Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu Bài tập hình học 10 chương 1 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các...
BÀI TẬP HÌNH HỌC 10 CHƯƠNG I nttrieu.wordpress.com 1 Sử dụng các kiến thức cơ bản 1.1 Hãy tính số các vec tơ (khác −→ 0 ) mà các điểm đầu và điểm cuối được lấy từ các điểm phân biệt đã cho trong các trường hợp sau: a) Hai điểm. b) Ba điểm. c) Bốn điểm. 1.2 Cho hình vuông ABCD tâm O. Liệt kê tất cả các vec tơ bằng nhau (khác −→ 0 ) nhận đỉnh và tâm của hình vuông làm điểm đầu và điểm cuối. 1.3 Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD và DA. Chứng minh: −−→ NP = −−→ MQ và −→ P Q = −−→ NM. 1.4 Cho tam giác ABC. Các điểm M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và AC. So sánh độ dài của hai vec tơ −−→ NM và −−→ BC. Vì sao hai vec tơ đó cùng phương. 1.5 Cho 4 điểm phân biệt A, B, C, D. Chứng minh rằng nếu −→ AB = −−→ DC thì −−→ AD = −−→ BC. 1.6 Xác định vị trí tương đối của 3 điểm phân biệt A, B và C trong các trường hợp sau: a) −→ AB và −→ AC cùng hướng, | −→ AB| > | −→ AC|. b) −→ AB và −→ AC cùng hướng. c) −→ AB và −→ AC cùng phương, 1.7 Cho hình bình hành ABCD. Dựng −−→ AM = −→ BA, −−→ MN = −−→ DA, −−→ NP = −−→ DC, −→ P Q = −−→ BC. Chứng minh −→ AQ = −→ 0 1.8 Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh: −→ EF = −−→ CD 1.9 Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Điểm I là giao điểm của AM và BN , K là giao điểm của DM và CN . Chứng minh: −−→ AM = −−→ NC, −−→ DK = −→ NI 1.10 Cho tam giác ABC có H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi B là điểm đối xứng với B qua O. Chứng minh −−→ AH = −−→ B C 1 2 Sử dụng tổng và hiệu hai vec tơ 2.1 Cho hình bình hành ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. a) Tìm tổng của hai vec tơ −−→ NC và −−→ MC; −−→ AM và −−→ CD; −−→ AD và −−→ NC. b) Chứng minh: −−→ AM + −−→ AN = −→ AB + −−→ AD. 2.2 Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Chứng minh −→ OA + −−→ OB + −→ OC + −−→ OD + −−→ OE + −→ OF = −→ 0 2.3 Cho tam giác ABC. Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của AB, AC và BC. a) Tìm hiệu −−→ AM − −−→ AN; −−→ MN − −−→ NC; −−→ MN − −−→ P N; −−→ BP − −→ CP . b) Phân tích −−→ AM theo hai vec tơ −−→ MN và −−→ MP . 2.4 Cho hình thoi ABCD có BAD = 60 ◦ và cạnh là a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Tính | −→ AB + −−→ AD|; | −→ BA − −−→ BC|; | −−→ OB − −−→ DC|. ĐS: | −→ AB + −−→ AD = a √ 3|; | −→ BA − −−→ BC| = a √ 3; | −−→ OB − −−→ DC| = a √ 3 2 2.5 Cho hình vuông ABCD cạnh a có O là giao điểm của hai đường chéo. Hãy tính | −→ OA − −−→ CB|; | −→ AB + −−→ DC|; | −−→ CD − −−→ DA|. ĐS: a √ 2 2 ; 2a; a √ 2. 2.6 Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F . Chứng minh rằng −−→ AD + −−→ BE + −→ CF = −→ AE + −−→ BF + −−→ CD. 2.7 Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Chứng minh rằng −→ AC + −−→ DE − −−→ DC − −−→ CE + −−→ CB = −−→ CB. 2.8 Cho tam giác ABC. Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC và BC. Chứng minh rằng với điểm O bất kỳ ta có −→ OA + −−→ OB + −→ OC = −−→ OM + −−→ ON + −→ OP 2.9 Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Trên cạnh AC lấy hai điểm E và F sao cho AE = EF = F C; BE cắt AM tại N . Chứng minh −−→ NA và −−→ NM là hai vec tơ đối nhau. 2.10 Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm M thỏa mãn một trong các điều kiện sau a) −−→ MA − −−→ MB = −→ BA b) −−→ MA − −−→ MB = −→ AB c) −−→ MA + −−→ MB = −→ 0 2.11 Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu | −→ CA + −−→ CB| = | −→ CA − −−→ CB| thì tam giác ABC vuông tại C. 2.12 Cho ngũ giác ABCDE. Chứng minh −→ AB + −−→ BC + −−→ CD = −→ AE − −−→ DE. 2.13 Cho 3 điểm O, A, B không thẳng hàng. Với điều kiện nào thì vec tơ −→ OA + −−→ OB nằm trên đường phân giác của AOB ? 2.14 Cho 2 lực −→ F 1 và −→ F 2 có điểm đặt O và tạo với nhau góc 60 ◦ . Tìm cường độ tổng hợp lực của hai lực ấy biết rằng cường độ của hai lực −→ F 1 và −→ F 2 đều là 100 N. ĐS: 100 √ 3 N. 2.15 Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là một điểm bất kỳ trên đường chéo AC. Qua O kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của hình bình hành. Các đường thẳng này cắt AB và DC lần lượt tại M và N , cắt AD và BC lần lượt tại E và F . Chứng minh rằng a) −→ OA + −→ OC = −−→ OB + −−→ OD b) −−→ BD = −−→ ME + −−→ F N 2 3 Sử dụng tích vec tơ với số thực 3.1 Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng −→ AB + −→ AC + −−→ AD = 2 −→ AC 3.2 Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích các vec tơ −→ AB, −−→ BC, −→ CA theo hai vec tơ −→ u = −−→ AK, −→ v = −−→ BM. 3.3 Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy một điểm M sao cho −−→ MB = 3 −−→ MC. Hãy phân tích vec tơ −−→ AM theo hai vec tơ −→ u = −→ AB, −→ v = −→ AC 3.4 Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm của đoạn AM. Chứng minh rằng a) 2 −−→ DA + −−→ DB + −−→ DC = −→ 0 . b) 2 −→ OA + −−→ OB + −→ OC = 4 −−→ OD với O tùy ý. 3.5 Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD. Chứng minh rằng 2 −−→ MN = −→ AC + −−→ BD = −−→ BC + −−→ AD. 3.6 Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm K sao cho 3 −−→ KA + 2 −−→ KB = −→ 0 . 3.7 Cho tam giác ABC. Tìm điểm M sao cho −−→ MA + −−→ MB + 2 −−→ MC = −→ 0 . 3.8 Cho lục giác ABCDEF . Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, F A. Chứng minh rằng hai tam giác MP R và NQS có cùng trọng tâm. 3.9 Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, CA, AB. Chứng minh rằng −−→ MD + −−→ ME + −−→ MF = 3 2 −−→ MO. 3.10 Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB và I là giao điểm của AD và EF . Đặt −→ u = −→ AE, −→ v = −→ AF . Hãy phân tích các vec tơ −→ AI, −→ AG, −→ AE, −−→ DC theo hai vec tơ −→ u , −→ v . ĐS: −→ AI = 1 2 −→ u + 1 2 −→ v ; −→ AG = 2 3 −→ u + 2 3 −→ v ; −−→ DE = − −→ v ; −−→ DC = −→ u − −→ v . 3.11 Cho tam giác ABC. Điểm M trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Hãy phân tích vec tơ −−→ AM theo hai vec tơ −→ u = −→ AB, −→ v = −→ AC. ĐS: −−→ AM = 1 3 −→ u + 2 3 −→ v . 3.12 Cho ABC có trung tuyến AM . Gọi I là trung điểm của AM và K là điểm trên cạnh AC sao cho AK = 1 3 AC. Chứng minh B, I, K thẳng hàng. ĐS: −−→ BK = 4 3 −→ BI. 3.13 Cho ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi −−→ BC + −−→ MA = −→ 0 ; −→ AB − −−→ NA −3 −→ AC = −→ 0 . Chứng minh MN AC. ĐS: −−→ MN = 2 −→ AC. 3 3.14 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh rằng: 2 −−→ MN = −→ AC + −−→ BD 3.15 Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng −→ AB + 2 −→ AC + −−→ AD = 3 −→ AC 3.16 Chứng minh rằng nếu G và G lần lượt là trọng tâm của hai ABC và A B C thì 3 −−→ GG = −−→ AA + −−→ BB + −−→ CC 3.17 Cho ABC có D là trung điểm của BC. Xác định vị trí của điểm G biết −→ AG = 2 −−→ GD. 3.18 Cho 2 điểm A và B. Tìm điểm I sao cho −→ IA + 2 −→ IB = −→ 0 . 3.19 Cho tứ giác ABCD. Xác định vị trí điểm G sao cho −→ GA + −−→ GB + −→ GC + −−→ GD = −→ 0 3.20 Cho ABC và A B C . Chứng minh nếu −−→ AA + −−→ BB + −−→ CC = −→ 0 thì hai tam giác đó có cùng trọng tâm. 3.21 Cho hai vec tơ không cùng phương −→ a và −→ b . Dựng các vec tơ a) 2 −→ a + −→ b ; b) −→ a − 2 −→ b c) − −→ a + 1 2 −→ b . 3.22 Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O và cạnh a. a) Phân tích −−→ AD theo hai vec tơ −→ AB và −→ AF . b) Tính độ dài của vec tơ 1 2 −→ AB + 1 2 −−→ BC theo a. ĐS: a) −−→ AD = 2 −→ AB + 2 −→ AF ; b) a √ 3 2 . 3.23 Cho ABC có M là trung điểm của BC. Phân tích −−→ AM theo −→ AB và −→ AC. ĐS: −−→ AM = 1 2 −→ AB + 1 2 −→ AC. 3.24 Cho ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NA = 2NC. Gọi K là trung điểm của M N . Phân tích −−→ AK theo −→ AB và −→ AC. ĐS: −−→ AK = 1 4 −→ AB + 1 3 −→ AC. 3.25 Cho ABC. Dựng −−→ AB = −−→ BC, −−→ CA = −→ AB, −−→ BC = −→ CA. a) Chứng minh A là trung điểm của B C . b) Chứng minh các đường thẳng AA , BB , CC đồng quy. 3.26 Cho ABC. Điểm I trên cạnh AC sao cho CI = 1 4 CA, J là điểm thỏa −→ BJ = 1 2 −→ AC − 2 3 −→ AB. a) Chứng minh −→ BI = 3 4 −→ AC − −→ AB. b) Chứng minh B, I, J thẳng hàng. c) Hãy dựng điểm J thỏa mãn điều kiện đề bài. 3.27 Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh với M bất kỳ ta có −−→ MA + −−→ MB + −−→ MC + −−→ MD = 4 −−→ MO. 3.28 Cho tứ giác ABCD. Các điểm M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh ANP và CM Q có cùng trọng tâm. 3.29 Cho tứ giác ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh −→ AB + −−→ CD = 2 −→ IJ. 3.30 Cho ABC. 4 a) Tìm điểm K sao cho −−→ KA + 2 −−→ KB = −−→ CB. b) Tìm điểm M sao cho −−→ MA + −−→ MB + 2 −−→ MC = −→ 0 . ĐS: a) K là trọng tâm của ABC; b) M là trung điểm IC với I là trung điểm AB. 3.31 Cho ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, H là trực tâm của tam giác, D là điểm đối xứng của A qua O. a) Chứng minh tứ giác HCDB là hình bình hành. b) Chứng minh: −−→ HA + −−→ HD = 2 −−→ HO; −−→ HA + −−→ HB + −−→ HC = 2 −−→ HO; −→ OA + −−→ OB + −→ OC = −−→ OH. c) Gọi G là trọng tâm của ABC. Chứng minh −−→ OH = 3 −→ OG. Từ đó có kết luận gì về 3 điểm O, H, G. ĐS: c) O, H, G thẳng hàng. 4 Sử dụng hệ trục tọa độ 4.1 Trên trục (O; −→ e ) cho các điểm A, B, M, N lần lượt có tọa độ −4; 3; 5; −2. a) Biểu diễn các điểm đã cho trên trục. b) Tính độ dài đại số của các vec tơ −→ AB, −−→ AM, −−→ MN. 4.2 Trên trục (O; −→ e ) cho các điểm A, B, C tùy ý. a) AB = AB nếu −→ AB cùng hướng với −→ e . b) AB = −AB nếu −→ AB ngược hướng với −→ e . c) AB + BC = AC. 4.3 Cho hình vuông ABCD có cạnh a = 5. Chọn hệ trục tọa độ (A; −→ i ; −→ j ) trong đó −→ i và −−→ AD cùng hướng, −→ j và −→ AB cùng hướng. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông, giao điểm I của hai đường chéo, trung điểm N của BC và trung điểm M của CD. 4.4 Cho hình bình hành ABCD có AD = 4 và chiều cao ứng với cạnh AD bằng 3, BAD = 60 ◦ . Chọn hệ trục tọa độ (A; −→ i ; −→ j ) sao cho −→ i và −−→ AD cùng hướng. Tìm tọa độ của các vec tơ −→ AB, −−→ BC, −−→ CD, −→ AC. 4.5 4.6 Cho ABC. Các điểm M(1; 0), N(2; 2), P (−1; 3) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác. 4.7 Cho hình bình hành ABCD có A(−1; 3), B(2; 4), C(0; 1). Tìm tọa độ đỉnh D. ĐS: D(−3; 0). 4.8 Cho ba điểm A(−1; 1), B(1; 3), C(−2; 0). Chứng minh A, B, C thẳng hàng. 4.9 Cho A(3; 4), B(2; 5). Tìm x để C(−7; x) thuộc đường thẳng AB. ĐS: x = 14. 4.10 Cho A(0; 1), B(1; 3), C(2; 7), D(0; 3). Chứng minh AB CD. 4.11 Cho ABC có A(3; 2), B(−11; 0), C(5; 4). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác. ĐS: G(−1; 2). 4.12 Cho ABC có A(1; −1), B(5; −3), đỉnh C trên Oy và trọng tâm G trên Ox. Tìm tọa độ điểm C. ĐS: C(0; 4). 5 4.13 Cho A(−2; 1), B(4; 5). Tìm tọa độ điểm C sao cho tứ giác OACB là hình bình hành với O là gốc tọa độ. ĐS: C(2; 6). 4.14 Viết tọa độ của các vec tơ sau: −→ a = 2 −→ i + 5 −→ j ; −→ b = 5 3 −→ i − 5 −→ j ; c = 3 −→ i ; −→ d = −2 −→ j . 4.15 Viết vec tơ −→ u dưới dạng −→ u = x −→ i +y −→ j khi biết tọa độ của −→ u là (−3; 2), (4; −1), (3; 0), (0; −2). 4.16 Cho −→ a = (1; −3), −→ b = (0; 2). Tìm tọa độ của các vec tơ −→ x = −→ a + −→ b ; −→ y = −→ a − −→ b ; −→ z = 3 −→ a − 4 −→ b . 4.17 Xét xem các cặp vec tơ sao có cùng phương không ? Trong trường hợp cùng phương thì xét xem chúng cùng hướng hay ngược hướng a) −→ a = (2; 3), −→ b = (−10; −15) b) −→ u = (0; 7), −→ v = (0; 5) c) −→ m = (−2; 1), −→ n = (−6; 3) d) −→ c = (3; 4), −→ d = (6; 9) 4.18 a) Cho A(−1; 8), B(1; 6), C(3; 4). Chứng minh A, B, C thẳng hàng. b) Cho A(1; 1), B(3; 2) và C(m + 4; 2m + 1). Tìm m để A, B, C thẳng hàng. 4.19 Cho bốn điểm A(−2; −3), B(3; 7), C(0; 3), D(−4; −5). Chứng minh AB CD. 4.20 Cho ABC. Các điểm M(1; 1), N(2; 3), P (0; −4) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác. 4.21 Cho hình bình hành ABCD. Biết A(2; −3), B(4; 5), C(0; −1). Tìm tọa độ của đỉnh D. 4.22 Cho ABC đều có cạnh a. Chọn hệ tọa độ (O; −→ i ; −→ j ) trong đó O là trung điểm của cạnh BC, −→ i cùng hướng với −→ OC, −→ j cùng hướng với −→ OA. a) Tính tọa độ của các đỉnh của ABC. b) Tìm tọa độ trung điểm E của AC. c) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp của ABC. 4.23 Cho lục giác đều ABCDEF . Chọn hệ tọa độ (O; −→ i ; −→ j ) trong đó O là tâm của lục giác đều, hai vec tơ −→ i và −−→ OD cùng hướng, −→ j và −−→ EC cùng hướng. Tính tọa độ các đỉnh của lục giác biết độ dài cạnh của lục giác là 6. 5 Một số dạng tổng hợp 5.1 Cho hình bình hành ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Nối AF và CE, hai đường này cắt đường chéo BD lần lượt tại M và N. Chứng minh −−→ DM = −−→ MN = −−→ NB. 5.2 Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF với A, D, F không thẳng hàng. Dựng các vec tơ −−→ EH và −→ F G bằng −−→ AD. Chứng minh tứ giác CDGH là hình bình hành. 5.3 Cho 4 điểm A, B, C, D. Tìm các vec tơ a) −→ u = −→ AB + −−→ DC + −−→ BD + −→ CA b) −→ v = −→ AB + −−→ CD + −−→ BC + |vtDA. 5.4 Cho lục giác đều ABCDEF và M là một điểm tùy ý. Chứng minh rằng −−→ MA + |vtMC + −−→ ME = −−→ MB + −−→ MD + −−→ MF 6 5.5 Cho ABC. Tìm M thỏa mãn điều kiện −−→ MA − −−→ MB + −−→ MC = −→ 0 . 5.6 Cho ABC có trung tuyến AM. Trên cạnh AC lấy hai điểm E và F sao cho AE = EF = F C, BE cắt trung tuyến AM tại N. Tính −→ AE + −→ AF + −−→ AN + −−→ MN. 5.7 Cho hai điểm A và B. Điểm M thỏa mãn điều kiện | −−→ MA + −−→ MB| = | −−→ MA − −−→ MB|. Chứng minh rằng OM = 1 2 AB với O là trung điểm của AB. 5.8 Cho ABC và M tùy ý. Chứng minh −→ v = −−→ MA + vtMB −2 −−→ MC không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. Hãy dựng điểm D sao cho −−→ CD = −→ v . 5.9 Cho ABC. Gọi M, N, P là những điểm được xác định như sau −−→ MB = 3 −−→ MC, −−→ NC = 3 −−→ NA, −→ P A = 3 −−→ P B a) Chứng minh 2 −−→ OM = 3 −→ OC − −−→ OB. b) Chứng minh hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm. 5.10 Cho hình vuông ABCD, E là trung điểm của CD. Hãy phân tích −→ AE theo hai vec tơ −→ u = −−→ AD, −→ v = −→ AB. 5.11 Cho hình thoi ABCD tâm O có AC = 8, BD = 6. Chọn hệ tọa độ (O; −→ i ; −→ j ) sao cho −→ i và −→ OC cùng hướng, −→ j và −−→ OB cùng hướng. a) Tính tọa độ các đỉnh của hình thoi. b) Tìm tọa độ trung điểm I của BC và trọng tâm của ABC. c) Tìm tọa độ điểm đối xứng I’ của I qua tâm O. Chứng minh A, I’, D thẳng hàng. d) Tìm tọa độ của các vec tơ −→ AC, −−→ BD, −−→ BC. 7 . BÀI TẬP HÌNH HỌC 10 CHƯƠNG I nttrieu.wordpress.com 1 Sử dụng các kiến thức cơ bản 1. 1 Hãy tính số các vec tơ (khác −→ 0 ) mà các điểm đầu. 0). 4.8 Cho ba điểm A( 1; 1) , B (1; 3), C(−2; 0). Chứng minh A, B, C thẳng hàng. 4.9 Cho A(3; 4), B(2; 5). Tìm x để C(−7; x) thuộc đường thẳng AB. ĐS: x = 14 . 4 .10 Cho A(0; 1) , B (1; 3), C(2; 7), D(0;. C(2; 7), D(0; 3). Chứng minh AB CD. 4 .11 Cho ABC có A(3; 2), B( 11 ; 0), C(5; 4). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác. ĐS: G( 1; 2). 4 .12 Cho ABC có A (1; 1) , B(5; −3), đỉnh C trên Oy và trọng