Đang tải... (xem toàn văn)
1. NH NG QUY T C CHUNG TRONG CH NG MINH B T Đ NG TH C S Ữ Ắ Ứ Ấ Ẳ Ứ Ử D NG B T Đ NG TH C CÔ SI Ụ Ấ Ẳ Ứ Quy t c song hành ắ : h u h t các BĐT đ u có tính đ i x ng do đó vi c s d ng các ch ng minh m t cách ầ ế ề ố ứ ệ ử ụ ứ ộ song hành, tu n t s giúp ta hình dung ra đ c k t qu nhanh chóng và đ nh h ng cách gi nhanh h n. ầ ự ẽ ượ ế ả ị ướ ả ơ Quy t c d u b ng ắ ấ ằ : d u b ng “ = ” trong BĐT là r t quan tr ng. Nó giúp ta ki m tra tính đúng đ n c a ấ ằ ấ ọ ể ắ ủ ch ng minh. Nó đ nh h ng cho ta ph ng pháp gi i, d a vào đi m r i c a BĐT. Chính vì v y mà khi d y cho ứ ị ướ ươ ả ự ể ơ ủ ậ ạ h c sinh ta rèn luy n cho h c sinh có thói quen tìm đi u ki n x y ra d u b ng m c dù trong các kì thi h c sinh có ọ ệ ọ ề ệ ả ấ ằ ặ ọ th không trình bày ph n này. Ta th y đ c u đi m c a d u b ng đ c bi t trong ph ng pháp đi m r i và ể ầ ấ ượ ư ể ủ ấ ằ ặ ệ ươ ể ơ ph ng pháp tách ngh ch đ o trong k thu t s d ng BĐT Cô Si. ươ ị ả ỹ ậ ử ụ Quy t c v tính đ ng th i c a d u b ng ắ ề ồ ờ ủ ấ ằ : không ch h c sinh mà ngay c m t s giáo viên khi m i ỉ ọ ả ộ ố ớ nghiên c u và ch ng minh BĐT cũng th ng r t hay m c sai l m này. Áp d ng liên ti p ho c song hành các BĐT ứ ứ ươ ấ ắ ầ ụ ế ặ nh ng không chú ý đ n đi m r i c a d u b ng. M t nguyên t c khi áp d ng song hành các BĐT là đi m r i ph i ư ế ể ơ ủ ấ ằ ộ ắ ụ ể ơ ả đ c đ ng th i x y ra, nghĩa là các d u “ = ” ph i đ c cùng đ c th a mãn v i cùng m t đi u ki n c a bi n. ượ ồ ờ ả ấ ả ượ ượ ỏ ớ ộ ề ệ ủ ế Quy t c biên ắ : C s c a quy t c biên này là các bài toán quy ho ch tuy n tính, các bài toán t i u, các bài ơ ủ ắ ạ ế ố ư toán c c tr có đi u ki n ràng bu c, giá tr l n nh t nh nh t c a hàm nhi u bi n trên m t mi n đóng. Ta bi t ự ị ề ệ ộ ị ớ ấ ỏ ấ ủ ề ế ộ ề ế r ng các giá tr l n nh t, nh nh t th ng x y ra các v trí biên và các đ nh n m trên biên. ằ ị ớ ấ ỏ ấ ườ ả ị ỉ ằ Quy t c đ i x ng ắ ố ứ : các BĐT th ng có tính đ i x ng v y thì vai trò c a các bi n trong BĐT là nh nhau ườ ố ứ ậ ủ ế ư do đó d u “ = ” th ng x y ra t i v trí các bi n đó b ng nhau. N u bài toán có g n h đi u ki n đ i x ng thì ta có ấ ườ ả ạ ị ế ằ ế ắ ệ ề ệ ố ứ th ch ra d u “ = ” x y ra khi các bi n b ng nhau và mang m t giá tr c th . ể ỉ ấ ả ế ằ ộ ị ụ ể Chi u c a BĐT : “ ≥ ”, “ ≤ ” cũng s giúp ta đ nh h ng đ c cách ch ng
Kỹ thuật sử dụng Bất đẳng thức Cô-Si (Tài liệu l u hành nội bộ) Biên soạn nội dung: Thầy Nguyễn Cao C ờng Tel: 0904.15.16.50 Kü thuËt sö dông B§T C« Si 1. NH NG QUY T C CHUNG TRONG CH NG MINH B T Đ NG TH C SỮ Ắ Ứ Ấ Ẳ Ứ Ử D NG B T Đ NG TH C CÔ SIỤ Ấ Ẳ Ứ Quy t c song hànhắ : h u h t các BĐT đ u có tính đ i x ng do đó vi c s d ng các ch ng minh m t cáchầ ế ề ố ứ ệ ử ụ ứ ộ song hành, tu n t s giúp ta hình dung ra đ c k t qu nhanh chóng và đ nh h ng cách gi nhanh h n.ầ ự ẽ ượ ế ả ị ướ ả ơ Quy t c d u b ngắ ấ ằ : d u b ng “ = ” trong BĐT là r t quan tr ng. Nó giúp ta ki m tra tính đúng đ n c aấ ằ ấ ọ ể ắ ủ ch ng minh. Nó đ nh h ng cho ta ph ng pháp gi i, d a vào đi m r i c a BĐT. Chính vì v y mà khi d y choứ ị ướ ươ ả ự ể ơ ủ ậ ạ h c sinh ta rèn luy n cho h c sinh có thói quen tìm đi u ki n x y ra d u b ng m c dù trong các kì thi h c sinh cóọ ệ ọ ề ệ ả ấ ằ ặ ọ th không trình bày ph n này. Ta th y đ c u đi m c a d u b ng đ c bi t trong ph ng pháp đi m r i vàể ầ ấ ượ ư ể ủ ấ ằ ặ ệ ươ ể ơ ph ng pháp tách ngh ch đ o trong k thu t s d ng BĐT Cô Si.ươ ị ả ỹ ậ ử ụ Quy t c v tính đ ng th i c a d u b ngắ ề ồ ờ ủ ấ ằ : không ch h c sinh mà ngay c m t s giáo viên khi m iỉ ọ ả ộ ố ớ nghiên c u và ch ng minh BĐT cũng th ng r t hay m c sai l m này. Áp d ng liên ti p ho c song hành các BĐTứ ứ ươ ấ ắ ầ ụ ế ặ nh ng không chú ý đ n đi m r i c a d u b ng. M t nguyên t c khi áp d ng song hành các BĐT là đi m r i ph iư ế ể ơ ủ ấ ằ ộ ắ ụ ể ơ ả đ c đ ng th i x y ra, nghĩa là các d u “ = ” ph i đ c cùng đ c th a mãn v i cùng m t đi u ki n c a bi n.ượ ồ ờ ả ấ ả ượ ượ ỏ ớ ộ ề ệ ủ ế Quy t c biênắ : C s c a quy t c biên này là các bài toán quy ho ch tuy n tính, các bài toán t i u, các bàiơ ở ủ ắ ạ ế ố ư toán c c tr có đi u ki n ràng bu c, giá tr l n nh t nh nh t c a hàm nhi u bi n trên m t mi n đóng. Ta bi tự ị ề ệ ộ ị ớ ấ ỏ ấ ủ ề ế ộ ề ế r ng các giá tr l n nh t, nh nh t th ng x y ra các v trí biên và các đ nh n m trên biên.ằ ị ớ ấ ỏ ấ ườ ả ở ị ỉ ằ Quy t c đ i x ngắ ố ứ : các BĐT th ng có tính đ i x ng v y thì vai trò c a các bi n trong BĐT là nh nhauườ ố ứ ậ ủ ế ư do đó d u “ = ” th ng x y ra t i v trí các bi n đó b ng nhau. N u bài toán có g n h đi u ki n đ i x ng thì ta cóấ ườ ả ạ ị ế ằ ế ắ ệ ề ệ ố ứ th ch ra d u “ = ” x y ra khi các bi n b ng nhau và mang m t giá tr c th .ể ỉ ấ ả ế ằ ộ ị ụ ể Chi u c a BĐT : “ ≥ ”, “ ≤ ” cũng s giúp ta đ nh h ng đ c cách ch ng minh: đánh giá t TBC sang TBN vàề ủ ẽ ị ướ ượ ứ ừ ng c l iượ ạ Trên là 5 quy t c s giúp ta có đ nh h ng đ ch ng minh BĐT, h c sinh s th c s hi u đ c các quy t c trênắ ẽ ị ướ ể ứ ọ ẽ ự ự ể ượ ắ qua các ví d và bình lu n ph n sau.ụ ậ ở ầ 2. B T Đ NG TH C CÔ SIẤ Ẳ Ứ (CAUCHY) 1. D ng t ng quátạ ổ (n s ): ố ∀x 1 , x 2 , x 3 …… x n ≥ 0 ta có: • D ng 1: ạ 1 2 1 2 n n n x x x x x x n + + ≥ • D ng 2: ạ 1 2 1 2 n n n x x x n x x x+ + ≥ • D ng 3:ạ 1 2 1 2 n n n x x x x x x n + + ≥ D u “ = ” x y ra khi và ch khi: ấ ả ỉ 1 2 n x x x= = = H qu 1ệ ả : N u:ế 1 2 n x x x S const+ + + = = thì: ( ) 1 2 P n n S Max n x x x = = khi 1 2 n S n x x x == = = H qu 2:ệ ả N u: ế 1 2 n x x x P const= = thì: ( ) 1 2 2 n Min S n Px x x =+ += khi 1 2 n n x x x P== = = 2. D ng c thạ ụ ể ( 2 s , 3 s ):ố ố n = 2: ∀ x, y ≥ 0 khi đó: n = 3: ∀ x, y, z ≥ 0 khi đó: 2.1 2 x y xy + ≥ 3 3 x y z xyz + + ≥ 2.2 2x y xy+ ≥ 3 3 x y z xyz+ + ≥ 2.3 2 2 x y xy + ≥ 3 3 x y z xyz + + ≥ - Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50 2 Kü thuËt sö dông B§T C« Si 2.4 ( ) 2 4x y xy+ ≥ ( ) 3 27x y z xyz+ + ≥ 2.5 1 1 4 x y x y + ≥ + 1 1 1 9 x y z x y z + + ≥ + + 2.6 ( ) 2 1 4 xy x y ≥ + ( ) 3 1 4 xyz x y z ≥ + + Bình lu n: ậ • Đ h c sinh d nh , ta nói: Trung bình c ng (TBC) ≥ Trung bình nhân (TBN).ể ọ ễ ớ ộ • D ng 2 và d ng 3 khi đ t c nh nhau có v t m th ng nh ng l i giúp ta nh n d ng khi s d ng BĐT Cô Si:ạ ạ ặ ạ ẻ ầ ườ ư ạ ậ ạ ử ụ (3) đánh giá t TBN sang TBC khi không có c căn th c.ừ ả ứ 3. CÁC K THU T S D NGỸ Ậ Ử Ụ 3.1 Đánh giá t trung bình c ng sang trung bình nhân.ừ ộ Đánh giá t TBC sang TBN là đánh giá BĐT theo chi u “ ≥ ”. Đánh giá t t ng sang tích.ừ ề ừ ổ Bài 1: Ch ng minh r ng: ứ ằ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , ,8 a b ca b b c c a a b c ∀+ + + ≥ Gi iả Sai l m th ng g p: ầ ườ ặ S d ng: ử ụ ∀ x, y thì x 2 - 2xy + y 2 = ( x- y) 2 ≥ 0 ⇔ x 2 + y 2 ≥ 2xy. Do đó: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b ab b c bc c a ca + ≥ + ≥ + ≥ ⇒ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 , ,a b b c c a a b c a b c+ + + ≥ ∀ (Sai) Ví d : ụ 2 2 3 5 4 3 ≥ − ≥ − ≥ ⇒ 24 = 2.3.4 ≥ (-2)(-5).3 = 30 ( Sai ) L i gi i đúng:ờ ả S d ng BĐT Cô Si: xử ụ 2 + y 2 ≥ 2 2 2 x y = 2|xy| ta có: 2 2 2 2 2 2 0 0 0 2 2 2 a b ab b c bc c a ca ≥ ≥ ≥ + ≥ + ≥ + ≥ ⇒ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 | 8| 8 , ,a b b c c a a b c a b c a b c=+ + + ≥ ∀ (Đúng) Bình lu n:ậ • Ch nhân các v c a BĐT cùng chi u ( k t qu đ c BĐT cùng chi u) khi và ch khi các v cùng không âm.ỉ ế ủ ề ế ả ượ ề ỉ ế • C n chú ý r ng: xầ ằ 2 + y 2 ≥ 2 2 2 x y = 2|xy| vì x, y không bi t âm hay d ng.ế ươ • Nói chung ta ít g p bài toán s d ng ngay BĐT Cô Si nh bài toán nói trên mà ph i qua m t và phép bi n đ iặ ử ụ ư ả ộ ể ổ đ n tình hu ng thích h p r i m i s d ng BĐT Cô Si.ế ố ợ ồ ớ ử ụ • Trong bài toán trên d u “ ≥ ” ấ ⇒ đánh giá t TBC sang TBN. 8 = 2.2.2 g i ý đ n vi c s d ng b t đ ng th cừ ợ ế ệ ử ụ ấ ẳ ứ Côsi cho 2 s , 3 c p s .ố ặ ố Bài 2 : Ch ng minh r ng: ứ ằ ( ) 8 2 64 ( )a b ab a b+ ≥ + ∀ a,b ≥ 0 Gi iả ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 8 2 4 ôSi 2 4 2 .2 2 2 2 2 . . C a b a b a b ab a b ab ab a b = = + = = + + + ≥ + + 2 64 ( )ab a b= + Bài 3: Ch ng minh r ng: (1 + a + b)(a + b + ab) ≥ 9ab ứ ằ ∀ a, b ≥ 0. - Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50 3 Kü thuËt sö dông B§T C« Si Gi iả Ta có: (1 + a + b)(a + b + ab) ≥ 3 3 3 1. . . 3. . . 9a b a b ab ab= Bình lu nậ : • 9 = 3.3 g i ý s d ng Côsi cho ba s , 2 c p. M i bi n a, b đ c xu t hi n ba l n, v y khi s d ng Cô Si choợ ử ụ ố ặ ỗ ế ượ ấ ệ ầ ậ ử ụ ba s s kh đ c căn th c cho các bi n đó.ố ẽ ử ượ ứ ế Bài 4: Ch ng minh r ng: 3aứ ằ 3 + 7b 3 ≥ 9ab 2 ∀ a, b ≥ 0 Gi iả Ta có: 3a 3 + 7b 3 ≥ 3a 3 + 6b 3 = 3a 3 + 3b 3 + 3b 3 3 3 3 3 3 3 Côsi a b ≥ = 9ab 2 Bình lu n: ậ • 9ab 2 = 9.a.b.b ⇒ g i ý đ n vi c tách h ng t 7bợ ế ệ ạ ử 3 thành hai h ng t ch a bạ ử ứ 3 đ khi áp d ng BĐT Côsi ta có bể ụ 2 . Khi đã có đ nh h ng nh trên thì vi c tách các h s không có gì khó khăn.ị ướ ư ệ ệ ố Bài 5: Cho: , , , 0 1 : 1 1 1 1 81 3 1 1 1 1 a b c d CMR abcd a b c d > ≤ + + + ≥ + + + + Gi iả T gi thi t suy ra:ừ ả ế ( ) ( ) ( ) ôsi 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = - C b c d bcd a b c d b c d b c d ≥ + − + − + + ≥ + + + + + + + + + + V y:ậ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 d 81 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 bcd a b c d cda b c d a abc a b c d a b c d dca c d c a abc d a b c ⇒ ≥ ≥ + + + + ≥ ≥ + + + + ≥ + + + + + + + + ≥ ≥ + + + + ≥ ≥ + + + + ⇒ 1 81 abcd ≤ Bài toán t ng quát 1:ổ Cho: ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 , , , , 1 0 1 : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n x x x x CMR x x x x n x x x x − > ≤ + + + + ≥ − + + + + Bình lu n:ậ • Đ i v i nh ng bài toán có đi u ki n là các bi u th c đ i x ng c a bi n thì vi c bi n đ i đi u ki n mangố ớ ữ ề ệ ể ứ ố ứ ủ ề ệ ế ổ ề ệ tính đ i x ng s giúp ta x lí các bài toán ch ng minh BĐT d dàng h nố ứ ẽ ử ứ ễ ơ Bài 6: Cho , , 0 1 1 1 : 1 1 1 8 1 a b c CMR a b c a b c > − − − ≥ + + = (1) Gi iả ôsi 1 1 1 (1) . . 2 2 2 . . . . 8 C a b c VT a b c b c c a a b bc ca ab a b c a b c − − − = + + + = =≥ (đpcm) - Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50 4 Kü thuËt sö dông B§T C« Si Bài toán t ng quát 2:ổ Cho: ( ) n 1 2 3 1 2 31 2 3 , , , , 1 1 0 1 1 1 1 : 1 1 1 1 n n n n x x x x CMR x x x xx x x x − + + + + = > − − − − ≥ Bài 7: CMR: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 3 3 3 1 1 1 1 1 8 , , 0 3 a b c a b c abc abc a b c + + + ≥ + + + ≥ + ≥ ∀ ≥ Gi iả Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ôsi 3 3 1 1 1 1 1 1 1 3 3 C a b c a b c a b c + + + = + + + + + ≥ + + + (1) Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1a b c ab bc ca a b c abc =+ + + + + + + + + + ( ) ( ) 2 2 2 3 ôsi 3 3 3 3 11 3 C a b c abc abc abc+ + = +≥ + (2) Ta có: ( ) 3 3 3 3 ôsi 2 1. 81 C abc abc abc =+ ≥ (3) D u “ = ” (1) x y ra ấ ả ⇔ 1+a = 1+b = 1+c ⇔ a = b = c D u “ = ” (2) x y ra ấ ả ⇔ ab = bc = ca và a = b = c ⇔ a = b= c D u “ = ” (3) x y ra ấ ả ⇔ 3 abc =1 ⇔ abc = 1 Bài toán t ng quát 3:ổ Cho x 1 , x 2 , x 3 ,……., x n ≥ 0. CMR: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x n + + + + ≥ + + + ≥ + ≥ Bình lu n:ậ • Bài toán t ng quát trên th ng đ c s d ng cho 3 s , áp d ng cho các bài toán v BĐT l ng giác trong tamổ ườ ượ ử ụ ố ụ ề ượ giác sau này. • Trong các bài toán có đi u ki n ràng bu c vi c x lí các đi u ki n mang tình đ ng b và đ i x ng là r t quanề ệ ộ ệ ử ề ệ ồ ộ ố ứ ấ tr ng, giúp ta đ nh h ng đ c h ng ch ng minh BĐT đúng hay sai.ọ ị ướ ượ ướ ứ Trong vi c đánh giá t TBC sang TBN có m t k thu t nh hay đ c s d ng. Đó là kĩ thu t tách ngh ch đ o.ệ ừ ộ ỹ ậ ỏ ượ ử ụ ậ ị ả 3.2 K thu t tách ngh ch đ o.ỹ ậ ị ả Bài 1: CMR: 2 . 0 a b a b b a + ≥ ∀ > Gi iả Ta có: 2 2 Côsi a b a b b a b a + ≥ = Bài 2: CMR: 2 2 2 2 1 a a R a + ≥ ∀ ∈ + Gi iả Ta có: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 ôsi 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 C a a a a a a a a = = ≥ = + + + + + + + + + + D u “ = ” x y ra ấ ả ⇔ 2 2 2 1 1 1 1 0 1 a a a a = ⇔+ + = ⇔ = + Bài 3: CMR: ( ) 1 3 0a a b b a b + ≥ ∀ > > − - Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50 5 Kü thuËt sö dông B§T C« Si Gi iả Ta có nh n xét: b + a – b = a không ph thu c vào bi n b đo đó h ng t đ u a s đ c phân tích nh sau:ậ ụ ộ ế ạ ử ầ ẽ ượ ư ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ôsi . 1 1 1 3 . 3 0 C a b a b b a b a b b a b b a b b a b + = + − + ≥ − = ∀ > > − − − D u “ = ” x y ra ấ ả ⇔ ( ) ( ) 1 b a b b a b == − − ⇔ a = 2 và b = 1. Bài 4: CMR: ( ) ( ) 2 4 3 0 1 a a b a b b + ≥ ∀ > > − + (1) Gi iả Vì h ng t đ u ch có a c n ph i thêm b t đ tách thành các h ng t sau khi s d ng BĐT s rút g n choạ ử ầ ỉ ầ ả ớ ể ạ ử ử ụ ẽ ọ các th a s d i m u. Tuy nhiên bi u th c d i m u có d ng ừ ố ướ ẫ ể ứ ướ ẫ ạ ( ) ( ) 2 1a b b− + (th a s th nh t là m t đa th cừ ố ứ ấ ộ ứ b c nh t b, th a s 2 là m t th c b c hai c a b) do đó ta ph i phân tích v thành tích c a các đa th c b c nh t đ iậ ấ ừ ố ộ ứ ậ ủ ả ề ủ ứ ậ ấ ố v i b, khi đó ta có th tách h ng t a thành t ng các h ng t là các th a s c a m u. ớ ể ạ ử ổ ạ ử ừ ố ủ ẫ V y ta có: ậ ( ) ( ) 2 1a b b− + = (a - b)( b + 1)( b + 1) ⇒ ta phân tích a theo 2 cách sau: 2a +2 = 2(a - b) + ( b + 1) + ( b + 1) ho c a +1 = ặ ( ) 1 1 2 2 b b a b + + + − + T đó ta có ừ (1) t ng đ ng :ươ ươ VT + 1 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 1 1 4 1 2 2 1 1 1 b b a a b a b b b a b b = + + + + + + − + − + + − + ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ôsi . . . . 1 1 4 4 4 2 2 1 1 C b b a b a b b b + + ≥ − = − + + ⇒ ĐPCM Bài 5: CMR : 3 1 2a 1 2 3 4 ( ) 1 a b a b a b ≥ + ≥ ∀ − > Gi iả Nh n xét: D i m u s b(a-b) ta nh n th y b + ( a – b ) = a. Chuy n đ i t t c bi u th c sang bi n a là 1ậ ướ ẫ ố ậ ấ ể ổ ấ ả ể ứ ế đi u mong mu n vì vi c s lí v i 1 bi n s đ n gi n h n. Bi n tích thành t ng thì đây là m t m t m nh c a BĐTề ố ệ ử ớ ế ẽ ơ ả ơ ế ổ ộ ặ ạ ủ Côsi. Do đó: Ta có đánh giá v m u s nh sau: ề ẫ ố ư ( ) ( ) 2 2 4. 4. 4. 2 4 b a b a b a b a + − − ≤ = = V y: ậ 3 3 3 ôsi 3 2 2 3 ôsi 3 3 2a 1 2 1 1 1 1 . . 4 ( ) C C a a a a a a a b a b a a a a + = = = + + + ≥ + + ≥ − D u “ = ” x y ra ấ ả ⇔ 2 1 1 1 2 b a b a a b a = − = ⇔ = = Bình lu n:ậ • Trong vi c x lí m u s ta đã s d ng 1 k thu t đó là đánh giá t TBN sang TBC nh m làm tri t tiêu bi n b.ệ ử ẫ ố ử ụ ỹ ậ ừ ằ ệ ế • Đ i v i phân th c thì vi c đánh giá m u s , ho c t s t TBN sang TBC hay ng c l i ph i ph thu c vàoố ớ ứ ệ ẫ ố ặ ử ố ừ ượ ạ ả ụ ộ d u c a BĐT. ấ ủ Bài 6: Bài toán t ng quát 1.ổ - Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50 6 Kü thuËt sö dông B§T C« Si Cho: 1 2 3 , 0 à 1 n x x x x v k Z> > > > ≤ ∈ . CMR: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 1 2 2 3 1 1 2 1 k kk n k n k n n n n k a a a a a a a a k − + − − − + + − − − ≥ Gi iả VT = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 3 1 1 2 2 3 1 1 n n k kk n n n n a a a a a a a a a a a a a a − − + + + + − + − − − − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 2 1 2 2 3 1 . 1 . n n n n n k k k n n n k k a a a a a a a a a k k k k a a a a a a a − − − + + + + + + − − − − = + + − − − 1 4 4 442 4 4 4 43 1 4 4 4 442 4 4 4 4 43 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 2 1 2 2 3 1 1 2 . . 1 1 2 . . n n n n n k k k n n n n k k k a a a a a a a a n k a k k k k a a a a a a a − − − − + − − − − − + − − − ≥ 1 4 442 4 4 43 1 4 4 442 4 4 4 43 ( ) 1 2 1 1 2 n k n k n k k − + − − + = Tóm l i:ạ Trong k thu t tách ngh ch đ o k thu t c n tách ph n nguyên theo m u s đ khi chuy n sang TBN thìỹ ậ ị ả ỹ ậ ầ ầ ẫ ố ể ể các ph n ch a bi n s b tri t tiêu ch còn l i h ng s .ầ ứ ế ố ị ệ ỉ ạ ằ ố Tuy nhiên trong k thu t tách ngh ch đ o đ i v i bài toán có đi u ki n ràng bu c c a n thì vi c tách ngh chỹ ậ ị ả ố ớ ề ệ ộ ủ ẩ ệ ị đ o h c sinh th ng b m c sai l m. M t k thu t th ng đ c s d ng trong k thu t tách ngh ch đ o, đánh giáả ọ ườ ị ắ ầ ộ ỹ ậ ườ ượ ử ụ ỹ ậ ị ả t TBN sang TBC là k thu t ch n đi m r i.ừ ỹ ậ ọ ể ơ 3.3 K thu t ch n đi m r iỹ ậ ọ ể ơ Trong k thu t ch n đi m r i, vi c s d ng d u “ = ” trong BĐT Côsi và các quy t c v tính đ ng th i c aỹ ậ ọ ể ơ ệ ử ụ ấ ắ ề ồ ờ ủ d u “ = ”, quy t c biên và quy t c đ i x ng s đ c s d ng đ tìm đi m r i c a bi n.ấ ắ ắ ố ứ ẽ ượ ử ụ ể ể ơ ủ ế Bài 1: Cho a ≥ 2 . Tìm giá tr nh nh t (GTNN) c a ị ỏ ấ ủ 1 S a a = + Gi iả Sai l m th ng g p c a h c sinh:ầ ườ ặ ủ ọ 1 S a a = + ≥ 2 1 a a =2 D u “ = ” x y ra ấ ả ⇔ 1 a a = ⇔ a = 1 ⇒ vô lí vì gi thi t là a ≥ 2.ả ế Cách làm đúng: Ta ch n đi m r i: ta ph i tách h ng t a ho c h ng t ọ ể ơ ả ạ ử ặ ạ ử 1 a đ sao cho khi áp d ng BĐT Côsi d u “ = ” x y ra khi aể ụ ấ ả = 2. Có các hình th c tách sau:ứ 1 1 ; (1) 1 ; (2) 1 , 1 ; (3) ; (4) a a a a a a a a a a α α α α ⇒ V y ta có: ậ 5 1 4 4 2 1 3 1 3 3.2 2 4 4 4 a a a a S a a + + ≥ + == + ≥ . D u “ = ” x y ra ấ ả ⇔ a = 2. Bình lu n:ậ - Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50 7 Ch ng h n ta ch n s đ đi m r i (1):ẳ ạ ọ ơ ồ ể ơ (s đ đi m r i (2), (3), (4) h c sinh t làm)ơ ồ ể ơ ọ ự 1 2 1 1 2 a a α α = = ⇒ 2 1 2 α = ⇒ α = 4. Kü thuËt sö dông B§T C« Si • Ta s d ng đi u ki n d u “ = ” và đi m r i là a = 2 d a trên quy tăc biên đ tìm ra ử ụ ề ệ ấ ể ơ ự ể α = 4. • đây ta th y tính đ ng th i c a d u “ = ” trong vi c áp d ng BĐT Côsi cho 2 s Ở ấ ồ ờ ủ ấ ệ ụ ố , 4 1a a và 3 4 a đ t giá trạ ị l n nh t khi a = 2, t c là chúng có cùng đi m r i là a = 2.ớ ấ ứ ể ơ Bài 2: Cho a ≥ 2. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: ị ỏ ấ ủ ể ứ 2 1 S a a = + Gi iả S đ ch n đi m r iơ ồ ọ ể ơ : a = 2 ⇒ 2 2 1 1 4 a a α α = = ⇒ 2 1 4 α = ⇒ α = 8. Sai l m th ng g p:ầ ườ ặ 2 2 2 . 1 1 7 1 7 2 7 2 7.2 2 7 9 2 8 8 8 8 8 8 4 4 4 8 8.2 a a a a a S a a a a a = + + + = + ≥ = + ≥ + = + = ⇒ MinS = 9 4 Nguyên nhân sai l m:ầ M c dù ch n đi m r i a = 2 và MinS = ặ ọ ể ơ 9 4 là đáp s đúng nh ng cách gi i trên đã m c sai l m trong vi c đánh giáố ư ả ắ ầ ệ m u s : N u a ≥ 2 thì ẫ ố ế 2 2 2 4 8 8.2a =≥ là đánh giá sai. Đ th c hi n l i gi i đúng ta c n ph i k t h p v i k thu t tách ngh ch đ o, ph i bi n đ i S sao cho sau khi sể ự ệ ờ ả ầ ả ế ợ ớ ỹ ậ ị ả ả ế ổ ử d ng BĐT Côsi s kh h t bi n s a m u s .ụ ẽ ử ế ế ố ở ẫ ố L i gi i đúng:ờ ả 3 2 2 2 ôsi . . 1 1 6 1 6 3 6 3 6.2 9 3 8 8 8 8 8 8 4 8 4 8 4 C a a a a a a a S a a a a = + + + + = + ≥ = + ≥ + = V i a = 2 thì Min S = ớ 9 4 Bài 3: Cho , , 0 3 2 a b c a b c > + + ≤ . Tìm giá tr nh nh t c a ị ỏ ấ ủ 1 1 1 S a b c a b c = + + + + + Gi iả Sai l m th ng g p:ầ ườ ặ 6 . . 1 1 1 1 1 1 6 . . . 6S a b c a b c a b c a b c ≥ == + + + + + ⇒ Min S = 6 Nguyên nhân sai l m :ầ Min S = 6 ⇔ 3 1 2 1 1 1 3a b c a b c a c b = = = ⇒= = = + + = > trái v i gi i thi t.ớ ả ế Phân tích và tìm tòi l i gi i:ờ ả Do S là m t bi u th c đ i x ng v i a, b, c nên d đoán MinS đ t t i đi m r i ọ ể ứ ố ứ ớ ự ạ ạ ể ơ 1 2 a b c= = = S đ đi m r i: ơ ồ ể ơ 1 2 a b c= = = ⇒ 1 2 1 1 1 2 a b c a b c α α α α = = = = = = ⇒ 2 4 1 2 α α ⇒ = = Ho c ta có s đ điêm r i sau:ặ ơ ồ ơ - Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50 8 Kü thuËt sö dông B§T C« Si 1 2 a b c= = = ⇒ 2 2 4 2 1 1 1 2 a b c a b c α α α α α α ⇒ = = = = = = = ⇒ = ⇒ 2 4 1 2 α α = ⇒ = V y ta có cách gi i theo s đ 2 nh sau:ậ ả ơ ồ ư ( ) ( ) 6 . . 1 1 1 1 1 1 4 4 4 3 6 4 .4 .4 . 3S a b c a b c a b c a b c a b c a b c ≥= + + + + + − + + − + + 3 15 12 3. 2 2 ≥ − = . V i ớ 1 2 a b c= = = thì MinS = 15 2 Bài 4: Cho , , 0 3 2 a b c a b c > + + ≤ . Tìm GTNN c a ủ 2 2 2 2 2 2 1 1 1 S a b c b c a = + + + + + Gi iả Sai l m th ng g p:ầ ườ ặ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 6 . . . . 1 1 1 1 1 1 3 3a b c a b c b c a b c a S ≥ =+ + + + + + 2 2 2 6 2 2 2 6 . . . . . 1 1 1 3 2 2 2 3 8 3 2a b c b c a = =≥ ⇒ MinS = 3 2 . Nguyên nhân sai l m: ầ MinS = 3 2 ⇔ 3 1 2 1 1 1 3a b c a b c a c b = = = ⇒ = = = + + = > trái v i gi thi t.ớ ả ế Phân tích và tìm tòi l i gi iờ ả Do S là m t bi u th c đ i x ng v i a, b, c nên d đoán MinS đ t t i ộ ể ứ ố ứ ớ ự ạ ạ 1 2 a b c= = = 2 2 2 2 2 2 1 1 4 4 16 4 41 1 1 a b c a b c α α α α α α ⇒ = = = = = = = ⇒ = L i gi iờ ả 2 2 2 2 2 2 2 2 2 16 16 16 1 1 1 1 1 1 16 16 16 16 16 16 S a b c b b c c a a + + + + + += + + + + + 1 4 442 4 4 43 1 4 442 4 4 43 1 4 442 4 4 43 2 2 2 2 2 2 2 2 2 16 16 16 17 17 17 17 . 17 . 17 . 1 1 1 1 1 1 16 16 16 16 16 16 a b c b b c c a a ≥ + + 1 442 4 43 1 442 4 43 1 442 4 43 2 2 2 17 17 17 17 17 17 16 32 16 32 16 32 8 16 8 16 8 16 17 17 17 17 16 16 16 16 16 16 a b c a b c b c a b c a = + + = + + ( ) 3 17 17 17 17 8 16 8 16 8 16 8 5 5 5 5 17 . . 3. 17 . 3 17 17 3 16 16 16 16 2 2 2 2 a b c a b c a a b c a b c = = ≥ 15 17 2 2 2 . 3 3 17 3 17 2 2 a b c ≥ ≥ + + . D u “ = ” x y ra khi ấ ả 1 2 a b c= = = ⇒ Min S = 3 17 2 - Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50 9 Kü thuËt sö dông B§T C« Si Bình lu n:ậ • Vi c ch n đi m r i cho bài toán trên đã gi i quy t m t cách đúng đ n v m t toán h c nh ng cách làm trênệ ọ ể ơ ả ế ộ ắ ề ặ ọ ư t ng đ i c ng k nh. N u chúng ta áp d ng vi c ch n đi m r i cho BĐT Bunhiacôpski thì bài toán sươ ố ồ ề ế ụ ệ ọ ể ơ ẽ nhanh g n h n đ p h n.ọ ơ ẹ ơ • Trong bài toán trên chúng ta đã dùng m t k thu t đánh giá t TBN sang TBC, chi u c a d u c a BĐT khôngộ ỹ ậ ừ ề ủ ấ ủ ch ph thu c vào chi u đánh giá mà nó còn ph thu c vào bi u th c đánh giá n m m u s hay t sỉ ụ ộ ề ụ ộ ể ứ ằ ở ẫ ố ở ử ố Bài 5: Cho a, b, c, d > 0. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:ị ỏ ấ ủ ể ứ a b c d b c d c d a a b d a b c S b c d c d a a b d a b c a b c d + + + + + + + + = + + + + + + + + + + + + + + + Gi iả Sai l m 1 th ng g p:ầ ườ ặ . . . . 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c d a b c d b c d a b c d a b c d a b c d a c d a b c d a b c a b d c a b d a b d c a b d c d a b c d a b c a b c d a b c d + + + + + ≥ = + + + + + + + + + ≥ = + + + + + + + + + ≥ = + + + + + + + + + ≥ = + + + + ⇒ S ≥ 2 + 2 + 2 + 2 = 8 Sai l m 2 th ng g p:ầ ườ ặ S d ng BĐT Côsi cho 8 s :ử ụ ố 8 . . . . . . .8 8 a b c d b c d c d a a b d a b c S b c d c d a a b d a b c a b c d + + + + + + + + ≥ = + + + + + + + + Nguyên nhân sai l m:ầ Min S = 8 ⇔ a b c d b c d a c d a b d a b c = + + = + + = + + = + + ⇒ a + b + c + d = 3(a + b + c + d) ⇒ 1 = 3 ⇒ Vô lý. Phân tích và tìm tòi l i gi iờ ả Đ tìm Min S ta c n chú ý S lá m t bi u th c đ i x ng v i a, b, c, d do đó Min S n u có th ng đ t t i “đi m r iể ầ ộ ể ứ ố ứ ớ ế ườ ạ ạ ể ơ t do” là : a = b = c = d > 0.(nói là đi m r i t do vì a, b, c, d không mang m t giá tr c th ). V y ta cho tr c a =ự ể ơ ự ộ ị ụ ể ậ ướ b = c = d d đoán ự 4 40 12 3 3 Min S = + = . T đó suy ra các đánh giá c a các BĐT b ph n ph i có đi u ki nừ ủ ộ ậ ả ề ệ d u b ng x y ra là t p con c a đi u ki n d đoán: a = b = c = d > 0.ấ ằ ả ậ ủ ề ệ ự Ta có s đ đi m r i:ơ ồ ể ơ Cho a = b = c = d > 0 ta có: 1 1 3 3 9 3 3 a b c d b c d c d a a b d a b c b c d c d a a b d a b c a b c d α α α ⇒ ⇒ = = = = + + + + + + + + = = + + + + + + + + = = = = Cách 1: S d ng BĐT Côsi ta có:ử ụ 8 , , , , , , . . . . . . . 8 . 9 9 9 8 9 9 9 9 a b c d a b c d a b c d b c d b c d a a a b c d b c d c d a a b d a b c b c d c d a a b d a b c a b c d S + + + + + + ≥ + + + + + + + + + + ≥ + + + + + + + + = ∑ ∑ 8 9 b c c d a b a b a a b b c c d d d a d c a b c d + + + + + + + + + + + + ≥ - Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50 10 [...]... b+c c+a 2 Giải b + c = x > 0 y+z−x z+ x− y x+ y−z ; b= ; c= Đặt: c + a = y > 0 ⇔ a = 2 2 2 a + b = z > 0 Khi đó bất đẳng thức đã cho tương đương với bất đẳng thức sau: ⇔ y y+z−x z+x− y x+ y−z + + ≥ + 2x 2y 2z x x z x y + + + + y x z z z ≥6 y Bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng, Thật vậy áp dụng BĐT Côsi ta có: VT ≥ 2 y x z x y z +2 +2 = 2+2+2 = 6 x y x z z y Dấu “... rằng nếu a, b, c > 0 va abc = 1 thì : 1 1 1 + + ≤1 2+ a 2+b 2+c Giải Bất đẳng thức đã cho tương đương với: 1 1 1 a b c +1− +1− ≥1 ⇔ + + ≥1 2+a 2+b 2+c 2+ a 2+b 2+c x y z x y z Đặt a = ; b = ; c = ; thỏa điều kiện a.b.c = = 1 Bất đẳng thức đã cho tương đương với: y z x y z x x y z + + ≥1 x + 2 y y + 2z z + 2x 1− Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: ( x ( x + 2 y ) + y ( y + 2 z ) + z ( z + 2... n ai Lấy (1) cộng (2) vế theo vế, ta được: a1 + Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: Suy ra 4 ≥ 2n hay n ≤ 2: a1 = 2 Với n = 1: hệ 1 vô nghiệm; a = 2 1 a1 + a2 = 2 Với n = 2: hệ 1 có nghiệm a1 = a2 = 1 1 a + a = 2 2 1 Vậy: n = 2 và a1 = a2 = 1 Sau đây sẽ là một số bài tập tương tự giúp học sinh ôn luyện kiến thức BÀI TẬP ĐỂ HỌC SINH VẬN DỤNG 1 Giải các phương trình sau: a) ( x 2 +... + + ≥ 9/ 2; MA MB MC MA MB MC + + ≥ 6; MD ME MF MD ME MF + + ≥ 3/ 2 f) MA MB MC c) 5 MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÁC CỦA BẤT ĐẲNG THỨC Áp dụng BĐT để giải phương trình và hệ phương trình 1 x + y −1 + z − 2 = ( x + y + z ) 2 Bài 1: Giải phương trình Giải Điều kiện : x ≥ 0, y ≥ 1, z ≥ 2 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm ta có: x = x.1 ≤ x +1 2 ( y −1) + 1 2 ( z − 2) + 1 z −1 z − 2 = ( z − 2 ) 1 ≤ =... 3) Bài 2: Giải phương trình: 4 1 − x 2 + 4 1+ x2 + 4 1+ x =3 Giải Điều kiện: -1 ≤ x ≤ 1 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 4 1− x2 = 4 1− x = 4 1+ x = 1− x + 1+ x 2 1− x +1 1 − x 1 ≤ 2 1+ x +1 1 + x 1 ≤ 2 1− x 1 + x ≤ Cộng (1), (2), (3) ta được: 4 1 − x 2 + 4 1 − x + 4 1 + x Mặt khác, lại theo bất đẳng thức Côsi ta có: (1 − x) + 1 2 − x = 1 − x = (1 − x).1 ≤ 2 2 (1 + x) + 1 2 + x 1 + x =... dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: 2 2 x − x 2 + 1 ≤ ( x − x + 1) + 1 = x − x + 2 2 2 ⇒ x 2 + x −1 + x − x2 + 1 ≤ x + 1 (2) Kết hợp (1) và (2) ta có: x 2 − x + 2 ≤ x + 1 ⇔ ( x − 1) 2 ≤ 0 ⇔ x = 1 Thử lại ta có x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình ( x − 1) y + ( y − 1) x = 2 xy Bài 4: Giải hệ phương trình: x y − 1 + y x − 1 = xy Giải Điều kiện: x ≥ 1, y ≥ 1 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si,... Chứng minh rằng: a2 b2 c2 + + ≥ a +b +c b + c − a c + a −b a +b −c Giải b + c − a = x > 0 y+z z+x x+ y ; b= ; c= Đặt: c + a − b = y > 0 ⇔ a = 2 2 2 a + b − c = z > 0 Khi đó bất đẳng thức đã cho tương đương với bất đẳng thức sau: 2 ⇔ 2 ( y + z) + ( z + x) + ( x + y) 4x Ta có: VT (2) ≥ 2 (2) ≥ x+ y+z 4y 4z yz zx xy 1 yz zx 1 zx xy 1 yz xy + + ≥ + + + + + x y z 2 x y 2 y z 2 x... n.1.1 1 ≤ 14 2 4 3 n n−2 Bài toán tổng quát 2: n−2 m 1 1 Chứng minh rằng: 1 + < 1 + m n = 2 n + ( n − 2) n + 2 n 2 < = 1+ n n n n ∀ m < n∈ N (1) Giải m 1 1 Ta biến đổi (1) về bất đẳng thức tương đương sau: n 1 + < 1 + m n Ta có: m n 1 + 1 1 1 1 = n 1 + 1 + 1 + 1.1 .1 m m m m 1 4 n2m4 3 − 1 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 43 m Côsi < m 6 4 4 4 4... ( b + c – a ).( c + a – b ).( a + b – c ) ≤ abc Giải (1) b + c − a = x > 0 y+z z+x x+ y ; b= ; c= Đặt: c + a − b = y > 0 ⇔ a = 2 2 2 a + b − c = z > 0 Khi đó ta có BĐT (1) tương đương với bất đẳng thức sau: xyz ≤ x+ y y+ z z+ x 2 2 2 Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng 0904.15.16.50 20 Kü thuËt sö dông B§T C« Si x+ y y+ z z+ x ≥ xy yz zx = xyz 2 2 2 Áp dụng BĐT Côsi ta có:... Dấu “ = ” xảy ra ⇔ a − 1 = 1 a = 2 Bình luận: • Ta thấy việc nhân thêm hằng số 1 vào biểu thức không hoàn toàn tự nhiên, tại sao lại nhân thêm 1 mà không phải là 2 Thực chất của vấn đề là chúng ta đã chọn điểm rơi của BĐT theo quy tắc biên là a = b = 1/2 Nếu không nhận thức được rõ vấn đề trên học sinh sẽ mắc sai lầm như trong VD sau a, b, c > 0 Bài 2: Cho Tìm giá trị lớn nhất: a + b . Kỹ thuật sử dụng Bất đẳng thức Cô -Si (Tài liệu l u hành nội bộ) Biên soạn nội dung: Thầy Nguyễn Cao C ờng Tel: 0904.15.16.50 Kü thuËt sö dông B§T C« Si 1. NH NG QUY T C CHUNG TRONG CH NG. y mà khi d y choứ ị ướ ươ ả ự ể ơ ủ ậ ạ h c sinh ta rèn luy n cho h c sinh có thói quen tìm đi u ki n x y ra d u b ng m c dù trong các kì thi h c sinh cóọ ệ ọ ề ệ ả ấ ằ ặ ọ th không trình bày. néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50 3 Kü thuËt sö dông B§T C« Si Gi iả Ta có: (1 + a + b)(a + b + ab) ≥ 3 3 3 1. . . 3. . . 9a b a b ab ab= Bình lu nậ : • 9 = 3.3 g i ý s d ng Côsi