PHẦN I. MỞ ĐẦU I. Lí do chọn đề tài Toán học là công cụ giúp học tốt các môn học khác, chính vì vậy nó đóng một vai trò vô cùng quan trọng trong nhà trường. Bên cạnh đó nó còn có tiềm năng phát triển các năng lực tư duy và phẩm chất trí tuệ,giúp học sinh hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực của đời sống sản xuất. Toán học mang sẵn trong đó chẳng những phương pháp quy nạp thực nghiệm, mà cả phương pháp suy diễn lôgic. Nó tạo cho người học có cơ hội rèn luyện khả năng suy đoán và tưởng tượng. Toán học còn có tiềm năng phát triển phẩm chất đạo đức, góp phần hình thành thế giới quan khoa học cho học sinh. Toán học ra đời từ thực tiễn và lại quay trở về phục vụ thực tiễn. Toán học còn hình thành và hoàn thiện những nét nhân cách như say mê và có hoài bão trong học tập, mong muốn được đóng góp một phần nhỏ của mình cho sự nghiệp chung của đất nước, ý chí vượt khó, bảo vệ chân lý, cảm nhận được cái đẹp, trung thực, tự tin, khiêm tốn,…. Biết tự đánh giá mình, tự rèn luyện để đạt tới một nhân cách hoàn thiện toàn diện hơn. Mặt khác toán học còn có nhiệm vụ hình thành cho HS những kỹ năng: - Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn toán để giải các bài tập toán - Kỹ năng vận dụng tri thức toán học để học tập các môn học khác. - Kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào đơì sống, kỹ năng đo đạc, tính toán,sử dụng biểu đồ, sử dụng máy tính…. 1 Tuy nhiên cả ba kỹ năng trên đều có quan hệ mật thiết với nhau. Kỹ năng thứ nhất là cơ sở để rèn luyện hai kỹ năng kia. Chính vì vậy kỹ năng vận dụng kiến thức để giải bài tập toán là vô cùng quan trọng đối với học sinh. Trong đó việc trình bày lời giải một bài toán chính là thước đo cho kỹ năng trên. để có một lời giải tốt thì học sinh cần có kiến thức, các kỹ năng cơ bản và ngược lại có kiến thức, có các kỹ năng cơ bản thì học sinh sẽ trình bày tốt lời giải một bài toán Đại số là một ngành lớn của toán học. Đối tượng nghiên cứu của nó là các phép tính ví dụ như cộng, trừ, nhân, chia, cụ thể hơn là mối quan hệ giữa các phép tính. Có thể nói Đại số có lịch sử lâu đời nhất trong trong toán học. Tuy nhiên nó ngày càng phát triển với những bước nhảy vọt. Đại số là ngành học mà nó là động lực thúc đẩy sự phát triển của toán học nói chung và có ứng dụng cần thiết trong thực tế cuộc sống như trong khoa học kỹ thuật. Trong trường học, Đại số là môn toán học đầy hứng thú song cũng rất phức tạp. Nó là môn học rèn luyện kỹ năng tính toán, phát huy trí thông minh sáng tạo cho học sinh từ đó phát hiện ra những tài năng trẻ. Là giáo viên dạy toán trong đó có phân môn Đại số lớp 8 tôi không khỏi có những trăn trở về bộ môn này. Đứng trước một môn học với biết bao kiến thức với những dạng toán phức tạp và đa dạng đòi hỏi người thầy phải tìm ra cho mình một phương pháp dạy sao cho phù hợp với kiến thức, phù hợp với đối tượng học sinh mà mình tiếp cận để đạt được hiệu quả cao nhất. Đối với từng dạng toán phải đưa ra phương pháp giải phù hợp đặc biệt là trong công tác phát hiện và bồi dưỡng những học sinh có năng khiếu toán. Một trong những dạng toán hấp dẫn mà không dễ dàng với học sinh là: "Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của 1 biểu thức". Đây là 1 vấn đề không đơn giản nhưng rất cần thiết cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi. Và bởi lẽ nó không đơn giản nên tôi chỉ dám đề cập đến 1 khía cạnh nhỏ là: "Hướng dẫn học sinh tìm 2 giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức bằng phương pháp bất đẳng thức giúp nâng cao kết quả học tập môn toán cho học sinh lớp 8.". II. Mục tiêu nghiên cứu Nghiên cứu mong muôn sẽ giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm đã nêu về toán học từ đó đạt được kết quả cao khi giải bài toán nói riêng và đạt kết quả cao trong quá trình học tập nói chung. Ý nghĩa rất quan trọng mà đề tài đặt ra là: Tìm được một phương pháp tối ưu nhất để trong quỹ thời gian cho phép hoàn thành được một hệ thống chương trình quy định và nâng cao thêm về mặt kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong việc giải các bài toán. Từ đó phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu quả kiến thức vốn có của học sinh, gây hứng thú học tập cho các em. III. Nhiệm vụ nghiên cứu. Sáng kiến kinh nghiệm có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây: - Kỹ năng là gì? Cơ chế hình thành kỹ năng là như thế nào? - Những tình huống điển hình nào thường gặp trong quá trình giải quyết những vấn đề liên quan. - Trong quá trình giải quyết các vấn đề liên quan, học sinh thường gặp những khó khăn và sai lầm nào? - Những biện pháp sư phạm nào được sử dụng để rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan? - Kết quả của thực nghiệm sư phạm là như thế nào? IV. Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu: - Các dạng toán về và phương pháp giảng dạy toán để giúp nâng cao hứng thú và kết quả học tập của học sinh. - Học sinh lớp trường THCS XXX V. Phương pháp nghiên cứu: Trong quá trình nghiên cứu, sáng kiến kinh nghiệm sử dụng những phương pháp sau: Nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm. 3 Trên cơ sở phân tích kỹ nội dung chương trình của Bộ giáo dục và Đào tạo, phân tích kỹ đối tượng học sinh (đặc thù, trình độ tiếp thu…). Bước đầu mạnh dạn thay đổi ở từng tiết học, sau mỗi nội dung đều có kinh nghiệm về kết quả thu được (nhận thức của học sinh, hứng thú nghe giảng, kết quả kiểm tra,…) và đi đến kết luận. Lựa chọn các ví dụ các bài tập cụ thể phân tích tỉ mỉ những sai lầm của học sinh vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng của bài toán. 4 PHẦN II. NỘI DUNG Ta đã biết các bài toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất có 1 vị trí xứng đáng trong chương trình học và dạy toán ở các trường THCS. Các bài toán này rất phong phú, đòi hỏi vận dụng nhiều kiến thức và vận dụng 1 cách hợp lý nhiều khi khác độc đáo. Tuy nhiên để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất có rất nhiều phương pháp song ở đây tôi chỉ đề cập đến phương pháp bất đẳng thức. Đứng trên quan điểm hàm số người ta định nghĩa giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của 1 hàm số trên 1 miền nào đó như sau: "Cho hàm số F(x) xác định trên miền D. Ta nói rằng M là giá trị lớn nhất F(x) trên D nếu như đồng thời thoả mãn 2 điều kiện sau đây: 1. F(x) ≤ M ∀ x ê D 2. Tồn tại x 0 ê D sao cho F(x 0 ) = M Khi đó ta kí hiệu M = max F(x) xê D Số m gọi là giá trị bé nhất của F(x) trên D, nếu như đồng thời thoả mãn 2 điều kiện sau: 1. F(x) ≥ m ∀ x ê D 2. Tồn tại x 0 ê D sao cho F(x 0 ) = m Khi đó ta kí hiệu: m = min F(x) xê D Phương pháp bất đẳng thức thực ra dựa trực tiếp vào định nghĩa trên. Nghĩa là để tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của 1 biểu thức A ta cần chứng minh rằng A≥k hoặc A≤k (với k = cmst) ∀ giá trị của biểu thức và chỉ ra trường hợp xảy ra dấu đẳng thức. Để sử dụng phương pháp này ngoài những bất đẳng thức cơ bản đã học tôi muốn đề cập đến 1 bất đẳng thức rất hay sử dụng là bất đẳng thức Côsi: Nếu a 1 , a 2 ,…a n là các số không âm, ta có: 5 1, n n anaa n aaa 21 21 ≥ ++ (1) 2, Dấu "=" trong (1) xảy ra ⇔ a 1 = a 2 = a 3 =….a n Trong khuôn khổ có hạn tôi không đi sâu vào chứng minh bất đẳng thức này. và ta hay thường sử dụng các trường hợp riêng của trường hợp tổng quát trên: + Bất đẳng thức côsi cho 2 số không âm: a, b Ta có: a + b ≥ 2 ab Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b + Bất đẳng thức côsi cho 3 số không âm: a, b, c Ta có: a + b + c ≥ 3 3 abc Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b = c Sau đây ta xét 1 số ví dụ về bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức bằng phương pháp bất đẳng thức. Ví dụ 1: "Với giá trị nào của x để biểu thức A = x 2 - 2x + 5 có giá trị nhỏ nhất ?" Đây là biểu thức chưa biết x, giá trị của A tuỳ thuộc vào giá trị của biểu thức x. A có giá trị thay đổi nhưng nó tồn tại 1 giá trị nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất ấy là bao nhiêu? ứng với giá trị nào của x? Để trả lời ta phải tìm cách để chứng minh rằng A ≥ k (k là hằng số) khi đó A min = k ứng với giá trị của x làm cho A = k. Muốn chứng minh được ta phải tách biểu thức A thành nhóm thích hợp. Lời giải: Ta có A = x 2 - 2x + 5 = x 2 - 2x + 1 + 4 ⇔ A = (x -1) 2 + 4 6 Mà (x-1) 2 ≥ 0 ∀ dấu "=" xảy ra ⇔ x = 1 Vậy A min = 4 ⇔ x = 1 Hay với x = 1 thì biểu thức A có giá trị nhỏ nhất bằng 4. Ví dụ 2: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức bậc hai: f(x)= 125 2 +− xx b) Tìm giá trị lớn nhất của tam thức bậc hai: f(x)= 23 2 −+− xx Bài giải: a) Ta có f(x)= 125 2 +− xx = 1 5 2 5 2 +       − xx = 1 5 1 5 1 5 2 5 22 2 +               −       +− xx = 1 5 1 5 1 5 2 +−       −x = 5 4 5 1 5 2 +       −x Với ∀ x, x ∈ R thì 0 5 1 2 ≥       −x nên ta có: f(x) = 5 4 5 4 5 1 5 2 ≥−       −x Với ∀ x, x ∈ R Vậy f(x) đạt giá trị nhỏ nhất là 5 4 , đạt được khi x = 5 1 b) f (x) = 23 2 −+− xx =       −− xx 3 1 3 2 7 = 2 6 1 6 1 3 1 3 22 2 −               −       +−− xx = 12 23 6 1 3 2 −       −− x Vì 0 6 1 2 ≥       −x ∀ x, x ∈ R nên 12 23 12 23 6 1 3 2 ≤−       −− x Và f(x) đạt giá trị lớn nhất là 0 6 1 3 2 =       −− x 0 6 1 =−⇒ x 6 1 =⇒ x Kết quả: f(x) đạt giá trị lớn nhất 12 23 − ứng với giá trị x = 6 1 của biến. Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = (x 2 + x + 1) 2 Mới thoạt nhìn bài toán học sinh rất dễ nhầm lẫn và có vẻ đơn giản. Ta sẽ cho rằng A ≥ 0 ∀ x (vì là bình phương của 1 biểu thức) và do đó A có giá trị nhỏ nhất bằng 0. Không phải vậy. Nếu để ý kĩ hơn ta sẽ nhận ra ngay A >0 ∀ x Vì x 2 + x + 1 ≠ 0 Lời giải của bài toán như sau: Ta có x 2 + x + 1 = x 2 + x + 4 3 4 1 + Nên: x 2 + x + 1 ≥ 4 3 ∀ x dấu "=" xảy ra ⇔ x = 2 1 Do đó A min ⇔ (x 2 + x + 1) min => Giá trị nhỏ nhất của A = 16 9 4 3 2 =       ⇔ x = - 2 1 8 Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 16 9 Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (2x - 1) 2 - 3 12 −x + 2 Bài toán này biểu thức cần tìm giá trị nhỏ nhất có chứa cả giá trị tuyệt đối. Mới nhìn ta có cảm giác là phức tạp. Song nếu bình tĩnh suy xét ta sẽ thấy ngay 1 nét đặc biệt trong biểu thức đó là các luỹ thừa của (2x - 1). Từ đó gợi ý cho ta có thể đổi biến để đưa về bài toán đơn giản hơn: Giải: Đặt 12 −x = t như vậy t ≥ 0 Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: t 2 - 3t + 2 với t ≥ 0 Ta có: t 2 - 3t + 2 = t 2 - 3t + 4 9 - 4 1 2 3 4 1 2 −       −= t Mà 2 2 3       −t ≥ 0 ∀ ≥ 0 => t 2 - 3t + 2 = 2 2 3       −t - 4 1 ≥ - 4 1 ∀ ≥ 0 Dấu"=" xảy ra ⇔ t = 2 3 Do đó: A ≥ - 4 1 ∀ x => A min = - 4 1 ⇔ 12 −x = 2 3 ⇔ ⇔ Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là -       4 1 9 2x - 1 = 2 3 1 - 2x = 2 3 x = 4 5 x = - 4 1 x = 4 5 x = - 4 1 x = 4 5 x = - 4 1 Khi và chỉ khi Ví dụ 5: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của P(x) = 2 322 2 2 +− +− xx xx b) Tìm giá trị lớn nhất của Q(x) = 4 173 2 2 + + x x Bài giải a) Sử dụng phép chia đa thức, ta đưa P(x) về dạng: P(x) = 2 - 2 1 2 +− xx Xét 4 3 2 1 2 2 1 2 1 2 222 22 +       −=+       −       +−=+− xxxxx Vì 0 2 1 2 ≥       −x ∀ x, x ∈ R nên 4 3 2 2 ≥+− xx , ∀ x, x ∈ R Và 2 2 +− xx đạt giá trị lớn nhất khi x = 2 1 Suy ra 2 1 2 +− xx đạt giá trị lớn nhất khi x = 2 1 và giá trị lớn nhất đó là: 3 4 3 1 = Vậy P(x) đạt giá trị nhỏ nhất là 2 - 3 2 3 4 = Kết quả: P       2 1 = 3 2 b) Ta có Q(x) = 3 + 4 5 2 +x ; Q(x) lớn nhất khi 4 5 2 +x lớn nhất. 4 5 2 +x lớn nhất khi x 2 +4 đạt giá trị nhỏ nhất. 10 [...]... của biểu thức và kết quả là các em nắm bắt được rất tốt và sử dụng thành thạo Trong quá trình dạy tôi rút ra đối với phương pháp dùng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn hoặc nhỏ nhất của một biểu thức A, ta nhất thiết phải tiến hàng theo hai bước: - Chứng minh 1 bất đẳng thức: A≤ k (hoặc A≥ k) Với k = Const với mọi giá trị của biến - Tìm giá trị của biểu thức sao cho ứng với những giá trị ấy bất đẳng thức. .. loại toán này học sinh rất dễ hay ngộ nhận (ví dụ 2) cho nên người dạy phải cho học sinh nắm chắc về khái niệm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của 1 biểu thức Phương pháp này gần gũi, dễ hiểu đối với các em ở bậc THCS song cũng không nhất thiết là bài toán nào cũng áp dụng nó Ở đối tượng học sinh của mình, tôi đã cho các em áp dụng phương pháp này để giải một số bài toán về tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của. .. 2 Qua ví dụ này ta thấy để tìm được giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất của biểu thức trước hết ta phải xem dạng của biểu thức từ đó định hướng để đi tới 1 bất đẳng thức nào đó, thường là những bất đẳng thức thông dụng Nhưng cũng có 11 bài toán ta phải phân tích để sử dụng một số bất đẳng thức khác đã chứng minh Sau đây là ví dụ: Ví dụ 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y x y+z z x+z A= y+z + z+x + x+... sách tham khảo môn Toán để học sinh được tìm tòi, học tập khi giải toán để các em có thể tránh được những sai lầm trong khi làm bài tập và nâng cao hứng thú, kết quả học tập môn toán nói riêng, nâng cao kết quả học tập của học sinh nói chung 3 Với PHHS - Quan tâm việc tự học, tự làm bài tập ở nhà của con cái Thường xuyên kiểm tra sách, vở và việc soạn bài trước khi đến trường của các con 18 V TÀI LIỆU... Vậy tích x(2-x) lớn nhất khi x = 2 -x => x = 1 Giá trị lớn nhất của P(x) với 0 < x < 2 là: P(1) = 1 + 1 = 2, ứng dụng với giá trị x = 1 4 x2 + 4 2 Ta có Q(x) = =x+ x x x>0 4 x Xét tích x = 4 = không đổi x2 + 4 , đạt giá trị nhỏ nhất khi x = 4 => x2= 4 => x = 2 Vậy tổng x Ví dụ 9: Với giá trị nào của biến x thì biểu thức P(x) = (x-1)(x-2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó Giải Ta... Vậy P(x) đạt giá trị nhỏ nhất là -36 khi x = 0 hoặc x = 5 15 III BÀI HỌC KINH NGHIỆM: Thông qua 9 ví dụ trên đây ta đã ứng dụng phương pháp bất đẳng thức để tính giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của 1 biểu thức nào đó Phương pháp này không phải bài toán nào dạng này cũng áp dụng được mà còn tuỳ thuộc vào từng bài cụ thể Đứng trước bài toán dạng này nên xem xét đề kỹ càng để xác định hướng đi cho đúng Đặc... + 4 đạt giá trị nhỏ nhất là 4 khi x =0 Vậy với x = 0, Q(x) đạt giá trị lớn nhất là 3 + 5 1 =4 4 4 Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất của M= 3 4x − 4x + 5 2 Đây là biểu thức có tử là hằng số và mẫu là 1 tam thức bậc 2 Sẽ là không chính xác nếu lập luận M có tử là hằng nên M lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất Bây giờ vấn đề đặt ra là ta phải làm thế nào để chứng minh được 1 bất đẳng thức nào đó Ta chú ý mẫu thức: 4x2... đẳng thức vừa tìm được trở thành đẳng thức (A=k) Nếu sử dụng bất đẳng thức Côsi thì các giá trị này của biến thường được tìm ra nhờ ở phần 2 trong cách phát biểu định lý Còn trong trường hợp chung để phát hiện ra dấu đẳng thức cần có nhận xét thích hợp 16 Tuy nhiên yêu cầu phải biết sáng tạo linh hoạt trong việc tìm ra một bất đẳng thức để chứng minh PHẦN III : KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ 1 KẾT LUẬN Sáng... bày lời giải bài toán cho học sinh đã có kết quả rõ rệt, bản thân tôi rút ra được nhiều bài học kinh nghiệm về phương pháp rèn luyện cách trình bày lời giải bài toán cho học sinh đó là : 1 – Trình bày bài giải mẫu 2 – Trình bày bài giải nhưng các bước sắp xếp chưa hợp lý 3 - Đưa ra bài toán có gợi ý giải 4 - Đưa ra bài giải sẵn có chứa sai sót để yêu cầu học sinh tìm chỗ sai và sửa lại cho đúng 17 Cũng... ; >0 y x z x z y Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: y z + ≥ 2 Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y z y x z + ≥2 z x Dấu "=" xảy ra ⇔ x = z y x + ≥2 x y Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y ⇒ C≥ 6 Dấu "=" xảy ra ⇔ x =y =z Ta có: A = B + C 3 2 Nên A ≥ + 6 = Vậy Amin = 15 2 15 2 Dấu "=" xảy ra ⇔ x =y =z ⇔x= y=z 13 Ví dụ 8: 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P(x) = 2x - x2 với 0 . 1 khía cạnh nhỏ là: " ;Hướng dẫn học sinh tìm 2 giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức bằng phương pháp bất đẳng thức giúp nâng cao kết quả học tập môn toán cho học sinh lớp 8. ". II mọi giá trị của biến. - Tìm giá trị của biểu thức sao cho ứng với những giá trị ấy bất đẳng thức vừa tìm được trở thành đẳng thức (A=k). Nếu sử dụng bất đẳng thức Côsi thì các giá trị này của. = 1 Hay với x = 1 thì biểu thức A có giá trị nhỏ nhất bằng 4. Ví dụ 2: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức bậc hai: f(x)= 125 2 +− xx b) Tìm giá trị lớn nhất của tam thức bậc hai: f(x)= 23 2 −+−