MỞ ĐẦU 1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1.1. Nghị quyết Hội nghị lần thứ IV Ban Chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam (Khóa IV, 1993) nêu rõ: "Mục tiêu giáo dục - đào tạo phải hướng vào việc đào tạo những con người lao động tự chủ, sáng tạo, có năng lực giải quyết những vấn đề thường gặp, qua đó mà góp phần tích cực thực hiện mục tiêu lớn của đất nước” (dẫn theo Tài liệu Bồi dưỡng giáo viên môn Toán năm 2005, tr. 1). Về phương pháp giáo dục và đào tạo, Nghị quyết Hội nghị lần thứ II Ban Chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam (Khóa VIII, 1997) đã đề ra: “Phải đổi mới phương pháp đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng những phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu …”. Điều 24, Luật Giáo dục (1998) quy định: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh, …; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”. 1.2. Ở trường phổ thông, dạy Toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh, có thêm xem giải Toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Dạy học giải Toán có vai trò đặc biệt trong dạy học Toán ở trường phổ thông. Các bài toán là phương tiện có hiệu quả không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng và kĩ xảo. Hoạt động giải Toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích khác của dạy học Toán. Do đó, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải Toán có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học Toán. 1 Tuy nhiên, thực tiễn cho thấy chất lượng dạy học Toán ở trường phổ thông có lúc, có chỗ còn chưa tốt, biểu hiện qua việc năng lực giải Toán của học sinh còn hạn chế do học sinh còn mắc nhiều sai lầm. Một trong những nguyên nhân quan trọng là giáo viên chưa chú ý một cách đúng mức việc phát hiện, uốn nắn và sửa chữa các sai lầm cho học sinh ngay trong các giờ học Toán. Vì điều này nên ở học sinh nhiều khi gặp phải tình trạng sai lầm nối tiếp sai lầm. 1.3. Đã có nhiều quan điểm hoặc ý kiến được nêu ra xoay quanh vấn đề sai lầm trong cuộc sống cũng như trong nghiên cứu khoa học. Khổng Tử đã nói: “Sai lầm chân thật duy nhất là không sửa chữa sai lầm trước đó của mình”. Albert Einstein nói về sai lầm trong nghiên cứu khoa học: “Nếu tôi mắc sai lầm thì chỉ một lần cũng là đủ rồi”. Nhiều nhà khoa học đã nhấn mạnh tới vai trò của việc sửa chữa sai lầm của học sinh trong quá trình giảng dạy Toán, chẳng hạn, G. Polia đã phát biểu: “Con người phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình” [45, tr. 204], còn A. A. Stôliar thì nhấn mạnh rằng: “Không được tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm của học sinh” [66, tr. 105]. Viện sĩ A. N. Kôlmôgôrôv viết: “Năng lực bình thường của học sinh trung học đủ để các em nắm được Toán học trong nhà trường phổ thông nếu có sự hướng dẫn tốt của thầy giáo” [8, tr. 10]. Như vậy có thể khẳng định rằng, các sai lầm của học sinh trong giải Toán là cần và có thể khắc phục được. 1.4. Số các công trình nghiên cứu đề cập tới sai lầm của học sinh trong giải Toán còn tương đối ít, trong các công trình đó có thể kể tới Luận án Tiến sĩ của của Lê Thống Nhất: "Rèn luyện năng lực giải Toán cho học sinh phổ thông trung học thông qua việc phân tích và sửa chữa các sai lầm của học sinh khi giải Toán" (1996). Luận án này đã xem xét các sai lầm của học sinh ở từng chủ đề kiến thức, chẳng hạn chủ đề phương trình, chủ đề bất phương trình, chủ đề giới hạn, chủ để hàm số, Cách phân chia theo kiểu này của tác giả Lê Thống 2 Nhất có ưu điểm là giúp cho người đọc có thể vận dụng ở mức độ nào đó vào thực tiễn giảng dạy, nghiên cứu. Tuy nhiên, sự hạn chế của nó lại là ở chỗ: số lượng chủ đề kiến thức là rất nhiều, khó kể hết, còn nếu gộp lại để thành các chủ đề lớn thì nhiều khi dẫn tới sự chung chung, thiếu cụ thể. Các nhóm tác giả Trần Phương - Lê Hồng Đức trong Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải Toán (2004); Lê Đình Thịnh - Trần Hữu Phúc - Nguyễn Cảnh Nam trong Mẹo và bẫy trong các đề thi môn Toán (1992); Trần Hữu Phúc - Nguyễn Cảnh Nam trong Hãy cẩn thận! Bài thi đơn giản quá! (2002) đều sắp xếp sai lầm của học sinh theo từng chủ đề kiến thức. Cách sắp xếp sai lầm dựa theo tiêu chí chủ đề kiến thức như các tác giả nói trên chưa thể giải thích một cách tường minh, dễ hiểu và bao quát hết tất cả các kiểu sai lầm cho học sinh. Hơn nữa chưa thể đề cập được một số kiểu sai lầm thường gặp như: sai lầm ngôn ngữ, sai lầm liên quan đến các thao tác tư duy, sai lầm liên quan đến phân chia trường hợp riêng, Có thể nói, cho đến nay chưa có một công trình nào nghiên cứu sai lầm của học sinh khi giải Toán nhìn từ góc độ hoạt động toán học, nghĩa là xem xét các sai lầm theo phương diện chất lượng tiến hành các hoạt động toán học. Từ những sự phân tích trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của Luận văn là: “Nghiên cứu một số sai lầm của học sinh Trung học phổ thông khi giải Toán Đại số - Giải tích và quan điểm khắc phục”. 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Nghiên cứu một số sai lầm của học sinh Trung học phổ thông trong giải Toán Đại số và Giải tích mà các công trình nghiên cứu trước đây hoặc chưa đề cập, hoặc chưa phân tích một cách sâu sắc và đề xuất các quan điểm khắc phục. 3 3. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC Nếu làm sáng tỏ được các dạng sai lầm của học sinh Trung học phổ thông khi giải Toán Đại số và Giải tích, thì có thể đề xuất được các quan điểm để phòng tránh và khắc phục các dạng sai lầm này, góp phần nâng cao chất lượng dạy học Toán ở trường phổ thông. 4. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Luận văn có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây: 4.1. Trong giải Toán Đại số và Giải tích, học sinh thường mắc phải một số kiểu sai lầm phổ biến nào? 4.2. Nguyên nhân nào dẫn tới các sai lầm đó? 4.3. Để hạn chế, sửa chữa những sai lầm đã chỉ ra, cần thực hiện những quan điểm nào? 4.4. Kết quả của Thực nghiệm sư phạm là như thế nào? 5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 5.1. Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về lí luận và phương pháp giảng dạy môn Toán, các tài liệu về Tâm lí học và Giáo dục học để làm điểm tựa đề xuất các quan điểm hạn chế và sửa chữa sai lầm của học sinh. 5.2. Điều tra, quan sát: Điều tra qua thực tiễn sư phạm, qua các tài liệu để nắm bắt thêm những kiểu sai lầm của học sinh Trung học phổ thông khi giải Toán Đại số và Giải tích. 6. NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN 6.1. Luận văn đã làm sáng tỏ được nhiều kiểu sai lầm của học sinh Trung học phổ thông khi giải Toán Đại số và Giải tích mà các tài liệu khác hoặc chưa có dịp đề cập, hoặc chỉ đề cập ở mức độ sơ bộ. Đặc biệt, khi đề cập đến các sai lầm, Luận văn đã chú trọng đến phương diện hoạt động toán học. 6.2. Luận văn đã phân tích được nguyên nhân dẫn đến những sai lầm đó. 4 6.3. Cùng với các công trình nghiên cứu khác, tiến tới việc đưa ra một bức tranh toàn cảnh và tương đối đầy đủ về những kiểu sai lầm của học sinh Trung học phổ thông khi giải Toán. 6.4. Luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán Trung học phổ thông. 7. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài 2. Mục đích nghiên cứu 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 4. Giả thuyết khoa học 5. Phương pháp nghiên cứu 6. Đóng góp của Luận văn Chương 1. Một số vấn đề thực trạng về những sai lầm của học sinh Trung học phổ thông khi giải Toán Đại số và Giải tích 1.1. Một số công trình có liên quan 1.2. Sự cần thiết phòng tránh và sửa chữa những sai lầm của học sinh khi giải Toán 1.3. Một số kiểu sai lầm của học sinh Trung học phổ thông khi giải Toán Đại số và Giải tích 1.4. Kết luận Chương 1 Chương 2. Góp phần phòng tránh và sửa chữa các sai lầm của học sinh Trung học phổ thông khi giải Toán Đại số và Giải tích 2.1. Cơ sở lí luận 2.2. Những quan điểm chủ đạo trong việc phòng tránh, sửa chữa các sai lầm của học sinh Trung học phổ thông khi giải Toán Đại số và Giải tích 2.4. Kết luận Chương 2 5 Chương 3. Thực nghiệm sư phạm 3.1. Mục đích thực nghiệm 3.2. Tổ chức thực nghiệm 3.3. Nội dung thực nghiệm 3.4. Đánh giá các kết quả thực nghiệm Kết luận Những công trình của tác giả hoặc đồng tác giả đã được công bố Tài liệu tham khảo CHƯƠNG 1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ THỰC TRẠNG VỀ NHỮNG SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG KHI GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 6 1.1. MỘT SỐ CÔNG TRÌNH CÓ LIÊN QUAN Những công trình nghiên cứu đề cập tới sai lầm của học sinh trong giải Toán còn tương đối ít, trong các công trình đó phải kể tới Luận án Tiến sĩ của của Lê Thống Nhất: "Rèn luyện năng lực giải Toán cho học sinh phổ thông trung học thông qua việc phân tích và sửa chữa các sai lầm của học sinh khi giải Toán" (1996). Luận án này đã xem xét các sai lầm của học sinh ở từng chủ đề kiến thức, chẳng hạn, chủ đề phương trình, bất phương trình, giới hạn, hàm số, Cách phân chia theo kiểu này của tác giả Lê Thống Nhất có ưu điểm là giúp cho người đọc có thể vận dụng ở mức độ nào đó vào thực tiễn giảng dạy, nghiên cứu. Tuy nhiên, sự hạn chế của nó lại là ở chỗ: số lượng chủ đề kiến thức là rất nhiều khó mà kể hết, nếu gộp chúng lại để thành chủ đề lớn thì nhiều khi mắc phải sự chung chung mà không có điều kiện xem xét hết đặc trưng của từng dạng. Đặt vấn đề xem xét hết các kiểu sai lầm trên mọi chủ đề là việc làm bất khả thi. Trong Luận án của mình, tác giả Lê Thống Nhất đã đưa ra bốn biện pháp sư phạm và tám dấu hiệu để nhận biết sai lầm nhưng chưa thực sự đi sâu vào một kiểu sai lầm nào và chưa phân tích một cách bao quát các nguyên nhân dẫn tới những sai lầm đó, mà một nguyên nhân không kém phần quan trọng ảnh hưởng tới chất lượng giải bài tập Toán đó là nguyên nhân do ảnh hưởng về mặt tâm lí. Nhóm tác giả Trần Phương - Lê Hồng Đức trong Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải Toán (2004) cũng đề cập đến một số sai lầm của học sinh. Trong công trình này, các tác giả đã đưa ra một số kĩ thuật chọn điểm rơi để tránh sai lầm khi sử dụng các Bất đẳng thức Côsi và Bunhiacôpski. Ngoài ra phải kể tới nhóm tác giả Lê Đình Thịnh - Trần Hữu Phúc Nguyễn Cảnh Nam trong công trình Mẹo và bẫy trong các đề thi môn Toán (1992), trong công trình này các tác giả đã đưa ra thuật ngữ "bẫy" và phân tích khá nhiều ví dụ và cho rằng, mỗi khi học sinh mắc sai lầm là đồng nghĩa với việc sa bẫy, "bẫy" trong các bài toán là các tình huống được các tác giả cài đặt mà nếu học sinh không vững kiến 7 thức cơ bản thì sẽ mắc phải sai lầm. Với cách sắp xếp sai lầm theo từng chủ đề kiến thức như các tác giả nói trên thì không thể giải thích một cách tường minh, dễ hiểu hết tất cả các kiểu sai lầm cho học sinh để từ đó họ có ý thức phòng tránh các sai lầm này, mặt khác chưa đề cập được một số kiểu sai lầm thường gặp như: sai lầm ngôn ngữ, sai lầm liên quan đến các thao tác tư duy, sai lầm liên quan đến phân chia trường hợp riêng, Như vậy trên phương diện lí luận, các vấn đề cơ bản có liên quan đến đề tài nghiên cứu của chúng tôi cũng đã được nghiên cứu ở một mức độ nào đó. Tuy nhiên chưa có một công trình nào nghiên cứu các sai lầm nhìn từ góc độ hoạt động toán học, xem xét các sai lầm theo phương diện chất lượng tiến hành các hoạt động toán học. Nói một cách khác, các công trình nghiên cứu về sai lầm của học sinh khi giải Toán thường xem xét theo phương diện chủ đề kiến thức, còn cách tiếp cận của Luận văn này sẽ theo phương diện khác, đó là phương diện hoạt động. 1.2. SỰ CẦN THIẾT PHÒNG TRÁNH VÀ SỬA CHỮA NHỮNG SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI GIẢI TOÁN Dạy Toán là dạy hoạt động toán học (A. A. Stôliar, 1969, tr. 12) là một luận điểm cơ bản đã được mọi người thừa nhận, hoạt động toán học chủ yếu của học sinh là hoạt động giải bài tập Toán. Trình độ học Toán của học sinh đến mức độ nào sẽ được thể hiện rõ nét qua chất lượng giải Toán. Vai trò của bài tập trong dạy học Toán là vô cùng quan trọng, đó là lí do tại sao nhiều công trình nghiên cứu về phương pháp dạy học Toán lại gắn với việc nghiên cứu xây dựng hệ thống bài tập (chẳng hạn, các công trình: Tôn Thân (1995), Trần Đình Châu (1996), Nguyễn Đình Hùng (1997)). Ngoài ra có thể tham khảo ý kiến của P. M. Ecđơnnhiev trong [67]: "Bài tập được coi là một mắt xích chính của quá trình dạy học Toán". Tuy nhiên dạy học giải Toán không thể tách rời một cách cô lập với dạy học khái niệm toán học và dạy học định lí, do đó khi phát hiện thấy học 8 sinh còn mắc phải nhiều khó khăn và sai lầm trong giải Toán thì điều này cũng có tác dụng khuyến cáo những điểm cần chú ý trong quá trình dạy khái niệm và định lí toán học. Đặt ra vấn đề nghiên cứu những khó khăn và sai lầm của học sinh khi giải Toán là cấp thiết, bởi lẽ, thực tiễn sư phạm cho thấy học sinh còn mắc rất nhiều kiểu sai lầm. Từ những sai lầm về tính toán đến những sai lầm về suy luận và thậm chí là những kiểu sai lầm rất tinh vi. Một nguyên nhân không nhỏ là giáo viên chưa chú trọng một cách đúng mức việc phát hiện, uốn nắn và sửa chữa các sai lầm cho học sinh ngay trong các giờ học Toán. Vì điều này nên ở học sinh nhiều khi gặp phải tình trạng sai lầm nối tiếp sai lầm. Rất nhiều nhà khoa học đã nhấn mạnh tới vai trò của việc sửa chữa sai lầm cho học sinh trong quá trình giảng dạy Toán, chẳng hạn G. Polia cho rằng: "Con người phải biết học ở những sai lầm và thiếu sót của mình" [45, tr. 204], A. A. Stôliar phát biểu: "Không được tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm của học sinh" [66, tr. 105], còn theo J. A. Komenxki thì: "Bất kì một sai lầm nào cũng có thể làm cho học sinh kém đi nếu như giáo viên không chú ý ngay đến sai lầm đó, và hướng dẫn học sinh nhận ra, sửa chữa khắc phục sai lầm" (dẫn theo Nguyễn Anh Tuấn 2003). Tâm lí học đã khẳng định rằng: "Mọi trẻ em bình thường không có bệnh tật gì đều có khả năng đạt được học vấn toán học phổ thông, cơ bản dù cho chương trình toán đã hiện đại hóa" [17, tr. 49]. Như vậy có thể khẳng định rằng, các sai lầm của học sinh khi giải Toán là cần và có thể khắc phục được. 1.3. MỘT SỐ KIỂU SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG KHI GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 9 Trong mục này để ám chỉ những lời giải có mắc phải sai lầm, chúng tôi dùng kí hiệu (?) và sử dụng kí hiệu (!) để phân tích sai lầm của học sinh. Trong mục này, khi xem xét các sai lầm của học sinh chúng tôi không sắp xếp theo từng dạng toán, nói cách khác là, không tiến hành theo con đường nêu những sai lầm theo từng chủ đề kiến thức. Những sai lầm của học sinh (khi giải Toán Đại số và Giải tích) sẽ được đề cập và làm sáng tỏ từ phương diện Hoạt động toán học. 1.3.1. Sai lầm liên quan đến phân chia trường hợp riêng Học sinh thường gặp những khó khăn và sai lầm sau đây khi giải những bài toán có liên quan đến việc phân chia trường hợp. 1.3.1.1. Không nắm vững bản chất của tham số, không hiểu nghĩa của cụm từ “giải và biện luận”, lẫn lộn giữa “biện luận theo m” và “tìm m”. Khi giải biện luận phương trình (bất phương trình) có tham số m, nhiều học sinh quy về tìm m để phương trình (bất phương trình) có nghiệm. Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình m(x + m) = x + 1 (?): Học sinh chuyển x về một vế và đưa về: (m - 1)x = 1 - m 2 từ đó rút ra 2 1 m x m 1 − = − . Để phép chia có nghĩa thì phải có điều kiện m 1≠ . Kết luận: m 1≠ và x = - m - 1. (!): Thực ra đây không phải bài toán tìm m để phương trình có nghiệm, mà đây là bài toán giải và biện luận phương trình. Khi giải và biện luận phương trình, kể cả trường hợp phương trình vô nghiệm thì ta vẫn phải xem xét. Giả sử có điều kiện m 1≠ thì ta thực hiện được phép chia 1 – m 2 cho m - 1, nhưng không có nghĩa là, ta thực hiện phép chia trước rồi lại buộc m phải khác 1. 10 [...]... Chính sai lầm đó dẫn tới sai lầm nối tiếp sai lầm khi tìm các tham số để hàm số F(x) là nguyên hàm của một hàm số f(x) Đặc trưng nổi trội nhất của khái niệm hàm số hiện diện trong quan niệm của học sinh là đặc trưng tương ứng, nhưng thực sự học sinh chưa nắm vững thuộc tính bản chất của khái niệm này Sự phụ thuộc của hàm số và biến số theo quan niệm của học sinh là một biểu thức thể hiện sự tương quan của. .. hàm số, nên học sinh hay mắc sai lầm khi đối diện với những hàm số cho bằng bảng hoặc đồ thị mà không có công thức tương ứng 1.3.4.2 Sai lầm liên quan đến sử dụng định lí 32 Cấu trúc thông thường của định lí có dạng A ⇒ B trong đó A là giả thiết của định lí, B là kết luận của định lí Sai lầm phổ biến khi học định lí do xem thường ngôn ngữ và các điều kiện của giả thiết A nên suy ra các kết luận sai lầm: ... 3 Học sinh dễ mắc mớ rằng, tại sao các cực trị là những số dương lại còn thêm giả thiết điểm cực trị mang giá trị âm, phải chăng đề không đúng? Ngoài những sai lầm trên học sinh còn sử dụng ngôn ngữ một cách tùy tiện: “đồ thị đồng biến”; điểm uốn của hàm số ; “tiệm cận của hàm số , không hiểu chính xác các liên từ khi và chỉ khi ; “nếu và chỉ nếu”; “điều kiện cần và đủ”; “điều kiện ắt có và đủ” và. .. quan của chúng Cách biểu diễn hàm số bằng biểu thức giải tích có tính “độc quyền” này trong Sách giáo khoa đã ảnh hưởng mạnh mẽ đến học sinh, nên đa số học sinh quan niệm hàm số gắn liền với một công thức Theo đó một bảng số hay một đường cong cho trước thường chỉ được học sinh chấp nhận là hàm số trong trường hợp nó là một công thức tương ứng Rất ít học sinh xét đến bảng số hoặc đường cong đó thỏa mãn... đại lượng ∞ là một số, ở cách 2 kết quả trên chỉ đúng khi x → +∞ , còn khi x → −∞ thì có giới hạn bằng +∞ Có khi học sinh đồng nhất khái niệm giới hạn phải, giới hạn trái, giới hạn là như nhau nên kết luận sai bài toán Do nắm khái niệm tiếp xúc một cách trực quan từ hình vẽ nên dẫn tới sai lầm khi giải bài toán “tìm tham số để đồ thị hàm số bậc ba tiếp xúc với trục hoành” Học sinh quan niệm tiếp xúc... hiện tượng học sinh biến đổi đúng những chưa chắc họ đã nắm được kiến thức một cách thực thụ 17 Ví dụ 11: Nhiều công thức phát biểu một cách rất “vần” như “lim của một tổng bằng tổng các lim; lim của tích bằng tích các lim; đạo hàm của một tích bằng tích các đạo hàm; tích của các hàm số đồng biến là hàm đồng biến”; học sinh chỉ nắm kiến thức theo kiểu hành văn chứ không hiểu bản chất Toán học Ví dụ... đến xét thiếu điều kiện, khi tìm các điểm tới hạn của hàm số học sinh chỉ chú ý tới tìm nghiệm của phương trình f , (x) = 0 mà không quan tâm tới f , (x) có xác định hay không? Ví dụ 28: Khi tìm các điểm tới hạn của hàm số y = 3x + lập luận y = , ( 3 x2 − 1 x 2 ) =0 3 + 5 , học sinh x có nghiệm x = ± 1 và x = 0 làm cho y , không xác định nên ± 1 và 0 là các điểm tới hạn của hàm số, mà quên đi rằng f(x)... (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 2 tương đương với (P 1) cắt d1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 2, do trực quan học sinh nhầm tưởng 2hai giao điểm của d với (P) Hình và hai giao điểm của (P1) với d1 có cùng tọa độ giao điểm, nhưng thực ra chỉ có cùng hoành độ chứ không có cùng tung độ Lẽ ra bài toán phải được giải như sau: Hoành độ giao điểm của của (P) và d là nghiệm của phương... bậc hai số học của 36 bằng 6 Tuy nhiên theo thói quen giáo viên thường chỉ nói vắn tắt căn của 16 bằng 4 1.3.2.7 Đồng nhất ngôn ngữ có nội dung gần giống nhau 20 Ví dụ 20: Lẫn lộn cụm từ điểm cực trị” ; “cực trị” và “giá trị cực trị”, do đó dễ sai lầm khi giải Toán chẳng hạn, bài toán: Tìm a, b để các cực trị của hàm số y = 5 5 2 3 a x + ax 2 − 9 x + b là những số dương và x 0 = − là các điểm cực... tảng) sẽ dẫn đến hệ quả tất yếu học kém toán Vì vậy có thể nói sự “mất gốc” của học sinh về kiến thức Toán học trước hết coi là sự “mất gốc” về các khái niệm Từ nhiều nguyên nhân khác nhau có thể dẫn tới sự nhận thức khái niệm Toán học một cách hình thức biểu hiện ở: + Học sinh không nắm vững nội hàm và ngoại diên của khái niệm nên nhận dạng và thể hiện khái niệm sai + Hiểu sai ngôn ngữ, kí hiệu trong . sự phân tích trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của Luận văn là: Nghiên cứu một số sai lầm của học sinh Trung học phổ thông khi giải Toán Đại số - Giải tích và quan điểm khắc phục . 2 sinh Trung học phổ thông khi giải Toán Đại số và Giải tích 1.4. Kết luận Chương 1 Chương 2. Góp phần phòng tránh và sửa chữa các sai lầm của học sinh Trung học phổ thông khi giải Toán Đại số và. thông khi giải Toán Đại số và Giải tích 1.1. Một số công trình có liên quan 1.2. Sự cần thiết phòng tránh và sửa chữa những sai lầm của học sinh khi giải Toán 1.3. Một số kiểu sai lầm của học sinh