Đang tải... (xem toàn văn)
Tất cả tài liệu bài tập, bài giảng, bài giải Toán Chuyên Ngành Kĩ Thuật Viễn Thông bao gồm cáp phép biến đổi FOURIE, LAPLACE... Hàm biến số phức Số phức và các phép biến đổi trên trường số phức Thăng dư và ứng dụng Tích phân của hàm biến phức Chuỗi hàm phức Fourie Laplace Bài tập và lời giải
SÁCH HNG DN HC TP TOÁN CHUYÊN NGÀNH (Dùng cho sinh viên ngành T-VT h đào to đi hc t xa) Lu hành ni b HÀ NI - 2006 =====(===== HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG SÁCH HNG DN HC TP TOÁN CHUYÊN NGÀNH Biên son : Ts. LÊ BÁ LONG LI NÓI U Tip theo chng trình toán hc đi cng bao gm gii tích 1, 2 và toán đi s. Sinh viên chuyên ngành đin t-vin thông còn cn trang b thêm công c toán xác sut thng kê và toán k thut. đáp ng nhu cu hc tp ca sinh viên chuyên ngành đin t vin thông ca Hc vin, chúng tôi đã biên son tp bài ging Toán k thut t nm 2000 theo đ cng chi tit môn hc ca H c vin. Qua quá trình ging dy chúng tôi thy rng cn hiu chnh và b sung thêm đ cung cp cho sinh viên nhng công c toán hc tt hn. Trong ln tái bn ln th hai tp bài ging đc nâng lên thành giáo trình, ni dung bám sát hn na nhng đc thù ca chuyên ngành vin thông. Chng hn trong ni dung ca phép bin đi Fourier chúng tôi s dng min tn s f thay cho min ω . Da vào tính duy nht ca khai trin Laurent chúng tôi gii thiu phép bin đi Z đ biu din các tín hiu ri rc bng các hàm gii tích. Tuy nhiên do đc thù ca phng thc đào to t xa nên chúng tôi biên son li cho phù hp vi loi hình đào to này. Tp giáo trình bao gm 7 chng. Mi chng cha đng các ni dung thit yu và đc coi là các công c toán hc đc lc, hiu qu cho sinh viên, cho k s đi sâu vào lnh vc vin thông. Ni dung giáo trình đáp ng đ y đ nhng yêu cu ca đ cng chi tit môn hc đã đc Hc vin duyt. Trong tng chng chúng tôi c gng trình bày mt cách tng quan đ đi đn các khái nim và các kt qu. Ch chng minh các đnh lý đòi hi nhng công c va phi không quá sâu xa hoc chng minh các đnh lý mà trong quá trình chng minh giúp ngi đc hiu sâu hn bn cht ca đnh lý và giúp ngi đc d dàng hn khi vn dng đnh lý. Các đnh lý khó chng minh s đc ch dn đn các tài liu tham kho khác. Sau mi kt qu đu có ví d minh ho. Cui cùng tng phn thng có nhng nhn xét bình lun v vic m rng kt qu hoc kh nng ng dng chúng. Tuy nhiên chúng tôi không đi quá sâu vào các ví d minh ho mang tính chuyên sâu v vin thông vì s hn ch ca chúng tôi v lãnh vc này và c ng vì vt ra khi mc đích ca cun tài liu. Th t ca tng Ví d, nh lý, nh ngha, đc đánh s theo tng loi và chng. Chng hn Ví d 3.2, nh ngha 3.1 là ví d th hai và đnh ngha đu tiên ca chng 3… Nu cn tham kho đn ví d, đnh lý, đnh ngha hay công thc nào đó thì chúng tôi ch rõ s th t c a ví d, đnh lý, đnh ngha tng ng. Các công thc đc đánh s th t theo tng chng. H thng câu hi ôn tp và bài tp ca tng chng có hai loi. Loi trc nghim đúng sai nhm kim tra trc tip mc đ hiu bài ca hc viên còn loi bài tp tng hp giúp hc viên vn dng kin thc mt cách sâu sc hn. Vì nhn thc ca chúng tôi v chuyên ngành in t Vin thông còn hn ch nên không tránh khi nhiu thiu sót trong vic biên son tài liu này, cng nh cha đa ra ht các công c toán hc cn thit cn trang b cho các cán b nghiên cu v chuyên ngành đin t vin thông. Chúng tôi rt mong s đóng góp ca các nhà chuyên môn đ chúng tôi hoàn thin tt hn tp tài liu này. Tác gi xin bày t li cám n t i PGS.TS. Lê Trng Vinh, TS Tô Vn Ban, đã đc bn tho và cho nhng ý kin phn bin quý giá và đc bit ti KS Nguyn Chí Thành ngi đã giúp tôi biên tp hoàn chnh cun tài liu. Chng 1: Hàm bin s phc 4 Cui cùng, tác gi xin bày t s cám n đi vi Ban Giám đc Hc vin Công ngh Bu Chính Vin Thông, Trung tâm ào to Bu Chính Vin Thông 1 và bn bè đng nghip đã khuyn khích, đng viên, to nhiu điu kin thun li đ chúng tôi hoàn thành tp tài liu này. Hà Ni 5/2006 Tác gi Chng 1: Hàm bin s phc 5 CHNG I: HÀM BIN S PHC PHN GII THIU Gii tích phc là mt b phn ca toán hc hin đi có nhiu ng dng trong k thut. Nhiu hin tng vt lý và t nhiên đòi hi phi s dng s phc mi mô t đc. Trong chng này chúng ta tìm hiu nhng vn đ c bn ca gii tích phc: Lân cn, gii hn, hàm phc liên tc, gii tích, tích phân phc, chui s ph c, chui ly tha, chui Laurent… nghiên cu các vn đ này chúng ta thng liên h vi nhng kt qu ta đã đt đc đi vi hàm bin thc. Mi hàm bin phc () ( ) (, ) (, )wfz fxiy uxyivxy==+= + tng ng vi hai hàm thc hai bin (, )uxy, (, )vxy. Hàm phc () f z liên tc khi và ch khi (, )uxy, (, )vxy liên tc. () f z kh vi khi và ch khi (, )uxy, (, )vxy có đo hàm riêng cp 1 tha mãn điu kin Cauchy-Riemann. Tích phân phc tng ng vi hai tích phân đng loi 2 …Mi chui s phc tng ng vi hai chui s thc có s hng tng quát là phn thc và phn o ca s hng tng quát ca chui s phc đã cho. S hi t hay phân k đc xác đnh bi s hi t hay phân k ca hai chui s thc này. T nhng tính cht đc thù ca hàm bin phc chúng ta có các công thc tích phân Cauchy. ó là công thc liên h gia giá tr ca hàm phc ti mt đim vi tích phân dc theo đng cong kín bao quanh đim này. Trên c s công thc tích phân Cauchy ta có th chng minh đc các kt qu: Mi hàm phc gii tích thì có đo hàm mi cp, có th khai trin hàm phc gii tích thành chui Taylor, hàm gi i tích trong hình vành khn đc khai trin thành chui Laurent. Bng cách tính thng d ca hàm s ti đim bt thng cô lp ta có th áp dng đ tính các tích phân phc và tích phân thc, tính các h s trong khai trin Laurent và phép bin đi Z ngc. Da vào tính duy nht ca khai trin Laurent ta có th xây dng phép bin đi Z.Phép bin đi Z cho phép biu din dãy tín hiu s ri rc bng hàm gii tích. hc tt ch ng này hc viên cn xem li các kt qu ca gii tích thc. NI DUNG 1.1. S PHC 1.1.1. Dng tng quát ca s phc S phc có dng tng quát zxiy=+ , trong đó , x y là các s thc; 1 2 −=i . x là phn thc ca z , ký hiu Re z . y là phn o ca z , ký hiu Im z . Khi 0y = thì zx = là s thc; khi 0x = thì ziy = gi là s thun o. S phc x iy− , ký hiu z , đc gi là s phc liên hp vi s phc zxiy=+ . Chng 1: Hàm bin s phc 6 Hai s phc 11 1 zxiy = + và 222 zxiy = + bng nhau khi và ch khi phn thc và phn o ca chúng bng nhau. 12 11 12 2 2 12 12 ,; x x zxiyz xiy zz y y = ⎧ =+ =+ = ⇔ ⎨ = ⎩ (1.1) Tp hp tt c các s phc ký hiu . 1.1.2. Các phép toán Cho hai s phc 11 1 zxiy=+ và 222 zxiy = + , ta đnh ngha: a) Phép cng: S phc () ( ) 12 12 zxx iyy=++ + đc gi là tng ca hai s phc 1 z và 2 z , ký hiu 12 zz z=+. b) Phép tr: Ta gi s phc zxiy−=−− là s phc đi ca zxiy = + . S phc () ( ) 1212 12 ()zz z x x iy y=+− = − + − đc gi là hiu ca hai s phc 1 z và 2 z , ký hiu 12 zz z=−. c) Phép nhân: Tích ca hai s phc 1 z và 2 z là s phc đc ký hiu và đnh ngha bi biu thc: () ( ) ( ) ( ) 12 1 1 2 2 12 12 12 12 zzz xiy x iy xx yy ixy yx==+ += − + + . (1.2) d) Phép chia: Nghch đo ca s phc 0zxiy = +≠ là s phc ký hiu 1 z hay 1 z − , tha mãn điu kin 1 1zz − = . Vy nu 1 ''zxiy − = + thì 22 22 ''1 ',' ''0 xx yy x y xy yx xy x yxy −= ⎧ − ⇒= = ⎨ += ++ ⎩ . (1.3) S phc 1 12 12 12 12 12 22 22 22 22 x xyy yxxy zzz i x yxy − +− == + ++ đc gi là thng ca hai s phc 1 z và 2 z , ký hiu 1 2 z z z = ( 2 0z ≠ ). Ví d 1.1: Cho zxiy=+ , tính 2 ,zzz. Gii: () () () 2 222 2zxiy xyixy=+ = − + , 22 zz x y = + . Ví d 1.2: Tìm các s thc , x y là nghim ca phng trình ( ) ( ) ( ) ( ) 51 23311 x yixii i++−+ +=−. Gii: Khai trin và đng nht phn thc, phn o hai v ta đc 2523 7 3, 456 11 5 xy xy xy ++= ⎧ ⇒=− = ⎨ +−=− ⎩ . Chng 1: Hàm bin s phc 7 Ví d 1.3: Gii h phng trình 1 21 ziw zw i += ⎧ ⎨ + =+ ⎩ . Gii: Nhân i vào phng trình th nht và cng vào phng trình th hai ta đc () ( ) ( ) 12 2 12 43 212 255 ii ii iz i z i +− ++ +=+⇒= = = + , () 13 3 1 55 ii wiz i −+ + ⎛⎞ ⇒= −= =− ⎜⎟ ⎝⎠ . Ví d 1.4: Gii phng trình 2 250zz++=. Gii: () ()()( )( ) 222 2 25 1 4 1 2 12 12zz z z i z iz i++=+ +=+ − =+− ++ . Vy phng trình có hai nghim 12 12, 12ziz i = −+ =−− . 1.1.3. Biu din hình hc ca s phc, mt phng phc Xét mt phng vi h ta đ trc chun Oxy , có véc t đn v trên hai trc tng ng là i và j . Mi đim M trong mt phng này hoàn toàn đc xác đnh bi ta đ (; ) x y ca nó tha mãn OM x i y j=+ . S phc zxiy=+ cng hoàn toàn đc xác đnh bi phn thc x và phn o y ca nó. Vì vy ngi ta đng nht mi đim có ta đ (; ) x y vi s phc zxiy = + , lúc đó mt phng này đc gi là mt phng phc. 1.1.4. Dng lng giác ca s phc Trong mt phng vi h ta đ trc chun Oxy , nu ta chn Ox làm trc cc thì đim (; ) M xy có ta đ cc () ;r ϕ xác đnh bi ( ) ,,rOM OxOM ϕ == tha mãn cos sin xr yr ϕ ϕ = ⎧ ⎨ = ⎩ Ta ký hiu và gi 22 zrOM x y== = + (1.4) Argz 2 ,k k ϕ = +∈ (1.5) là mô đun và argument ca s phc zxiy = + . x x M y y O i j r ϕ x x M y y O i j Chng 1: Hàm bin s phc 8 Góc ϕ ca s phc 0zxiy=+ ≠ đc xác đnh theo công thc sau ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ +=ϕ =ϕ 22 cos tg yxx/ y/x (1.6) Giá tr ca Argz nm gia π− và π đc gi là argument chính, ký hiu arg z . Vy arg z π π − <≤. T công thc (1.4) ta có ( ) cos sinzxiyr i ϕ ϕ =+ = + (1.7) gi là dng lng giác ca s phc. S dng khai trin Maclaurin có th chng minh đc công thc Euler cos sin i ei ϕ ϕ ϕ =+ (1.8) Do đó cos , sin 22 ii ii ee ee i ϕ ϕϕϕ ϕϕ − − +− == . (1.9) T (1.7)-(1.8) ta có th vit s phc di dng m i zze ϕ = (1.10) Các tính cht ca s phc ̇ 11 1212 1212 2 2 ;; zz zz zz zz zz z z ⎛⎞ +=+ = = ⎜⎟ ⎝⎠ . (1.11) ̇ Re ; Im 22 zz zz zz i +− == . zzz ∈ ⇔= . (1.12) ̇ 12 12 12 12 12 arg arg Arg Arg 2 zz zz zz zz zzk π ⎧⎧ == ⎪⎪ =⇔ ⇔ ⎨⎨ ==+ ⎪⎪ ⎩⎩ (1.13) ̇ 2 zz z= , 2 1 z z zz z z == , 112 2 2 2 zzz z z = . (1.14) ̇ 1 1 12 1 2 1 2 1 2 22 ,, z z zz z z z z z z zz ==+≤+ . (1.15) ̇ () 1 12 1 2 1 2 2 Arg Arg Arg , Arg Arg Arg z zz z z z z z ⎛⎞ =+ =− ⎜⎟ ⎝⎠ (1.16) ̇ iy x z + = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≤ ⇒ zy zx và yxz +≤ (1.17) Chng 1: Hàm bin s phc 9 Ví d 1.5: a) Tp các s phc z tha mãn 23z − = tng ng vi tp các đim có khong cách đn (2;0)I bng 3, tp hp này là đng tròn tâm I bán kính 3. b) Tp các s phc z tha mãn 24zz − =+ tng ng vi tp các đim cách đu (2;0)A và (4;0)B − đó là đng trung trc ca đon A B có phng trình 1x =− . 1.1.5. Phép nâng ly tha, công thc Moivre Ly tha bc n ca s phc z là s phc n n zzzz= lÇn T công thc (1.15)-(1.16) ta có công thc Moivre: () cos sin , Arg 2 n n zz nin z k ϕ ϕϕπ =+ =+. (1.18) c bit, khi 1z = ta có () ( ) cos sin cos sin n inin ϕϕ ϕ ϕ +=+ (1.18)' Ví d 1.6: Tính () 10 13i−+ . Gii: () 10 10 10 2 2 20 20 13 2cos sin 2cos sin 33 3 3 ii i π πππ ⎡⎤ ⎛⎞⎛ ⎞ −+ = + = + ⎜⎟⎜ ⎟ ⎢⎥ ⎝⎠⎝ ⎠ ⎣⎦ 10 10 9 9 22 13 2cos sin 2 2 32 33 22 iii ππ ⎛⎞ ⎛⎞ =+=−+=−+ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ . 1.1.6. Phép khai cn S phc ω đc gi là cn bc n ca z , ký hiu n z=ω , nu z n =ω . Nu vit di dng lng giác: )sin(cos,)sin(cos θ + θ ρ = ω ϕ + ϕ = iirz thì ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ π+ϕ =θ =ρ ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∈π+ϕ=θ =ρ ⇔ω= n k r kkn r z n n n 2 ,2 . (1.19) Vì Argument ca mt s phc xác đnh sai khác mt bi s nguyên ca π2 nên vi mi s phc 0≠z có đúng n cn bc n . Các cn bc n này có cùng mô đun là n r , Argument nhn các giá tr n k n π + ϕ =θ 2 ng vi 1, ,1,0 − = nk , vì vy nm trên đnh ca n-giác đu ni tip trong đng tròn tâm O bán kính n r . Ví d 1.7: Gii phng trình 01 4 =+z Gii: Nghim ca phng trình là cn bc 4 ca π + π=− sincos1 i tng ng là: x y 0 z 1 z 2 z 3 z O 1 i 4 π Chng 1: Hàm bin s phc 10 2 1 4 sin 4 cos 0 i iz + = π + π = , 2 1 01 i izz + − == , 2 1 02 i zz − − =−= , 2 1 03 i izz − =−= . 1.1.7. Các khái nim c bn ca gii tích phc 1.1.7.1. Mt cu phc Trong 1.1.3 ta đã có mt biu din hình hc ca tp các s phc bng cách đng nht mi s phc iy x z += vi đim M có ta đ );( yx trong mt phng vi h ta đ Oxy . Mt khác nu ta dng mt cu )( S có cc nam tip xúc vi mt phng Oxy ti O, khi đó mi đim z thuc mt phng Oxy s tng ng duy nht vi đim ω là giao đim ca tia Pz và mt cu )( S , P là đim cc bc ca )( S . Vy mi đim trên mt phng Oxy đc xác đnh bi mt đim trên mt cu )( S ngoi tr đim cc bc P. Ta gán cho đim cc bc này s phc vô cùng ∞ . Tp hp s phc thêm s phc vô cùng đc gi là tp s phc m rng . Nh vy toàn b mt cu )( S là mt biu din hình hc ca tp s phc m rng. Quy c: ∞=−∞∞=∞+≠∞=∞≠∞= zzzzz z ,,)0(,)0( 0 . 1.1.7.2. Lân cn, min a. Lân cn Khái nim −ε lân cn ca ∈ 0 z đc đnh ngha hoàn toàn tng t vi −ε lân cn trong 2 , đó là hình tròn có tâm ti đim này và bán kính bng ε . ( ) { } ε<−∈= ε 00 zzzzB (1.23) −N lân cn ∈∞ : ( ) { } { } ∞∪>∈=∞ NzzB N (1.23)’ b. im trong, tp m Gi s E là mt tp các đim ca mt phng phc hoc mt cu phc. im 0 z đc gi là đim trong ca E nu tn ti mt lân cn ca 0 z nm hoàn toàn trong E . Tp ch gm các đim trong đc gi là tp m. • • ω z x O y P )( S [...]... ch z ch 2 z sh 2 z 2ch z sh z , ch 2 z 1.3 PHÉP BI N HÌNH B O GIÁC Nhi u v n trong khoa h c và th c ti n (ví d bài toàn n mìn, bài toán thi t k cánh máy nào ó mà ta ã bay…) a n bài toán: Tìm phép bi n hình b o giác bi n mi n D thành mi n bi t ho c d dàng kh o sát h n Trong m c này ta a ra vài nguyên lý và ph ng pháp tìm phép bi n hình trong nh ng tr ng h p n gi n 1.3.1 nh ngh a phép bi n hình b o... iy thì ph n th c o hàm riêng t i ( x, y ) và th a mãn i u ki n Cauchy- u x, y và ph n o v x, y có các Riemann u x, y x u x, y y Ng 2z v x, y y v x, y x (1.34) c l i, n u ph n th c u x, y , ph n o v x, y kh vi t i ( x, y ) và th a mãn i u ki n Cauchy-Riemann thì w f z kh vi t i z u x, y x f' z Ví d 1.8: Hàm w t i m i i m và w' z z2 x2 y2 2 x i2 y i 2 xy x iy và i v x, y x v x, y y Ví d 1.7 có 2z 13... lân c n c a z1 u có ch a các i m thu c E và các i m không thu c E T p h p các i m biên c a E z Hình tròn m t p m có biên l n l z c g i là biên E , ký hi u E z0 t là z r và ph n bù c a hình tròn m z Hình tròn óng z z0 z z0 r và z z z0 z r z z0 r là các r không ph i là t p m vì các i m biên z z 0 r không ph i là i m trong d T p liên thông, mi n c g i là t p liên thông n u v i b t k T p con D c a m t... a tích phân không ph thu c vào ng l y tích phân t A n B Các nh lý sau cho i u ki n c n và tích phân ph c không ph thu c vào ng l y tích phân n i hai u mút c a ng I x 1.4.2 2 3x 2 2 2 x 3 x 2 3 dx i 2 x 3x 2 3 x2 3x 2 2 dx nh lý tích phân Cauchy tích phân c a hàm f z trong mi n D không ph thu c nh lý 1.6: i u ki n c n và ng l y tích phân là tích phân c a f z d c theo m i vào ng cong kín b t k (không... k yk 1 ; k 1, 2, , n n Sn f zk k (1.48) k 1 c g i là t ng tích phân c a hàm f z trên L ng v i phân ho ch và cách ch n các i m i ng L, cách chia L b i các i m z k và di n trên T ng này nói chung ph thu c vào hàm f z , cách ch n các i m k 0 t ng S n ti n t i gi i h n I N u khi max z k 1 k n L và ch n các i m k không ph thu c cách chia c g i là tích phân c a hàm f z d c theo thì I ng ng cong L t A n... x 1 , do ó nh c a z 0 là 0 thì nh c a z0 z 1 z0k z0 z 1 z0 1 1 và z z0 x ng t ví d 1.11 và công th c (1.47) ta có th xét hàm phân z0 k 1 là w z0 k z0 1 qua z z0 i x ng v i k Ví d 1.12: Tìm phép bi n hình b o giác w w 0 và tính ch t b o toàn ó theo (1.47) ta có th xét hàm phân tuy n tính d ng thì w x ei V y w 0 M t khác w z 0 /2 /6 0 và w 0 f z bi n hình qu t 0 arg z 1 th a mãn w i 0 arg z 3 thành... z2 I 1.4.6 B t T f z 2 i cos z z 0 cos z dz z C 1 Các i m z 0 và z (1.56)' và (1.57)' ta có: ng 1: Hàm bi n s ph c C cos z dz z2 C cos z dz z 1 u n m trong hình tròn gi i h n b i C Áp d ng công th c 2 i cos z ' ng th c Cauchy và z 0 2 i cos z z 1 2 i 1 cos1 nh lý Louville ng tròn C R : z công th c (1.58) suy ra r ng, n u a R n m trong D và M v i m i z C R thì n! 2 f (n) a f z n 1 z a CR dz n! M 2R... K Ch f1 z T ng cn z a ng 1: Hàm bi n s ph c n c u và f 2 z c g i là ph n n 0 n 1 n z a c g i là n ph n chính c a chu i Laurent (1.66) nh lý 1.19 ( nh lý t n t i và duy nh t c a chu i Laurent): 1 M i hàm f z gi i tích trong hình vành kh n K: r z a R u có th khai tri n thành chu i Laurent (1.66) 2 Ng c l i, chu i b t k cn z a có d ng n h i t trong hình vành kh n K: n r z a R; 0 r có hàm t ng là f z thì... d ng (1.17) ta có max max 1 k n zk 0 1 k n max 1 k n Vì v y tích phân ph c (1.49) t n t i khi và ch khi hai tích phân phân (1.50) t n t i và có ng th c 24 ng lo i 2 có t ng tích Ch ng 1: Hàm bi n s ph c f z dz udx vdy i AB N u hàm w t i hai tích phân AB vdx udy (1.51) AB f z u x, y iv x, y liên t c trên D và cung AB tr n t ng khúc thì t n ng lo i 2 v ph i c a (1.51) do ó t n t i tích phân ph c t ng... mi n n liên D và có biên là D, D, Gi s là ng f z gi i tích trong D và liên t c trong D , bi n hình 1-1 D lên sao cho khi z ch y trên D theo chi u d ng, t ng ng w ch y trên c ng theo chi u d ng, thì hàm w f z bi n hình b o giác n tr hai chi u t D lên tr n t ng khúc, b ch n N u w c S b o toàn mi n nh lý 1.5: N u hàm w f z gi i tích, khác h ng s trên mi n D thì nh f D c ng là m t mi n M t vài chú ý khi . hc đi cng bao gm gii tích 1, 2 và toán đi s. Sinh viên chuyên ngành đin t-vin thông còn cn trang b thêm công c toán xác sut thng kê và toán k thut. đáp ng nhu cu hc. NGH BU CHÍNH VIN THÔNG SÁCH HNG DN HC TP TOÁN CHUYÊN NGÀNH Biên son : Ts. LÊ BÁ LONG LI NÓI U Tip theo chng trình toán hc đi cng bao. HC TP TOÁN CHUYÊN NGÀNH (Dùng cho sinh viên ngành T-VT h đào to đi hc t xa) Lu hành ni b HÀ NI - 2006 =====(===== HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG