SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUẢNG BÌNH Sáng kiến kinh nghiệm MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN Giáo viên thực hiện: LÊ THỊ TỴ Tổ : TOÁN Năm học :2012-201 A LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Giải phương trình dạng tốn chương trình THPT Học sinh trang bị cách giải phương trình bậc bậc hai từ bậc THCS nhắc lại lớp 10 Tuy nhiên, phương trình bậc cao nói chung phương trình bậc bốn nói riêng học sinh chưa học cách đầy đủ phương pháp để giải dạng phương trình Nhưng lại nội dung quan trọng đề thi Đại học, Cao đẳng, TH chuyên nghiệp đề thi học sinh giỏi từ trước đến Trong giải phương trình, hệ phương trình: vơ tỷ, lượng giác, mũ lơgarit, thường phải quy giải phương trình bậc cao, có phương trình bậc bốn Một số tốn hình học, vật lý sau trải qua số bước, cuối đến việc phải giải phương trình bậc bốn Cho dù bước nhỏ tốn khơng giải bước nhỏ chưa thể đưa kết luận tốn Nói đến phương trình bậc bốn, nhiều học sinh tỏ ngại, lúng túng em nắm sơ qua cách giải số phương trình bậc bốn đơn giản Vì vậy, việc trang bị đầy đủ cho học sinh phương pháp giải phương trình bậc bốn điều cần thiết Xuất phát từ tầm quan trọng nội dung từ thực trạng trên, để học sinh dễ dàng tự tin gặp tập phương trình bậc bốn, giúp em phát huy khả phân tích, tổng hợp, khái qt hố qua tập nhỏ, với tích luỹ kinh nghiệm thân qua năm giảng dạy, đưa sáng kiến kinh nghiệm “Các phương pháp giải phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10" Sáng kiến kinh nghiệm phục vụ đắc lực cho việc giảng dạy B NỘI DUNG I Các phương pháp giải phương trình bậc bốn Phương pháp đưa phương trình dạng tích Cho phương trình: ax4+bx3+cx2+dx+e =0 (a ≠ 0) (1) a) Phương pháp: Cách 1: Nhóm hạng tử, sau đặt thừa số chung để đưa vế trái dạng tích Cách 2: - Bước 1: Đốn nghiệm x0 phương trình dựa vào kết sau: + Nếu a+b+c+d+e=0 (1) có nghiệm x = + Nếu a-b+c-d+e=0 (1) có nghiệm x = -1 p + Nếu a, b, c, d, e nguyên (1) có nghiệm hữu tỉ q p, q theo thứ tự ước e a - Bước 2: + Bằng cách chia đa thức dùng lược đồ Hoócne, phân tích (1) thành:  x = x0 (x- x0)(ax3 +b1x2 +c1x+d1) = ⇔   ax + b1 x + c1 x + d1 = (1.1) + Giải phương trình (1.1) cách: - Đốn nghiệm x1 phương trình (1.1) dựa vào kết sau: + Nếu a+b1+c1+d1=0 (1.1) có nghiệm x = + Nếu a-b1+c1-d1=0 (1.1) có nghiệm x = -1 p + Nếu a, b1, c1 ,d1 nguyên (1.1) có nghiệm hữu tỉ q p, q theo thứ tự ước d1 a c + Nếu ac13 = b13 d1 (a, b1 ≠ 0) (1.1) có nghiệm x = − b - Phân tích (1.1) thành: (x- x1)(ax2 +b2x +c2) = cách chia đa thức dùng lược đồ Hoócne * Lược đồ Hoócne : Nếu f(x) có nghiệm x=x0 f(x) chứa nhân tử (x-x0), tức : f(x) =(xx0).g(x) Trong : f(x) = anxn + an -1xn -1 + + a1x + a0 g(x)= bn-1xn-1 + bn - 2xn - + + b1x + b0 với : b n – = a n b  n – = x bn – + a n –    bi – = x bi + a i   b = x b1 + a1  xi an x = x0 bn-1=an an - x0bn-1 bn-2 Ta có bảng sau ( Lược đồ Hoócne) x0bi bi-1 a0 x0b0 b) Ví dụ: Ví dụ 1: (Đề đại học Ngoại thương - 2000) Giải phương trình: (x2+3x-4)2+3(x2+3x-4)=x+4 (1.2) (1.2) Giải: Phương trình (1.2) ⇔ (x-1)2(x+4)2+3(x-1)(x+4)-(x+4)=0 ⇔ (x+4)[(x-1)2(x+4)+3(x-1)-1]=0 x =  ⇔ (x+4)x(x2+2x-4)=0 ⇔  x = −4  x = −1 ±  Vậy phương trình có nghiệm : x=0, x= -4, x = −1 ± Ví dụ 2: Giải phương trình: x4 -4x3-x2+16x-12 =0 (1.3) Giải: Ta có a+b+c+d+e=0 nên phương trình có nghiệm x= Đưa phương trình dạng: (x-1)(x3-3x2-4x+12)=0 Phương trình x3-3x2-4x+12=0 có nghiệm x = nên x =  x −1 = x =  ⇔ (x-1)(x-2)(x2-x-6)=0 ⇔  x − = ⇔ (1.3)  x = −2 x2 − x − =   x = Vậy phương trình có nghiệm phân biệt x =1, x= 2, x= -2, x= * Nhận xét: Phương pháp đưa phương trình dạng tích phương pháp thường nghĩ đến giải phương trình Nhưng việc đưa dạng tích gặp khó khăn, nên nghĩ đến việc sử dụng phương pháp khác Phương pháp đặt ẩn phụ 2.1 Dạng (PT trùng phương): ax4 + bx2+c =0 (a ≠ 0) (2) a) Phương pháp: - Đặt t = x2 (t ≥ 0), đưa (2) phương trình bậc hai: at2+bt+c=0 (2') - Giải (2'), (2') có nghiệm t0 ≥ (2) có nghiệm x = ± t0 * Chú ý: - (2) vơ nghiệm ⇔ (2') vơ nghiệm (2') có nghiệm t1 ≤ t2