ĐẶT VẤN ĐỀ Trong chương trình tốn học THPT toán liên quan đến dãy số phần quan trọng đại số giải tích lớp 11 , Học sinh thường phải đối mặt với nhiều dạng tốn khó liên quan đến vấn đề gặp khó khăn vấn đề xác định cơng thức số hạng tổng quát dãy số Đặc biệt số lớp tốn xác định cơng thức tổng quát dãy số nội dung toán gần giải Để đáp ứng phần đề tài “ Xác định công thức tổng quát dãy số “ kết hợp với tiếp cận “ Lý thuyết phương trình sai phân “ qua số chuyên đề mà thân tác giả học Nội dung đề tài nhằm cung cấp số phương pháp xác định cơng thức tổng qt dãy số có phân loại số lớp toán Đây đề tài giảng mà tác giả dạy cho học sinh , đặc biệt học sinh giỏi lớp chọn, tài liệu học sinh đồng nghiệm tham khảo Trong đề tài tác giả sử dung số kết có tính hệ thống ‘ Lý thuyết phương trình sai phân “ Tuy nhiên vấn đề áp dụng kiến thức toán học đại dừng lại số trường hợp đặc biệt giới hạn trường số thực Giới hạn đề tài dừng lại việc xác định công thức tổng quát số dãy số , từ có áp dụng vào số toán cụ thể Qua đó, người đọc trang bị thêm cho phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số Đặc biệt thầy tự kiểm tra kết xây dựng cho lớp tốn dãy số trình bày đề tài MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ VÀ XÂY DỰNG BÀI TỐN VỀ DÃY SỐ A PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP MỘT Phương trình sai phân tuyến tính cấp phương trình sai phân dạng u1 = α , a.un+1 + b.un = f n , n ∈ N * a,b, α số ,a # f n biểu thức n cho trước Dạng Tìm un thoả mãn điều kiện u1 = α , a.un +1 + b un = (1.1) * a, b, α cho trước n ∈ N Phương pháp giải n Giải phương trình đặc trưng a.λ + b = để tìm λ Khi un = qλ (q số ) , q xác định biết u1 = α Bài toán 1: Xác định số hạng tổng quát cấp số nhân, biết số hạng công bội Bài giải Ta có un +1 = un , u1 = (1.2) n Phương trình đặc trưng có nghiệm λ = Vậy un = c.2 Từ u1 = suy n −1 c= Do un = 2 Dạng Tìm un thoả mãn điều kiện u1 = α , aun+1 + bun = f n , n ∈ N * (2 1) f n đa thức theo n Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng a.λ + b = ta tìm λ Ta có * un = un + un Trong un nghiệm phương trình (1.1) * un nghiệm riêng tuỳ ý phương trình khơng (2.1) Vậy un = q.λ n q số xác định sau * Ta xác định un sau : * 1) Nếu λ #1 un đa thức bậc với f n * 2) Nếu λ =1 un = n.g n với g n đa thức bậc với f n * Thay un vào phương trình, đồng hệ số ta tính hệ số * un Bài tốn 2: Tìm un thoả mãn điều kiện u1 = 2; un +1 = un + 2n, n ∈ N * (2.2) Bài giải Phương trình đặc trưng λ − = có nghiệm λ = Ta có * * * un = un + un un = c.1n = c, un = n ( an + b ) Thay un phương trình (2.2) ta ( n + 1)  a ( n + 1) + b  = n ( an + b ) + 2n   (2.3) thay n=1và n=2 vào (2.3) ta hệ phương trình sau 3a + b = a = ⇔  5a + b = b = −1 Do un = n ( n − 1) * Ta có un = un + un = c + n ( n − 1) Vì u1 = nên = c + 1( − 1) ⇔ c = 2 Vậy un = + n ( n − 1) , hay un = n − n + Dạng 3 Tìm un thoả mãn điều kiện u1 = α , a.un +1 + bun = v.µn , n ∈ N * (3.1) f n đa thức theo n Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng a.λ + b = ta tìm λ Ta có * * un = un + un Trong un = c.λ n , c số chưa xác định , un xác định sau : 1) Nếu λ # µ * n un = A.µ 2) Nếu λ = µ * n un = A.n.µ * Thay un vào phương trình (3.1) đồng hệ số ta tính hệ số * * un Biết u1 , từ hệ thức un = un + un , tính c Bài tốn 3: Tìm un thoả mãn điều kiện u1 = 1; un +1 = 3.un + 2n , n ∈ N * (3.2) Bài giải Phương trình đặc trưng λ − = có nghiệm λ = Ta có * * un = un + un un = c.3n , un = a.2n * n Thay un = a.2 vào phương trình (3.2) , ta thu a.2n+1 = 3a.2n + 2n ⇔ 2a = 3a + ⇔ a = −1 n n n n Suy un = −2 Do un = c.3 − 2n u1 = nên c=1 Vậy un = − Dạng Tìm un thoả mãn điều kiện u1 = α , a.un +1 + bun = f1n + f n , n ∈ N * (4.1) n Trong f1n đa thức theo n f n = v.µ Phương pháp giải * * Ta có un = un + u1n + u2 n Trong un nghiệm tổng quát phương * trình aun+1 + bun = , un nghiệm riêng phương trình * khơng a.un+1 + b.un = f1n , u2n nghiệm riêng phương trình khơng a.un+1 + b.un = f n Bài tốn 4: Tìm un thoả mãn điều kiện u1 = 1; un +1 = 2un + n + 3.2 n , n ∈ N * (4.2) Bài giải Phương trình đặc trưng λ − = có nghiệm λ = Ta có * * * un = un + u1*n + u2 n un = c.2n , un = a.n + b.n + c , u2 n = An.2n * Thay un vào phương trình un+1 = 2.un + n , ta a ( n + 1) + b ( n + 1) + c = 2an + 2bn + 2c + n 2 Cho n=1 , n=2 ta thu hệ phương trình  2a − c =  a = −1   ⇔ b = −2 a − b − c = 2a + 2b + c = −9 c = −3   * * n Vậy u1n = − n − 2n − thay u2n vào phương trình un+1 = 2.un + 3.2 Ta A ( n + 1) 2n+1 = An.2 n + 3.2n ⇔ A ( n + 1) = An + ⇔ A = Vậy * u2 n = n.2n = 3n.2n −1 n n −1 Do un = c.2 + ( −n − 2n − 3) + 3n.2 Ta có u1 = nên = 2c − + ⇔ c = Vậy un = 3n.2n−1 − n − 2n − B PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI Phương trình sai phân tuyến tính cấp phương trình sai phân dạng u1 = α , u2 = β , a.un+1 + bun + c.un−1 = f n , n ∈ N * a,b,c, α , β số , a # f n biểu thức n cho trước (NX: Phương trình đặc trưng phương trình sai phân tuyến tính cấp hai ln có hai nghiệm kể nghiệm phức, song nội dung đề tài dừng lại trường số thực , tức xét nghiệm thực ) Dạng Tìm un thoả mãn điều kiện u1 = α , u2 = β , aun+1 + bun + c.un −1 = 0, n ∈ N * (5.1) Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng a.λ + b.λ + c = tìm λ Khi n n 1) Nếu λ1 , λ2 hai nghiệm thực khác un = A.λ1 + B.λ2 , A B xác định biết u1 , u2 n 2) Nếu λ1 , λ2 hai nghiệm kép λ1 = λ2 = λ un = ( A + Bn ) λ , A B xác định biết u1 , u2 Bài toán 5: Tìm un thoả mãn điều kiện sau u0 = 1, u1 = 16, un + = 8.un+1 − 16.un (5.1) Bài giải Phương trình đặc trưng λ − 8λ + 16 = có nghiệm kép λ = Ta có un = ( A + B.n ) 4n (5.2) Cho n=0 , n=1 thay vào (5.2) ta thu hệ phương trình u0 = = A A =1  ⇔  u1 = ( + B ) = 16  B =  n Vậy un = ( + 3n ) Dạng Tìm un thoả mãn điều kiện u1 = α , u2 = β , a.un+1 + b.un + c.un−1 = f n , n ≥ 2, (6.1) a # 0, f n đa thức theo n cho trước Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng a.λ + b.λ + c = để tìm λ Khi ta * có un = un + un , un nghiệm tổng quát phương trình * a.un+1 + b.un + c.un −1 = un nghiệm tuỳ ý phương trình a.un+1 + b.un + c.un −1 = f n * Theo dạng ta tìm un , hệ số A, B chưa xác định , un xác định sau : * 1) Nếu λ #1 un đa thức bậc với f n * 2) Nếu λ = nghiệm đơn un = n.g n , g n đa thức bậc với f n * 3) Nếu λ = nghiệm kép un = n g n , g n đa thức bậc với fn , * * Thay un vào phương trình , đồng hệ số, tính hệ số un * Biết u1 , u2 từ hệ thức un = un + un tính A, B Bài tốn 6: Tìm un thoả mãn điều kiện u1 = 1; u2 = 0, un +1 − 2un + un−1 = n + 1, n ≥ (6.2) Bài giải Phương trình đặc trưng λ − 2λ + = có nghiệm kép λ = Ta n * * có un = un + un un = ( A + B.n ) = A + Bn, un = n ( a.n + b ) * Thay un vào phương trình (6,2) , ta ( n + 1)  a ( n + 1) + b  − 2n ( a.n + b ) + ( n − 1)  a ( n − 1) + b  = n +     Cho n=1 , n=2 ta thu hệ phương trình  a=   ( 2a + b ) − ( a + b ) =   ⇔  9 ( 3a + b ) − ( 2a + b ) + ( a + b ) = b =    n 1 * un = n  + ÷ 6 2 Vậy Do n 1 * un = un + un = A + Bn + n  + ÷ 6 2 Mặt khác 1  A = A + B + + =1   ⇔  −11 1 1 B=  A + 2B +  + ÷=    3 2  Vậy un = − 11 n 1 n + n2  + ÷ 6 2 Dạng Tìm un thoả mãn điều kiện u1 = α , u2 = β , aun+1 + bun + c.un −1 = d µ n , n ≥ (7.1) Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng a.λ + b.λ + c = để tìm λ Khi ta có * un = un + un , un xác định dạng hệ số A B chưa * xác định, un xác định sau * n 1) Nếu λ # µ un = k µ * n 2) Nếu λ = µ nghiệm đơn un = k nµ * n 3) Nếu λ = µ nghiệm kép un = k n µ * Thay un vào phương trình , dùng phương pháp đồng thức hệ số * tính hệ số k Biết u1 , u2 từ hệ thức un = un + un tính A,B Bài tốn 7: Tìm un thoả mãn điều kiện u1 = 0; u2 = 0, un +1 − 2un + un −1 = 3.2 n , n ≥ Bài giải Phương trình đặc trưng λ − 2λ + = có nghiệm kép λ = Ta n * n * có un = un + u1n un = ( A + B.n ) = A + Bn, un = k * Thay un vào phương trình , ta k 2n+1 − 2k 2n + k 2n −1 = 3.2 n ⇔ k = * n n +1 * n +1 Vậy un = 6.2 = 3.2 Do un = un + un = A + bn + 3.2 (1) Thay u1 = 1, u2 = vào phương trình ta thu 1 = A + B + 12 A = ⇔  0 = A + B + 24  B = −13 Vậy un = − 13n + 3.2n +1 Dạng Tìm un thoả mãn điều kiện u1 = α , u2 = β , aun+1 + bun + c.un −1 = f n + g n , n ≥ (8.1) n a # , f n đa thức theo n g n = v.µ Phương pháp giải * * Ta có un = un + u1n + u2 n un nghiệm tổng quát phương trình * aun +1 + bun + c.un−1 = , u1n nghiệm riêng tùy ý * phương trình khơng aun+1 + bun + c.un −1 = f n u2n nghiệm riêng tùy ý phương trình khơng aun +1 + bun + c.un −1 = g n Bài toán 8: ( Đề thi OLYPIC 30 -4 Toán 11 Lần thứ VIII- 2002 ) Tìm un thoả mãn điều kiện u1 = 0; u2 = 0, un +1 − 2un − 3un −1 = n + n , n ≥ (8.2) Bài giải Phương trình đặc trưng λ − 2λ − = có nghiệm λ1 = −1, λ2 = Ta có * un = un + u1*n + u2 n * un = A ( −1) + B.3n , u1*n = a + bn, u2 n = k 2n n * Thay u1n vào phương trình un+1 − 2u n − 3un −1 = n , ta a ( n + 1) + b − ( an + b ) −  a ( n − 1) + b  = n ⇔ ( 4a + 1) n − ( a − b ) =   Vậy a=b=− Do * un = −1 ( n + 1) n * Thay u2n vào phương trình un+1 − 2un − 3un −1 = , ta k 2n+1 − 2.k 2n = 3.k 2n −1 = 2n ⇔ k = − Do * u2 n = − 2n = − 2n+1 3 Vậy * un = un + u1*n + u2 n = A ( −1) + B.3n − n 1 ( n + 1) − 2n+1 (8.3) Ta thay u1 = 1, u2 = vào (8.3) ta hệ phương trình 61   − A + 3B − − =  A = −    48 ⇔   A + 9B − − =  B = 25   48   10 Vậy un = − 61 25 1 n ( −1) + 3n − ( n + 1) − n+1 48 48 C PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP BA Phương trình sai phân tuyến tính cấp ba phương trình sai phân dạng u1 = α , u2 = β , u3 = γ , a.un + + bun+1 + c.un + d un−1 = f n , n ≥ (a.1) a,b,c, d, α , β , γ số , a # f n biểu thức n cho trước (NX: Phương trình đặc trưng phương trình sai phân tuyến tính cấp ba ln có ba nghiệm kể nghiệm phức, song nội dung đề tài dừng lại trường số thực , tức xét nghiệm thực ) Phương pháp giải Nghiệm tổng quát phương trình sai phân tuyến tính cấp ba có * dạng un = un + un , un nghiệm tổng qt phương trình tuyến * tính nhất, un nghiệm riêng phương trình tuyến tính khơng Xét phương trình đặc trưng aλ + bλ + cλ + d = (a.2) 1) Xác định cơng thức nghiệm tổng qt phương trình sai phân tuyến tính cấp ba a) Nếu (a.2) có ba nghiệm thực λ1 , λ2 , λ3 phân biết un = a1 λ1n + a2 λ2n + a3 λ3n b) Nếu (a.2) có nghiệm thực bội nghiệm đơn (λ1 = λ2 # λ3 ) un = (a1 + a2 n)λ1n + a3 λ3n 11 c) Nếu (a.2) có nghiệm thực bội (λ1 = λ2 = λ3 ) un = (a1 + a2 n + a3 n )λ1n * 2) Xác định nghiệm riêng un phương trình (a.1) • Xét f n đa thức n ta có * a) Nếu λ #1 un đa thức bậc với f n * b) Nếu λ = (nghiệm đơn ) un = n.g n g n đa thức bậc với f n * c) Nếu λ = (bội ) un = n g n g n đa thức bậc với fn * d) Nếu λ = (bội 3) un = n g n g n đa thức bc vi fn n ã Xột f n = v.à ta có * n a) Nếu λ # µ un = k n.µ * n b) Nếu λ = µ (nghiệm đơn ) un = k µ * s n c) Nếu λ = µ (nghiệm bội s ) un = k n µ Bài tốn 9: Tìm dãy số an biết u1 = 0, u2 = 1, u3 = 3, un = 7un−1 − 11.un− + 5.un −3 , n ≥ (9.1) Bài giải Xét phương trình đặc trưng λ − 7λ + 11λ − = có nghiệm thực λ1 = λ2 = 1, λ3 = n Vậy an = c1 + c2 n + c3 Cho n=1, n=2, n=3 giải hệ phương trình tạo thành, ta c1 = − , c2 = , c3 = 16 16 12 Vậy an = − + ( n − 1) + 5n −1 16 16 D BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài toán 10: Cho dãy số an xác định theo công thức sau a1 = 0; a2 = 1, an +1 = 2an − an−1 + 1, n ≥ (10.1) Chứng minh số A = 4.an an+ + số phương Bài giải Ta có an+1 = 2an − an −1 + (10.2) Trong (9.2) ta thay n n-1, ta an = 2an −1 − an −2 + (10.3) Trừ vế (10.1) cho (10.2) ta thu an+1 − 3an + 3an−1 − an− = (10.4) Phương trình đặc trưng (10.4) λ − 3λ + 3λ − = có nghiệm λ = nghiệm bội bậc ba Vậy nghiệm tổng quát phương trình (10.4) an = (c1 + c2 n + c3 n )1n Cho n=0, n=1, n=2 ta 0 = c1 c1 =   ⇔ 1 = c2 + c2 + c3 3 = c + 2c + 4c c2 = c3 =   Ta thu an = n ( n + 1) từ ta có A = 4an an + + = ( n + 3n + 1) Điều chứng tỏ A số phương 13 Bài toán 11: Cho dãy số { xn } xác định theo công thức sau x1 = 7; x2 = 50, xn +1 = xn + xn−1 − 1975 ( n ≥ ) (11.1) Chứng minh x1996 M1997 Bài giải Xét dãy số { yn } với y1 = 7, y2 = 50 yn +1 = yn + yn −1 + 22 ( n ≥ ) (11.2) Dễ thấy yn ≡ xn ( mod1997 ) Do cần chứng minh y1996 ≡ ( mod 1997 ) Đặt zn = yn + 11 suy z1 = 39, z2 = 211 Nhận xét zn +1 = yn+1 + 11 = 16 yn + 20 yn −1 + 99 = zn + 20 yn−1 + 55 (11.3) Ta lại có zn −1 = yn −1 + 11 suy 20 yn−1 = zn−1 − 55 Thế (11.4) vào (11.3) ta zn +1 = zn + zn−1 Suy zn +1 − zn − zn−1 = (11.5) Phương trình đặc trưng (11.5) λ − 4λ − = có nghiệm λ1 = −1, λ2 = Nghiệm tổng quát (11.1) zn = ( −1) α + 5n β n Ta có  α=   z1 = −α + 5β = 39  ⇔   z2 = α + 25β = 211  β = 25   Do ta nhận 14 (11.4) 25 n zn = ( −1) + 5n 3 (11.6) Từ (11.6) ta suy z1996 + 25.51996 = Ta cần chứng minh z1996 ≡ 11( mod1997 ) Do 51996 − M1997  1996 5 − M 1996 Nên − 1M3.1997 Từ , ta có 51996 = 3n.1997 + , 25 ( 3n.1997 + 1) z1996 = + = 25.n.1997 + 11 3 Vậy z1996 ≡ 11( mod 1997 ) E BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Xác định công thức dãy số { xn } thoả mãn điều kiện sau 1) x1 = 11, xn +1 = 10.xn + − 9n , ∀n ∈ N 2) x0 = 2, x1 = −8, xn+ = −8.xn+1 + xn 3) x0 = 1, x1 = 3, xn+ − xn +1 + xn = −n − 2n + 4) x0 = 0, x1 = 1, xn +1 − xn + xn −1 = n − 6n + 5) x1 = 1, x2 = 2, xn + − xn+1 + xn = Bài 2: Cho dãy số {a } n thoả mãn điều kiện an = an −1 + 2.an −2  a1 = a2 = 15 n∈ N ( n ≥ 3) Chứng minh an số lẻ Bài 3: Cho dãy số { bn } xác định bn = 2.bn−1 + bn −2  b1 = 1, b2 = n∈ N ( n ≥ 3) n 5 Chứng minh bn ≤  ÷ , ∀n ∈ N 2 Bài 4: Cho dãy số { un } thoả mãn điều kiện un + − 2.un +1 + un = n∈ N  u0 = 1, u1 = ( n ≥ 2) Chứng minh un số phương Bài 5: (Tuyển tập đề thi Olympic 30 – Toán 11 Lần thứ VIII – 2002 NXB giáo dục ) Cho dãy số { un } thoả mãn sau un ∈ Z + , ∀∈ N  u0 = 1, u1 = u = 10.u − u ∀n ∈ N , n ≥ n −1 n−2  n Chứng minh : ∀k ∈ N , k ≥ 2 1) uk + uk −1 − 10uk uk −1 = −8 2) 5.uk − uk −1 M va 3.uk − 1M ( M kí hiệu chia hết ) Bài 6: Cho dãy số { un } thoả mãn điều kiện un + = 2un +1 + 2un − un −1 , n ∈ N * Chứng minh tồn số nguyên M cho số M + 4.an+1an số phương Bài 7: ( Báo Toán Học Tuổi Trẻ số 356) 16 Cho dãy số { ui } ( i=1,2,3,4…)được xác định a1 = 1, a2 = −1, an = −an −1 − 2an −2 , n = 3,4, Tính giá trị biểu thức 2 A = 2.a2006 + a2006 a2007 + a2007 Cho dãy số nguyên dương { un } thoả mãn điều kiện Bài 8: u0 = 20, u1 = 100, un +2 = 4.un +1 + 5.un + 20, n ∈ N * Tìm số nguyên dương h bé có tính chất an+ h − an M1998 , n ∈ N F XÂY DỰNG BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ TRUY HỒI Nhận xét : Nội dung đề tài giúp bạn đọc tìm cơng thức tổng qt lớp dãy số có tính chất truy hồi cách xác nhất, giúp Thầy kiểm tra kết tốn theo cách giải khác Bên cạnh ta tiến hành xây dựng thêm toán dãy số Dưới số ví dụ “ xây dựng thêm tốn dãy số có tính quy luật “ mang tính chất tham khảo Tác giả mong muốn bạn đọc tìm hiểu phát triển rộng tốn khác dãy số Ví dụ 1: Xuất phát từ phương trình ( λ − 1) ( λ + ) = ⇔ λ + 8λ − = (12.1) phương trình (12.1) coi phương trình đặc trưng dãy số có quy luật Chẳng hạn dãy số un xác định theo công thức sau un+ + 8.un+1 + 9.un = cho u0 = 2, u1 = −8 Ta phát biểu thành toán sau 17 Bài toán 1: Cho dãy số xn xác định sau  xn + + 8.xn+1 + 9.xn =   x0 = 2, x1 = −8 n∈ N Xác định cơng thức dãy số xn Bài tốn 2: Cho dãy số xn xác định sau  xn + + 8.xn+1 + 9.xn =   x0 = 2, x1 = −8 n∈ N Tính giá trị biểu thức A = x2006 − 5.x2007 + Ví dụ 2: Xuất phát từ phương trình ( λ − 1) = ⇔ λ − 2λ + = (12.2) phương trình (12.2) coi phương trình đặc trưng dãy số có quy luật Chẳng hạn dãy số un xác định theo công thức sau un+ − 2.un +1 + un = cho u0 = 1, u1 = vận dụng thuật tốn xác định cơng thức tổng qt dãy số xn = ( n − 1) Ta phát biểu thành tốn sau Bài tốn 1: Xác định cơng thức dãy số xn thoả mãn điều kiện sau  xn + − xn+1 + xn = n∈ N  x0 = 1, x1 =  Bài toán 2: Cho dãy số xn xác định sau  xn + − xn+1 + xn = n∈ N  x0 = 1, x1 =  Chứng minh xn số phương Bài tốn 3: Cho dãy số xn xác định sau 18  xn + − xn+1 + xn = n∈ N  x0 = 1, x1 =  Xác định số tự nhiên n cho xn+1 + xn = 22685 KẾT LUẬN- KIẾN NGHỊ Trải qua thực tiễn giảng dạy, nội dung giảng liên quan đến đề tài có tham gia góp ý đồng nghiệp, vận dụng đề tài vào giảng dậy thu số kết định sau : 1) Học sinh trung bình trở lên nắm vững số phương pháp biết vận dụng dạng xác định công thức dãy số 2) Một số đề thi học sinh giỏi, Học sinh lớp chọn sử dụng phương pháp trình bày đề tài để giải tốn 3) Là phương pháp tham khảo cho học sinh thầy cô giáo 4) Qua nội dung đề tài, đồng nghiệp xây dựng thêm tốn dãy số Xây dựng phương pháp giảng dậy theo quan điểm đổi việc mà toàn xã hội nghành quan tâm Tuy nhiên, số lớp tốn 19 bậc THPT ta sử dụng số kết toán học xây dựng phương pháp giải toán sơ cấp vấn đề ý Qua nội dung đề tài tác giả mong muốn có tìm hiểu sâu mối quan hệ “Toán học đại” “Phương pháp tốn sơ cấp ” Qua ta tìm phương pháp giải, xây dựng lớp toán bậc THPT TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Lê Đình Thịnh- Lê Đình Định , Phương pháp sai phân Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội 2004 2) Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30 – Mơn Tốn Lần thứ V, Nhà xuất Giáo Dục 3) Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30 – Mơn Tốn Lần thứ VII-2002 , Nhà xuất Giáo Dục 4) Tạp trí Tốn Học Tuổi Trẻ Số 356 , Nhà xuất Giáo Dục 5) Trần Chí Hiếu – Nguyễn Danh Phan Tuyển chọn tốn PTTH Đại số giải tích 11, Nhà xuất Giáo Dục 6) Nguyễn Văn Mậu , Một số toán chọn lọc dãy số , Nhà xuất Giáo Dục - 2003 20 Trị đặc trưng vector đặc trưng 23 tháng 10, 2007 Eigenvalues eigenvectors xuất nhiều ngành khoa học kỹ thuật: Vật Lý, xác suất thống kê, KHMT, lý thuyết đồ thị, v.v Để hiểu ý nghĩa chúng, có hai hướng nhìn thơng dụng, áp dụng nhiều trường hợp Loại động (motivation) thứ Trong nhiều ứng dụng ta thường phải làm phép tính sau đây: cho trước ma trận A nhiều vectors x, tính với nhiều giá trị khác số mũ Ví dụ 1: A ma trận phép biến đổi tuyến tính (linear transformation) đó, phép quay co dãn computer graphics chẳng hạn, cho kết phép BĐTT áp dụng k lần vào x Các games máy tính hay annimations phim Hollywood có vơ vàn phép biến đổi kiểu Mỗi object computer graphics nhiều vector x Quay object nhiều lần làm phép nhân với vectors x biểu diễn object Khối lượng tính tốn khổng lồ, dù khơng gian chiều Ví dụ 2: A transition matrix chuỗi Markov rời rạc x distribution trạng thái tại, distribution chuỗi Markov sau k bước Ví dụ 3: phương trình sai phân (difference equation) kiểu phương trình viết thành dạng để tính với k tùy ý Ví dụ 4: lũy thừa ma trận xuất tự nhiên giải phương trình vi phân, xuất khai triển Taylor ma trận chẳng hạn Tóm lại, nhiều ứng dụng ta cần tính tốn nhanh lũy thừa ma trận vuông, lũy thừa nhân vector Mỗi ma trận vuông đại diện cho phép BĐTT Lũy thừa bậc k ma trận đại diện cho phép biến đổi áp dụng k lần Ngược lại, phép BĐTT đại diện ma trận Có nhiều ma trận đại diện cho BĐTT, tùy theo ta chọn hệ sở Mỗi ta viết vector dạng ngầm định hệ sở đó, thường hệ sở trực chuẩn ta , , Các tọa độ 3, -2, x tương ứng với tọa độ x hệ sở ngầm định Hệ sở thường dùng ta “dễ” hình dùng chúng khơng gian n chiều, chúng sản phẩm phụ hệ tọa đồ Descartes cổ điển hay dùng không gian chiều Tuy nhiên, áp dụng phép BĐTT vectors thường bị biến đổi theo luôn, bất tiện ta phải tính cho nhiều giá trị k x khác Bây giờ, giả sử ta tìm hướng độc lập tuyến tính bất biến qua phép BĐTT đại diện A (Đây giả sử mạnh, may mà lại thường ứng dụng kể trên.) Dùng vector để biểu diễn hướng thứ Bất biến có nghĩa áp dụng A vào hướng hướng khơng đổi Cụ thể hơn, BĐTT A làm hướng “bất biến” 21 với số (scalar) thực phức (dù ta giả sử A thực) Do hướng độc lập tuyến tính, vector x viết dạng Nếu ta lấy làm hệ sở thỡ cỏi cú ỏp dụng A bao nhiờu lần thỡ khụng đổi hướng cỏc vectors hệ sở! Điều tiện lợi, vỡ Như vậy, thay vỡ tớnh lũy thừa bậc cao ma trận, ta cần tớnh lũy thừa n số làm phộp cộng vectors đơn giản Cỏc giỏ trị cỏc trị đặc trưng (eigenvalues) A, cỏc vectors cỏc vector đặc trưng (eigenvectors) Tiếp tục với giả thiết mạnh n eigenvectors độc lập tuyến tính với Nếu ta bỏ vectors vào cột ma trận , eigenvalues lên đường chéo ma trận ta có Trong trường hợp ma trận A có tính diagonalizable (chéo hóa được) Diagonalizability độc lập tuyến tính n eigenvectors hai thuộc tính tương đương ma trận Ngược lại, ta có , lũy thừa A dễ tính: lũy thừa ma trận đường chéo dễ tính Cụm từ “khả đường chéo hóa được” (diagonalizability) nghe ghê quá, có bạn biết tiếng Việt khơng? Nếu ta biết eigenvectors eigenvalues ma trận — ngồi việc tính lũy thừa ma trận — ta dùng chúng vào nhiều việc khác, tùy theo ứng dụng ta xét Ví dụ: tích eigenvalues với định thức, tổng với trace, khoảng cách eigenvalue lớn lớn nhì transition matrix chuỗi Markov đo tốc độ hội tụ đến equilibrium (mixing rate) eigenvector steady state distribution, vân vân Quay lại với “giả thiết mạnh” Có loại ma trận mà giả thiết đúng; nữa, ta tìm eigenvectors vng góc nhau, normal matrices Rất nhiều ứng dụng khoa học kỹ thuật cho ta normal matrices Các trường hợp đặc biệt thường thấy ma trận (thực) đối xứng ma trận Hermitian (đối xứng theo nghĩa phức) Cịn ma trận khơng thỏa mãn “giả thiết mạnh” này, nghĩa không diagonalizable, làm với chúng? Ta tìm cách làm cho chúng “gần” với ma trận đường chéo cách viết chúng thành dạng chuẩn Jordan Đề tài nằm phạm vi viết Loại động (motivation) thứ hai 22 Trong nhiều ứng dụng, ta “được” làm việc với ma trận đối xứng: có đủ eigenvectors, diagonalizable thiết kế thuật tốn hiệu cho tốn tương ứng Khơng đối xứng, chúng cịn có thuộc tính mạnh gọi positive (semi) definite, nghĩa eigenvalues khơng âm Ví dụ 1: tốn least squares có ứng dụng khắp nơi (linear regression statistics chẳng hạn) dẫn đến ma trận symmetric positive (semi) definite Ví dụ 2: tốn xác định xem một điểm tới hạn hàm đa biến có phải điểm cực tiểu hay khơng tương đương với xác định xem ma trận đối xứng Hessian đạo hàm bậc hai điểm positive definite Ví dụ 3: ma trận covariance random vector (hoặc tập hợp nhiều sample vectors) positive (semi) definite Nếu A ma trận symmetric positive definite ta hiểu eigenvectors eigenvalues theo cách khác Bất phương trình đú c số dương bất phương trỡnh bậc với n biến (cỏc tọa độ vector x) Nghiệm nú cỏc điểm nằm hỡnh e-lớp khụng gian n chiều (Ellipsoid) mà n trục ellipsoid chớnh hướng cỏc eigenvectors A, chiều dài cỏc trục tỉ lệ nghịch với eigenvalue tương ứng (tỉ lệ với nghịch đảo của eigenvalue) Đõy trực quan hỡnh học phổ biến thứ hai eigenvectors eigenvalues Trong trường hợp Principal Component Analysis (PCA) có bạn hỏi phần bình luận tư trừu tượng, ta hiểu nơm na xuất eigen-vectors/values sau Giả sử ta có đống sample vectors (data points) không gian n chiều Các tọa độ exponentially distributed (Gaussian noise chẳng hạn) Thì đa số vectors tập trung ellipsoid định nghĩa covariance matrix (positive semi-definite) Trục dài ellipsoid trục có variance cao nhất, nghĩa SNR cao Trục cho ta hướng biến thiên quan trọng data PCA lấy trục ellipsoid làm hệ sở, sau lấy k trục dài làm principal components để biểu diễn data (Dĩ nhiên, ta phải shift mean gốc tọa độ trước đổi hệ sở.) Ngơ Quang Hưng | Đề tài: Tốn Ứng Dụng | | 23 In ...MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ VÀ XÂY DỰNG BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ A PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP MỘT Phương trình sai phân tuyến tính cấp phương trình sai phân. .. khác dãy số Ví dụ 1: Xuất phát từ phương trình ( λ − 1) ( λ + ) = ⇔ λ + 8λ − = (12.1) phương trình (12.1) coi phương trình đặc trưng dãy số có quy luật Chẳng hạn dãy số un xác định theo công thức. .. theo công thức sau un+ − 2.un +1 + un = cho u0 = 1, u1 = vận dụng thuật tốn xác định công thức tổng quát dãy số xn = ( n − 1) Ta phát biểu thành toán sau Bài toán 1: Xác định công thức dãy số xn