Tìm nhiều cách giải của một bài toán Phần một đặt vấn đề 1. Cơ sở lí luận Trong môn toán ở bậc tiểu học các bài toán đố có một vị trí rất quan trọng . Một phần lớn thời gian học toán của học sinh dành cho việc học giải các bài toán ấy . Kết quả học toán của học sinh cũng đợc đánh giá trớc hết qua khả năng giải toán . Học sinh biết giải thành thạo các bài toán là tiêu chuẩn để đánh giá trình độ toán học của mỗi học sinh . Sở dĩ việc giải toán có vị trí quan trọng nh trên là vì nó có những tác dụng rất lớn và toàn diện nh : Việc giải toán giúp học sinh củng cố , vận dụng và hiểu sâu sắc thêm tất cả các kiến thức về số học ,về đo lờng và các yếu tố đại số , về các yếu tố hình học đã đợc học trong môn toán ở tiểu học . Hơn thế nữa phần lớn các biểu tợng , khái niệm , qui tắc tính chất toán học ở tiểu học đều đợc học sinh tiếp thu qua con đờng giải toán chứ không phải qua con con đờng lí luận . Nếu chỉ nhắm vào một mục đích đơn giản là phấn đấu để đạt đợc điểm tốt trong môn toán thì chỉ cần giải đúng các bài toán là đủ . Muốn thực sự trở thành một học sinh giỏi toán thì sau khi đã giải xong tìm ra đúng đáp số của bài toán thì mỗi học sinh phải tập thêm cho mình thói quen cha tự bằng lòng mỗi khi đã giải xong bài toán tìm ra đúng đáp số , ngay cả trong trờng hợp đã thử lại cẩn thận đâu vào đó học sinh nên suy nghĩ tiếp tục để khai thác bài toán đó bằng nhiều cách giải khác . Đây là giai đoạn làm việc hoàn toàn có tính chất sáng tạo nhằm giúp học sinh hiểu sâu thêm bài toán , học một hiểu mời Việc đi sâu vào tìm nhiều cách giải khác nhau của một bài toán có vai trò to lớn trong việc rèn luyện kĩ năng , củng cố kiến thức rèn ________________________________________________________ Lê Phú Thịnh - Trờng tiểu học Thắng Lợi - - 1 - Tìm nhiều cách giải của một bài toán luyện trí thông minh , óc sáng tạo khả năng suy nghĩ một cách linh hoạt cho học sinh . Việc tìm nhiều cách giải của một bài toán góp phần rèn luyện đức tính tiết kiệm, bởi vì từ những cách giải đó học sinh có thể chọn ra con đờng ngắn nhất để đi tới đích không vội bằng lòng với kết quả đầu tiên . 2. Cơ sở thực tiễn Trong thực tế giảng dạy và đi dự giờ , bồi dỡng học sinh giỏi môn toán nhiều năm ở tiểu học . Tôi nhận thấy một trong các nguyên nhân cơ bản mà nhiều giáo viên và học sinh khó khăn trong việc tìm nhiều cách giải cho một bài toán , để có một cách giải hợp lí phù hợp với yêu cầu và phạm vi kiến thức học sinh đại trà tiểu học là họ cha có kĩ năng chuyển đổi các phơng pháp giải toán không nắm đợc " cơ sở toán " học của lời giải và mói quan hệ giữa dãy tính gộp với các cách giải khác . Khi gặp bài toán yêu cầu tìm nhiều cách giải thì các em rất lúng túng và khó khăn trong việc tìm tòi cách giải khác bởi vì trong tay các em cha có công cụ giải toán mạnh , các em cha nắm chắc đợc " cơ sở toán học" của lời giải mà các em đã làm , nhìn chung ngoài các em học sinh giỏi đợc trang bị thuật giải toán đủ mạnh nh ( phơng pháp khử, phơng pháp giả thiết tạm , tính ngợc từ cuối ) thì số còn lại rất thụ động trong việc tìm cách giải khác dới sự giúp đỡ của giáo viên . Xuất phát từ thực tế trên , ngay từ khi nhận thức đợc vấn đề này tôi đã đi sâu vào nghiên cứu , tập hợp thành chuyên đề phổ biến dạy thực nghiệm ở các lớp 3A năm học 2005-2006, lớp 4A năm học 2006-2007 , lớp 5A năm học 2007-2008 của trờng tiểu học Thắng Lợi . Nay tôi đa vào nghiên cứu đề tài , mục đích hệ thống , mở rộng : Bồi d ỡng năng lực toán học cho học sinh tiểu học theo định h ớng tìm nhiều cách giải của một bài toán ________________________________________________________ Lê Phú Thịnh - Trờng tiểu học Thắng Lợi - - 2 - Tìm nhiều cách giải của một bài toán Phần hai giải quyết vấn đề I . những vấn đề cần giải quyết Trong các môn học không có môn nào lại giúp rèn luyện năng lực suy nghĩ và phát triển trí tuệ cho học sinh nh môn toán. Thông qua các nội dung thực tế nhiều hình nhiều vẻ của các đề toán . học sinh sẽ tiếp nhận đợc những kiến thức phong phú về cuộc sống và có điều kiện để rèn luyện mình . Việc giải toán bằng nhiều cách khác nhau còn đòi hỏi học sinh phải biết tự mình xem xét các vấn đề , tự mình tìm tòi cách giải quyết vấn đề , tự mình thực hiện các phép tính , tự mình kiểm tra lại các kết quả . Từ đó mà các em sẽ hiểu rõ hơn " cơ sở toán học " của lời giải và những mối liên hệ giữa dãy tính gộp của bài toán với các cách giải khác . Do đó giải toán là cách tốt nhất để rèn tính kiên trì , tự lực vợt khó , cẩn thận , chu đáo yêu thích sự chặt chẽ , chính xác Vì những tác dụng to lớn đã nói ở trên nên mỗi giáo viên tiểu học khi dạy toán cần quan tâm bồi dỡng năng lực toán học cho học sinh bằng cách khai thác tiềm năng SGK nh : * Phát triển các năng lực thực hiện các thao tác t duy , phân tích tổng hợp , so sánh ,khái quát hoá đặc biệt hoá , trừu tợng hoá cụ thể hoá * Phát triển năng lực nhìn nhận các vấn đề toán học theo nhiều góc độ khác nhau * Phát triển năng lực đánh giá các giải pháp để lựa chọn giải pháp tối u cho việc giải toán . ________________________________________________________ Lê Phú Thịnh - Trờng tiểu học Thắng Lợi - - 3 - Tìm nhiều cách giải của một bài toán Những phơng pháp hớng dẫn học sinh tìm nhiều cách giải sau đây tuy không mới mẻ với học sinh song những phơng pháp này đã dẫn dắt học sinh biết đi từ ít đến nhiều từ dễ đến khó từ đó rút ra đợc cách giải tổng quát . Đặc biệt đi sâu vào các phơng pháp khai thác tiềm năng SGK. Sau đây là một số biện pháp hớng dẫn học sinh tìm nhiều cách giải của một bài toán theo hớng khai thác các tiềm năng đó . + Biến đổi biểu thức + Tìm nhiều cách giải của một bài toán +Nhận xét và rút kinh nghiệm sau khi giải mỗi bài toán ________________________________________________________ Lê Phú Thịnh - Trờng tiểu học Thắng Lợi - - 4 - Tìm nhiều cách giải của một bài toán iI. nội dung và phơng pháp tiến hành A . Biến đổi biểu thức Để bồi dỡng năng lực giải toán cho học sinh theo định hớng tìm nhiều cách giải cho một bài toán . Tôi đã hớng cho học sinh huy động nhiều loại kiến thức khi giải quyết một vấn đề của toán học nào đó . Mỗi loại kiến thức có thể giúp cho việc đa ra một định hớng giải quyết bài toán . Việc huy động nhiều loại kiến thức khi giải quyết vấn đề của bài toán vừa có tác dụng củng cố các kiến thức đã học , vừa góp phần bồi dỡng t duy linh hoạt , vừa gúp học sinh vận dụng kién thức khai thác kiến thức đã biết với vai trò là công cụ để kiến tạo tri thức mới . Tôi đã hớng cho học sinh khai thác một số bài tập sau: * Dạng biểu thức có 2 phép tính Bài toán 1 Điền tiếp vào chỗ chấm của các biểu thức sau theo nhiều cách ( nếu có thể ) 1 . a + ( b + c ) = = 2 . a + ( b - c ) =.= 3 . a - ( b + c ) = = 4 . a - ( b - c ) =.= 5 . a x ( b x c ) = = 6 . a x ( b : c ) =.= 7 . a : ( b x c ) = = 8 . a : ( b: c ) =.= 9 . ( a + b) x c = = 10 . ( a - b ) x c =.= 11 . ( a + b ) : c = = 12 . ( a - b ) : c =.= ________________________________________________________ Lê Phú Thịnh - Trờng tiểu học Thắng Lợi - - 5 - Tìm nhiều cách giải của một bài toán Học sinh vận dụng các tính chất đã học của phép tính cộng , trừ ,nhân , chia dễ dàng thực hiện đợc bài toán nh sau : 1 . a + ( b + c ) = ( a+ b ) +c = ( a + c ) + b 2 . a + ( b - c ) = ( a + b ) - c = ( a - c ) + b 3 . a - ( b + c ) = ( a - b ) - c = ( a - c ) - b 4 . a - ( b - c ) = ( a + c ) - b = ( a - b ) + c 5 . a x ( b x c ) = ( a x b ) x c = ( a x c ) x b 6 . a x ( b : c ) = ( a x b ) : c = ( a : c ) x b 7 . a : ( b x c ) = ( a : b ) : c = ( a : c ) : b 8 . a : ( b : c ) = ( a x c ) : b = ( a : b ) x c . 9 . ( a + b) x c = a x c + b x c . 10 . ( a - b ) x c = a x c - b x c . 11 . ( a + b ) : c = ( a : c ) + ( b : c ) 12 . ( a - b ) : c = ( a : c ) - ( b : c ) Từ đó tôi cho học nêu tên các tính chất của phép toán và ghi nhớ 1 . Tính chất giao hoán của phép cộng 2. Tính chất kết hợp 3 . Tính chất 1 số trừ đi 1 tổng 4 . Tính chất 1 tổng trừ đi 1 số 5 . Tính chất Giao hoán của phép nhân 6 . Tính chất 1 tích chia cho 1 số 7 . Tính chất 1 số chia cho 1 tích 8 . Tính chất kết hợp 9 . Tính chất 1 tổng nhân 1 số 10. Tính chất 1 hiệu nhân 1 số 11. Tính chất 1 tổng chia cho 1 số 12. Tính chất 1 hiệu chia cho 1 số ________________________________________________________ Lê Phú Thịnh - Trờng tiểu học Thắng Lợi - - 6 - Tìm nhiều cách giải của một bài toán * Dạng biểu thức có chứa nhiều phép tính Với dạng này giáo viên định hớng cho học sinh trớc hết tìm thứ tự thực hiện các phép tính của biểu thức ròi biến đỏi biểu thức đó theo thứ tự các cặp phép tính . tôi cho học sinh vận dụng làm 1 số bài tập từ dễ đến khó B ài toán 2 Tính bằng 3 cách khác nhau ( 7 - 3 ) x 8 : 2 = Giải - Cách 1 Học sinh làm thông thờng theo thứ tự thực hiện phép tính - Cách 2 Vận dụng tính chất 1 hiệu nhân 1số ( 7 - 3 ) x 8 : 2 = [( 7 x 8 ) - ( 3 x 8 ) ] : 2 = (56 - 24 ) : 2 = 32 : 2 = 16 - Cách 3 Vận dụng tính chất 1 hiệu chia cho 1 số ( 7 - 3 ) x 8 : 2 = [( 7 x 8 ) - ( 3 x 8 )] : 2 = ( 7 x 8 : 2 ) - ( 3 x 8 : 2) = 56 : 2 - 24 : 2 = 28 - 12 = 16 Nhận xét Sau khi học sinh giải đợc bài toán này tôi cho các em nhận xét " cơ sở toán học " của việc tìm nhiều cách giải cho bài toán nói trên là gì ? Học sinh dễ dàng nhận ra việc giải toán bằng nhiều cách khác nhau dựa vào việc biến đổi biểu thức theo các tính chất của 4 phép tính cộng , trừ , nhân , chia . Nh chúng ta đã biết nội dung bài toán này thật đơn giản nhng khi dạy cho học sinh , bạn đừng vội cho là học sinh ________________________________________________________ Lê Phú Thịnh - Trờng tiểu học Thắng Lợi - - 7 - Tìm nhiều cách giải của một bài toán thấy dễ mà bỏ qua phân tích kĩ lời giải của bài toán . Sau khi phân tích ta nhìn thấy đợc điều thú vị của bài toán . Nó là nền tảng là cơ sở vững chắc để học sinh rút ra kinh nghiệm giải qua các bài toán từ đơn giản đến phức tạp , từ đó để học sinh phát hiện ra Đặc điểm của ph ơng pháp này . Sau khi tôi cho học sinh luyện tập 1 số bài tập dạng đơn giản ở SGK , tôi cho các em làm với yêu cầu cao hơn cụ thể nh bài sau : Bài toán 3 Tính giá tri của biểu thức theo 8 cách khác nhau 18000 : ( 4x 5 ) x 12 x 10 = Giải Học sinh vận dụng các tính chất của các phép tính đã học để biến đổi biểu thức dới các cách khác nhau nh sau : Cách 1 : 18000 : ( 4x5 ) x 12 x 10 = Cách 2 : [18000 : (4x5 )] x 12 x 10 = Cách 3 : { [ (18000 : 5 ) : 4 ] x 12 } x10 = Cách 4 : [ (18000 : 5 ) x (12 : 4 ) ] x 10 = Cách 5 : { [( 18000 : 4 ) x 12 ] : 5 } x 10 = Cách 6 : [( 18000 : 4 ) x ( 10 : 5 )] x 12 = Cách 7 : [ ( 18000 : 5 ) x 10 ] x ( 12 : 4 ) = Cách 8 : [18000 x ( 12 : 4 ) ] x ( 10 : 5 ) = và tính giá trị của các biểu thức đó đợc kết quả là : 108 000 B. Tìm nhiều cách giải của một bài toán Dạng 1 Bài toán chỉ có 2 phép tính cộng và trừ Bài toán 1 Hằng , Nga và Lan hái đợc 19 bông hoa , Hằng hái đợc 8 bông hoa . Nga hái đợc 5 bông hoa . Hỏi Lan hái đợc bao nhiêu bông hoa ? ( giải bằng 2 cách ) B ớc 1 : Cho học sinh tìm 1 cách giải ( Gọi là cách 1) ________________________________________________________ Lê Phú Thịnh - Trờng tiểu học Thắng Lợi - - 8 - Tìm nhiều cách giải của một bài toán Cách 1 Số bông hoa Hằng và Nga hái đợc : 8 + 5 = 13 ( bông hoa ) Số bông hoa Lan hái đợc là: 19 - 13 = 6 ( bông hoa ) Đáp số 6 bông hoa Cách 2 Số bông hoa Nga và Lan hái đợc là : 19 - 8 = 11 (bông hoa ) Số bông hoa Lan hái đợc là : 11- 5 = 6 ( bông hoa ) Đáp số 6 bông hoa Cách 3 Số bông hoa Hằng và Lan hái đợc là : 19 - 5 = 14 ( bông hoa ) Số bông hoa Lan hái đợc là : 14- 8 = 6 ( bông hoa ) Đáp số 6 bông hoa B ớc 2 Nhận xét Với bài toán trên thật đơn giản nhng bạn đọc đừng vội bỏ qua . Hãy đánh giá rút kinh nghiệm các giải pháp để lựa chọn giải pháp tối u cho việc giải các bài toán phức tạp hơn đó là việc cần làm của ngời học toán Sau khi cho học sinh giải xong 3 cách của bài toán tôi cho học sinh nhận xét rút kinh nghiệm để tìm ra đặc điểm của cách giải bài toán , các quy tắc chung để giải bài toán cùng loại đó chính là cơ sở toán học của việc giải toán bằng nhiều cách khác nhau ________________________________________________________ Lê Phú Thịnh - Trờng tiểu học Thắng Lợi - - 9 - Tìm nhiều cách giải của một bài toán Trong cách giải thứ 1 ta lấy số hoa của Hằng (8 bông) cộng với số hoa của Lan (5 bông ) trớc rồi đi tìm hiệu của tổng số hoa 3 bạn ( 19 bông ) với tổng số hoa của Hằng và Lan . Cách giải này tơng ứng với dãy tính : 19 - ( 8 + 5 ) Trong cách giải thứ 2 , ta đi tìm tổng số hoa của của Nga và Lan chính là hiệu giữa tổng số hoa của 3 bạn (19 bông ) và số hoa của Hồng trớc rồi lấy tổng số hoa đó trừ đi số hoa của Nga ( 5 bông ) . Cách giải này tơng ứng với dãy tính : ( 19 - 8 ) - 5 Trong cách giải thứ 3 ta đi tìm tổng số bông hoa của Hồng và Lan chính là hiệu giữa tổng số hoa của 3 bạn ( 19 bông ) với số hoa của Nga (5 bông ) rồi lấy tổng đó trừ đi số hoa của Hồng ( 8 bông ) thì đợc số hoa của Lan . Cách giải này tơng ứng với dãy tính ( 19 - 5 ) - 8 Sở dĩ cả 3 cách giải trên đều cho cùng 1 đáp số ( 6 bông ) là do theo tính chất 1 số trừ đi 1 tổng thì có thể biến đổi dãy tính nh sau : 19 - ( 8 + 5 ) = ( 19 - 8 ) - 5 = ( 19 - 5 ) - 8 Từ ví dụ này dễ dàng cho học sinh nêu ra đợc nhận xét để tìm ra nhiều cách giải của 1 bài toán là : Sau khi đã tìm ra đợc 1 cách giải thì viết gộp cácphép tính lại để có 1 biểu thức , rồi tìm cách biến đổi biểu thức ấy thành các dạng khác để suy ra những cách giải mới ( nếu có ) . Từ đó tôi cho học sinh nghiên cứu tiếp bài toán 2 Bài toán 2 Một ngời thợ dệt trong 3 ngày dệt đợc tất cả 58,35 m vải . Ngày thứ nhất ngời đó dệt đợc 18,75 m ngày thứ hai dệt hơn ngày thứ nhất 0,8m . Hỏi ngày thứ 3 ngời đó dệt đợc bao nhiêu mét vải ? Tóm tắt Ngày thứ nhất 18,75m ________________________________________________________ Lê Phú Thịnh - Trờng tiểu học Thắng Lợi - - 10 - [...]... học 2006-2007 cho lớp 4A Sĩ số Số học sinh biết tìm nhiều cách giải Số lợng % 30 30 100 Số học sinh cha biết tìm nhiều cách giải Số lợng 0 % 0 Lê Phú Thịnh - Trờng tiểu học Thắng Lợi - 28 - Tìm nhiều cách giải của một bài toán 4 Kết quả khảo sát lớp 5A khi cho học sinh đại trà áp dụng phơng pháp này để tìm nhiều cách giải của 1 bài toán Năm học 2007- 2008 Sĩ số Số học sinh. .. 23,3 nhiều cách giải Số lợng % 23 76,7 2 Kết quả trắc nghiệm khi áp dụng giải bằng các phơng pháp đã nêu cho lớp 3A học sinh khá giỏi năm học 2005 2006 Sĩ số Số học sinh biết tìm nhiều cách giải Số lợng % Số học sinh cha biết tìm nhiều cách giải Số lợng % 26 86,6 4 13,4 30 3 Kết quả khảo sát khi hớng dẫn học sinh giải bằng phơng pháp này với yêu cầu tìm nhiều cách giải của 1 bài toán cho học sinh đại... niệm toán học với nhau và ý nghĩa của việc kiến tạo nên một tri thức toán học mới xây dựng nên một phơng pháp giải toán học mới Nó không những để giải quyết một nhiệm vụ mới mà nhiều khi còn là 1 công cụ đắc lực để giải quyết các bài toán cũ hữu hiệu hơn , gọn gàng hơn Chính điều này gây hứng thú cho học sinh khi học toán Cuối cùng có thể nói kinh nghiệm Bồi dỡng năng lực toán học cho học sinh tiểu học. .. ví dụ của bài toán 1, 2, 3, 4 giáo viên cho học sinh phân tích nhận xét các bớc làm để tìm ra cách khai thác nhiều hớng giải khác nhau của một bài toán để các em có thói quen hiểu sâu hơn bản Lê Phú Thịnh - Trờng tiểu học Thắng Lợi - 18 - Tìm nhiều cách giải của một bài toán chất của từng bài toán mà từ đó hình thành đợc phơng pháp tìm nhiều cách giải cho 1 bài toán Cụ... SGK Bởi thế giải bài toán bằng nhiều cách giúp chúng ta khám phá thế giới bí ẩn của toán học Từ những ví dụ , bài toán cụ thể mà chúng ta đã giải , phân tích , nhận xét đánh giá các giải pháp từ đó đề ra nguyên tắc sau để tìm ra nhiều cách giải cho một bài toán theo các bớc sau : Lê Phú Thịnh - Trờng tiểu học Thắng Lợi - 29 - Tìm nhiều cách giải của một bài toán Bớc 1 Phân... trên giáo viên cho học sinh phân tích nhận xét các bớc làm ( cách giải ) để tìm ra cách khai thác nhiều hớng giải của 1 bài toán để các em có thói quen hiểu sâu hơn bản chất của từng bài toán mà từ đó hình thành đợc phơng pháp tìm nhiều cách giải của 1 bài toán Cụ thể nh sau : Bớc 1 Học sinh phân tích đề toán , mối quan hệ giữa các đại lợng đã cho và cần tìm để tìm cách giải Đây chính là cách 1 Bớc... tiết học toán sẽ phát huy đợc tính sáng tạo của học sinh song còn 1 số hạn chế nh: +Chỉ áp dụng giải đợc hầu hết các dạng toán cơ bản ở chơng trình SGK tiểu học +Cha áp dụng giải đợc cho tất cả các bài toán, dạng toán khó, nâng cao ở tiểu học 4 Hớng tiếp tục nghiên cứu Để giúp cho giáo viên và học sinh có trong tay một công cụ đắc lực (1 chìa khoá vạn năng ) để tìm nhiều cách giải của một bài toán. .. phơng pháp giải tổng quát của bài toán Giúp học sinh định hớng đợc cách giải khi gặp dạng đề khó này là không thể thiếu Lê Phú Thịnh - Trờng tiểu học Thắng Lợi - 33 - Tìm nhiều cách giải của một bài toán đợc Song một bài toán có nhiều phơng pháp giải khác nhau , nhiều kinh nghiệm khác để tìm đợc nhiều cách giải của một bài toán Rất mong bạn bè đồng nghiệp đóng góp ý... số học và mối quan hệ giữa các phép tính đó Chẳng hạn hai cách giải của bài toán 1 trang 8 nêu trên đã giúp hình thành hoặc củng cố cho học sinh tính chất 1 tổng trừ đi một số Hoặc 2 cách giải của bài tập 3 trang 21 ở trên giúp hình thành và củng cố cho học sinh về quy tắc chia 1 hiệu cho một số và nhân một số với một hiệu vv Trong khi cố gắng tìm ra những cách giải khác nhau của bài toán học sinh. .. tạo khả năng suy nghĩ một cách linh hoạt cho học sinh Tuy rằng phơng pháp này không giải quyết đợc hầu hết các bài toán ở tiểu học song cùng với các phơng pháp khác đã tạo ra cho ta một cách nhìn đa dạng , thêm vào 1 công cụ giải toán trong hệ thống phơng pháp giải toán tiểu học nói chung Mặt khác qua việc giảng dạy phơng pháp giải dạng toán này còn có ý nghĩa giáo dục và khắc sâu cho học sinh thấy . Trờng tiểu học Thắng Lợi - - 1 - Tìm nhiều cách giải của một bài toán luyện trí thông minh , óc sáng tạo khả năng suy nghĩ một cách linh hoạt cho học sinh . Việc tìm nhiều cách giải của một bài toán. tiểu học Thắng Lợi - - 4 - Tìm nhiều cách giải của một bài toán iI. nội dung và phơng pháp tiến hành A . Biến đổi biểu thức Để bồi dỡng năng lực giải toán cho học sinh theo định hớng tìm nhiều. tìm nhiều cách giải của một bài toán theo hớng khai thác các tiềm năng đó . + Biến đổi biểu thức + Tìm nhiều cách giải của một bài toán +Nhận xét và rút kinh nghiệm sau khi giải mỗi bài toán ________________________________________________________ Lê