áp dụng phương pháp tọa độ giải các bài toán hình học không gian

27 723 0
áp dụng phương pháp tọa độ giải các bài toán hình học không gian

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ S GIÁO DC&ÀO TO TNH LÀO CAI TRNG THPT-DTNT LÀO CAI 1 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm ÁP DNG PHNG PHÁP TA  VÀO GII CÁC BÀI TOÁN HÌNH HC TRONG KHÔNG GIAN Giáo viên thc hin: Trn Xuân Mai T : Toán – Lý – Tin - CN Nm hc: 2010 - 2011 Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ MC LC Trang PHN 1: M U 3 1. Tính cp thit ca đ tài 3 2. Tình hình nghiên cu…………………………………………………….2 3. Mc đích nghiên cu 3 4. Nhim v nghiên cu 3 5. Phng pháp nghiên cu 4 6. Phm vi và đi tng nghiên cu……………………………………… 3 PHN 2: NI DUNG 4 CHNG 1: C S LÍ LUN CA KHÔNG GIAN VÀ PHNG PHÁP TO  TRONG KHÔNG GIAN 5 1.1. Các khái nim 5 1.2. Du hiu nhn bit mt bài toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ. 9 1.3. Các bc gii mt bài toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ 10 1.4. Cách chn h ta đ đi vi mi loi hình. 10 CHNG 2: H THNG BÀI TP Error! Bookmark not defined. Bài toán 1 17 Bài toán 2……………………………………………………………….18 Bài toán 3……………………………………………………………….19 Bài toán 4 20 Bài toán 5……………………………………………………………….20 Bài toán 6……………………………………………………………….22 Bài toán 7……………………………………………………………….22 Bài toán 8 23 KT LUN Error! Bookmark not defined. TÀI LIU THAM KHO Error! Bookmark not defined. 2 Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ PHN 1: M U 1. Tính cp thit ca đ tài: Hình hc là mt môn hc khó có tính h thng, cht ch, logic và trìu tng. c bit là phn hình hc không gian (HHKG).  gii mt bài toán HHKG đòi hi hc sinh phi có nhiu k nng, nm kin thc tht chc và vng. Vi mt bài toán nói chung và bài toán HHKG nói riêng thì có nhiu cách gii khác nhau, có th là phng pháp tng hp (PPTH), phng pháp véc t hay phng pháp to đ trong đó có mt phn ln các bài toán hình hc không gian có th gii bng phng pháp to đ (PPT). Vi nhng bài toán đó thì PPT cho ta cách gii rt nhanh chóng và d dàng hn nhiu so vi PPTH. PPT cho ta li gii mt cách chính xác, tránh đc các yu t trc quan, các suy din phc tp ca PPTH và là phng tin hiu qu đ gii các bài toán hình hc. Vì vy, trong nhng nm gn đây PPT đc xem là ni dung trng tâm ca chng trình toán trung hc ph thông. Xut phát t bn thân mun hc hi, tìm tòi, nghiên cu sâu hn v gii các bài toán HHKG bng phng pháp ta đ, vi mong mun bn thân có đc kin thc vng hn v phn này đ phc v ging dy và giúp hc sinh có phng pháp ti u đ gii quyt các bài tp HHKG vn phc tp, tôi đ chn chuyên đ: "Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ". 2. Tình hình nghiên cu: "Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ" không phi là phng pháp mi, mt s bài tp trong SGK, SBT HH12 đã yêu cu hc sinh gii bng PPT, tuy nhiên vic vn dng phng pháp này đ gii các bài toán HHKG vn là vn đ khó vi các em hc sinh. Nhiu đng nghip đã nghiên cu đ tìm li gii cho bài toán này nhng cha tng hp mt cách có h thng. 3. Mc đích nghiên cu : Chuyên đ "Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ" đc nghiên cu vi mc đích: ̇ Cho hc sinh thy đc s tng đng gia HHKG và hình hc gii tích trong không gian. ̇ Giúp cho hc sinh có thêm phng pháp đ gii mt bài toán HHKG. ̇ Nghiên cu sâu hn v HHKG làm tài liu tham kho cho hc sinh và giáo viên. 4. Nhim v nghiên cu : Chuyên đ đc nghiên cu vi hai nhim v: a, Nghiên cu lý lun chung: 3 Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ - C s ca không gian và phng pháp to đ trong không gian. - Du hiu nhn bit mt bài toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ. - Các bc gii mt bài toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ. - Cách chn h ta đ đi vi mi loi hình. b, H thng bài tp minh ha. 5. Phng pháp nghiên cu: Chuyên đ đc nghiên cu vi phng pháp nghiên cu lý lun các tài liu các tài liu có liên quan và các bài tp minh ha. 6. Phm vi và đi tng nghiên cu: - Các bài toán HHKG lp 11, lp 12 - i chng và thc nghim vi lp bi dng ôn thi đi hc và cao đng ca nhà trng nm hc 2010 – 2011. 4 Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ PHN 2: NI DUNG CHNG I C S LÍ LUN CA KHÔNG GIAN VÀ PHNG PHÁP TO  TRONG KHÔNG GIAN 1.1. Các khái nim 1.1.1. nh ngha Không gian clit là không gian liên kt vi không gian véc t clit hu hn chiu. Không gian clit s gi là n chiu nu không gian véct clit liên kt vi nó có s chiu bng n. Không gian clit thng đc kí hiu là E, không gian clit liên kt vi nó đc kí hiu là . E ur 1.1.2. Mc tiêu trc chun Mc tiêu afin { } ur uuruur 12 n O,e ,e , ,e ca không gian clit n chiu E n gi là mc tiêu trc chun (hay h to đ  các vuông góc), nu c s ε = { } ur uuruur 12 n e ,e , ,e ca uu là c s trc chun, tc r n E i j i j e.e δ = u urur , ij 0 nÕu i j 1 nÕu i = j δ ≠ ⎧ = ⎨ ⎩ 1.1.3. i mc tiêu trc chun Cho hai mc tiêu trc chun { } 12 n O,e ,e , ,e u ruuruur (I) và { } 12 n O ,e ,e , ,e ′′′ ur uuruur (II) ca không gian clit n chiu E n . { } 12 n e ,e , ,e u ruuruur sang c s Gi C là ma trn chuyn t c s ε = {} 12 n e ,e , ,e ′′ ′ ur uuruur ε ′ = . Các c s đó đu là c s trc chun nên C là ma trn trc giao cp n. Khi đó, công thc đi mc tiêu trc chun là : x = Cx ′ + a Vi C.C t = I n , a là ma trn ct to đ ca gc O ′ đi vi mc tiêu (I). x, x là hai ma trn ct to đ ca cùng mt đim đi vi mc tiêu th nht và th hai. ′ 1.1.4. H to đ  các vuông góc thun, nghch 5 Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ Vi 2 mc tiêu trc chun (I) và (II)  trên. Ta quy đnh c s { 12 n e ,e , ,e ur uuruur } ca mc tiêu trc chun (I) là thun. ε = Khi đó nu ma trn chuyn t c s (I) sang c s (II) có đnh thc là dng thì h to đ  các vuông góc là thun, ngc li có h to đ là nghch. Trong toán hc ph thông, ta ch xét h to đ  các vuông góc Oxyz thun. 1.1.5. To đ ca véc t đi vi h to đ Trong h to đ ?các vuông góc Oxyz cho véc t tu ý . Vì 3 véc t v r i, j , k rruur không đng phng nên tn ti duy nht b s (x, y, z) sao cho vx.i yj zk=++ rrr r th (x, y, z) đc gi là to đ ca . Kí hiu: v r ( ) ( ) v x,y,z hoÆc v x,y,z= rr . 1.1.6. To đ ca đim đi vi h to đ Trong h to đ  các vuông góc Oxyz cho đim M bt kì. Khi đó: To đ ca cng là to đ ca đim M. Nh vy nu OM uuuur ( ) OM x;y;z= uuuur tc là OM x.i y j zk = ++ uuuurrr r thì b ba s (x; y; z) là to đ ca đim M. Kí hiu: ( ) ( ) Mx; y ;z hoÆc M x; y ;z= 3 1.1.7. Ta xét trong E có các tính cht 1. Cho a0, b≠ r rr a r bka = r r cùng phng sao cho . k ⇔ ∃ a,b r r 2. Cho không cùng phng, c r đng phng vi và sao cho: . a r b r k,l⇔∃ ckalb=+ rr r 3. Cho a,b,c r rr không cùng phng vi d r . Khi đó tn ti duy nht d r xa y bzc + + r rr = . (x; y; z) sao cho: 4. G là trng tâm ABC :Δ GA GB GC 0; ⇔ ++= u uur uuur uuur ur ( ) 1 OG OA OB OC 3 =++ uuur uuur uuur uuur Vi mi O thì 5. G là trng tâm t din ABCD thì: GA GB GC GD 0 + ++= uuur uuuruuuruuurr ( ) 1 OG OA OB OC OD 4 =+++ uuur uuur uuuruuuruuur Vi mi O thì 1 ≠ ) thì: 6. im M chia đon thng AB theo t s k (k MA kMB = u uuur uuur 6 Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ OA kOB OM 1k − = − u uur uuur uuuur Vi mi O thì 7. Cho ( ) ux; y ;z= r ( ) v x ;y ;z ,k ′′′ = ∈ r ฀ và ta có: uv xx; yy ;z z. ′ ′′ = ⇔= = = rr ̇ ( ) uv xx; yy ;z z ′ ′′ ± =± ± ± rr . ̇ ( ) ku kx;k y ;kz .= r ̇ u.v x.x y . y z.z . ′′ =++ rr ′ 2 ̇ ̇ = 2 u uur 22 x y z.++ Do đó: 22 uxyz=++ 2 r ( ) 222 2 2 xx yy zz cos u;v xyz x y z 2 ′ ′′ + + = ′ ′′ +++ + + rr ̇ ̇ u v u.v 0 xx yy zz 0. ′′′ ⊥⇔ =⇔ + + = rr rr u,v c c v,c u ⎡⎤ = ⇒⊥ ⊥ ⎣⎦ r rrrrrr và Tích có hng ca 2 vec t y zz xx y cu;v ; ; ; y zz xx y ⎛⎞ ⎡⎤ == ⎜⎟ ⎣⎦ ′ ′′ ′′ ′ ⎝⎠ rrr cùng phng u,v rr u,v 0 ⎡⎤ ⇔= ⎣⎦ r r . () a,b a . b .sin a,b . ⎡⎤ = ⎣⎦ rr r r rr đng phng a,b,c rrr a,b .c 0 ⎡⎤ ⇔= ⎣⎦ r rr ABC 1 SAB,A 2 Δ ⎡⎤ = ⎣⎦ uuuruuur C h×nh hép ABCD.A B C D VAB,A ′′′′ ⎡⎤ D.AA ′ = ⎣⎦ uuur uuur uuuur 8. Trong không gian vi h to đ Oxyz nu véc t và véc t a r b r là hai véc t không cùng phng và các đng thng cha chúng song song vi (hoc nm trên) mt mt phng ( ) α thì véc t: là mt véc t pháp tuyn ca mt phng na,b ⎡ = ⎣ rrr ( ) α ⎤ ⎦ Nu là mt cp véc t ch phng ca mt phng a,b rr ( ) α thì là mt véc t pháp tuyn ca na,b ⎡ = ⎣ rrr ⎤ ⎦ ( ) α . 9. a. Phng trình tng quát ca mt phng có dng: 7 Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ ( ) 222 Ax B y Cz D 0 A B C 0+++= ++≠ trong đó: ( ) nA,B,C= r là véc t pháp tuyn ca nó. b. Phng tnh theo đon chn ca mt phng có dng: xyz 1 abc + += Mt phng đó ct các trc Ox, Oy, Oz ln lt ti các đim (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c). 10. a. Phng trình tng quát ca đng thng: 222 222 A:B:C A :B :C Ax By Cz D 0 víi A B C 0 Ax By Cz D 0 ABC 0 ′ ′′ ≠ ⎧ +++= ⎧ ⎪ ++≠ ⎨⎨ ′′′′ +++= ⎩ ⎪ ′′′ + +≠ ⎩ b. Phng trình tham s ca đng thng: 0 222 0 0 xx at y y bt víi a b c 0 zz ct =+ ⎧ ⎪ =+ ++≠ ⎨ ⎪ =+ ⎩ Vi (x 0 , y 0 ,z 0 ) là ta đ ca 1 đim thuc đng thng và (a; b; c) là véc t ch phng ca đng thng. u = r c. Phng trình chính tc ca đng thng: () 222 000 xx yy zz abc0 abc − −− == ++≠ 11. ( ) ( ) 0000 M x ;y ;z vµ :Ax By Cz D 0 α + ++= a. Cho () () 000 0 222 Ax B y Cz D dM, ABC α + ++ = ++ 000 xx yy zz abc − −− == b. Cho () 1 M x;y;z vµ : Δ () 01 1 MM,u dM, u ⎡⎤ ⎣⎦ Δ= u uuuuur r r ( ) ( ) 0000 u a;b;c lµ vÐct¬ chØ p h−¬n g cña ; M x ; y ;zΔ r , M 0 ∈Δ c. Cho 000 xx yy zz abc −−− == ( )( 0000 ua;b;c; M x, ) y ,z r : Δ ; 8 Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ và : ′ Δ 000 xx yy zz abc ′′′ −−− == ′′′ ; () ( ) 0000 u a ;b ;c lµ vÐct¬ chØ p h−¬n g cña ; M x , y ,z ′′′′ ′ ′′′ Δ ur , M 0 ′ ∈Δ () 00 u;u .M M d; u, u ⎡⎤ ′ ′ ⎣⎦ ′ ΔΔ = ⎡⎤ ′ ⎣⎦ r ur uuuuuur rur . 12. vµ ′ Δ Δ a. Gi ϕ là góc gia hai đng thng thì: 222 2 2 u.u aa bb cc cos u.u a b c . a b c ϕ ′ ′′′ ++ == ′ 2 ′ ′′ ++ + + rur rur b. Gi θ là góc gia đng thng Δ và mt phng () α thì: 22222 2 Aa Bb Cc ABC.abc θ ++ = ++ ++ 00 090 sin . θ ≤ ≤ ( ) ; n A;B;CΔ r ( ) u a;b;c r là véct ch phng ca là véct pháp tuyn ca () α . c. Gi γ là góc gia ( ) :Ax By Cz D 0 α + ++= và () :Ax By Cz D 0 α ′′′′′ +++= , ( ) 222 ABC0 ′′′ + +≠ 222 2 2 n.n AA BB CC cos n.n A B C . A B C γ ′ ′′′ ++ == ′ 2 ′ ′′ ++ + + rur rur . th: Trong đó n và ln lt là véct pháp tuyn ca r n ′ ur ( ) α ( ) α ′ và 13. Phng trình mt cu ()() ( ) 222 2 xa y bzc−+−+−= R 0 . có tâm I (a; b; c); bán kính R. 222 ABCD0 + +−> Hoc: vi 222 x2Axy2Byz2CzD++++++= ( ) IA;B;C ′ −−− 222 ABCD + +− bán kính R = . C? tâm 1.2. Du hiu nhn bit mt bài toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ. ) i ; j ; k rr r Trong h to đ  các vuông góc Oxyz vi c s trc chun ( Nhng bài toán hình hc không gian có phn gi thit  nhng dng sau có th dùng phng pháp ta đ đ gii. ̇ Hình đ cho có mt đnh là tam din vuông. 9 Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ ̇ Hình chóp có mt cnh bên vuông góc vi đáy và đáy là các tam giác vuông, tam giác đu, hình vuông, hình ch nht, ̇ Hình lp phng, hình ch nht. ̇ Hình đ cho có mt đng thng vuông góc vi mt phng, trong mt phng đó có nhng đa giác đc bit: tam giác vuông, tam giác đu, hình thoi, ̇ Khi hình đu: hình chóp đu, lng tr đu, Các dng khác nhau mà có th to đc các tam din vuông chng hn: Nu hai đng thng chéo nhau mà vuông góc, hai mt phng vuông góc. Ngoài ra, vi mt s bài toán mà gi thit không cho  nhng hình không gian quen thuc nh hình chóp tam giác đu, hình lp phng, hình ch nht, thì bng cách nhn xét tính cht song song và vuông góc ca đi tng tham gia trong hình ta cng có th thit lp đc h ta đ vuông góc. 1.3. Các bc gii mt bài toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ ̇ Bc 1: Chn h ta đ thích hp. ̇ Bc 2: Chuyn t ngôn ng hình hc sang ngôn ng ta đ. ̇ Bc 3: Gii bài toán bng kin thc ta đ. ̇ Bc 4: Phiên dch các kt qu t ngôn ng ta đ sang ngôn ng hình hc. * Mt vài ví d v cách chuyn ngôn ng hình hc sang ngôn ng ta đ: ̇ 3 đim A, B, C phân bit thng hàng tng đng ta đ 1 đim tha mn phng trình đng thng đi qua hai đim kia hoc AB . kAC= uuuruu ur ̇ 4 đim A, B, C, D phân bit đng phng tng đng AB,AC .AD 0 ⎡⎤ = ⎣⎦ u uur uuur uuur hoc ta đ ca mt đim tha mn phng trình mt phng đi qua 3 đim kia. ̇ 3 đng thng (có phng trình di dng chính tc) đng quy tng đng h phng trình bao gm 3 phng trình ca 3 đng thng có nghim duy nht hoc giao đim ca 2 đng thng này nm trên đng thng kia. Xác đnh khong cách, góc gia các yu t trong không gian khi chuyn sang phng pháp ta đ ch yu là dùng các công thc tính khong cách, góc gia các yu t. 1.4. Cách chn h ta đ đi vi mi loi hình. 1.4.1. Hình chóp tam giác 1.4.1.1. Hình chóp đu Cho hình chóp đu SABC, có 3 cách chn h ta đ là: Cách 1: 10 [...]... ng pháp giúp gi i bài toán HHKG ng n, so v i ph ng pháp t ng h p Trong khuôn kh chuyên n gi n và nhanh h n này v i mong mu n góp ph n làm sáng t s c n thi t c a vi c gi i bài toán hình h c không gian b ng ph Hy v ng chuyên pháp t a này là b c ng pháp t a u giúp h c sinh làm quen v i ph ng trong ch ng minh các bài toán trong không gian, giúp các em h c sinh hình dung c ph nào thì có th áp d ng ng pháp. .. Gi i toán hình h c không gian b ng ph 0 OO1 IK IK là AB.IK 0 AB IK AB V y ta có i u ph i ch ng minh ng pháp t a ng vuông góc chung c a OO1 và K T LU N M t bài toán hình h c có th có nhi u cách gi i, m i bài toán th tìm c m t cách gi i t i u Tr gi i t i u là m t v n c m t bài toán HHKG, tìm khó Gi i bài toán HHKG b ng PPT u có c cách là m t trong Chuyên : Gi i toán hình h c không gian b ng ph ng pháp. .. chuyên Gi i Bài s 2 h v i l p ôn thi H,C : , ch c ch n chuyên c s góp ý, trao i c a các và a ra còn nh ng thi u sót R t mong ng nghi p chuyên c hoàn thi n h n TÀI LI U THAM KH O 1 Lê Quang Ánh, Tr n Thái Hùng (1999) - 360 bài toán ch n l c hình h c không gian - NXB ng Nai Chuyên : Gi i toán hình h c không gian b ng ph ng pháp t a 2 Nguy n Ti n Quang, Ph m Kh c Ban (2002)- Toán nâng cao hình h c 11... bài toán nh th c bi t cho h c sinh th y c m i quan h gi a HHKG và hình h c gi i tích trong không gian và có h ng thú h n v i b môn hình h c * K t qu c bi t là các bài toán HHKG i ch ng và th c nghi m chuyên K t qu (Tr Bài ki m tra i ch ng K t qu th c nghi m c khi th c hi n chuyên TB ) Gi i Khá 0% Bài s 1 Y u Khá TB ) 7,6% 20,0% 71,4% Y u 15,3% 38,5% 25,7% 20,5% Do l n u h th ng các d ng toán HHKG áp. .. : Gi i toán hình h c không gian b ng ph ng pháp t a 1.4.2.2 Hình chóp SABCD có SA (ABCD) Các tr ng h p c a áy: a áy là hình ch nh t ho c là hình vuông Cách ch n h tr c t a là : O A; tia Ox AB; tia Oy AD; tia Oz AS z S A D B y C x z b áy là hình thang vuông t i A và B (t ng t t i C, D) Cách ch n h t a là: O A; tia Ox AB; tia Oy AD; tia Oz AS S A D y B C x c áy là n a l c giác u Ch n h t a nh hình v... giác cân t i A C A I B x y Chuyên : Gi i toán hình h c không gian b ng ph Có 2 cách ch n h t a : Cách 1: O A; tia Ox tia Ax; tia Oy Ax (ABC) và Ax AI AI, I - là trung i m BC; tia Oz C' A' B C AA'; Cách 2: BC; O B; tia Ox Ax; tia Oy BB'; Bx (ABC); Bx tia Oz BC z B' ng pháp t a y z x A' c áy là tam giác u B' Có 3 cách ch n: Cách 1 và cách 2 gi ng tr ng h p b Cách 3: O tâm áy; tia Ox OB; tia Oy tia qua... ch t c a áy thi t l p h t a thích h p 17 D C y Chuyên : Gi i toán hình h c không gian b ng ph ng pháp t a CH NG 2 H TH NG BÀI T P Bài toán 1: Cho t di n OABC có góc tam di n nh O là tam di n vuông OA = OB = OC = 1 G i M, N l n l t là các trung i m các c nh AB, OA Ch ng 1 minh kho ng cách gi a OM và CN là d OM,CN 3 L i gi i Ch n h to Oxyz nh hình v , khi ó: 1 1 1 O(0, 0, 0); A(1, 0, 0); B(0, 1, 0); C(0,... 1.4.1.2 Hình chóp SABC có áy SA vuông góc v i áy ABC Các tr ng h p c a áy: 11 B Chuyên : Gi i toán hình h c không gian b ng ph ng pháp t a * Tr ng h p 1: áy là tam giác vuông t i A Cách ch n h t a là: O A; tia Ox AB; tia Oy AC; tia Oz AS z S A C B y x * Tr ng h p 2: áy là tam giác cân t i A : z S C? hai cách ch n h t a Cách 1: O A; tia Ox tia Ax; Ax (ABC) và tia Ax AC tia Oy AC; tia Oz AS Cách này c ng áp. .. ng chi u x v i tia AA' 1.4.3.2 L ng tr t giác L ng tr ng ABCD.A'B'C'D' Các tr ng h p c a áy a áy là hình ch nh t (khi ABCD.A'B'C'D' là hình ch nh t) Có hai cách ch n h t a là: Cách 1: O A; tia Ox AB; tia Oy AD; tia Oz AA' 16 C' A A C O y z A' B' D' C' A ó D B x C y z A Chuyên : Gi i toán hình h c không gian b ng ph ng pháp t a B Cách 2: O tâm áy tia Ox tia i qua O có cùng ph ng chi u v i tia D C ,... d áy là hình thoi O A; Ox Ax; Oy AC; Oz Ax (ABC) và Ax AC D AS; O A C x 14 B y Chuyên : Gi i toán hình h c không gian b ng ph ng pháp t a 1.4.2.3 Hình chóp SABCD có áy ABCD ABCD, tâm O, SO + N u ABCD là hình vuông thì có ba cách ch n to Cách 1: O tâm áy; tia Ox tia qua O có cùng ph ng chi u v i tia DC, tia Oy trùng v i tia qua O có cùng ph ng chi u v i tia BC, tia Oz OS z S A D O y B x z Cách 2: . Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ - C s ca không gian và phng pháp to đ trong không gian. - Du hiu nhn bit mt bài toán hình hc không gian bng phng pháp ta. "Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ". 2. Tình hình nghiên cu: "Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ" không phi là phng pháp mi, mt s bài. mt bài toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ. 9 1.3. Các bc gii mt bài toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ 10 1.4. Cách chn h ta đ đi vi mi loi hình.

Ngày đăng: 15/11/2014, 18:39

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan