chú ý. Dạng a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = d ta làm như sau asin 2 x + b sin x cos x + ccos 2 x = d ⇔ asin 2 x + b sin x cos x + ccos 2 x = d  sin 2 x + cos 2 x  ⇔ (a − d) sin 2 x + b sin x cos x + (c − d) cos 2 x = 0. Bài tập rèn luyện Giải các phương trình lượng giác sau : 1) sin 2 x −  √ 3 + 1  sin x cos x + √ 3 cos 2 x = 0 2) sin 2 x −  √ 3 + 1  sin x cos x + √ 3 cos 2 x = 1 3) sin 2 x −  √ 3 + 1  sin x cos x + √ 3 cos 2 x = √ 3 4) sin 2 x −  √ 3 + 1  sin x cos x + √ 3 cos 2 x = −2 5) sin 2 x−  √ 3 + 1  sin x cos x+  √ 3 + 1  cos 2 x = −1 6) 3sin 2 x + 5cos 2 x − 2 cos 2x − 4 sin 2x = 0 Dạng V - Phương trình đối xứng giữa sin x và cos x a(sin x + cos x) + b sin x cos x + c = 0 • Đặt t = (sin x + cos x) = √ 2 sin  x + π 4  . Vì −1 ≤ sin  x + π 4  ≤ 1 nên − √ 2 ≤ t ≤ √ 2. Khi đó : t 2 = (sin x + cos x) 2 = 1 + 2 sin x cos x ⇒ sin x cos x = t 2 − 1 2 , phương trình trở thành : at + b  t 2 − 1 2  + c = 0 ⇔ bt 2 + 2at + 2c − b = 0. • Giải phương trình bậc hai theo t và chọn t, thay t = √ 2 sin  x − π 4  để tìm x. Chú ý. Dạng a(sin x − cos x) + b sin x cos x + c = 0 thì ta đặt t = (sin x − cos x). Bài tập rèn luyện Giải các phương trình lượng giác sau : 1) 3 √ 2 (sin x + cos x) − 2 sin x cos x − 4 = 0 2)  1 + √ 3  (sin x + cos x) −sin 2x −  1 + √ 3  = 0 3) √ 2 (sin x + cos x) − 2 sin 2x − 2 = 0 4) cos 3 x + √ 3 sin x cos x + sin 3 x = 0 5) (3 − cos 4x) (sin x − cos x) = 2 6) cosx + 1 cos x + sin x + 1 sin x = 10 3 9 [...].. .Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh Phần 4 Một vài thủ thuật 1 Các bước giải một phương trình lượng giác • Bước 1 Tìm điều kiện để phương trình có nghĩa (nếu có) Các phương trình có chứa căn, có mẫu số, có tan hoặc cot thì cần có điều kiện • Bước 2 Sử dụng các phép biến đổi để đưa phương trình về 1 trong 5 dạng cơ bản • Bước 3 Giải... năm 2012 Hướng dẫn • Phương trình đã cho trở thành ⇔ ⇔ ⇔ √ (sin 3x − sin x) + (cos 3x + cos x) = 2 cos 2x √ 2 cos 2x sin x + 2 cos 2x cos x = 2 cos 2x √ cos 2x 2 sin x + 2 cos x − 2 = 0 ——————————————————————————————————— 27 Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh Phần 6 100 Phương trình lượng giác trong các đề thi thử trên toàn quốc Bài 1 Giải phương trình: √ sin 2x + 3... x − 1 = 0 Bài 25 Giải phương trình : sin x + sin 2x = √ =0 3 (cos x + cos 2x) Dự bị 2 khối D năm 2004 Hướng dẫn • Phương trình đã cho ⇔ ⇔ √ 3 cos x = 3 cos 2x − sin 2x π π sin x + = sin − 2x 3 3 sin x + √ 17 Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học Bài 26 Giải phương trình : Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh cos2 3x cos 2x − cos2 x = 0 Chính thức khối A năm 2005 Hướng dẫn • Phương trình đã cho ⇔ ⇔ 1 + cos... 18) tan a + cot a = 19) cot a − tan a = 2 cot 2a 2 sin 2a 20) 1 + tan a tan b = 6 Đường tròn lượng giác 12 cos (a − b) cos a sin b cos (a − b) cos a cos b 3 sin 4x 4 Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh Phần 5 Các đề thi Đại học Bài 1 Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) của phương trình : 5 sin x + cos 3x + sin 3x 1 + 2 sin 2x = cos 2x + 3 Chính thức khối A năm 2002 1 Hướng... nghiệm 2 Các phương pháp giải phương trình lượng giác • Phương pháp 1 Biến đổi đưa về dạng cơ bản • Phương pháp 2 Biến đổi phương trình về dạng tích : A.B = 0 ⇔ A=0 B=0 • Phương pháp 3 Biến đổi phương trình về dạng tổng bình phương : A2 + B 2 = 0 ⇔ • Phương pháp 4 Đánh giá hai vế : A=B A≤m B≥m mà Do đó A = B ⇔ A=m B=m 3 Các ví dụ minh họa Ví dụ 1 (Biến đổi về dạng cơ bản) Giải phương trình sau: sin... 0 18 Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học Bài 31 Giải phương trình : 4sin2 Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh x √ 3π − 3 cos 2x = 1 + 2cos2 x − 2 4 Dự bị 2 khối B năm 2005 Hướng dẫn • Phương trình đã cho ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 2 (1 − cos x) − √ 3 cos 2x = 1 + 1 + cos 2x − √ 2 (1 − cos x) − 3 cos 2x = 2 − sin 2x √ sin 2x − 3 cos 2x = 2 cos x π = cos x sin 2x − 3 π π sin 2x − = sin −x 3 2 Bài 32 Giải phương trình. .. + sin x =4 sin x cos x ⇔ cos2 x + sin2 x = 4 sin x cos x ⇔ sin 2x = 1 2 Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học Bài 39 Giải phương trình : Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh 2sin2 x − 1 tan2 2x + 3 2cos2 x − 1 = 0 Dự bị 1 khối B năm 2006 Hướng dẫn • Điều kiện : cos 2x = 0 • Với điều kiện trên phương trình ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Bài 40 Giải phương trình : sin2 2x + 3 2cos2 x − 1 = 0 cos2 2x sin2 2x − 1 − 2sin2 x + 3 cos... x = 0 • Với điều kiện trên phương trình ⇔ ⇔ ⇔ √ 1 1 + = −2 2 (sin x + cos x) sin x cos x √ cos x + sin x = −2 √ sin x cos x (sin x + cos x) 2 (sin x + cos x) 1 + 2 sin 2x = 0 23 Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học Bài 54 Giải phương trình : Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh tan x = cot x + 4cos2 2x Dự bị 1 khối A năm 2008 sin x = 0 cos x = 0 • Với điều kiện trên phương trình Hướng dẫn • Điều kiện... năm 2008 Hướng dẫn • Phương trình đã cho trở thành ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 3 sin x + cos 2x + sin 2x = 2 sin x (1 + cos x) 3 sin x + cos 2x + sin 2x = 2 sin x + sin 2x sin x + cos 2x = 0 −2sin2 x + sin x + 1 = 0 24 Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học Bài 59 Giải phương trình : Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh 2 sin x (1 + cos 2x) + sin 2x = 1 + 2 cos x Chính thức khối D năm 2008 Hướng dẫn • Phương trình đã cho trở thành... sin − 4x ⇔ sin 3x + 3 2 √ Bài 63 Giải phương trình : 3 cos 5x − 2 sin 3x cos 2x − sin x = 0 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Chính thức khối D năm 2009 Hướng dẫn • Phương trình đã cho trở thành √ ⇔ 3 cos 5x − (sin 5x + sin x) − sin x = 0 ⇔ ⇔ √ 3 cos 5x − sin 5x = 2 sin x sin π − 5x = sin x 3 25 Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học (1 + sin x + cos 2x) sin x + Bài 64 Giải phương trình : 1 + tan x Thạc sĩ: Huỳnh Đức . ——————————————————————————————————————– Ôn thi Đại học - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ——————————————————————————————————————– HUỲNH ĐỨC KHÁNH Phương trình LƯỢNG GIÁC QUY NHƠN - 2012 Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học Thạc. + π 4  4 Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh Phần 3. Phương trình lượng giác Dạng I - Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác 1. Phương trình bậc. b 6. Đường tròn lượng giác 12 Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh Phần 5. Các đề thi Đại học Bài 1. Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) của phương trình : 5  sin