SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ TRƯỜNG THPT THỊ XÃ QUẢNG TRỊ ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Người viết: Nguyễn Viết Hưng Năm học 2009 – 2010 I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Hình học không gian thuần túy là một môn học đòi hỏi nhiều về khả năng tư duy tưởng tượng. Trong chương trình toán phổ thông, học sinh tiếp xúc với môn học này hầu suốt cả năm học lớp 11 và học kì 1 lớp 12. Nói chung, đa số học sinh đều nhận xét đây là một phần khó so với các phần khác, dần dần hình thành trong các em tâm lí “e ngại hình học không gian”. Và vì vậy, một phương pháp khác đơn giản hơn để giúp học sinh giải quyết các bài toán không gian là rất cần thiết cho học sinh. Với ý tưởng đặt một hệ tọa độ phù hợp trong mỗi bài toán, trang bị tọa độ cho các điểm trong bài toán, giúp cho chúng ta chuyển từ việc phải giải bài toán này bằng phương pháp hình học thuần túy sang việc giải bài toán bằng phương pháp tọa độ có vẽ như đơn giản hơn. Với phương pháp này, học sinh hầu như chỉ khó khăn trong việc chọn hệ tọa độ Oxyz như thế nào cho hợp lí để có thể dễ dàng tìm được tọa độ các điểm trong bài toán đó. Một kinh nghiệm nhỏ là học sinh cần phải nắm được một số dạng hình cơ bản, cần phải linh hoạt biến đổi giữa phương pháp thuần túy và phương pháp tọa độ, không nên cứng nhắc rập khuôn. Còn khi đã tìm được tọa độ các điểm liên quan thì nội dung cần giải quyết của bài toán hầu hết đều là các bài toán cơ bản trong hình học tọa độ. Để góp phần nhỏ giúp cho học sinh có kinh nghiệm giải bài toán không gian thuần túy bằng phương pháp tọa độ, tôi xin trình bày một số đề toán hình không gian thuần túy trong các đề thi đại học những năm gần đây bằng phương pháp tọa độ. Một số bài toán khi giải có thể sẽ dài hơn so với cách giải thuần túy bởi vì đây không phải là phương pháp giải chính mà đề ra muốn hướng tới, nhưng với những học sinh nào giải chưa tốt hình không gian thuần túy thì phương pháp tọa độ chắc chắn là sự lựa chọn hợp lí nhất. II. NỘI DUNG: 1. Một số kiến thức chuẩn bị: - Các định nghĩa, định lí của hình học không gian thuần túy: góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng, đường thẳng vuông góc mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc, … - Các công thức cơ bản trong hình không gian tọa độ: điểm, vec tơ, phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng, công thức diện tích, thể tích, … 2. Sử dụng phương pháp tọa độ để giải hình học không gian: Dạng 1: Trong giả thiết bài toán tồn tại ba đường thẳng đồng quy đôi một vuông góc. Ví dụ, đề ra là một hình lập phương, hình chóp có đáy là một hình vuông, hình chữ nhật, hình thang vuông, … và có một cạnh bên vuông góc với đáy. Phương pháp: Khi đó, ta đặt hệ tọa độ Oxyz sao cho O trùng với điểm đồng quy của ba đường thẳng, ba trục nằm trên ba đường thẳng đó. Bài giải: Bài 1: (D – 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA’ = a. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C? z y x M A' B' B A C C' Đặt hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ, từ giả thiết ta có: B(0,0,0); A(a,0,0); C(0,a,0); B’(0,0,a 2 ); A’(a,0,a 2 ), C’(0,a,a 2 ); M(0, 2 a ,0). * Ta có V ABC.A’B’C’ = BB’.S ABC = 1 2 BB’.AB.BC = 1 2 .a 2 .a.a = 3 2 2 a . * Ta có ; ;0 2 a AM a   = −  ÷   uuur cùng phương với ( ) 2,1,0u = − r . ( ) ' 0, , 2B C a a= − uuuur cùng phương với ( ) 0,1, 2v = − r Suy ra ( ) ; 2; 2 2; 2 ; 14u v u v     = − − − ⇒ =     r r r r . ( ) , ,0 ; 2AC a a u v AC a   = − ⇒ = −   uuur r r uuur Vậy, khoảng cách cần tính là ( ) ; 2 28 , ' 14 14 ; u v AC a a d AM B C u v     = = =     r r uuur r r . Bài giải: Bài 2: (D – 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, , BA = BC = a, AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính (theo a) khoảng cách từ H đến (SCD)? l A B C D S H Đặt hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, từ giả thiết ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,0,0 ; ,0,0 ; , ,0 ; 0,2 ,0 ; 0,0, 2A B a C a a D a S a . * Ta có ( ) ( ) 2 2 , , 2 ; , ,0 . 0SC a a a CD a a SC CD a a SC CD= − = − ⇒ = − + = ⇒ ⊥ uur uur uur uur suy ra tam giác SCD vuông tại C. * Ta có ( ) ,0, 2SB a a= − uur cùng phương với vec tơ ( ) 1,0, 2u = − r . Đường thẳng SB: đi qua ( ) ,0,0B a và có vtcp ( ) 1,0, 2u = − r nên có phương trình 0 2 x a t y z t  = +  =   = −  H SB∈ nên ( ) ( ) ,0, 2 ,0, 2H a t t AH a t t+ − ⇒ = + − uuur . Do H là hình chiếu của A lên SB nên ta có 2 2 . 2 0 ,0, 3 3 3 a a a AH SB a t t t H   = + + = ⇒ = − ⇒  ÷  ÷   uuur uur ( ) 2 2 2 ; 2; 2;2SC CD a a a   =   uur uur cùng phương với ( ) 2; 2;2n = r . Mặt phẳng (SCD) đi qua ( ) 0,2 ,0D a và có vtpt ( ) 2; 2;2n = r nên có phương trình 2 2 2 2 2 0x y z a+ + − = . Vậy, khoảng cách cần tính là ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 3 , 3 8 a a a a d H SCD + − = = . Bài 3: (B – 2006) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật với , và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SBM). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB? Bài giải: l z y x I N M C A B D S Đặt hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ, từ giả thiết ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A 0,0,0 ; ,0,0 ; , 2,0 ; 0, 2,0 ; 0,0,B a C a a D a S a M là trung điểm của AD nên 2 0, ,0 2 a M    ÷  ÷   , N là trung điểm của SC nên 2 , , 2 2 2 a a a N    ÷  ÷   Từ giả thiết suy ra 3 2 2 2 2 2 2 , ,0 3 3 3 2 0 0 I I I I I I I I a x x a x a a a AI IC y a y y I z z  =  = −       = ⇒ = − ⇒ = ⇒  ÷    ÷    =  =    uur uur * ( ) ( ) 0,0, ; , 2,0AS a AC a a= = uuur uuur suy ra ( ) SAC có vtpt là ( ) 2 2 1 ; 2, ,0n AS AC a a   = = −   ur uuur uuur ( ) ( ) 2 ,0, ; , ,0 2 a BS a a BM a SBM   = − = − ⇒  ÷  ÷   uur uuur có vtpt là 2 2 2 2 2 2 ; , , 2 2 a a n BS BM a     = = − − −  ÷    ÷   uur uur uuur . Ta có 2 2 1 2 . 0n n a a= − = uruur từ đó suy ra ( ) ( ) SAC SBM⊥ . * 2 3 2 2 ; 0,0, ; 3 6 a a AB AI AB AI AN       = ⇒ =  ÷      ÷   uuur uur uuur uur uuur . Vậy, thể tích của tứ diện ANIB là 3 1 2 ; 6 36 ANIB a V AB AI AN   = =   uuur uur uuur . Bài giải: z y x N C A B S D M Đặt hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ, từ giả thiết ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 3 0,0,0 ; ,0,0 ; ,2 ,0 ; 0,2 ,0 ; 0,0, 3 a A B a C a a D a M    ÷  ÷   Góc giữa SB với (ABCD) là góc · 0 60SBA = (giả thiết). Suy ra 0 . 60 3SA AB tan a= = . Từ đó ( ) 0,0, 3S a . Ta có ( ) ( ) BCMN SAD MN∩ = , mà //BC AD nên 2 // 3 SN SM MN AD SD SA ⇒ = = , suy ra ( ) ( ) 0 3 2.0 4 4 3 3 2 3 2.2 0, , 3 3 3 3 3 2. 3 3 3 N N N N N N x x a a a SN SD y a y N z a a a z   =  =       = ⇒ = ⇒ = ⇒  ÷    ÷    − = −    =   uuur uur Có ( ) ( ) 2 3 4 2 3 ,0, 3 ; ,2 , 3 ; 0,0, ; 0, , 3 3 3 a a a SB a a SC a a a SM SN     = − = − = − = −  ÷  ÷  ÷  ÷     uur uur uuur uuur Suy ra 2 2 4 3 2 3 ; , ,0 3 3 a a SM SC     = −  ÷    ÷   uuur uur . Từ đó ta có 3 1 2 3 ; 6 9 SBMC a V SM SC SB   = =   uuur uur uur và 3 1 4 3 ; 6 27 SNMC a V SM SC SN   = =   uuur uur uuur . Bài 4: (Dự bị 2 – A – 2006) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật với , cạnh SA vuông góc với đáy, SB tạo với đáy một góc 60 0 . Trên cạnh SA lấy một điểm M sao cho . Mặt phẳng (BCM) cắt SD tại N. Tính thể tích của khối chóp S.BCNM? Vậy 3 3 3 . 2 3 4 3 10 3 9 27 27 S BCNM SBMC SNMC a a a V V V= + = + = . Bài giải: z y x C' B' D' C A B D A' Đặt hệ trục Oxyz như hình vẽ, từ đó ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,0,0 ; ,0,0 ; , ,0 ; 0, ,0 ; ' 0,0, ; ' ,0, ; ' , , ; ' 0, ,A B a C a a D a A a B a a C a a a D a a Ta có ( ) ( ) ( ) ' ,0, ; ' , , ; ' 0, ,A B a a A C a a a A D a a= − = − = − uuuur uuuur uuuur . Từ đó ta suy ra: VTPT của mặt phẳng ( ) 'A BC là ( ) 2 2 1 ' ; ' ,0,n A B A C a a   = =   ur uuuur uuuur và VTPT của mặt phẳng ( ) 'A DC là ( ) 2 2 2 ' ; ' 0, ;n A D A C a a   = = − −   uur uuuur uuuur . Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng ( ) 'A BC và ( ) 'A DC , ta có ( ) ( ) 4 1 2 0 1 2 2 4 1 2 . 1 ; 60 2 2 n n a cos cos n n n n a ϕ ϕ = = = = ⇒ = ur uur ur uur ur uur . Vậy góc giữa hai mặt phẳng ( ) 'A BC và ( ) 'A DC là 60 0 . Bài 5: (A – 2003) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (A’DC)? Bài 6: (B – 2002) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. a/ Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và B’D? b/ Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BB’, CD, A’D’. Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C’N? Bài giải: z y x P N M C' B' D' C A B D A' Đặt hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ, từ giả thiết ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,0,0 ; ,0,0 ; , ,0 ; 0, ,0 ; ' 0,0, ; ' ,0, ; ' , , ; ' 0, ,A B a C a a D a A a B a a C a a a D a a a/ ( ) ' ,0,A B a a= − uuuur cùng phương với ( ) 1,0, 1u = − r ; ( ) ' , ,B D a a a= − − uuuur cùng phương với ( ) 1,1, 1v = − − r ; ( ) , ,0BD a a= − uur . Ta có ( ) ; 1,2,1 ; 6u v u v     = ⇒ =     r r r r Suy ra ( ) ; 6 ' , ' 6 6 ; u v BD a a d A B B D u v     = = =     r r uur r r . b/ M là trung điểm của BB’ nên ,0, 2 a M a    ÷   , N là trung điểm của CD nên , ,0 2 a N a    ÷   và P là trung điểm của A’D’ nên 0, , 2 a P a    ÷   . Ta có , , ; ' ,0, . ' 0 ' 2 2 2 a a a MP a C N a MP C N MP C N     = − = − − ⇒ = ⇒ ⊥  ÷  ÷     uuur uuuur uuur uuuur . Vậy, góc giữa hai đường thẳng MP và C’N bằng 90 0 . Dạng 2: Trong giả thiết bài toán tồn tại một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng. Ví dụ, giả thiết bài toán cho một hình chóp đều, biết hình chiếu của một điểm xuống một mặt phẳng, … Phương pháp: Sử dụng các tính chất hình học đơn giản để xác định yếu tố đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng. Khi đó đặt hệ trục Oxyz sao cho O là giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng trên, trụ Oz nằm trên đường thẳng, trục Ox, Oy được đặt cho thuận lợi trong mỗi bài toán cụ thể. Bài giải: z y x P M N O A D B C S Đặt hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ, từ giả thiết ta có ( ) ( ) 3 0,0,0 ; ,0,0 ; , ,0 ; , ,0 ; ,0,0 ; 0, ,0 ; 0,0, 2 2 2 2 2 a a a a a O A B a C a D N a S           − −  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷           M là trung điểm của SB nên 3 , , 4 2 4 a a a M   −  ÷  ÷   ; P là trung điểm của CD nên , ,0 2 2 a a P    ÷   * Ta có 2 2 3 , , ; , ,0 . 0 4 2 4 2 4 4 a a a a a a AM BP a AM BP     = = − ⇒ = − =  ÷  ÷  ÷     uuur uur uuur uur . Vậy AM BP⊥ . Bài 1: (A – 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích cả khối tứ diện CMNP? [...]... quá phức tạp, có thể ứng dụng vào việc dạy đại trà trên lớp cho các học sinh cuối cấp Với mục tiêu thiết thực, tác giả chỉ đưa ra các bài toán vừa tầm với các kì thi Đại Học, đa số đều ở mức độ không khó Trong bài viết không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô giáo và các đồng nghiệp để các bài giải trở nên ngắn gọn và đầy đủ hơn Tác giả xin chân thành cảm ơn! Quảng... hai đáy là hai hình tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O’ lấy điểm B sao cho AB = 2a Tính thể tích của khối tứ diện OO’AB? III KẾT LUẬN: Tất cả các đề thi Đại Học và dự bị Đại Học từ năm 2002 đến 2009 đều có thể giải bằng phương pháp tọa độ Nội dung phương pháp này cũng không quá phức tạp, có thể ứng dụng vào việc dạy... '.B 'C ' 3 = uuu uuuur = r 4 AA ' B 'C ' ( ) ( ) Bài 5: (B – 2003) Cho lăng trụ ứng có đáy là hình thoi cạnh a, góc Gọi M là trung điểm của cạnh và N là trung điểm của cạnh Chứng minh rằng bốn điểm đồng phẳng Hãy tính độ dài cạnh theo a để tứ giác là hình vuông? Bài giải: z A' D' C' B' M N A y D H B C x Đặt hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ · Gọi H là hình chiếu của B lên Ox Xét tam giác ABH vuông tại...  NC NM  =  0, − a 3 , − a ÷    ÷ 8 4  Bài 2: (Dự bị 1 – B – 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc , vuông góc với đáy và Gọi là trung điểm của Mặt phẳng đi qua và song song với , cắt của hình chóp lần lượt tại Tính thể tích của khối chóp ? Bài giải: z S D' C' A y D B' x H B C Đặt hệ trục Oxyz như hình vẽ · Gọi H là hình chiếu của B lên Ox Xét tam giác ABH vuông... 600 Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC Tính thể tích của tứ diện A’ABC? Bài 6: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm cạnh SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC? Bài 7: Cho hình. .. a3 3 18 Bài 3: (A – 2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; ; góc giữa hai mặt phẳng và bằng 600 Gọi I là trung điểm của cạnh AD Biết hai mặt phẳng và cùng vuông góc với Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a? Bài giải: z S A B y I j x D C Do ( SBI ) , ( SCI ) cùng vuông góc với ( ABCD ) và ( SBI ) ∩ ( SCI ) = SI nên SI ⊥ ( ABCD ) Đặt hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ,... 2 2 5 3 1 1 a 15 2 a 15 = SI S ABCD = 3a = 3 3 5 5 Bài 4: (A – 2008) Cho lăng trụ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A có và hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt phẳng là trung điểm của đoạn BC Tính theo a thể tích của khối chóp và tính cosin góc giữa hai đường thẳng ? Bài giải: z C' A' B' A C y O B x Đặt hệ trục Oxyz như hình vẽ 1 BC = A ⇒ A '0 = AA '2 − AO 2 = a 3 2  a a... phẳng (SAC)? Bài giải: z B j 0 y A x S C Đặt hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ Do các tam giác ABC và SBC là đều nên O là trung điểm của BC và SO = OA = a 3 2 · Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là SOA = 600 theo giả thiết · Gọi H là hình chiếu của C lên Ox Xét tam giác SOH vuông tại H có SOH = 300 , ta có 3a a 3 OH = SO cos 300 = ; SH = SO sin 300 = 4 4  3a a 3   a 3   a  a Ta có tọa độ các điểm:... r r  2  CS ;CA  =  − a 3 , − a , 3a 3 ÷ cùng phương với n = 1 −3 3 ,3,    8 8 8 ÷   ( ) r a  C  0,0, − ÷ có VTPT n = 1 −3 3 nên có phương trình ,3, Mặt phẳng (SAC) qua 2  3 3a x + 3y − 3 3z − = 0 Vậy, khoảng cách từ B đến (SAC) là 2 ( d ( B , ( SAC ) ) = − 3 3a 3 3a − 2 2 1 + 9 + 27 = ) 3 111a 37 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a và K là điểm... khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD)? Bài 4: Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường tròn sao cho AC = R Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (SBA) và (SBC) bằng 60 0 Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SC Chứng minh tam giác AHK vuông và tính thể tích khối chóp S.ABC? Bài 5: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ . phổ thông, học sinh tiếp xúc với môn học này hầu suốt cả năm học lớp 11 và học kì 1 lớp 12. Nói chung, đa số học sinh đều nhận xét đây là một phần khó so với các phần khác, dần dần hình thành