BÀI TẬP CHƯƠNG 3 3.1 (Bài toán Samuel Pepys đặt ra cho Newton) Tính xác suất xuất hiện: a) Một lần mặt 6 khi tung con xúc sắc 6 lần. b) Hai lần mặt 6 khi tung con xúc sắc 12 lần. c) Ba lần mặt 6 khi tung con xúc sắc 18 lần. 3.2 Cầu thủ bóng rổ I (II) có xác suất ném vào rổ lần lượt là 70% (80%). Mỗi cầu thủ ném rổ 2 lần độc lập nhau. Tính xác suất: a) Số lần ném vào của hai cầu thủ là bằng nhau. b) Số lần ném vào của cầu thủ I nhiều hơn của cầu thủ II. 3.4 Mỗi câu hỏi trắc nghiệm gồm bốn câu trả lời trong đó chỉ có một câu trả lời đúng. Đề thi gồm 10 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu 1 điểm. a) Một thí sinh chọn ngẫu nhiên các câu trả lời. Tính xác suất thí sinh này đạt từ 5 điểm trở lên. b) Một thí sinh trả lời đúng 4 câu, các câu còn lại chọn ngẫu nhiên các câu trả lời. Tính xác suất thí sinh này đạt từ 5 điểm trở lên. c*) Nếu đề thi là 50 câu và một thí sinh chọn ngẫu nhiên các câu trả lời. Tính xác suất thí sinh này làm trúng được 25 câu trở lên. d*) Đề thi trắc nghiệm phải có tối thiểu bao nhiêu câu để các thí sinh chọn ngẫu nhiên các câu trả lời có xác suất đạt điểm trung bình là dưới 0,1%? 3.5* Một máy ATM đáp ứng được yêu cầu khách hàng với xác suất 80%. Trong một tháng có 1.600 khách hàng sử dụng máy ATM này. Tính xác suất có nhiều hơn 340 khách hàng không được phục vụ. 3.6* Một căn tin phải phục vụ cho 900 khách ăn trưa. Khách có thể ăn vào ca I hoặc ca II. Căn tin này phải có tối thiểu bao nhiêu chỗ ngồi để trên 98% khách vào ăn có ngay chỗ ngồi. 3.7* Một máy nhắn tin tự động chuyển được 99% tin nhắn. Trong một ngày máy này nhận được 1.000 tin nhắn. Tính xác suất có không quá 10 tin không nhắn được. 3.8 Xác suất chép lại đúng một chữ Hán là 96%. Một trang chép tay có 400 chữ Hán. a) Tính trung bình một trang bò sai bao nhiêu chữ? b) Tính xác suất một trang bò sai nhiều hơn 3 chữ. 3.9 Trong 1.000 sản phẩm có 400 chính phẩm. Mua 10 sản phẩm. Tính xác suất có được ít ra là 3 chính phẩm. 3.10* Một lô gồm 100.000 màn hình máy vi tính có 5.000 chiếc bò hư. Một khách hàng đến mua 50 màn hình. Tính xác suất người này mua phải không quá 2 màn hình bò hư. 3.11* Một doanh nghiệp sản xuất có 3 phân xưởng. Phân xưởng I sản xuất ra 3.000 sản phẩm với tỷ lệ phế phẩm là 10%. Phân xưởng II sản xuất ra 4.000 sản phẩm với tỷ lệ phế phẩm là 20%. Phân xưởng III sản xuất ra 3.000 sản phẩm với tỷ lệ phế phẩm là 30%. Một khách hàng lấy ngẫu nhiên 100 sản phẩm của doanh nghiệp trên để kiểm tra và sẽ đồng ý mua lô hàng nếu thấy có không quá 24 phế phẩm. Tính xác suất lô hàng này bán được. 3.12 Đường kính theo thiết kế của một loại trục máy là 20mm. Độ lệch tiêu chuẩn là 0,04mm. Trục máy đạt tiêu chuẩn khi đường kính sai lệch không quá 0,072mm so với thiết kế. Tính tỷ lệ trục máy đạt tiêu chuẩn biết ràng đường kính của một trục máy chọn ngẫu nhiên là ĐLNN có phân phối Chuẩn. 3.13 Trọng lượng của một con bò trong đàn bò là một ĐLNN có phân phối Chuẩn với kỳ vọng là 250Kg và độ lệch chuẩn là 40Kg. Một con bò được gọi là gầy nếu nhẹ hơn 170Kg, mập nếu nặng hơn 300Kg, đạt chuẩn nếu trọng lượng lệch không quá 10Kg so với trọng lượng trung bình. Chọn ngẫu nhiên một con bò trong đàn, tính xác suất chọn được con bò: a) Gầy? b) Mập? c) Đạt chuẩn? d) Nặng đúng 250Kg ? e) Giá bò hơi là 35 ngàn/Kg. Một người mua 10 con bò chọn ngẫu nhiên và trả giá tổng cộng là 85 triệu thì chủ đàn bò có nên bán không? 3.14 X là ĐLNN có phân phối Chuẩn. Biết P(X < 20) = 0,8413; P(X < 25) = 0,9773. Tính P(X > 0). 3.15* Trọng lượng (g) một hộp thức ăn chọn ngẫu nhiên là ĐLNN có phân phối Chuẩn với kỳ vọng 250. Một thùng gồm 100 hộp thức ăn. Thùng được gọi là đạt yêu cầu nếu trọng lượng đã trừ bao bì là từ 25Kg trở lên. Kiểm tra 100 thùng chọn ngẫu nhiên có hoàn lại. Tính xác suất: a) Có không quá 45 thùng đạt yêu cầu. b) Số thùng đạt yêu cầu trong khoảng (46, 60). 3.16* Máy I (II, III) cùng sản xuất sản phẩm A với tỷ lệ chính phẩm là 70% (80%, 90%). Cứ 3 sản phẩm của máy I, 4 sản phẩm của máy II, 3 sản phẩm của máy III thì đóng thành một thùng. Một khách hàng lấy ngẫu nhiên 100 thùng, mỗi thùng lấy ra một sản phẩm. Nếu trong 100 sản phẩm này có từ 80 chính phẩm trở lên thì đồng ý mua lô hàng. Tính xác suất lô hàng này bán được. 3.17* Mỗi lô hàng gồm 10 sản phẩm. Số chính phẩm trong một lô hàng là ĐLNN có bảng phân phối: X 7 8 9 10 p 0,2 0,3 0,3 0,2 Một lô hàng gọi là đạt yêu cầu nếu lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm từ lô hàng thì cả 3 đều là chính phẩm. Kiểm tra 300 lô hàng lấy ngẫu nhiên. a) Số lô hàng đạt yêu cầu nhiều khả năng nhất là bao nhiêu? b) Tính xác suất số lô hàng đạt yêu cầu là từ 170 đến 190. 3.18 Mỗi lô hàng I, II, III đều có 1.000 sản phẩm. Tỷ lệ chính phẩm của lô hàng I (II, III) là 70% (80%, 90%). Lô hàng gọi là đạt yêu cầu nếu lấy ngẫu nhiên 10 sản phẩm thì thấy có ít ra là 8 chính phẩm. a) Tính xác suất có ít ra 2 lô hàng đạt yêu cầu. b) Nếu chỉ có 1 lô hàng đạt yêu cầu, tính xác suất lô hàng đó là lô hàng I. 3.19 Trọng lượng một gói mì chọn ngẫu nhiên là ĐLNN có phân phối Chuẩn với phương sai 0,04. Gói mì đạt chuẩn nếu sai lệch so với trọng lượng trung bình không quá 0,36g. Tính xác suất kiểm tra 10 lần, mỗi lần 1 gói mì thì có ít nhất 9 lần gặp gói mì đạt chuẩn. 3.20 Tuổi thọ tính theo năm của một loại thiết bò là ĐLNN có phân phối Chuẩn với kỳ vọng 11, độ lệch chuẩn 3. a) Nếu quy đònh thời hạn bảo hành là 10 năm thì tỷ lệ thiết bò phải bảo hành là bao nhiêu? b) Nếu muốn tỷ lệ thiết bò phải bảo hành không quá 16% thì phải quy đònh thời hạn bảo hành tối đa là bao nhiêu năm? 3.21 Lãi suất cổ phiếu (%/năm) của công ty A (B) là ĐLNN có phân phối Chuẩn với kỳ vọng 12 (11), độ lệch chuẩn 3,5 (2,8). Biết rằng hai công ty này hoạt động độc lập nhau. Nên đầu tư vào hai công ty theo tỷ lệ nào thì rũi ro thấp nhất? 3.22* Trung bình một bao gạo nặng 50Kg. Bao gạo đạt chuẩn nếu có trọng lượng từ 49,8Kg. Trọng lượng một bao gạo chọn ngẫu nhiên là ĐLNN có phân phối Chuẩn. Bao gạo của công ty A (B) có độ lệch chuẩn là 0,2 (0,4). Một lô hàng gồm 6.000 bao của công ty A và 4.000 bao của công ty B. Người mua lấy ngẫu nhiên 100 bao để kiểm tra. Nếu số bao đạt chuẩn là từ 80 trở lên thì mua; từ 50 trở xuống thì không mua. Còn nếu không quyết đònh được thì trả lại 100 bao, lấy ngẫu nhiên tiếp 50 bao để kiểm tra. Nếu số bao đạt chuẩn là từ 35 trở lên thì mua; ngược lại thì không mua. Tính xác suất bán được lô hàng. 3.23* Gói thức ăn nhanh loại A có thể đáp ứng nhu cầu dinh dưỡng cho 80% số người sử dụng còn gói loại B thì đáp ứng được 85%. Có 600 người sử dụng gói loại A và 400 người sử dụng gói loại B. Tính xác suất có hơn 800 người được đáp ứng nhu cầu dinh dưỡng. HƯỚNG DẪN 3.2→ →→ → Gọi X (Y) là số lần ném vào rổ của cầu thủ. a) A = (X=0).(Y=0) + (X=1).(Y=1) + (X=2).(Y=2) b) B = (X=1).(Y=0) + (X=2).(Y=1) + (X=2).(Y=0) 3.4→ →→ → c)→ X là số câu hỏi trắc nghiệm thí sinh làm đúng thì X~B(50, 25%). Xác suất cần tính là P(X ≥ 25). X ≈ N(12,5; 9,375). Ta có: P(X ≥ 25) = 0,5 – Φ( 25 12,5 9,375 − ) = 0,5–Φ(4,08) = 0,002% =1−NORMDIST(25, 12.5; 9.375^0.5, 1) d) Gọi n là số câu hỏi trắc nghiệm. X là số câu hỏi trắc nghiệm thí sinh làm trúng thì X~ B (n, 25%). Tìm n để P(X ≥ n/2) < 0,001. Xấp xỉ: B (n, 25%) ≈ N (n/4; 3n/16). Ta có: P(X ≥ n/2) = 0,5 – Φ( n/2 n/4 3n/16 − )= 0,5 – Φ( n/3 ) P(X ≥ n/2) < 0,001 ⇒ Φ ( n/3 ) > 0,499 = Φ (3,1) Do Φ là hàm tăng nên ta suy ra: n/3 > 3,1 ⇒ n > 28,83 Vậy đề thi phải có ít nhất 29 câu trắc ngiệm. 3.6 → →→ → Gọi X là số khách vào ăn ca I thì X là ĐLNN. Do khách có thể ăn ca I hay ca II tuỳ thích nên xác suất của biến cố "khách vào ăn ca I" là p = 50%. Vì có n = 900 khách nên X~ B (900; 50%). Gọi m là số chỗ ngồi. Vì số khách vào ăn ca II là 900–X nên đủ chỗ cho khách vào ăn ca I và ca II khi X ≤ m và 900–X ≤ m, tức là 900–m ≤ X ≤ m. Yêu cầu đề bài là tìm m sao cho P(900–m ≤ X ≤ m) ≥ 98%. Do n đủ lớn và p không quá gần 0 hay 1 nên X được xấp xỉ với phân phối Chuẩn có cùng kỳ vọng và phương sai là N (450, 225). Ta có: P(900–m ≤ X ≤ m) = Φ ( m 450 15 − ) – Φ( (900 m) 450 15 − − ) = Φ( m 450 15 − ) – Φ( 450 m 15 − ) = 2Φ( m 450 15 − ) Vậy phải có: 2Φ( m 450 15 − ) ≥ 98% ⇒ Φ( m 450 15 − ) ≥ 0,49 = Φ(2,33) ⇒ m 450 15 − ≥ 2,33 ⇒ m ≥ 484,95 (Φ là hàm tăng) Số chỗ ngồi tối thiểu phải là 485. 3.9 → →→ → Gọi X là số chính phẩm trong 10 sản phẩm đã mua thì X~ H (1.000; 400; 10). Xác suất cần tính là P(X ≥ 3). Do n rất nhỏ so với N, M và p = M/N không quá gần 0 hay 1 nên X được xấp xỉ bởi B (10, 40%). Ta có: P(X ≥ 3) = 1– 2 2 8 10 C .0,4 .0,6 – 1 1 9 10 C .0,4 .0,6 – 0 0 10 10 C .0,4 .0,6 = 83% =1 – BINOMDIST(2, 10, 40%, 1) 3.11 → →→ → Gọi X là số phế phẩm trong 100 sản phẩm kiểm tra thì X~ H (10.000; 3.000; 100). Xác suất cần tính là P(X ≤ 24). X ≈ B (100, 20%) ≈ N (20, 16). 3.14 → →→ → Ta có: P(X < 20) = P( X − µ σ < 20 − µ σ ) = 0,5 + Φ( 20 − µ σ ) = 0,8413 ⇒ Φ( 20 − µ σ ) = 0,3413 = Φ(1) P(X < 25) = P( X − µ σ < 25 − µ σ ) = 0,5 + Φ( 25 − µ σ ) = 0,9772 ⇒ Φ( 25 − µ σ ) = 0,4772 = Φ(2) Do Φ tăng nên ta có 20 − µ σ = 1 và 25 − µ σ = 3. Giải hệ này ta được Φ = 15, σ = 5. ⇒ P(X > 0) = 0,5 – Φ( 0 15 5 − ) = 0,5 + Φ(3) = 99,87% 3.15 → →→ → Trọng lượng một thùng là Y~ N (25, σ 2 ). Xác suất một thùng đạt yêu cầu là: p = P(Y ≥ 25) = 0,5 – Φ(0) = 0,5 Gọi U là số thùng đạt yêu cầu sau khi kiểm tra 100 thùng thì U~ B (0,5; 100). 3.16 → →→ → Xác suất lấy được 1 chính phẩm từ thùng hàng: p = 70%×30% + 80%×40% +90%×30% = 80% Gọi X là số chính phẩm có trong 100 sản phẩm được khách hàng lấy ra thì X~ B (0,8; 100). Xác suất cần tính là P(X ≥ 80). 3.17 → →→ → Trước hết, tính xác suất để một lô hàng chọn ngẫu nhiên đạt yêu cầu. Lấy 10 sản phẩm từ lô hàng, gọi A 1 (A 2 , A 3 , A 4 ) là "có 7 (8, 9, 10) chính phẩm". A 1 , A 2 , A 3 , A 4 là họ đầy đủ và xung khắc từng đôi. Lấy 3 sản phẩm từ lô hàng, gọi B là "có 3 chính phẩm". Xác suất cần tính là P(B). Ta có: P(B/A 1 ) = 3 7 3 10 C C = 0,2917 P(B/A 2 ) = 3 8 3 10 C C = 0,4667 P(B/A 3 ) = 3 9 3 10 C C = 0,7 P(B/A 4 ) = 1 Theo công thức đầy đủ: P(B) = Σ P(B/A i ).P(A i ) ≈ 0,6 Gọi Y là số lô hàng đạt yêu cầu trong 300 lô hàng thì Y~ B (0,6; 300). a) Ta cần tính Mod(Y). Ta có: 179,6 ≤ Mod(Y) ≤ 180,6 ⇒ Mod(Y) = 180. b) Xác suất cần tính là P(170 ≤ Y ≤ 190). Ta có xấp xỉ Y~ B (0,6; 300) ≈ N (180, 72). P(170 ≤ Y ≤ 190) = P(  Y– µ ≤ 10) = 2 Φ ( 10 72 ) = 2 Φ (1,18) = 76,2% = 2*NORMSDIST(10/72^0,5)–1 3.18 → →→ → Gọi X 1 là số chính phẩm có trong 10 sản phẩm lấy từ lô hàng I, A là "lô hàng I đạt yêu cầu" thì X 1 ~ H (1.000, 700, 10), P(A) = P(X ≥ 8). Tương tự, gọi B (C) là "lô hàng II (III) đạt yêu cầu". a) Xác suất cần tính là: p = P(A.B. C + A .B.C + A. B .C + A.B.C) b) Gọi D là "có 1 lô hàng đạt yêu cầu" thì D = A. B . C + A. B . C + A. B . C . Xác suất cần tính là P(A. B . C /D). 3.21 → →→ → Gọi X 1 (X 2 ) là lãi suất của công ty A (B) thì X 1 ~ N (12; 3,5 2 ), X 2 ~ N (11; 2,8 2 ). Gọi α (0 ≤ α ≤ 1) là tỷ lệ đầu tư vào công ty A thì lãi suất là X = α X 1 +(1– α )X 2. Để rũi ro thấp nhất ta tìm α sao Var(X) đạt cực tiểu. 3.22 → →→ → Trước hết, tính xác suất p một bao gạo trong lô đạt chuẩn. Gọi X 1 (X 2 ) là trọng lượng bao gạo của công ty A (B) thì X 1 ~ N (50; 0,2 2 ), X 1 ~ N (50; 0,4 2 ). Xác suất p 1 (p 2 ) một để bao gạo của công ty A (B) đạt chuẩn là: p 1 = P(X 1 ≥ 49,8) = 0,5 – Φ ( 49,8 50 0,2 − ) = 84,13% =1–NORMDIST(49.8, 50, 0.2, 1) p 2 = P(X 2 ≥ 49,8) = 0,5 – Φ( 49,8 50 0,4 − ) = 69,15% =1–NORMDIST(49.8, 50, 0.4, 1) Theo công thức đầy đủ: p = 0,6p 1 + 0,4p 2 = 78,14% Gọi X là số bao đạt chuẩn có trong 100 bao lấy kiểm tra thì do số bao lấy kiểm tra rất nhỏ so với số bao trong lô nên X~ B (100; 78,14%) ≈ N (78,14; 4,13 2 ). Tương tự, gọi Y là số bao đạt chuẩn trong 50 bao lấy kiểm tra thì Y ≈ N (39,07; 2,92 2 ). Biến cố bán được lô gạo là B = (X ≥ 80) + (51 ≤ X ≤ 79).(Y ≥ 35) P(B) = P(X ≥ 80) + P(51 ≤ X ≤ 79).P(Y ≥ 35) P(X ≥ 80) = 0,5 – Φ( 80 78,14 4,13 − ) = 32,6% =1–NORMDIST(80, 78.14, 4.13, 1) P(51 ≤ X ≤ 79) = Φ( 79 78,14 4,13 − ) – Φ( 51 78,14 4,13 − ) = 58,2% =NORMDIST(79,78.14,4.13,1)–NORMDIST(51,78.14,4.13,1) P(Y ≥ 35) = 0,5 – Φ( 35 39,07 2,92 − ) = 91,8% =1–NORMDIST(35, 39.07, 2.92, 1) ⇒ P(B) = 86% 3.23 → →→ → Gọi X 1 , X 2 là số người được đáp ứng nhu cầu dinh dưỡng sau khi sử dụng gói loại A, loại B. Số người được đáp ứng nhu cầu là X = X 1 + X 2. Xác suất cần tính là P(X > 800). Ta có: X 1 ~ B (600; 80%) X 2 ~ B (400; 85%) Do n đủ lớn và p không quá gần 0 hay 1 nên X 1 , X 2 được xấp xỉ với phân phối Chuẩn có cùng kỳ vọng và phương sai: X 1 ≈ N (480; 96) X 2 ≈ N (340; 51) Vậy X có phân phối Chuẩn với kỳ vọng, phương sai: µ = 480 + 340 = 820 σ 2 = 96 + 51 = 147 P(X > 800) = 0,5 – Φ( 800 820 147 − ) = 0,5 + Φ (1,65) = 95% = 1–NORMDIST(800, 820, 147^0.5, 1) . BÀI TẬP CHƯƠNG 3 3. 1 (Bài toán Samuel Pepys đặt ra cho Newton) Tính xác suất xuất hiện: a) Một lần mặt 6 khi tung con xúc sắc 6 lần 3. 5* Một máy ATM đáp ứng được yêu cầu khách hàng với xác suất 80%. Trong một tháng có 1.600 khách hàng sử dụng máy ATM này. Tính xác suất có nhiều hơn 34 0 khách hàng không được phục vụ. 3. 6*. nhiêu chữ? b) Tính xác suất một trang bò sai nhiều hơn 3 chữ. 3. 9 Trong 1.000 sản phẩm có 400 chính phẩm. Mua 10 sản phẩm. Tính xác suất có được ít ra là 3 chính phẩm. 3. 10* Một lô gồm 100.000