9.3. Cu . . c tri . cu ’ a h`am nhiˆe ` ubiˆe ´ n 145 9.3 Cu . . c tri . cu ’ ah`am nhiˆe ` ubiˆe ´ n 9.3.1 Cu . . c tri . H`am f(x, y) c´o cu . . cd a . idi . aphu . o . ng (ho˘a . ccu . . ctiˆe ’ ud i . aphu . o . ng) b˘a ` ng f(x 0 ,y 0 )ta . idiˆe ’ m M 0 (x 0 ,y 0 ) ∈ D nˆe ´ utˆo ` nta . i δ-lˆan cˆa . ncu ’ adiˆe ’ m M 0 sao cho v´o . imo . id iˆe ’ m M = M 0 thuˆo . c lˆan cˆa . nˆa ´ y ta c´o f(M) <f(M 0 ) (tu . o . ng ´u . ng : f(M) >f(M 0 )). Go . i chung cu . . cd a . i, cu . . ctiˆe ’ ucu ’ a h`am sˆo ´ l`a cu . . c tri . cu ’ a h`am sˆo ´ . D iˆe ` ukiˆe . ncˆa ` ndˆe ’ tˆo ` nta . icu . . c tri . d i . aphu . o . ng: Nˆe ´ uta . id iˆe ’ m M 0 h`am f(x, y)c´ocu . . c tri . d i . aphu . o . ng th`ı ta . id iˆe ’ md´oca ’ hai da . o h`am riˆeng cˆa ´ p 1(nˆe ´ uch´ung tˆo ` nta . i) d ˆe ` ub˘a ` ng 0 ho˘a . c ´ıt nhˆa ´ tmˆo . t trong hai da . o h`am riˆeng khˆong tˆo ` nta . i(d ´o l`a nh˜u . ng d iˆe ’ mt´o . iha . n ho˘a . c d iˆe ’ md`u . ng cu ’ a h`am f(x, y)). Khˆong pha ’ imo . id iˆe ’ md`u . ng d ˆe ` ul`adiˆe ’ mcu . . c tri . . D iˆe ` ukiˆe . ndu ’ : gia ’ su . ’ f  xx (M 0 )=,f  xy (M 0 )=B, f  yy (M 0 )=C. Khi d ´o: i) Nˆe ´ u∆(M 0 )=      AB BC      > 0v`aA>0th`ıta . id iˆe ’ m M 0 h`am f c´o cu . . ctiˆe ’ ud i . aphu . o . ng. ii) Nˆe ´ u∆(M 0 )=      AB BC      > 0v`aA<0th`ıta . id iˆe ’ m M 0 h`am f c´o cu . . cd a . idi . aphu . o . ng. iii) Nˆe ´ u∆(M 0 )=      AB BC      < 0th`ıM 0 l`a diˆe ’ m yˆen ngu . . acu ’ a f,t´u . c l`a ta . i M 0 h`am f khˆong c´o cu . . c tri . . iv) Nˆe ´ u∆(M 0 )=      AB BC      =0th`ıM 0 l`a diˆe ’ m nghi vˆa ´ n (h`am f c´o thˆe ’ c´o v`a c˜ung c´o thˆe ’ khˆong c´o cu . . c tri . ta . id ´o). 146 Chu . o . ng 9. Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am nhiˆe ` ubiˆe ´ n 9.3.2 Cu . . c tri . c´o d iˆe ` ukiˆe . n Trong tru . `o . ng ho . . pd o . n gia ’ n nhˆa ´ t, cu . . c tri . c´o d iˆe ` ukiˆe . ncu ’ a h`am f(x, y) l`a cu . . cd a . i ho˘a . ccu . . ctiˆe ’ ucu ’ a h`am d ´oda . tdu . o . . cv´o . id iˆe ` ukiˆe . n c´ac biˆe ´ n x v`a y tho ’ a m˜an phu . o . ng tr`ınh ϕ(x, y)=0(phu . o . ng tr`ınh r`ang buˆo . c). D ˆe ’ t`ım cu . . c tri . c´o d iˆe ` ukiˆe . nv´o . id iˆe ` ukiˆe . n r`ang buˆo . c ϕ(x, y) ta lˆa . p h`am Lagrange (h`am bˆo ’ tro . . ) F (x, y)=f(x, y) λ ϕ(x, y) trong d ´o λ l`a h˘a ` ng sˆo ´ nhˆan chu . ad u . o . . c x´ac d i . nh v`a di t`ım cu . . c tri . thˆong thu . `o . ng cu ’ a h`am bˆo ’ tro . . n`ay. D ˆa y l `a phu . o . ng ph´ap th`u . asˆo ´ bˆa ´ td i . nh Lagrange. T`ım d iˆe ` ukiˆe . ncˆa ` ndˆe ’ tˆo ` nta . icu . . c tri . c´o d iˆe ` ukiˆe . n chung quy l`a gia ’ i hˆe . phu . o . ng tr`ınh              ∂F ∂x = ∂f ∂x + λ ∂ϕ ∂x =0 ∂F ∂y = ∂f ∂y + λ ∂ϕ ∂y =0 ϕ(x, y)=0 (9.15) T`u . hˆe . n`ay ta c´o thˆe ’ x´ac d i . nh x, y v`a λ. Vˆa ´ nd ˆe ` tˆo ` nta . iv`ad˘a . c t´ınh cu ’ acu . . c tri . d i . aphu . o . ng d u . o . . c minh d i . nh trˆen co . so . ’ x´et dˆa ´ ucu ’ a vi phˆan cˆa ´ p hai cu ’ a h`am bˆo ’ tro . . d 2 F = ∂ 2 F ∂x 2 dx 2 +2 ∂ 2 F ∂x∂y dxdy + ∂ 2 F ∂y 2 dy 2 du . o . . c t´ınh d ˆo ´ iv´o . i c´ac gi´a tri . x, y, λ thu d u . o . . c khi gia ’ ihˆe . (9.15) v´o . id iˆe ` u kiˆe . nl`a ∂ϕ ∂x dx + ∂ϕ ∂y dy =0 (dx 2 + dy 2 =0). Cu . thˆe ’ l`a: 9.3. Cu . . c tri . cu ’ a h`am nhiˆe ` ubiˆe ´ n 147 i) Nˆe ´ u d 2 F<0 h`am f(x, y) c´o cu . . cd a . ic´odiˆe ` ukiˆe . n. ii) Nˆe ´ u d 2 F>0 h`am f(x, y) c´o cu . . ctiˆe ’ uc´od iˆe ` ukiˆe . n. iii) Nˆe ´ u d 2 F = 0 th`ı cˆa ` n pha ’ i kha ’ o s´at. Nhˆa . nx´et i) Viˆe . c t`ım cu . . c tri . cu ’ a h`am ba biˆe ´ n ho˘a . c nhiˆe ` uho . nd u . o . . ctiˆe ´ n h`anh tu . o . ng tu . . nhu . o . ’ 1. ii) Tu . o . ng tu . . c´o thˆe ’ t`ım cu . . c tri . c´o d iˆe ` ukiˆe . ncu ’ a h`am ba biˆe ´ n ho˘a . c nhiˆe ` uho . nv´o . imˆo . t ho˘a . c nhiˆe ` uphu . o . ng tr`ınh r`ang buˆo . c(sˆo ´ phu . o . ng tr`ınh r`ang buˆo . c pha ’ ib´eho . nsˆo ´ biˆe ´ n). Khi d ´ocˆa ` nlˆa . p h`am bˆo ’ tro . . v´o . i sˆo ´ th `u . asˆo ´ chu . ax´acd i . nh b˘a ` ng sˆo ´ phu . o . ng tr`ınh r`ang buˆo . c. iii) Ngo`ai phu . o . ng ph´ap th`u . asˆo ´ bˆa ´ td i . nh Lagrange, ngu . `o . i ta c`on d`ung phu . o . ng ph´ap khu . ’ biˆe ´ nsˆo ´ d ˆe ’ t`ım cu . . c tri . c´o d iˆe ` ukiˆe . n. 9.3.3 Gi´a tri . l´o . n nhˆa ´ t v`a b´e nhˆa ´ tcu ’ a h`am H`am kha ’ vi trong miˆe ` nd´ong bi . ch˘a . nda . t gi´a tri . l´o . n nhˆa ´ t (nho ’ nhˆa ´ t) ho˘a . cta . id iˆe ’ md`u . ng ho˘a . cta . id iˆe ’ m biˆen cu ’ amiˆe ` n. C ´ AC V ´ IDU . V´ı du . 1. T`ım cu . . c tri . d i . aphu . o . ng cu ’ a h`am f(x, y)=x 4 + y 4 − 2x 2 +4xy − 2y 2 . Gia ’ i. i) Miˆe ` n x´ac d i . nh cu ’ a h`am l`a to`an m˘a . t ph˘a ’ ng R 2 . ii) T´ınh c´ac d a . o h`am riˆeng f  x v`a f  y v`a t`ım c´ac diˆe ’ mt´o . iha . n. Ta c´o f  x =4x 3 − 4x +4y, f  y =4y 3 +4x −4y. Do d ´o 4x 3 − 4x +4y =0 4y 3 +4x −4y =0 148 Chu . o . ng 9. Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am nhiˆe ` ubiˆe ´ n v`a t`u . d ´o  x 1 =0 y 1 =0  x 2 = − √ 2 y 2 = √ 2  x 3 = √ 2 y 3 = − √ 2. Nhu . vˆa . y ta c´o ba d iˆe ’ mt´o . iha . n. V`ı f  x , f  y tˆo ` nta . iv´o . imo . id iˆe ’ m M(x, y) ∈ R 2 nˆen h`am khˆong c`on diˆe ’ mt´o . iha . n n`ao kh´ac. iii) Ta t´ınh c´ac d a . o h`am riˆeng cˆa ´ p hai v`a gi´a tri . cu ’ ach´ung ta . i c´ac d iˆe ’ mt´o . iha . n. f  xx (x, y)=12x 2 =4,f  xy =4,f  yy =12y 2 − 4. Ta . id iˆe ’ m O(0, 0): A = −4, B =4,C = −4 Ta . id iˆe ’ m M 1 (− √ 2, + √ 2): A = 20, B =4,C =20 Ta . id iˆe ’ m M 2 (+ √ 2, − √ 2): A = 20, B =4,C = 20. iv) Ta . id iˆe ’ m O(0, 0)ta c´o      AB BC      =      −44 4 −4      =16−16 = 0. Dˆa ´ uhiˆe . ud u ’ khˆong cho ta cˆau tra ’ l`o . i. Ta nhˆa . n x´et r˘a ` ng trong lˆan cˆa . nbˆa ´ tk`ycu ’ ad iˆe ’ mOtˆo ` nta . inh˜u . ng d iˆe ’ mm`af(x, y) > 0v`anh˜u . ng d iˆe ’ mm`af(x, y) < 0. Ch˘a ’ ng ha . ndo . c theo trung c Ox (y = 0) ta c´o f(x, y)   y=0 = f(x, 0) = x 4 − 2x 2 = −x 2 (2 −x 2 ) < 0 ta . inh˜u . ng d iˆe ’ mdu ’ gˆa ` n(0, 0), v`a do . c theo du . `o . ng th˘a ’ ng y = x f(x, y)   y=x = f(x, x)=2x 4 > 0 Nhu . vˆa . y, ta . inh˜u . ng d iˆe ’ m kh´ac nhau cu ’ amˆo . t lˆan cˆa . n n`ao d´ocu ’ a d iˆe ’ m O(0, 0) sˆo ´ gia to`an phˆa ` n∆f(x, .y) khˆong c´o c`ung mˆo . tdˆa ´ u v`a do d ´o t a . i O(0, 0) h`am khˆong c´o cu . . c tri . d i . aphu . o . ng. Ta . id iˆe ’ m M 1 (− √ 2, √ 2) ta c´o      AB BC      =      20 4 420      = 400 − 16 > 0 9.3. Cu . . c tri . cu ’ a h`am nhiˆe ` ubiˆe ´ n 149 v`a A>0nˆen ta . i M 1 (− √ 2, √ 2) h`am c´o cu . . ctiˆe ’ ud i . aphu . o . ng v`a f min = −8. Ta . id iˆe ’ m M 2 ( √ 2, − √ 2) ta c´o AC − B 2 > 0v`aA>0 nˆen ta . id´o h`am c´o cu . . ctiˆe ’ ud i . aphu . o . ng v`a f min = −8. V´ı du . 2. Kha ’ o s´at v`a t`ım cu . . c tri . cu ’ a h`am f(x, y)=x 2 + xy + y 2 − 2x − 3y. Gia ’ i. i) Hiˆe ’ n nhiˆen D f ≡ R. ii) T`ım d iˆe ’ md`u . ng. Ta c´o f  x =2x + y −2 f  y = x +2y −3 ⇒ 2x + y −2=0, x +2y − 3=0. Hˆe . thu d u . o . . c c´o nghiˆe . ml`ax 0 = 1 3 , y 0 = 4 3 .Dod ´o  1 3 , 4 3  l`a d iˆe ’ m d`u . ng v`a ngo`ai d iˆe ’ md`u . ng d ´o h`am f khˆong c´o diˆe ’ md`u . ng n`ao kh´ac v`ı f  x v`a f  y tˆo ` ntˆa . i ∀(x, y). iii) Kha ’ o s´at cu . . c tri . .Tac´oA = f  x 2 =2,Bf  xy =1,C = f  y 2 =2. Do d ´o ∆(M 0 )=      21 12      =3> 0v`aA =2> 0 nˆen h`am f c´o cu . . ctiˆe ’ uta . id iˆe ’ m M 0 ( 1 3 , 4 3  .  V´ı du . 3. T`ım cu . . c tri . cu ’ a h`am f(x, y)=6− 4x − 3y v´o . id iˆe ` ukiˆe . nl`a x v`a y liˆen hˆe . v´o . i nhau bo . ’ iphu . o . ng tr`ınh x 2 + y 2 =1. Gia ’ i. Ta lˆa . p h`am Lagrange F (x, y)=6− 4x −3y + λ(x 2 + y 2 − 1). Ta c´o ∂F ∂x = −4+2λx, ∂F ∂y = −3+2λy 150 Chu . o . ng 9. Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am nhiˆe ` ubiˆe ´ n v`a ta gia ’ ihˆe . phu . o . ng tr`ınh −4+2λx =0 −3+2λx =0 x 2 + y 2 =1 Gia ’ i ra ta c´o λ 1 = 5 2 ,x 1 = 4 5 ,y 1 = 3 5 λ 2 = − 5 2 ,x 2 = − 4 5 ,y 2 = − 3 5 V`ı ∂ 2 F ∂x 2 =2λ, ∂ 2 F ∂x∂y =0, ∂ 2 F ∂y 2 =2λ nˆen d 2 F =2λ(dx 2 + dy 2 ). Nˆe ´ u λ = 5 2 , x = 4 5 , y = 3 5 th`ı d 2 F>0nˆenta . idiˆe ’ m  4 5 , 3 5  h`am c´o cu . . ctiˆe ’ uc´od iˆe ` ukiˆe . n. Nˆe ´ u λ = − 5 2 , x = − 4 5 , y = − 3 5 th`ı d 2 F<0v`adod´o h`am c´o cu . . c d a . ic´odiˆe ` ukiˆe . nta . idiˆe ’ m  − 4 5 , − 3 5  . Nhu . vˆa . y f max =6+ 16 5 + 9 5 =11, f min =6− 16 5 − 9 5 =1.  V´ı d u . 4. T`ım cu . . c tri . c´o d iˆe ` ukiˆe . ncu ’ a h`am 1) f(x, y)=x 2 + y 2 + xy −5x −4y +10,x+ y =4. 2) u = f(x, y, z)=x + y + z 2  z − x =1, y − xz =1. 9.3. Cu . . c tri . cu ’ a h`am nhiˆe ` ubiˆe ´ n 151 Gia ’ i. 1) T `u . phu . o . ng tr`ınh r`ang buˆo . c x + y =4tac´oy =4−x v`a f(x, y)=x 2 +(4− x) 2 + x(4 − x) −5x −4(4 − x)+10 = x 2 − 5x +10, ta thu d u . o . . c h`am mˆo . tbiˆe ´ nsˆo ´ g(x)=x 2 − 5x +10 v`a cu . . c tri . d i . aphu . o . ng cu ’ a g(x)c˜ung ch´ınh l`a cu . . c tri . c´o d iˆe ` ukiˆe . ncu ’ a h`am f(x, y). ´ Ap du . ng phu . o . ng ph´ap kha ’ o s´at h`am sˆo ´ mˆo . tbiˆe ´ nsˆo ´ d ˆo ´ i v´o . i g(x) ta t`ım d u . o . . c g(x) c´o cu . . ctiˆe ’ ud i . aphu . o . ng g min = g  5 2  = 15 4 · Nhu . ng khi d ´o h `a m f(x, y)d˜a cho c´o cu . . ctiˆe ’ uc´od iˆe ` ukiˆe . nta . idiˆe ’ m  5 2 , 3 2  (y =4− x ⇒ y =4− 5 2 = 3 2 )v`a f min = f  5 2 , 3 2  = 15 4 · 2) T`u . c´ac phu . o . ng tr`ınh r`ang buˆo . c ta c´o z =1+x y = x 2 + x +1 v`a thˆe ´ v`ao h`am d ˜a cho ta du . o . . c h`am mˆo . tbiˆe ´ nsˆo ´ u = f(x, y(x),z(x)) = g(x)=2x 2 +4x +2. Dˆe ˜ d`ang thˆa ´ yr˘a ` ng h`am g(x)c´ocu . . ctiˆe ’ uta . i x = −1 (khi d ´o y =1, z = 0) v`a do d ´o h`am f(x, y, z) c´o cu . . ctiˆe ’ uc´od iˆe ` ukiˆe . nta . idiˆe ’ m (−1, 1, 0) v`a f min = f(−1, 1, 0)=0.  152 Chu . o . ng 9. Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am nhiˆe ` ubiˆe ´ n V´ı du . 5. B˘a ` ng phu . o . ng ph´ap th`u . asˆo ´ bˆa ´ td i . nh Lagrange t`ım cu . . c tri . c´o d iˆe ` ukiˆe . ncu ’ a h`am u = x + y + z 2 v´o . id iˆe ` ukiˆe . n  z − x =1 y − xz =1 (9.16) (xem v´ı du . 4, ii)). Gia ’ i. Ta lˆa . p h`am Lagrange F (x, y, z)=x + y + z 2 + λ 1 (z − x − 1) + λ 2 (y − zx − 1) v`a x´et hˆe . phu . o . ng tr`ınh                        ∂F ∂x =1−λ 1 − λ 2 z =0 ∂F ∂y =1+λ 2 =0 ∂F ∂z =2z + λ 1 −λ 2 x =0 ϕ 1 = z −x − 1=0 ϕ 2 = y −xz − 1=0. Hˆe . n`ay c´o nghiˆe . m duy nhˆa ´ t x = −1, y =1,z =0,λ 1 =1v`a λ 2 = −1 ngh˜ıa l`a M 0 (−1, 1, 0) l`a diˆe ’ m duy nhˆa ´ t c´o thˆe ’ c´o cu . . c tri . cu ’ a h`am v´o . i c´ac d iˆe ` ukiˆe . n r`ang buˆo . c ϕ 1 v`a ϕ 2 . T`u . c´ac hˆe . th ´u . c z − x =1 y − xz =1 ta thˆa ´ yr˘a ` ng (9.16) x´ac d i . nh c˘a . p h`am ˆa ’ n y(x)v`az(x) (trong tru . `o . ng ho . . p n`ay y(x)v`az(x)dˆe ˜ d`ang r´ut ra t`u . (9.16)). Gia ’ su . ’ thˆe ´ nghiˆe . m 9.3. Cu . . c tri . cu ’ a h`am nhiˆe ` ubiˆe ´ n 153 y(x)v`az(x) v`ao hˆe . (9.16) v`a b˘a ` ng c´ach lˆa ´ y vi phˆan c´ac dˆo ` ng nhˆa ´ t th ´u . cthud u . o . . c ta c´o  dz − dx =0 dy − xdz − zdx =0 ⇒  dz = dx dy =(x + z)dx. (9.17) Bˆay gi`o . t´ınh vi phˆan cˆa ´ p hai cu ’ a h`am Lagrange d 2 F =2(dz) 2 − 2λ 2 dxdz. (9.18) Thay gi´a tri . λ 2 = −1 v`a (9.17) v`ao (9.18) ta thu du . o . . cda . ng to`an phu . o . ng x´ac d i . nh du . o . ng l`a d 2 F =4dx 2 . T`u . d ´o suy ra h`am d˜a cho c´o cu . . ctiˆe ’ uc´od iˆe ` ukiˆe . nta . idiˆe ’ m M 0 (−1, 1, 0) v`a f min =0.  V´ı du . 6. T`ım gi´a tri . l´o . n nhˆa ´ t v`a nho ’ nhˆa ´ tcu ’ a h`am f(x, y)=x 2 + y 2 − xy + x + y trong miˆe ` n D = {x  0,y  0,x+ y  −3}. Gia ’ i. Miˆe ` n D d ˜a cho l`a tam gi´ac OAB v´o . id ı ’ nh ta . i A(−3, 0), B(0, −3) v`a O(0, 0). i) T`ım c´ac d iˆe ’ md`u . ng: f  x =2x −y +1=0 f  y =2y − x +1=0 T`u . d ´o x = −1, y = −1. Vˆa . ydiˆe ’ md`u . ng l`a M(−1, −1). Ta . id iˆe ’ m M ta c´o: f(M)=f(−1, −1) = −1. . − 3 5  . Nhu . vˆa . y f max = 6+ 16 5 + 9 5 =11, f min =6− 16 5 − 9 5 =1.  V´ı d u . 4. T`ım cu . . c tri . c´o d iˆe ` ukiˆe . ncu ’ a h`am 1) f(x, y)=x 2 + y 2 + xy −5x −4y +1 0,x+ y =4. 2) u = f(x, y, z)=x + y + z 2  z. tri . cu ’ a h`am f(x, y)=x 2 + xy + y 2 − 2x − 3y. Gia ’ i. i) Hiˆe ’ n nhiˆen D f ≡ R. ii) T`ım d iˆe ’ md`u . ng. Ta c´o f  x =2x + y −2 f  y = x +2 y −3 ⇒ 2x + y −2=0, x +2 y − 3=0. Hˆe . thu d u . o . . c. tr`ınh r`ang buˆo . c x + y =4tac´oy =4−x v`a f(x, y)=x 2 +( 4− x) 2 + x(4 − x) −5x −4(4 − x )+1 0 = x 2 − 5x +1 0, ta thu d u . o . . c h`am mˆo . tbiˆe ´ nsˆo ´ g(x)=x 2 − 5x +1 0 v`a cu . . c tri . d i . aphu . o . ng