một số phương pháp giải phương trình bậc cao trong chương trình toán thcs và các bài tập minh họa

32 937 1
một số phương pháp giải phương trình bậc cao trong chương trình toán thcs và các bài tập minh họa

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

PHẦN I. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Toán học là một môn khoa học có từ lâu đời, có ứng dụng hầu hết trong các lĩnh vực của cuộc sống, từ xa xưa con người đã biết đến toán học thông qua việc đo đạc, tính toán Môn toán là nền tảng cho các môn khoa học tự nhiên khác. Trong nhà trường, môn toán giữ một vai trò quan trọng, bởi môn toán có tính trừu tượng cao, tính logic, chính xác và không bỏ tính thực nghiệm. Vì vậy, làm thế nào để học giỏi toán, đó là câu hỏi đặt ra của nhiều thế hệ học sinh, thầy cô và cha mẹ học sinh hay bất cứ ai quan tâm đến giáo dục và dạy học. Phương trình là một dạng toán quan trọng, xuyên suốt quá trình học toán từ cấp II đến cấp III và các cấp cao hơn. Bởi vậy, các em học sinh cần phải trang bị cho mình những kiến thức thật vững chắc về phương trình. Trong chương trình toán ở THCS hiện nay, sách giáo khoa chỉ đưa ra cách giải phương trình bậc nhất và bậc hai đơn giản. Đối với các em học sinh thì việc giải các phương trình đó không gây khó khăn nhiều. Nhưng khi gặp một số phương trình bậc cao thì các em thường lúng túng, chưa tìm ngay được các cách giải cho bài toán. Ngay cả các giáo viên THCS cũng gặp nhiều khó khăn trong việc giải quyết phương trình này. Vì vậy, tôi xin đề xuất một số phương pháp giải phương trình bậc cao trong chương trình toán THCS và các bài tập minh họa. 2 Mục đích - nhiệm vụ đề tài. - Phương pháp giải các phương trình bậc cao một ẩn: Bằng cách đưa về các phương trình đã biết cách giải hoặc các dạng quen thuộc. - Các ví dụ minh hoạ. - Rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức để giải phương trình bậc cao một ẩn. - Củng cố và hướng dẫn học sinh làm bài tập. 3. Đối tượng nghiên cứu. - Học sinh ở lứa tuổi 14 - 15 ở trường THCS vì đa số các em chăm học, thích học toán và bước đầu thể hiện năng lực tiếp thu một cách tương đối ổn định. - Đối tượng khảo sát Học sinh lớp 9 trường THCS xxx được phân loại theo học lực Giỏi - Khá - Trung Bình - Yếu- Kém. 1 4. Phương pháp nghiên cứu - Tham khảo, thu thập tài liệu. - Phân tích, tổng kết kinh nghiệm. - Kiểm tra kết quả: Dự giờ, kiểm tra chất lượng học sinh, nghiên cứu hồ sơ giảng dạy, điều tra trực tiếp thông qua các giờ học. 5. Dự kiến các kết quả đạt được của đề tài. Tôi hy vọng đề tài này sẽ giúp ích cho các em học sinh ở trường THCS trong việc học và giải phương trình bậc cao một ẩn. Qua đó các em có phương pháp giải nhất định tránh tình trạng định hướng giải chưa đúng, lúng túng trong việc trình bày cách giải, giúp học sinh hứng thú, tích cực học tập hơn, đạt kết quả cao trong các kỳ thi. 2 PHẦN II. NỘI DUNG I. Một số kiến thức cơ sở về phương trình bậc cao I.1.Cơ sở lý luận 1> Khái niệm về phương trình một ẩn: Cho A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa biến x. Khi nói A(x) = B(x) là một phương trình ta hiểu rằng phải tìm giá trị của x để các giá trị tương ứng của hai biểu thức này bằng nhau. Biến x gọi là ẩn Giá trị tìm được của ẩn gọi là nghiệm Mỗi biểu thức là một vế của phương trình Việc tìm nghiệm gọi là giải phương trình 2> Định nghĩa hai phương trình tương đương Hai phương trình gọi là tương đương nếu tập hợp các nghiệm của chúng bằng nhau. 3> Các phép biến đổi tương đương các phương trình Định nghĩa phép biến đổi tương đương các phương trình: Biến đổi một phương trình đã cho thành một phương trình khác tương đương với nó, nhưng đơn giản hơn gọi là phép biến đổi tương đương. a) Định lý 1: Nếu cộng cùng một đa thức chứa ẩn số vào hai vế của phương trình thì được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho. Ví dụ: 3x= 27 ⇔ 3x + 2x = 27 + 2x Hệ quả 1: Nếu chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của phương trình đồng thời đổi dấu của hạng tử ấy thì được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho Ví dụ: 5x + 7 = 16x - 3 ⇔ 5x - 16x = -3 -7 Hệ quả 2: Nếu xóa hai hạng tử giống nhau ở hai vế của một phương trình thì được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho 3 Ví dụ: 7x 3 + 8x - 5=14 + 7x 3 ⇔ 8x -5 = 14 b. Định lý 2: Nếu nhân một số khác 0 vào hai vế của một phương trình thì được phương trình mới tương đương với phương trình đã cho. Ví dụ: 204181029 2 1 −=+⇔−=+ xxxx I-2. Các dạng phương trình 1. Phương trình bậc nhất một ẩn: 1.1. Định nghĩa: Phương trình dạng ax + b = 0, với a và b là hai số đã cho và a ≠ 0, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn . 1.2. Tập xác định: Tập xác định của phương trình là R 1.3.Cách giải Phương trình bậc nhất ax + b = 0 có nghiệm duy nhất a b x −= 2.Phương trình bậc hai một ẩn số : 2.1.Định nghĩa: Phương trình bậc hai có một ẩn số là phương trình có dạng: ax 2 + bx + c = 0 trong đó x là ẩn số, a, b, c là các hệ số đã cho, a ≠ 0. Nghiệm của phương trình bậc hai là những giá trị mà khi thay vào vế trái của phương trình ta được giá trị của vế trái bằng 0. 2.2. Cách giải - Ta dùng các phép biến đổi tương đương, biến đổi phương trình đã cho về các dạng phương trình đã biết cách giải (phương trình bậc nhất, phương trình dạng tích) để tìm nghiệm của phương trình. - Khi nghiên cứu về nghiệm số của phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠0) cần đặc biệt quan tâm tới biệt số ∆ của phương trình: ∆ = b 2 - 4ac ∆ gọi là biệt số của phương trình bậc hai vì biểu thức ∆ = b 2 - 4ac quyết định nghiệm số của phương trình bậc hai 4 Ta thấy có các khả năng sau xảy ra : a) ∆ < 0 ⇔ phương trình bậc hai vô nghiệm b) ∆=0 ⇔ phương trình bậc hai có nghiệm kép ( hai nghiệm trùng nhau ) a b xx 2 21 −== c) ∆>0 ⇔ phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt: a b x 2 1 ∆+− = ; a b x 2 2 ∆−− = 2.3. Hệ thức Viet. Nếu phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x 1 , x 2 thì tổng và tích hai nghiệm đó là : S = x 1 +x 2 = - a b P = x 1 .x 2 = a c 3. Phương trình bậc cao một ẩn. 3.1. Dạng tổng quát của phương trình bậc cao một ẩn Phương trình tổng quát bậc n có dạng: a n x n + a n-1 x n-1 + +a 1 x+a 0 = 0 (a n ≠ 0) Trong đó: x là ẩn số, a n , ,a 0 : là các hệ số Đối với phương trình bậc cao hơn bậc 4 không có công thức tổng quát để tìm nghiệm của nó. Ngay cả trong trường hợp là phương trình bậc 3 và bậc 4 mặc dù có công thức nhưng việc tìm nghiệm của phương trình cũng hết sức phức tạp nằm ngoài chương trình THCS, THPT. Ta cũng có hệ thức Viet liên quan giữa các nghiệm của phương trình đại số bậc cao. 3.2. Định lí Viet cho phương trình bậc n một ẩn: Cho phương trình bậc n: a n x n + a n-1 x n-1 + +a 1 x+a 0 = 0 (a n ≠ 0) Giả sử phương trình có n nghiệm x 1 , ,x n , trong các nghiệm được kê ra một số lần bằng bội của nó, khi đó ta có hệ thức Viet sau: 5 n n n a a xx 1 1 − −=++ n n nn a a xxxxxx 2 14321 − − −=+++ k n kn iii a a xxx k )1( 21 −= − ∑ với 1≤i 1 <i 2 < <i k n n n a a xxx 0 21 )1( −= Đảo lại: Cho trước n số bất kỳ x 1 x 2 , x n Đặt S 1 = x 1 + +x n S 2 =x 1 x 2 + x 3 x 4 + +x n-1 x n S k = ∑ k iii xxx 21 với 1 ≤ i 1 < i 2 < < i k <n S n =x 1 x 2 x n Khi đó x 1 x 2 , ,x n là nghiệm của phương trình sau: x n - S 1 x n-1 + S 2 x n-2 + +(-1) k S n = 0 Ví dụ: Định lý Viet cho phương trình bậc ba có dạng sau: Cho phương trình bậc ba: ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 có 3 nghiệm x 1 , x 2 , x 3 . Khi đó: a b xxx −=++ 321 a c xxxxxx =++ 433221 a d xxx −= 321 - Hệ thức Viet cho phương trình bậc bốn : ax 4 + bx 3 +cx 2 +dx +e =0 Có dạng như sau: a b xxxx −=+++ 4321 a c xxxxxxxxxxxx =+++++ 434232413121 6 a d xxxxxxxxxxxx −=+++ 432421431321 a c xxxx = 4321 II. Một số phương pháp giải một số loại phương trình đại số bậc cao một ẩn : Khi gặp các phương trình đại số bậc cao một ẩn thì có nhiều cách giải song trong đề tài này tôi đề cập đến hai phương pháp cơ bản để giải phương trình đại số bậc cao. Đó là: + Phân tích đa thức thành nhân tử, đưa phương trình về dạng phương trình tích. + Đặt ẩn phụ II.1. Sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 1.Cơ sở lý luận: Ta biết rằng phương trình:    = = ⇔= 0)( 0)( 0)().( xg xf xgxf Vì vậy phương trình bậc cao nếu ta phân tích được vế trái thành nhân tử thì sẽ đưa phương trình về dạng phương trình tích của các nhân tử có bậc thấp hơn, dạng phương trình quen thuộc đã biết cách giải. 2. Nội dung Trong nội dung nghiên cứu khi phân tích đa thức thành nhân tử tôi thường hướng dẫn học sinh sử dụng các phương pháp sau: a. Đặt nhân tử chung b. Dùng hằng đẳng thức c. Nhóm nhiều hạng tử d. Tách hạng tử e. Thêm bớt cùng một hạng tử đ. Phối hợp nhiều phương pháp Ví dụ: Giải phương trình sau: a) 7x 3 - 63 x=0 ⇔ 7x(x 2 -9)=0 7 ⇔ 7x (x-3)(x+3)=0      =+ =− = ⇔ 03 03 0 x x x      −= = = ⇔ 3 3 0 x x x Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: x=0; x=3; x=-3 b) x 3 -6x 2 + 12x - 8 =0 ⇔ (x-2) 3 =0 ⇔ x-2=0 ⇔ x=2 Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm x=2; c)x 3 - 3x 2 + 6x - 18 = 0 ⇔ (x 3 - 3x 2 ) + ( 6x - 18 ) = 0 ⇔ x 2 (x-3) + 6( x-3) = 0 ⇔ ( x 2 + 6 )(x-3) = 0 ( 1) Vì x 2 ≥ 0 x ∀ nên x 2 + 6 ≥ 6 x ∀ ⇒ x 2 + 6 > 0 x ∀ ( 2) Từ (1) và (2) ⇒ x-3=0 ⇒ x=3 Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm : x= 3 d) x 4 + 3x 2 - 28 = 0 ⇔ x 4 + 7x 2 - 4x 2 - 28 =0 ⇔ x 2 (x 2 -4) + 7(x 2 -4) = 0 ⇔ (x 2 + 7)(x 2 - 4) =0 ⇔ (x 2 +7 )(x-2)(x+2)=0 (1) Vì x 2 ≥ 0 x∀ nên x 2 + 7 ≥ 7 x∀ ⇒ x 2 + 7 > 0 x∀ ( 2) Từ (1), (2) ⇒ (x-2) (x+2)=0    =+ =− ⇒ 02 02 x x    −= = ⇒ 2 2 x x Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x=2; x=-2 e) x 3 - 7x-6 =0 8 ⇔ x 3 + 8 -7x - 6- 8=0 ⇔ (x 3 + 8) -(7x+14)=0 ⇔ (x+2)(x 2 -2x+4) - 7(x+2) =0 ⇔ (x+2)(x 2 -2x-3)=0    =−− =+ ⇔ 032 02 2 xx x    =+−+− =+ ⇔ 0)1(2)1)(1( 02 xxx x      =− =+ =+ ⇔ 03 01 02 x x x      = −= −= ⇔ 3 1 2 x x x Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm x=-1; x=-2; x=3 * Ngoài các phương pháp trên ta còn sử dụng định lí Bơzu giúp các em nhẩm nghiệm để phân tích đa thức thành nhân tử . Định lí Bơzu được phát biểu như sau : Phần dư của phép chia đa thức f(x) cho nhị thức g(x) = x- a là một hằng số bằng giá trị f(a) của f(x) khi x=a . - Khai thác cách nhẩm nghiệm : a n x n + a n-1 x n-1 + +a 1 x+a 0 = 0 (1) ( a i ∈ Z ) +) Nếu a n + a n-1 + +a 1 + a 0 = 0 thì phương trình (1) có một nghiệm x = 1 +) Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì phương trình (1) có nghiệm x = - 1 +) Nếu số hữu tỉ x = q p ( p , q nguyên tố cùng nhau ) là nghiệm của phương trình (1) thì p là ước của a 0 , q là ước của a n . Ví dụ : Giải phương trình : x 4 - 2x 3 + x 2 - 4 = 0 (*) Ta thấy tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ nên phương trình (*) nhận x =- 1là nghiệm . Theo định lí Bơzu ta thấy vế phải của phương trình (*) chia hết cho x + 1, do đó phương trình (*) có thể viết được dưới dạng : (x +1 ). ( x 3 - 3x 2 + 4x - 4 ) = 0 x + 1 = 0 (1) x 3 - 3x 2 + 4x - 4 = 0 (2) (1) ⇔ x+1 = 0 ⇔ x = - 1 9 (2) ⇔ x 3 - 3x 2 + 4x - 4 = 0 T a thử các ước của 4 và thấy x = 2 là nghiệm của (2), nên (2) phân tích được thành : ( x - 2) . ( x 2 -x + 2 ) = 0 x -2 = 0 x = 2 x 2 - x + 2 = 0 ∆'< 0 : vô nghiệm Vậy phương trình (*) có hai nghiệm là x = -1 ; x = 2 . Bài toán áp dụng: 1. Giải phương trình: a) 3x 4 -12x 2 = 0 b) x 3 + 14x 2 - 4x - 56 =0 c) 2x 3 + 11x +9 =0 d) x 16 +x 8 -2 =0 e) 2x 4 + 5x 3 -35x 2 + 40x-12=0 2. Cho phương trình : 2x 3 -(1+4m)x 2 + 4(m 2 -m+1)x -2m 2 + 3m -2=0 a. Xác định m để phương trình đã cho có 3 nghiệm dương phân biệt b. Giải phương trình với m=1 Hướng dẫn 2a) 2x 3 -(1+4m)x 2 + 4(m 2 -m+1)x - 2m 2 +3m -2 =0 (*) ⇔ 2x 3 -x 2 -4mx 2 + 2x(2m 2 -3m+2+m)-2m 2 +3m-2=0 ⇔ x 2 (2x - 1) -4mx 2 + 2mx +2x(2m 2 -3m+2) -(2m 2 -3m +2)=0 ⇔ x 2 (2x - 1) -2mx(2x-1) + (2m 2 -3m+2)=0 ⇔    =+−+− =− 02322 012 22 mmmxx x (1) ⇔ 2x-1=0 ⇔ 2 1 =x (2) ⇔ x 2 -2mx+2m 2 -3m+2=0 Ta thấy phương trình (*) luôn có 1 nghiệm 2 1 =x Muốn phương trình (*) có 3 nghiệm dương phân biệt thì phương trình (2) phải có 2 nghiệm dương phân biệt khác 2 1 Đặt f(x)=x 2 -2mx +2m 2 -3m +2 thì f(x) phải thỏa mãn các điều kiện sau: 10 (1) (2) ⇒ ⇒ [...]... năng giải các phương trình quy về phương trình bậc hai - Phát triển tư duy của học sinh II CHUẨN BỊ Bài soạn và một số kiến thức bổ tự cho bài giảng Học sinh : ôn cách giải phương trình bậc hai, phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình tích III TIẾN TRÌNH GIỜ DẠY : A Kiểm tra bài cũ : Phương trình bậc hai một ẩn số là gì ? Viết công thức nghiệm của phương trình bậc hai ? Trong các phương trình sau phương. .. viên toán trường THCS Trong đề tài này, tôi chỉ nêu ra một số phương pháp giải phương trình bậc cao đưa về phương trình bậc nhất và bậc hai trong chương trình giảng dạy môn toán ở lớp 8 và lớp 9 hiện nay mà bản thân tôi đã đúc kết trong quá trình giảng dạy Trước khi áp dụng các phương pháp trên tôi thấy hầu hết học sinh lúng túng không tìm ra được hướng giải khi gặp các phương trình bậc cao Sau khi áp... Việc giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta cũng quy về giải phương trình bậc hai Ở ví dụ 3 : để giải phương trình trùng phương ta hạ bậc bằng cách đặt ẩn phụ để giải phương trình bậc hai và lưu ý ẩn phụ có điều kiện không âm D Hướng dẫn về nhà : - Xem lại các ví dụ và bài tập đã làm - Làm bài tập 1(a ;d) ; bài 2 ; bài 3 ; bài 4 ; bài 5b - GV hướng dẫn bài 5b 31 - Khai thác số nghiệm của phương trình. .. phương trình sau: 2.1 Phương trình trùng phương: a Dạng tổng quát: Phương trình trùng phương là phương trình có dạng: ax4 +bx2 +c =0 (1) (a ≠ 0) Trong đó: x là ẩn số a, b, c là các hệ số b.Cách giải: Khi giải phương trình loại này ta thường dùng phương pháp đổi biến số 11 Đặt y=x2 ( y ≥ 0) (2) Khi đó phương trình trùng phương sẽ đưa về dạng phương trình bậc hai trung gian: ay2 + by + c=0 Giải phương trình. .. ý: a )Trong phương trình đối xứng, nếu a là nghiệm thì 1/a cũng là nghiệm b) Phương trình đối xứng bậc lẻ bao giờ cũng có một trong các nghiệm là x=1 c) Phương trình đối xứng bậc chẵn 2n được đưa về phương trình bậc n bằng cách đặt ẩn phụ 2.3 Phương trình bậc bốn phản đối xứng a Dạng tổng quát: Phương trình có dạng ax4 + bx3 +cx2 –bx +a =0 ( a ≠ 0) gọi là phương trình bậc bốn phản đối xứng b Cách giải. .. thì phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt khác 1 2 ⇒ Phương trình (*) có 3 nghiệm dương phân biệt khi 1 . cao trong chương trình toán THCS và các bài tập minh họa. 2 Mục đích - nhiệm vụ đề tài. - Phương pháp giải các phương trình bậc cao một ẩn: Bằng cách đưa về các phương trình đã biết cách giải. số phương pháp giải một số loại phương trình đại số bậc cao một ẩn : Khi gặp các phương trình đại số bậc cao một ẩn thì có nhiều cách giải song trong đề tài này tôi đề cập đến hai phương pháp. được các cách giải cho bài toán. Ngay cả các giáo viên THCS cũng gặp nhiều khó khăn trong việc giải quyết phương trình này. Vì vậy, tôi xin đề xuất một số phương pháp giải phương trình bậc cao

Ngày đăng: 18/11/2014, 18:48

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan